微分方程在经济方面的应用.

目录

摘要.................................................................................................................... I Abstract................................................................................................................ I I 第1章绪论 (1)

1.1 课题研究背景及目的 (1)

1.2 研究现状 (1)

1.3 研究方法 (1)

1.4 研究内容 (2)

第2章经济学中常用微分方程的解法 (3)

2.1 微分方程的简介 (3)

2.2经济中常用微分方程的解法 (3)

第3章三个经济模型 (8)

3.1价格调整模型 (8)

3.2蛛网模型 (9)

3.3Logistic模型 (10)

第4章微分方程在经济的两个分析中的应用 (12)

4.1边际分析 (12)

4.2弹性分析 (12)

结语 (14)

参考文献............................................................................... 错误！未定义书签。附录................................................................................... 错误！未定义书签。致谢................................................................................... 错误！未定义书签。

微分方程在经济方面的应用

摘要

微分方程是数学的一个重要组成部分，本文首先对微分方程的解法做了简要介绍，使下文的使用有根有据。然后通过经济学中的三个模型两个概念分析，阐述了微分方程在经济中的广泛应用。

关键词：微分方程；经济模型；概念分析；应用

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Abstract

The theory of essential truth is not only an important aspect of the Marxist theory of truth in journalism, but also a major principle and guideline in the course of socialistic journalism. However, there are more or less misunderstandings on putting this theory into practice. Even some journalists doubt and deny the feasibility of carrying this theory out. This thesis focuses on the practice of the theory of essential truth. The operation of this theory is an activity performed by the medium under the principle of the scientific view of cognition. On the premise of objectivity, fairness, complete and balance, journalists can achieve the goal of essential truth by using the methods of report such as, successive report, serial report and integrated report on the basis of interaction and combination of individual efforts and group work.

Key words: essential truth in journalism； operate； successive report；serial report；Integrated report

第1章绪论

1.1 课题研究背景及目的

数学，它涉及我们日常生活的方方面面，而如今，它的应用也遍及几乎所有的科技领域。如何将这门古老、严谨的科学理论应用到实践当中去已经成为现在众多学者研究的主要课题。随着经济社会的快速发展，数学在经济活动中的应用越来越多。数学方法对经济问题的定性分析和定量分析是严谨的、缜密的、可信的。而微分方程，作为高等数学的一个重要分支，为研究两个或多个经济变量之间的关系和经济规律提供了一种机理分析的方法。经济学中的一些理论，可以通过微分方程转化为易懂、明了的公式。这就在一定程度上方便了人们对一些较难经济理论的理解，而且，数学的多样性，在各领域应用的广泛性也使得这些理论可以解释更多的经济问题。

1.2 研究现状

国内外对微分方程在经济领域的应用的研究有很多。微分方程大致与微积分同时产生。苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。数学家们经过长时间研究，证明了求微分方程的通解一般是不可能的，逐步放弃了这一奢望，转而研究定解问题、初值问题、边值问题等。在当代，微分方程展示了它强大的生命力与广泛的应用性，在经济领域，它已经成为重要的研究工具之一。

1.3 研究方法

在应用微分方程解决经济问题时，一般有三个步骤。第一步是建立模型，即根据实际问题建立实际的微分方程模型。可以通过对实际问题的分析，做出合理的假设并将其简化或抽象成一个数学问题。根据微分方程构造出函数、自变量及自变量导数间的关系。第二步就是求解建立好的微分方程。第三步是对得出的结果进行分析。对常系数和线性微分方程，往往能得出其解析解或精确解。这对解决实际的经济问题有很大帮助。对于一些变系数及非线性的微分方程，可以通过特定的方法，如欧拉方程和拉普拉斯方程求解。

1.4 研究内容

本文着重分析微分方程在价格调整模型，蛛网模型,logistic模型三个模型及边际分析，弹性分析两个分析中的应用，借这三个模型，两个分析来说明微分方程在经济中的应用十分广泛。

第2章 经济学中常用微分方程的解法

2.1 微分方程的简介

含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程。未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数，从而出现多元函数的偏导数的方程，叫做偏微分方程。 2.1.1 方程的阶

微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数叫做微分方程的阶。 若一个微分方程的阶为n ，则称这个微分方程为n 阶微分方程。 2.1.2 方程的解

（1）、如果将一个函数代入微分方程后能使方程两端恒等，则称此函数为微分方程的解。

（2）、求微分方程解的过程，叫做解微分方程。

（3）、若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称为通解。当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，这是微分方程的特解。

通常，特解都是由给定的条件代入通解，确定出任意常数的特定值后得到的，这里用来确定特解的条件，叫做初始条件。

一般地，一阶微分方程的初始条件为：0x x =时，0y y =。 二阶微分方程的初始条件为：当0x x =时，

)

1(0y dx

dy =。 2.2 经济中常用微分方程的解法

2.2.1 一阶微分方程的求解

（1）变量分离方程：

形如 )()('x q x p y = （1） 的方程。其中)(x p ,)(x q 分别为,x y 的连续函数。 将（1）式写成

dx x p y q dy

)()

(=的形式，两边同时积分得到 c dx x p y q dy

+=??)()( （2）

例：求解方程

.y

x dx dy -= 解 将变量分离，得：

,x d x y d y -=

两边积分，既得

,2

2222c x y +-= 因而，通解为 ,22c y x =+ 这里c 是任意常数。 齐次微分方程： 形如

)(x

y

f dx dy = （3） 的方程。其中)(u f 为u 的连续函数。 作变量变换

,x

y

u =

（4） 即ux y =，于是

,u dx

du x dx dy += （5） 将（4），（5）代入（3）中，原方程变为

),(u f u dx

du

x

=+ 整理后，得到

.)(x

u u f dx du -= （6） 是个变量分离方程。可按变量分离的方法求解得到结果。 例：

.y

x y x dx dy -+= 解

.11x

y

x y

dx dy -+

= 令x y u =

，以,

ux y =.u x dx

du

dx dy +=代入。则原方程变为

u

u u x dx du -+=+11， 即

.1)1(2x

dx

u du u =+-

两边同时积分，得到.ln )1ln(21

arctan 2c x u u +=+-

将x y u =代入得到通解.ln )1ln(21arctan 2

2c x x

y

x y +=+-

一阶线性微分方程：

,)(y x p dx

dy

= 称为一阶齐次线性微分方程。其通解为

,)(?

=dx

x p ce y

其中c 是任意常数。

),()(x q y x p dx

dy

+=其中0)(≠x q ， 称为一阶非齐次线性微分方程。其通解为

))(()()(?+??

=-c dx e x q e y dx

x p dx

x p 。

2.2.2 二阶常系数线性微分方程的求解

1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法

形如'''0y py qy ++=（其中,q p 为常数）的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其求解步骤如下：

（1）求解方程'''0y py qy ++=的特征方程20p q λλ++=； （2）根据特征方程根的不同分为如下三种情形：

1） 当240p q ?=->时，两特征值为12λλ≠，则原方程的通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2） 当240p q ?=-=时，特征方程有两个相等的实根12λλ=，则原方程的通解为()112x y C C x e λ=+；

3） 当240p q ?=-<时，特征方程有两个共轭虚根1,2i λαβ=±，则原方程的通解为()12cos sin x y e C x C x αββ=+.

例1：求'''60y y y --=的通解.

解 方程'''60y y y --=的特征方程为260λλ--=，特征值为122,3λλ=-=，原方程的通解为2312x x y C e C e -=+.

例2：求'''440y y y -+=的通解.

解 方程'''440y y y -+=的特征方程为2440λλ-+=，特征值为122λλ==，原方程的通解为()212x y C C x e =+.

例3: 求'''220y y y -+=的通解.

解 方程'''220y y y -+=的特征方程为2220λλ-+=，特征值为1,21i λ=±，原方程的通解为()12cos sin x y e C x C x =+.

2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

形如()'''y py qy f x ++=（其中,q p 为常数）的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，根据()f x 的不同形式可将求特解方程分为如下两种情况：

（1）()()kx n f x P x e =

情形一：若k 非特征值，令()()

001n k

x

k x

n

y a a x a x e Q x e

=+++=

.如：()''

'21x y y y x e --=+，令()00x y a b e =+；

情形二：若k 与一个特征值相同，令()()001n kx kx n y x a a x a x e Q x e =+++= .如：

()'''2

21x

y y y x e --=+，令()()2220x x y x ax b e ax bx e =+=+； 情形三：若k 与两个特征值都相同，令()()2001n k x

k x n y x a a x a x e Q

x e =+++= .如：()'''24421x y y y x e -+=-，令()()223220x x y x ax b e ax bx e =+=+.

代入原方程整理后的式子为：()()()'''22n Q k p Q k pk q Q P x +++++=，特别地，

若k 与一个特征值相同，则()()'''2n Q k p Q P x ++=；若

k 与两个特征值相同，则()''n Q P x =.

（2）()()()cos sin x l s f x e P x x P x x αββ=+???? 令{}max ,n l s =，

情形一：若i αβ+不是特征值，则令()()()()

()120cos sin x n n y x e Q x x Q x x αββ??=+??； 情形二：若i αβ+是特征值，则令()()()()()120cos sin x n n y x xe Q x x Q x x αββ??=+??.

例：设'''22cos x

y y y xe x

-+=，求该方程的特解形式. 解 由2220λλ++=得特征值1,21i λ=±，因为1,1αβ==且1i i αβ+=+为特征

值，所以该方程的特解形式为()()()0cos sin x

y x xe ax b x cx d x

α=+++????.

第3章 三个经济模型

微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，经济模型从状态上分一般有两类,静态模型和动态模型。静态模型涉及均衡状态,就是一旦达到均衡状态就会保持住这种状态。在动态模型中,时间或明显地成为一个变量,或隐含地成为滞后变量的形式。我们在这里讨论的是动态模型，建立动态模型的数学工具就是微分方程和差分方程。

下面就介绍几个用微分方程求解的经济模型。

3.1 价格调整模型

在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某商品的供给量S 及需求量D 与该商品的价格有关，假设供给函数与需求函数分别为

bP

a D P

b a S -=+=11

其中1a ,1b ,,a b 均为常数，且10,0b b >>；P 为实际价格． 满足均衡状态，即供求相等。可得出下列关系式：

??

??

?=+=-=)()(11P S P D P b a S bP

a D

由上式可得静态模型的均衡价格为

1

1

b b a a P +-=

ε 在市场条件下，若商品的供给不能马上满足社会总需求，即超额需求

()()()D P S P -为正，商品的价格会上升。若超额需求为负，即社会上商品的供给供

大于求，此时商品价格会下降。因此，商品在市场上的价格会随时间的变化而变化，且价格变化率与超额需求成正比。

价格变化率满足以下的微分方程：

???

?

???+=-=-=P

b a S bP

a D P S P D k dt dp

1

1))()((

))()((11P b b a a k dt

dp

+--= 化简,得

()e dp

p p dt λ=-，

其中，()10k b b λ=+>，它反映价格调整速度。利用上文中的方法求解这个一

阶可分离变量的微分方程，有通解()t

e P t P Ce λ-=+。当0t =时，()00P P =，可解出()0e C P P =-。解得()()0t

e e P t P P P e

λ-=+-?。由0λ>可知：()lim e t P t P →∞

=，这表明实际价格 ()P t 最终趋向于均衡价格P ε。

3.2 蛛网模型

蛛网模型考察的是生产周期较长的商品，它的基本假定是：商品的本期产量s

t Q 决定于前一期的价格1-t P ，即供给函数为)(1-=t s t P f Q ，商品本期需求量取决于本期的价格t P ，即需求函数为)(t d t P f Q =。根据以上假设，蛛网模型可表示为：

d t t Q P αβ=- （1）

1s t t Q P δγ-=-+ （2） d s t t Q Q = （3） 将（1），（2）代入（3）中得1t t P P αβδγ--=-+ （4） 第t 期的产品价格为：

12t t t P P P γαδγγαδαδ

ββββββ--????????+++=-+=--++

?? ? ? ????????? =2

21t P γαδγβββ-????

+-+-= ? ??

???

=21

01t

t P γαδγγγβββββ-??????????+-+

+-+-++-??

? ? ? ???

??????????

011t

t

P γβγαδββγβ??

--

???+?

?=-+? ?????

-- ???

01t

t P γαδ

γββγβ??

????+=-+

--?? ? ?+??

??????

在市场均衡时，均衡价格1-==t t P P P ε，所以由（4）可得均衡价格为：e P αδ

βγ

+=

+

进一步得出：

e t e t e t t P P P P P P +--=--+-=))((])(1[)(00β

γβγβγ

分析上式，可知蛛网模型分析了在生产周期较长时，（即假设∞→t 时）商品价格与产量波动的三种情况：

(1) 1

<βγ

，即εP P t →时，说明当市场因为干扰偏离原有的均衡状态后，随着时间的增加，市场上商品的实际价格将以越来越小的幅度围绕着均衡价格波动，最后回复到均衡价格，形成收敛型蛛网。

(2) 1

>βγ

,即∞→t P 时，说明当市场因为干扰偏离原有的均衡状态后，随着时间的增加，市场上的实际价格将以越来越大的幅度偏离均衡价格。形成发散型蛛网。

(3) 1

=βγ

，则t P 可以求出，为一个常数。说明当市场因为干扰偏离原有的均

衡状态后，实际产量和实际价格适中按同一幅度围绕均衡点上下波动，既不偏离也不靠近。形成封闭型蛛网。

通过上述分析我们可以看到，当市场经济趋向不稳定时政府有两种干预办法，一种办法是使γ尽量小，假设0=γ，这样，不论β如何改变，1

<βγ

总成立，价格总能回复均衡，经济总是稳定的，实际上这种办法相当于政府控制物价，无论商品数量多少，命令价格不得改变。另一种办法是使β尽量大，极端情况是∞→β，于是不论供给曲线如何，经济也总是稳定的。这相当于控制市场上商品品数量，当供应量少于需求时，政府从外地收购或调拨，投入市场；当供过于求时，政府收购过剩部分，维持商品上市量不变。

3.3 Logistic 模型

在一个确定的环境内考察某一单种群。当种群规模增大，即此种群的密度增大时，每个个体的食物的平均分配量必然减少，从而将使种群规模的增长率减少。Verhulst 假设种群规模的相对增长率上1dx

x dt

?是种群规模()x t 的线性减少函数，从而得到

11dx x r x dt N ?

??=- ???

（1） 方程（1）称为Logistic 方程，其中常数0r >称为种群的内禀增长率，它是此

种群个体的平均出生率与平均死亡率之差，反映了物种内在的特性；()0N N >反映了资源丰富的程度。当x N =时，种群的规模不再增大。因而N 表示环境能容纳此种群个体的最大数量，称为环境的容纳量。Logistic 方程表明：种群规模的相对增长率与当时所剩资源份量是成正比。

Logistic 模型在经济中的应用实例有：产品推广模型。

设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为()x t ,t 时刻产品销量的增长率dt

dx 与()x t 成正比。同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明,dt

dx

与尚未购买该产品的顾客潜在的销售数量()N x t -也成正比。于是有

))((t x N kx dt

dx

-= （2） 其中常数0K >, 为比例系数。对（2）分离变量得

dt x N kx dx

=-)

( （3）

对（3）积分, 可以解得方程称为kN

Ce

N

t x -+=

1)(。 上述例子所建立的模型（2）就是 Logistic 模型。

第4章 微分方程在经济的两个分析中的应用

4.1 边际分析

边际分析即分析增加一单位x 用于增加y 的比率。

如：边际成本就是指每一单位新增生产的产品（或购买的产品）带来的总成本的增量。如果设成本函数为

)(x c g =

其中g 为总成本，x 为产品数量。则边际成本为

)('x c dx

dg

=。 与之类似的还有边际消费，边际效应，边际收益等。

其中，设储蓄函数为)(y s s =，消费函数为)(x y y =，因为消费函数与储蓄函数互为补数，即c y s -=。则边际储蓄倾向

dx

dy dx ds -=1。 下面，通过举例来说明：

例： 如果已知人们收入每增加一个单位,储蓄将增加4

1

。当收入为0时,消费为10(单位:亿元),试求消费函数。

解 已知4

1=dx ds 又有

4

3

1=-=dx ds dx dy 直接积分得C x dx y +==?4

3

43

当0x =时，10y =，10C =，所以104

3

+=

x y 为所求消费函数。 4.2 弹性分析

弹性概念，在经济中的应用十分广泛，一般来说，只要两个经济变量之间存在着函数关系，就可以用弹性来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度。具体来说，它是一个数字，表示当一个经济变量发生1％的变动时，由它引起的另一个经济变量变动的百分比。

在经济中，设两个经济变量之间的关系为)(X f Y =,弹性的一般公式为

Y

Y X

Y e X X Y X

??==???即)()

(x f x x f '。 式中的e 为弹性系数；Y X ??,分别为变量X,Y 的变动量。该式表示：当自变量

X 变化百分之一时，因变量Y 变化百分之几。

有关弹性函数而建立的方程一般为微分方程。 如，需求的价格弹性系数=价格变动率需求量变动率-

Q

P

Q P

'-=。表示在一定时期内当一种商品的价格变动百分之一时所引起的商品的需求量变动的百分比。

例：设某市场上,A B 两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对A 厂商的需求曲线为A A Q P -=200,厂商B 的需求Q 对P 的价格弹性为3ln P ，A 厂商目前的销量为500=A Q ,B 厂商的最大销量为100，求：A 厂商的需求的价格弹性dA e ，B 厂商的需求曲线。

解 对厂商A ，Q P

Q e P

'-=，已知A A P Q -=200,得1-='P Q 。当500=Q 时，300=A P ,

代入弹性公式得350

150

)1(=?

--=dA e 。 对厂商B ,3ln P Q P Q e P

='-=，即dP Q

dQ

3ln -=。两边同时积分得： ln ln3ln Q P c =-?+，即P c Q -=3。又由题知1000==Q P 时，,解得100=c ，所以，厂商B 的需求曲线为P Q -?=3100。

结语

随着社会的发展，数学的应用范围越来越广泛，罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之小，火箭之速，化工之巧，地球之变，生命之谜，日用之繁，无处不用数学。”经济学尤为如此，而微分方程作为高等数学的重要组成部分，已经成为经济工作者和决策者解决实际问题的重要工具之一。

从上述的各个模型和分析可以看出，经济问题往往复杂而且不便理解，文字和图示只能解决表面现象，而且很难理清经济要素之间的关系。将数学应用到经济学中不仅能启迪思维，解释经济现象，给出数量的刻划，而且已经成为人们创造财富和防范风险的有力武器。