数理统计作业答案

数理统计作业答案 The manuscript was revised on the evening of 2021

1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（ D ）。

（A ）

∑=-n

i i X n

12

2

)(μσ是统计量 （B ）

∑=n

i i X n

1

2

2

σ是统计量

（C ）

∑=--n

i i

X n 1

2

2

)(1

μσ是统计量 （D ）

∑=n

i i

X n

1

2μ

是统计量

2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则

Y

X 3服从（ C ）。

3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χ

服从（ C ）。 4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ A ）. 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，则下列随机变量是统计量的是（ B ）.

（A ）3/X σ； （B ）

4

1

4i

i X

=∑； （C ）σ-1X ； （D ）4

221

/i i X σ=∑

6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ C ）.

7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ???是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ C ） ( A ) . 12X X +

( B ) {}max

,15i X i ≤≤

( C ) 52X p + ( D ) ()2

51X X -

8、设1,,n X X ???为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。则2σ的最大似然估计量为（ B ）。

（A ）∑=-n i i X n 12

)(1μ （B ）()2

11∑=-n i i X X n （C ）∑=--n i i X n 12)(11μ（D ）()∑=--n i i

X X n 1

2

11 9、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X ???为样本，S X ,

分别为样本均值和标准差，则

服从（ D ）分布.

10、设1,,n X X ???为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。则2σ的置信度为

1α-的区间估计的枢轴量为（ C ）。 (A)

()

2

1

2

n

i i X μσ

=-∑ (B)

()

2

1

20

n

i i X μσ

=-∑ (C)

()∑=-n

i i

X X

1

2

2

1

σ

(D)

()

2

1

2

0n

i i X

X σ=-∑

11、在假设检验中，下列说法正确的是（ A ）。

(A) 如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错误； (B) 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错

误；

(C) 第一类错误和第二类错误同时都要犯；

(D) 如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误。

12、对总体2

~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义 是指这个区间（ D ）。

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值

(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含μ的值

13、设?θ是未知参数θ的一个估计量，若?E θ

θ≠，则?θ是θ的（ B ）。 (A)极大似然估计 (B) 有偏估计 (C)相合估计 (D) 矩法估计

14、设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中 正确的是( A ).

（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 15、设总体2~(,)X N μσ，2σ未知，12,,

,n X X X 为样本，2S 为修正样本方差，则检验

问题：00:H μμ=，10:H μμ≠（0μ已知）的检验统计量为（ D ）. （A

）

)

0X S μ-（B

）

)

0X μσ- （C

）

)

0X μσ-（D

）

)

0X S

μ-.

16、设总体X 服从参数为λ的泊松分布()P λ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，

则=X D /n λ．

17、设321,,X X X 为来自正态总体),(~2σμN X 的样本，若321cX bX aX ++为μ的一个 无偏估计，则=++c b a ___1__。

18、设),(~2σμN X ，而，，，，是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩 估计值为 。

19、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，μ未知。n X X X ,,,21 为来自总体的样本，则

对

假设20

2

0σσ=：H ；20

2

1σσ≠：H 进行假设检验时，通常采用的统计量是2

20

(1)n S σ

-，

它

服从2χ分布， 自由度为1n -。 20、设总体)4,1(~N X ,1210, ,

, X X X 为来自该总体的样本，10

1

110i i X X ==∑,则()D X =2/5

21、我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的特点是独立性，代表性 ． 22、已知0.9(8,20)2F =，则0.1(20,8)F = 1/2 ．

23、设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 21X - ． 24、检验问题：()()00:H F x F x =，()()00:H F x F x ≠（()0F x 含有l 个未知参数）的

皮尔逊2

χ检验拒绝域为 ()()2

211?1?r i i i i n np n l np αχ-=??-??>--??????

∑ ． 25、设621,,,X X X 为来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，设 若使随机变量CY 服从2χ分布，则常数=C 1/3 ．

26、设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度

为的置信区间是 (4.412, 5.588)（0.975 1.96μ=）.

27、若线性模型为()2

0,,n Y X E Cov I βεεεεσ=+?

?==?，则最小二乘估计量为 ()1

?X X X Y β

-''= ． 28、若样本观察值1,,m x x 的频数分别为1,,m n n ，则样本平均值为 1

1m

j j j x n x n ==∑ ．

29、若样本观察值1,

,m x x 的频数分别为1,

,m n n ，则样本方差为

2

2n 1

1()m

j i j s n x x n ==-∑ ．

30、设f （t ）为总体X 的特征函数，()1,

,n X X 为总体X 的样本，则样本均值X 的特征函数

为 n

t f n ??

?? ???????

．

31、设X 服从自由度为n 的2χ-分布，则其数学期望和方差分别是 n 、2n ．

32、设()2

i i X n χ，i=1，…，k ，且相互独立。则1k

i i X =∑服从分布 2

1k i i n χ=??

???

∑ ．

33、设总体X 服从均匀分布[0,]U θ，从中获得容量为n 的样本1,,n X X ，其观测值为1,,n x x ，

则θ的最大似然估计量为 ()n X ．

34、根据样本量的大小可把假设检验分为 大样本检验与小样本检验． 35、设样本1,

,n X X 来自正态总体()

2,N μσ，μ未知，样本的无偏方差为2S ，则检验

问题22

2200

10

:,:H H σσσσ≤>的检验统计量为 ()2

22

01n S χσ-=．

36、对试验（或观察）结果的数据作分析的一种常用的统计方法称为 方差分析法． 37、设1217,,

,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，

则a =___8__.（2

0.99

(16)32.0χ=） 38、设总体X 的密度函数为 ()36(),0;

0,.x

x x p x θθθ?-<

样本，则θ的矩估计量为___?2X θ

=__. 39、设总体X 的概率密度为(),

01,

1,

12,0,.

x p x x θθ<

=-≤

其他，其中θ是未知参数（0<θ<1）,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本，则θ的矩估计量为_3

2

X -__.

40、设总体X 的分布函数为

F （x ,β）=11,1,0,

1.x x x β?->?

??≤?

其中未知参数β>1，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本，则β的最大似然估计量

__1

?ln n

i

i n X β==∑___. 41、设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布2(,)N μσ，今随机地测量16个零件，得16

1

8i i X ==∑，16

21

34i i X ==∑. 在置信度下，μ的置信区间为_（0.2535,1.2535-）_.

42、设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为的置信区间是 (4.412, 5.588)（0.975 1.96μ=）.

43、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,

,X X 是来自总体的简

单随机样本。指出{}()2

12551,max ,15,2,i X X X i X p X X +≤≤+-之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？

解：{}()2

1251,max ,15,i X X X i X X +≤≤-都是统计量，52X p +不是统计量，因p 是未知参数。

44、设总体X 服从参数为（N ，p ）的二项分布，其中（N ，p ）为未知参数，

12,,

,n X X X 为来自总体X 的一个样本，求（N ，p ）的矩法估计。

解答：因为()

()()2

2

2

,1EX Np EX DX EX Np p Np ==+=-+，只需以2

1

1,n i i X X n =∑分别代

2

,EX EX 解方程组得22

2

??,1n n S X N p X S X

==--。 45、设12,,

,n X X X 是取自正态总体()2,N μσ的一个样本，试问()22

1

11n

i

i S X X n ==--∑是2σ的相合估计吗？ 解：由于

()2

2

1n S σ

- 服从自由度为

n-1的2χ-分布，故

()

()()4

4

2

2

2

2

2,2111ES DS n n n σσσ==?-=--， 从而根据车贝晓夫不等式有

(

)

()2

422

2

2

2001n DS P S n σσεεε

→∞

≤-≥≤

=???→-，所以()22111n i i S X X n ==--∑是2σ的相合估计。

46、设连续型总体X 的概率密度为()()2

2,0

,00, 0x

x e x p x x θθθθ-??>=>??≤?

, 12,,

,n X X X 来自总体

X 的一个样本，求未知参数θ的极大似然估计量?θ

，并讨论?θ的无偏性。 解：似然函数为

()()2

2

1

2

1

1

221

1

,ln ln ln ,

2n

i i i n

n

x x i

i

n

n

i

i i i n

i i x

x

x L e

e

L n x θ

θ

θθθθ

θθ

=--====∑==

=-+-

∏∑∏

∏()2

12

ln 2n

i

i x

d L n

d θθθθ

==-+∑

，令

()ln 0d L d θθ

=，得21

?2n

i

i X

n

θ==∑.由于

()2

222

2221

2200

11?222222n

x x i

i EX

x

x x E EX x e dx e d n

θ

θ

θ

θθθθ

θ

θ

-

-

∞

∞

======Γ=∑??

， 因此θ的极大似然估计量?θ

是θ的无偏估计量。 47、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 设钉长服从正态分布。 若已知σ=（厘米），试求总体均值μ的的置信区间。（0.95 1.65u =） 解：()221

0.01, 2.14 2.10 2.11 2.12516

x σ==+++=，置信度，即α=，查正态分布数

值表，知()()1/21.650.95u α-Φ=Φ=, 即()1.6510.90P U α≤=-=,从而

1/20.95 1.65u u α-==

1/2 1.650.004α-=

=，所以总体均值μ的的置信区间为 48、甲、乙两台机床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布()211,N μσ与

()222,N μσ，为比较两台机床的加工精度有无显着差异。从各自加工的轴中分别抽取若干根轴测其直径，结果如下：

()()0.9750.9756,7 5.12,7,6 5.70.F F ==）

解：首先建立假设： 在n=8，m=7, α=时,

故拒绝域为{}0.195, 5.70F or F <>, 现由样本求得2

1s =，2

2s =，从而F=，未落入拒绝域，因而在

α=水平上可认为两台机床加工精度一致。

49、为了检验某药

物是否会改变人的血压，挑选10名试验者，测量他们服药前后的血压，如下表所列： 假设服药后与服药前血压差值服从正态分布，取检验水平为，从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论？

解：以X 记服药后与服药前血压的差值，则X 服从()2,N μσ，其中2,μσ均未知，这些资料中可以得出X 的一个样本观察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2

待检验的假设为

01:0,:0H H μμ=≠ 这是一个方差未知时，对正态总体的均值作检验的问题，因此用t

检验法当

()1/21T t n α-=

≤-时，接受原假设，反之，拒绝原假设。依次计算有

()()()

(

)2

2

21

1687

2 3.1,6 3.12 3.117.6556101

x s =

++++==-++-=-，

2.3228t =

=，

由于()()1/20.97519 2.2622t n t α--==， T 的观察值的绝对值 2.3228 2.2622t =>. 所以拒绝

原假设，即认为服药前后人的血压有显着变化。

50、为了研究患慢性支气管炎与吸烟量的关系，调查了272个人，结果如下表：

试问患慢性支气管炎是否与吸烟量相互独立（显着水平α=）

解：令X=1表示被调查者患慢性气管炎，X=2表示被调查者不患慢性气管炎，Y 表示 被调查者每日的吸烟支数。

原假设H 0：X 与Y 相互独立。根据所给数据有：

51、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：

求样本容量n ，样本均值和样本方差。

解：样本容量为n=100，样本均值，样本方差，样本修正方差分别为 52、设总体服从泊松分布P （λ），1,,n X X 是一样本：

（1）写出1,

,n X X 的概率分布；

（2）计算2

,n EX DX ES 和；

（3）设总体容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8）试计算样本均值, 样本方差和次序统计量的观察值。

（1）写出1,

,n X X 的概率分布；

解：

,2,1,0,!

!

)(,2,1,0,,2,1,0,!

)(1

1

1

n 11

==

=======

=-=∑-==-∏∏

∏=i n n

i i

x x

i i x

i i n

i i i i i x

i i x e

x e

x x X p n i x X P X X x e x x x P i

n

i i

i

λ

λ

λλ

λλλ）（的概率分布为

所以因为：

（2）计算2

,n EX DX ES 和；

解：λλλλn

n DX n n ES n n DX X D EX X E DX EX n 11,,,2

-=-===

====所以因为 （3）设总体容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8）试计算样本

均值, 样本方差和次序统计量的观察值。 解：

53、设17,,X X 为总体X 服从()0,0.25N 的一个样本，求7214i i P X =??

> ???

∑.

（()2

0.975716.0128χ=）

解： 因每个i X 与总体X 有相同分布，故020.5i i X X -=服从()0,1N ，则2

77

211

040.5i i i i X X ==-??

= ???∑∑服从自由度n=7的2

χ-分布。因为77722211144161416i i i i i i P X P X P X ===??????

>=>=-≤ ? ? ???????∑∑∑，查表

可知()2

0.975716.0128χ=, 故72140.025.i i P X =?

?>= ???

∑

54、设总体X 具有分布律

其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x 1=1，x 2=2，x 3=1，试求θ的最大似然估计值。

解：似然函数}1{}2{}1{}{)(3213

1

======

∏=X P X P X P x X

P θL i i i

ln L (θ )=ln2+5ln θ+ln(1－θ) 求导

011

65)(ln =--=θ

θd θL d 得到唯一解为6

5

?=θ

55、求均匀分布],[21θθU 中参数21,θθ的极大似然估计． 解：由X 服从[a ，b]上的均匀分布，易知

()()2

2

2

2,2122b a a b a b EX EX DX EX -++??==+=+ ???

求a ，b 的矩法估计量只需解方程(

)

2

2????,2

12

n b a a

b X S -+==

,

得??,n n

a X

b X == 56、为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A 的9个学生，得

分数的平均值为31.81=A x ，方差为76.602

=A

s ；随机地抽取学校B 的15个学生，得分数的平均值为61.78=B x ，方差为24.482

=B

s 。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。求均值差B A μμ-的置信水平为的置信区间。（()0.975227.266t =）

解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差B A μμ-的置信水平为的置信区间为

57、设A ，B 二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，

其测量值的修正方差分别为220.5419,0.6065A B s s ==，设2A σ和2B σ分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比22

/A B σσ的的置信区间。

解：n=m=10, 1-α=，α=,

()()()()

1/20.975/21/21

1,19,9 4.03,1,10.24181,1F n m F F n m F m n ααα----==--==--,

从而

(

)()22221/2/211

0.541910.54191,,1,11,10.60654.030.60650.241[0.2223.601]8A A B B S S S F n m S F n m αα-????==????----????，故方差比22

/A B σσ的的置信区间为[，]。

58、某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差66.1=σ，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下：146，141，135，142，140，143，138，137，142，136

设样本来自正态总体),(2σμN ，2,σμ均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设

（取05.0=α）：22122066.1:,66.1:≠=σσH H 。

解答：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。 检验统计量为

2

2

2

66.1)1(S n -=χ。

代入本题中的具体数据得到2

2

(101)12

39.1931.66

-?χ=

=。 检验的临界值为022.19)9(2

975.0=χ。

因为2

39.19319.022χ=>，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设0H ，即认为电池容量的标准差发生了显着的变化，不再为。

59

试在α=水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。（()2

0.9537.815χ=）

解：这是列联表的独立性检验问题。在本题中r=2，c=4，在α=下，

()()()()22

0.950.95

1137.815r c χχ--==, 因而拒绝域为：{}27.815W χ=≥. 为了计算统计量，可列成如下表格计算

../i j n n n ?：

()()()2

2

2

24036.82023.2625644.47.23636.8

23.2

644.4

χ---=

+

+

+

=,

由于2

χ=<，样本落入接受域，从而在α=水平上可认为失业人员的性别与文化程度无关。

60、设总体X 具有贝努里分布b （1，p ），p ∈Θ=（0，1），1,

,n X X 是一样本，试求p 的无偏

估计的方差下界。

解： 由于(), 1

,,1, 0p x f x p p x =?=?-=?

容易验证定理的条件满足，且

()()()()2

1

0ln ,1,1i i x f x p I p f x p p p p =???==

??-??

∑，

所以方差下限是()()11

p p nI p n

-=

. 大家知道11n i i v

X X n n ===∑ (ν表示“１”发生的频率)是p 的无偏估计，而()

1p p p D X n

-=

达到罗－克拉美不等式的