几个重要不等式及其应用
几个重要不等式及其应用
一、几个重要不等式
以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。 1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式
设12,,
,n a a a 是非负实数，则
12
n
n a a a n
++
+≥
2、柯西（Cauchy ）不等式
设,(1,2,
)i i a b R i n ∈=，则2
22111.n n n i i i i i i i a b a b ===??????
≥ ??? ???????
∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使
,1,2,
,.i i b a i n λ==
变形（Ⅰ）：设+
∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===???
??≥n
i i
n i i n
i i
i b a b a 1
2
112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,
,.i i b a i n λ==
变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===??? ??≥n i i
i n i i n
i i
i b a a b a 1
2
11。等号成立当且仅当n b b b === 21 3．排序不等式
设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121?≤?≤≤≤?≤≤是n ,,2,1?的一个排列，则
n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当
n a a a === 21或n b b b === 21。（用调整法证明）.
4．琴生（Jensen ）不等式
若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *
()n N ∈有
()()()12121
(
).n
n x x x f f x f x f x n
n ++
+≤
+++???
?等号当且仅当n x x x === 21时取得。
（用归纳法证明）
二、进一步的结论
运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到
的效果。
1. 幂均值不等式
设0>>βα，),,2,1(n i R a i =∈+
，则
ββ
β
β
β
α
α
α
ααM n a a a n a a a M n
n
=???
? ??+++≥???
? ?
?+++=1
21
1
21 。 证：作变量代换，令i i x a =β
，则β
1
i i x a =，则
βα
β
αβ
αβαβα??? ??+++≥???
? ?
?+++?≥n x x x x x x n M M n n 21211① 0>>βα ，1>∴βα，又函数)1()(>=p x x f p 是()+∞,0上的凸函数，由Jensen 不等式知①式成立。
2.（切比雪夫不等式）
设两个实数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则
()()n n n
i i
n i i n n n b a b a b a n
n
b
n
a b a b a b a n
+++≤
?
≤+++∑∑==- 22111
1
11211
1
等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。 证：由排序不等式有：
n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++- 221122111121， n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++- 2211132211121，
……………………………………………………………………………
n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++-- 221111211121
以上n 个等式相加即得。 3. 一个基础关系式
y x y x )1(1αααα-+≤-，其中]1,0[,0,∈>αy x
证：若x,y 中有一个为0，则显然成立。
设x,y 均不为零，则原不等式ααα
-+???? ??≤???? ???1y x y x ，令t y x =，则上式)1(ααα
-+≤?t t ，记αααt t t f --+=)1()(，则1)(--='αααt t f ，因此，当1>t 时，0)(>'t f ，当10≤ 且0)1(='f ，所以)(t f 得极小值为0)1(=f ,故0)1(≥--+α ααt t ，即y x y x )1(1ααα α -+≤-. 4. Holder 不等式 设1,),,2,1(0,≥=≥q p n k b a k k 且 11 1=+q p ，则 q n k q k p n k p k n k k k b a b a 11111?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 等号成立当且仅当存在R t ∈使得),,2,1(n k tb a q k p k ==。 证: 在上面基础关系式中，取,,,1q k p k B y A x p === α有q k p k k k B q A p B A 1 1+≤……① ① 式两边对k 求和，得：∑∑∑===+≤n k q k n k p k n k k k B q A p B A 111 11,令q n k q k k k p n k p k k k b b B a a A 1111,?? ? ??= ?? ? ??= ∑∑==, 代入上式即证。 5. 一个有用的结论 设+ ∈R b a i i ,，则 ∏∏∏===+≥+n i n i n i n i n i n i i b a b a 1 11 11 1)(，推广得 设),,2,1,,,2,1(,n j n i R a ij ==∈+ ，则 ∑∏∏∑====≥n j n n i ij n i n n j ij a a 1 11 1 11 )()(. 证：原不等式1)(11 121≤+++? ∑∏==n n j n i in i i ij a a a a , 而)(1)(1211121∑∏==+++≤++n i in i i ij n n i in i i ij a a a a n a a a a ∑∑∑∏====+++≤+++∴n j n i in i i ij n n j n i in i i ij a a a a n a a a a 112111121) (1)( 11 11)(111121=?==+++=∑∑∑===n n n a a a a n n i n i n j in i i ij ,它可把含根式的积性不等式化为和式。 三、如何运用几个重要不等式 例1 设+ ∈R c b a ,,且1=abc ，求证：3 33222c b a c b a ++≤++。 证：由柯西不等式有2 22 2 3 3 3 )())((c b a c b a c b a ++≥++++…① 而≥++++=++))(111()(3222222222c b a c b a ≥++2 )(c b a 33)(abc c b a ?++ )(3c b a ++≥，即c b a c b a ++≥++222…② 由①②有：≥++++))((3 3 3 c b a c b a ))((2 2 2 c b a c b a ++++,∴3 33222c b a c b a ++≤++ 方法二：由幂均值不等式有： =++≥++232223 3 3 )3(3c b a c b a )3 (3222c b a ++2 1 222)3( c b a ++ 2222 132 2222 2 33)(c b a c b a c b a ++=??? ? ? ?++≥。 方法三：由切比雪夫不等式和AM-GM 不等式有：不妨设c b a ≤≤，则 ≥ ++++≥++3 ))((2223 3 3 c b a c b a c b a 222322233)(c b a abc c b a ++=?++ 例2 设1), ,,2,1(,01 ==>∑=n i i i x n i x ，求证：1 11 1 -≥-∑ ∑ ==n x x x n i i n i i i 证：左边= ∑∑ ∑ ∑====---≥---n i i n i i n i n i i i x x n x x 1 1 2 1 1 11111 2 11 2 11 1 2 12 11 2 ))1(()1()) 1(()1(∑∑∑∑====---≥ n i i n i n i i n i x x n 1 1 ) 11(1 )1()1(1 2 22 -≥ -++?= -=---=∑ ∑=n x n x n n n n n n n n i i i 。 评注：通过此例注意体会如何运用柯西不等式分离或合成变量。 例3 设1,,,,=∈+ abcd R d c b a ，求证： ∑≥+2)1(1 b a 证：设),,,(,,,,+∈==== R w z y x x w d w z c z y b y x a ，则原不等式 ∑∑∑ ≥+?≥+?≥+?2111 2)(2)1(1z y x z y x yz z y y x ，由Cauchy 不等式有： 212121212121 )11(1)1(1112 2 =+≥ += +≥+∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑xy xy xy xy xy x z y x x z y x ，故原不等式成立。 评注：本题通过换元，把原不等式齐次化，再用柯西不等式。 例4 设n 是正整数，且n k a k ,,2,1,0 =>， 11 =∑=n k k a ，求证：n n k k n a n )22()1 2(1 -≥+ -∏= 证：原不等式22)1 2(1 1 -≥+-?∏=n a n n k n k ，由“二，结论5” 有 n k n k n n k n k a n n n n a n 1 1111)11212()12(+--+--≥+-?∏∏=-= 个 n n n n n n n a a a n a a a n n n n 21212 121)12()12(+ -=+--++--≥，又n n n i i a a a n a 211≥∑=， n a n a a a n i i n n =≥∴ ∑=1 211 ，故n n n k k n n n a n )22()2()1 2(1 -≥+-≥+ -∏=。 评注：本例第一步放缩也可用Holder 不等式的推广。 例5 设,...,21a a 是一个无穷项的实数列，对于所有正整数i 存在一个实数c ，使得c a i ≤≤0 且j i a a j i +≥ -1 对所有正整数)(,j i j i ≠成立，证明：.1≥c 证： 对于2≥n ，设(1),(2),...,()n ρρρ为n ,...2,1的一个排列且满足： (1)(2)()0...n a a a c ρρρ≤<<<≤. ∴()(1)()(1)()n n n c a a a a ρρρρ-≥-=-+(1)(2)()n n a a ρρ---+(2)(1)...()a a ρρ+- 1 ()(1)n n ρρ≥++-1(1)(2)n n ρρ+-+-1 ...(2)(1) ρρ++…① 2 1 (1)2()(1)() n i n i n ρρρ=-≥--∑（柯西不等式） ∴2(1)(1)(1)()n c n n n ρρ-≥+--22(1)3n n n -≥+-3 4 131+- =+-≥n n n .故.1≥c 评注：这里把i a 有序化后，①的变形是关键。 例6 设a , b , c 为正实数，求证 a 2b + b 2c + c 2 a ≥ a + b + c + 4(a －b ) 2a + b + c ，并确定等号成立的条件． 证：由于 a 2 b + b 2 c + c 2a －a －b －c = ( a 2b + b －2a ) + ( b 2c + c －2b ) + ( c 2 a + a －2c ) = 1b (a －b ) 2 + 1c (b －c ) 2 + 1 a (c －a ) 2 … ① 而由Cauchy 不等式有 [ 1b (a －b ) 2 + 1c (b －c ) 2 + 1 a (c －a ) 2 ]( b + c + a ) ≥ (|a －b | + |b －c | + |c －a | ) 2 … ② 且由 |a －b | + |b －c | + |c －a | ≥ |a －b | + |(b －c ) + (c －a )| = 2|a －b | 知 (|a －b | + |b －c | + |c －a | ) 2 ≥ 4(a －b ) 2 … ③ 结合①②③可得 a 2 b + b 2 c + c 2a －a －b －c ≥ 1a + b + c (|a －b | + |b －c | + |c －a | ) 2 ≥ 4(a －b ) 2a + b + c … ④ 由④便知题目中的不等式成立．若题中不等式取等号，即④取等号．故不等式②与③皆取等号． 由②式取等号知，存在k ≥ 0，使得 1b (a －b ) 2 = bk , 1c (b －c ) 2 = ck , 1 a (c －a ) 2 = ak ， 即(a － b ) 2 = b 2 k , (b － c ) 2 = c 2 k , (c －a ) 2 = a 2 k … ⑤ 由③式取等号知 b －c 与c －a 同号，从而三个数b －c , c －a , b －a 同号，结合⑤知存在实数l ，使得b －a = bl , b －c = cl , c －a = al … ⑥ 由⑥知 l = 1－a b = b c －1 = c a －1 … ⑦ 由⑦可得 b c = c a ，记 b c = c a = x ，则c = ax , b = ax 2，再由⑦式中 1－a b = b c －1得 1－1 x 2 = x －1即 x 3－2x 2 + 1 = 0．故(x －1)(x 2－x －1) = 0． 结合x > 0可解得 x = 1或x = 1 2 (1 + 5 )．故a : b : c = 1 : x 2 : x = 1 : 1 : 1 或1: 12 ( 3 + 5 ) : 1 2 (1 + 5 ) … ⑧ 又当a , b , c 满足条件⑧时，容易难题目中不等式确实取等号．故⑧即为题中不等式取等号的充要条件． 评注：①式的变形非常漂亮，是解题的关键所在。 例7 在ABC ?中，求证： ∑∑≥B A A 222 cos cos 4cos 证：在ABC ?中，令222a c b -+=α，222b c a -+=β，222c b a -+=γ，则原不等式 ∑∑+++≥++?) )(()(4))((2222γβγαβαβαγαβαα， 由AM-GM 不等式有： =++≤+++∑∑))(())(()(4222γαβααβγβγαβαβα∑++))((2 γαβαα，即证。 评注：在ABC ?中令,,,z y a z x b x y c +=+=+=则有以下结论： )(z y x xyz S ABC ++= ?，外接圆半径∑∏+= x xyz y x R 4)(，内切圆半径∑ =x xyz r ， ) )((2sin z x y x x xyz A ++?= ∑，) )((cos z x y x yz x x A ++-?= ∑。 例8 设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;;c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+求函数 z z y y x x z y x f +++++=111),,(2 22的最小值. 解：由已知条件三式解出 ??? ? ? ? ???-+= -+=-+=ab c b a z ac b c a y bc a c b x 222222222222 令2 22a c b -+=α，2 2 2 b c a -+=β，2 2 2 c b a -+=γ。从而可知 ))((γαβαα++= x ，))((αβγββ++=y ，) )((βγαγγ++=z （易知+ ∈R γβα、、） ) )((1) )((12 2γαβααγαβαα+++++= +x x =))(())((2γαβααγαβαα+++++ 从而=),,(z y x f ∑))(())((2 γαβααγαβαα+++++ ≥∑∑∑+++++) )(())(()(2γαβααγαβαα （柯西不等式）。 下证.2 1 ),,(≥ z y x f 只需证 ∑∑∑+++++) )(())(()(2 γαβαα γαβαα2 1≥ ∑∑∑∑∑++++≥+?))((34222γαβαααβααβα ∑∑∑++≥+?))((2γαβαααβα ………（*） 利用均值不等式知： ∑∑∑∑+=++? ≤++αβαγ βααγαβαα22 2))((，从而（*）式成立， 故知.21),,(≥z y x f 而当21===z y x ，即c b a ==时，21 32 1141 ),,(=?+=z y x f . 从而),,(z y x f 的最小值是2 1 . 评注：这是2005年的联赛试题，巧妙地代数换元后，避免了三角变形的麻烦。 例9 设a 1, a 2, …, a n 为大于等于1的实数，n ≥ 1，A = 1 + a 1 + a 2 + … + a n ．定义x 0 = 1, x k = 11 + a k x k －1 (1 ≤ k ≤ n )．证明：x 1 + x 2 + … + x n > n 2 A n 2 + A 2 ． 证：设y k = 1x k ，则 1y k = 11 + a k y k －1 ? y k = 1 + a k y k －1 ．由y k －1 ≥ 1, a k ≥ 1可得 ( 1 y k －1 －1)(a k －1) ≤ 0 … (*) ? 1 + a k y k －1 ≤ a k + 1y k －1 ．所以 y k = 1 + a k y k －1 ≤ a k + 1y k －1 ． 故 ∑k = 1n y k ≤ ∑k = 1n a k + ∑k = 1n 1 y k －1 = ∑k = 1n a k + 1y 0 + ∑k = 1n 1y k = A + ∑k = 1n －1 1 y k < A + ∑k = 1n 1y k ． 令t = ∑k = 1n 1y k ，由柯栖不等式有 ∑k = 1 n y k ≥ n 2 t ．因此，对t > 0，有 n 2t < A + t ? t 2 + At －n 2 > 0? t > －A + A 2 + 4n 2 2 = 2n 2A + A 2 + 4n 2 ≥ 2n 2 A + A + 2n 2A = n 2 A n 2 + A 2 ． 评注：本题巧妙地运用函数方法，(*)式值得注意，是一种常见的放缩手段． 例10 设a i > 0 (i = 1, 2, …, n )，∑i = 1 n a i = 1，k ∈ N + ．求证 (a 1k + 1a 1 k )(a 2k + 1a 2 k ) … (a n k + 1 a n k ) ≥ (n k + 1 n k ) n ． 证：首先证明函数 f (x ) = ln (x k + 1 x k )在区间(0, 1]上是下凸函数．事实上，由于 f ' (x ) = 1 x k + 1x k (kx k －1 －kx －k －1 ) = k ·x 2k －1x 2k + 1 + x , f '' (x ) = k ·1(x 2k + 1 + x ) 2 ( 2k ·x 2k － 1 (x 2k + 1 + x )－(x 2k －1)( (2k + 1)x 2k + 1 ) ) = k (x 2k + 1 + x ) 2 ( (2kx 4k + 2kx 2k )－( (2k + 1)x 4k －2kx 2k －1) ) = k (x 2k + 1 + 2) 2 (－x 4k + 4kx 2k + 1) … ① 当0 < x ≤ 1时，由于k ∈ N + ，故－x 4k + kx 2k + 1 = －(x 2k －2k ) 2 + 4k 2 + 1 > －(2k ) 2 + 4k 2 + 1 > 0． 故由①知 f '' (x ) > 0 (x ∈ (0, 1])．故 f (x )在(0, 1]上为下凸函数。 由于a i > 0, a 1 + a 2 + … + a n = 1 (i = 1, 2, …, n )，故a i ∈ (0, 1]．从而由Jensen 不等式有 1n ( f (a 1) + f (a 2) + … + f (a n ) ) ≥ f ( 1n (a 1 + a 2 + … + a n ) ) = f ( 1 n )， 即 f (a 1) + f (a 2) + … + f (a n ) ≥ n f ( 1 n )． 故 ln (a 1k + 1a 1k ) + ln (a 2k + 1a 2k ) + … + ln (a n k + 1a n k ) ≥ n ln ( ( 1n ) k + 1 ( 1n ) k )． 即 ln (a 1k + 1a 1 k )(a 2k + 1a 2 k ) … (a n k + 1a n k ) ≥ ln ( 1 n k + n k ) n ． 从而 (a 1k + 1a 1 k )(a 2k + 1a 2 k ) … (a n k + 1a n k ) ≥ ( 1 n k + n k ) n ．证毕． 另证：由H?lder 不等式得 ∏i = 1n (a i k + 1 a i k ) ≥ ((∏i = 1 n a i ) k n + 1 (∏i = 1 n a i ) k n ) n ． 又∵ ∏i = 1n a i ≤ ( ∑i = 1 n a i n ) n = ( 1n ) n < 1，且 f (x ) = x + 1 x 在(0, 1)上单减．∴ ((∏i = 1 n a i ) k n + 1 (∏i = 1 n a i ) k n ) n ≥ ( ( 1n ) n ·k n + 1( 1n ) n · k n ) n = ( 1n k + n k ) n ，得证． 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A. 伯努利不等式 概念 伯努利不等式： 对任意整数0≥n ，和任意实数1->x ， 有nx x n +≥+1)1(成立； 如果0≥n 是偶数，则不等式对任意实数x 成立。 可以看到在1,0=n ，或0=x 时等号成立； 而对任意正整数2≥n 和任意实数0,1≠-≥x x ，有严格不等式：nx x n +>+1)1(。 伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。 伯努利不等式的一般式为： )1()1)(1()1(2121n n x x x x x x +++≤++++ ，当且仅当n=1时等号成立。 证明 设+∈≥≠->N n x x 2,0,1，则nx x n +≥+1)1(。 证 用数学归纳法证明。 当1=n 时，易知上述不等式成立， 设对1-n ，有：x n x n )1(1)1(1-+≥+-成立，则 []nx x nx nx x n x x n x x n x x x n n +≥-++=-++-+=+-+≥++=+-11)1()1(1) 1()1(1) 1()1()1(2 221 即+∈?N n ，1->x ，有nx x n +≥+1)1(。 推广 下面把伯努利不等式推广到实数幂形式： 若0≤r 或1≥r ，有rx x r +≥+1)1(； 若10≤≤r ，有rx x r +≤+1)1(。 证 通过微分进行证明。 如果1,0=r ，则结论是显然的。 如果1,0≠r ，作辅助函数)1()1()(rx x x f r +-+=，那么r x r x f r -+?=-1)1()('，则00)('=?=x x f ； 下面分情况讨论： 1. 10< 均值不等式的四种变形及其应用 定理：如果,a b R ∈，那么22 2a b ab +≥（当且仅当a b =取等号）。 这个定理至少有四种变式。 例如 一 第一种变式为2 2 2 2()()a b a b +≥+ 它是怎样用定理“如果,a b R ∈，那么22 2a b ab +≥（当且仅当a b =取等号），”推导 出来的呢？只要在么222a b ab +≥的两边同时加上22 a b +可推出为2 2 2 2()() a b a b +≥+它可以用中文数学语言叙述成“两个非负数的平方和的2倍不小于这两个非负数的和的平方。”什么时候用这一均值不等式的变式呢？凡带有根号形式的不等式证明题可用此第一种变式。 例1设0,0a b >>，1a b +=≤ 证明：2 2(2121)22(1)8a b a b ≤+++=?++= ≤ 例2设x,y 均为正数,10=- y x 且,求证:x-2y 200 ≤（1987年列宁格勒数学奥林匹克试题）.证明：用均值不等式的变形公式（)(2)2 2 2 b a b a +≤+ y y y x y x y x 2200)100(2)10(10102+=+≤+=?+=?=- 移项得x-2y 200≤. 例3 若a,b,c + ∈R 且a+b+c=1,求证:21141414≤++++ +c b a . 证明:用三元均值不等式的变形公式)(3)(2 2 2 2 c b a c b a ++≤++ .21)141414(3)141414(2=+++++≤+++++c b a c b a 两边开方得出21141414≤++++ +c b a 例4 若a,b,c,d +∈R 且a+b+c+d=1求证:2414141414≤++++++ +d c b a 证明: 用四个变量均值不等式的变形公式)(4)(2 2 2 2 2 d c b a d c b a +++≤+++ 32]4)(4[4)14141414(2=++++≤+++++++d c b a d c b a . 两边开方得出所要证的结果. 专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值 【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果 设X为一n维赋范空间，其范数定义为, 1≤p<∞，证明以下命题： 1. ||x||2≤||x||1≤; 2. ||x||p≤||x||1； 3. ||x||q≤||x||p≤，p 从上图可以看出f(x)在x=0时为1，先上升，在x=1达到最大值2p-1，然后下降，但始终≥1。所以有，即，令x=b/a，有a p+b p≤(a+b)p，同理，使用归纳法可 证明：|x1|p+|x2|p+…+|x n|p≤(|x1|+|x2|+…+|x n|)p②(|x1|p+|x2|p+…+|x n|p)1/p≤|x1|+|x2|+…+|x n| 也即||x||p≤||x||1成立。 3. 先证||x||q≤||x||p (p 几个重要不等式及其应用 一、几个重要不等式 以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。 1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式 设12,,,n a a a L 是非负实数，则12n a a a n +++≥L 2、柯西（Cauchy ）不等式 设,(1,2,)i i a b R i n ∈=L ，则2 22111.n n n i i i i i i i a b a b ===?????? ≥ ??? ??????? ∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使 ,1,2,,.i i b a i n λ==L 变形（Ⅰ）：设+ ∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===??? ??≥n i i n i i n i i i b a b a 1 2 112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==L 变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===??? ??≥n i i i n i i n i i i b a a b a 1 2 11。等号成立当且仅当n b b b ===Λ21 3．排序不等式 设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121?≤?≤≤≤?≤≤是n ,,2,1?的一个排列，则 n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ΛΛΛ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当 n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21。（用调整法证明）. 4．琴生（Jensen ）不等式 若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈Λ* ()n N ∈有 ()()()12121 ( ).n n x x x f f x f x f x n n +++≤+++??? ?L L 等号当且仅当n x x x ===Λ21时取得。（用归纳法证明） 二、进一步的结论 运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到 的效果。 1. 幂均值不等式 设0>>βα，),,2,1(n i R a i Λ=∈+ ，则 幂平均不等式 幂平均定义：如果p 是一个非零实数，我们可以定义正数12,,,n a a a ???指数为p 的幂平均为 1 1212(,,,)()p p p p n p n a a a M a a a n ++???+???=。 同时定义：012120 (,,,)lim (,,,)n p n p M a a a M a a a →???=???= 幂平均不等式： 如果p q <，则1212(,,,)(,,,)p n q n M a a a M a a a ???≤???， 当且仅当12n a a a ==???=时等号成立。 11 1212()()p p p q q q p q n n a a a a a a p q n n ++???+++???+ 2 第二节基本不等式及其应用 考纲解读 a + b I — 了解基本不等式 ab （a ，b ?R ）的证明过程. 2 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 利用基本不等式证明不等式 . 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多 章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断 ，求取值范围问题? 本专题知识的考查综合性较强 ，解答题一般为较难题目，每年分值为5 8分. 知识点精讲 1.几个重要的不等式 （1）a 2 启 0（a € R ）,需 兰 0（a 兰 0）, a 3 0（a w R ）. ④重要不等式串：-ab < 1 1 2 -+- 厶 a b 调和平均值 乞几何平均值 乞算数平均值 乞平方平均值（注意等号成立的条件）. 2?均值定理 已知 x ，y ?二 R X + V c s 2 （1）如果X y = S （定值），则xy 乞（ ）2 （当且仅当“ x = y ”时取“ 2 4 大值”. （2）如果xy = p （定值）,则x ■ y _ 2、, xy 二2 p （当且仅当“ x = y ”时取“ =”）?即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证 . a 2 + b 2 1. 2 . （2）基本不等式：如果 a b a,b R ,则 2 ..ab （当且仅当“ a =b ”时取 ”）. 1 特例：a 0，a 2; a （3）其他变形： a b 「 （a, b 同号）. b a 2 2 （a +b ） 2 ①a b （沟通两和a b 与两平方和 2 2 （沟通两积ab 与两平方和a 2 b 2的不等关系式） ②ab 4 2 2 a - b 的不等关系式） 2 a + b ③ab 乞（ ）2 （沟通两积ab 与两和a b 的不等关系式） 2 2 （a ，b R ）即 a 2 b ”）.即“和为定值，积有最 2021人教版新教材配套提升训练 提升训练2.7 均值不等式及其应用 一、选择题 1．已知x ＞0，函数9 y x x =+的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 2．已知1(0,)4 x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ． 14 B ． 16 C ． 18 D ． 110 3．()2 301x x y x x ++=>+的最小值是( ) A ．23 B ．231- C ．231+ D ．232- 4．已知a ，b 都为正实数，21a b ，则ab 的最大值是( ) A ． 29 B ． 18 C ． 14 D ． 12 5．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1 B ． C ．2 D ．4 6．若0,0,31x y x y >>+=，则11 3x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．12 x x C ．4 D ．23 7．若正数,m n 满足21m n +=，则11 m n +的最小值为 A ．322+ B ．32+ C ．222+ D ．3 8．若两个正实数x ，y 满足21 1x y +=，则2x+y 的最小值为（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 9．若正实数 满足 ，则（ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．有最小值 D ． 有最大值 10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（ ） A ． B ． C ． D ． 11．若正数a ，b 满足111a b +=，则1911 a b +--的最小值为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15 12．设，，均为正实数，则三个数，， ( ) A ．都大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于2 二、填空题 13．若0a >，0b >，25a b +=，则ab 的最大值为__________． 14．若a b >，则()8 2a b a b -+-的最小值为______． 15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________. 16．若，且 ，则 的最小值为_______． 三、解答题 17．已知正实数a ，b 满足 ，求 的最小值. 18．设,x y 都是正数，且12 3x y +=，求2x y +的最小值． 19．已知 ，求证： . 20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？ 21．已知 ， ． （1）求的最小值； 基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 伯努利不等式 数学中的伯努利不等式是说：对任意整数n≥0，和任意实数x≥-1，有 (1+x)^n≥1+nx 成立； 如果n≥0是偶数，则不等式对任意实数x成立。 可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1，x≠0，有 严格不等式： (1+x)^n＞1+nx。 伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。 证明 设x＞-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx. 证明: 用数学归纳法: 当n=1,上个式子成立, 设对n-1,有: (1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立, 则 (1+x)^n =(1+x)^(n-1)(1+x) >=[1+(n-1)x](1+x) =1+(n-1)x+x+(n-1)x^2 >=1+nx 就是对一切的自然数,当 x>=-1,有 (1+x)^n>=1+nx 下面把伯努利不等式推广到实数幂形式： 若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx 若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx 这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下： 如果r=0，1，则结论是显然的 如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么 f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 则f'(x)=0 <==> x=0; 下面分情况讨论： 1. 0 < r < 1，则对于x > 0，f'(x) < 0；对于? 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)^r ≤ 1+rx。 2. r < 0或r > 1，则对于x > 0，f'(x) > 0；对于? 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx 证毕 均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 目录 数学中常用不等式及其应用 (2) 1.前言 (2) 2.研究背景及研究意义 (3) 2.1 不等式研究背景 (3) 2.2 研究意义 (4) 3.高等数学常用不等式举例介绍 (5) 3.1柯西不等式 (5) 3.2拉格朗日中值定理 (5) 3.3均值不等式 (8) 4.数学中不等式的中的应用 (9) 4.1 构造条件不等式对命题进行证明 (9) 4.2 利用微分中值定理进行不等式命题的证明 (12) 5.总结 (15) 参考文献 (17) 数学中常用不等式及其应用 1.前言 正所谓“问渠那得清如许。为有源头活水来”。回顾我国建国近70年的发展历程，我国坚持把国民教育在经济和社会发展中优先发展的战略地位，并制定了优先发展教育和“科教兴国”的重大战略决策，促进教育的改革和发展。我国教育改革始终坚持党对教育的领导和政府对教育的统筹，切实保证“科教兴国”战略和教育优先发展地位的落实。在教育改革中义务教育是提高国民素质和发展教育事业的基础，是社会主义现代化建设的奠基工程，涉及广大人民群众的根本利益。没有一个好的底子，就不能决定以后的参天大树枝叶是否会繁密。中央确定把基础教育作为整个教育工作的重点，把“两基”作为当代教育发展的“重中之重”，这是我国教育发展的一个重要指导思想，是贯彻科教兴国战略的重大措施。自2008年秋季起国家在全国范围实施了义务教育，使许多贫困家庭的孩子都能够享受接受教育的权利。 回顾历史我们可以看到，从提出“两基”，到逐步明确“两基”目标和具体规划，是党和国家根据社会主义经济、政治和社会发展的客观需要，多年酝酿，逐步成熟，并适时做出的慎重决策。作为大学生的我们有责任也有义务为国家教育事业的发展做出自己的贡献，将我们学习到的知识应用到教育中去，而中学教育就是一个很好的切入点。随着知识经济时代的到来，教育迎来了新的挑战，国家开始注重创新教育，指出教育要把传授基础知识和逐步培养学生的创新意识和创造性思维结合起来，创造良好的教学环境，有意识的培养学生的创新意识，激发学生的创造动机，发展学生的创新能力，为国家培养出适应新世纪发展的一代新人。 不等式是数学基础理论的重要部分。不等式是刻画现实世界和日常生活、生产和科学研究中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，是研究数量关系和进一步学习数学的必备知识。此外，不等式在高中数学中占有举足轻重的地位，是学习数学及其他学科的基础知识。 泰勒公式在证明不等式中的几个应用 摘 要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。特别在高等数学范畴内，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用. 关键词：泰勒公式；偏导数；不等式 引言 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有 很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数]31[-.所以泰勒公式能很好的 集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾： 定理1[1] 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得： ()f x =()0f x +()0 ' f x 0 (x -x )+ ()0f''x 2! 02 (x -x )+???+ () () n f x n! 0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x = () (1) (1)! n f n ξ++称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即()f x = ()0f +()0' f x + ()02! f''2 x +???+ () () 0! n f n n x +0()n x . 2 泰勒公式在证明不等式中的应用 不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。不等式的内容也极其丰富，证明方法很多，而泰勒公式在证明不等式问题中起着举足轻重的作用。 2.1 泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用 对于被积函数具有二阶或二阶以上连续可导，且又知最高阶数符号的命题.通过作辅助 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 【知识梳理】 一、基本不等式的应用 基本不等式ab 2b a ,0b ,0a ≥+>>是证明不等式及求函数最值的重要工具，在新教材中 这一作用体现得更为明显。灵活使用基本不等式是成功解题的关键，使用时要注意“一正、二定、三相等”，下面介绍基本不等式的三种应用 。 （一）直接应用基本不等式 直接应用基本不等式是指题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。 例1. 已知a ，R b ∈，求证：12b a 1b 1a 2 22 2++≤+?+。 （二）间接应用基本不等式 间接应用基本不等式是指题中没有基本不等式的结构，或不满足“一正、二定、三相等”，这时需要对已知条件作结构变换，构造基本不等式结构模型，然后再使用基本不等式解题。 例2. 设x>0，求证： 231x 22x ≥++。 分析：由题意可知，若直接应用基本不等式，则无法证明，此时需对原不等式进行结构上的变换，创造条件使用基本不等式。 （三）两次应用基本不等式 连续两次应用不等式解题，使用时要注意等号要同时成立。 例3. 已知a ，+∈R b ，且a+b=1，求b 2a 1+的最小值。 例4. 设a>b>0，求 )b a (b 16a 2-+ 的最小值。 变式题1：若x> -1则x 取什么值时x+11 +x 的值最小？最小值是多少？ 变式题2：x>0时x x 1 2+的最小值为多少？何时取到？ 变式题3：x>0，当x 为何值时，22+=x x y 取到最大值？最大值是多少？ 变式题4：x>-1，当x 为何值时，11 2+++x x x 的值最小？最小值是多少？ 均值不等式总结及应用 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若 * ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则 2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=” ） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则 2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 说明： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” （3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 【解题技巧】 技巧一：凑项 例 已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?? 231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)
伯努利不等式
均值不等式的4种变形及应用yqh
基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)
几个范数不等式的证明
|≤||x||2||y||2，令x=( |x1|, |x2|,..., |x n|)，y=(1,1, (1) 可得(|x1|+|x2|+…+|x n|)≤(|x1|+| x2|+…+|x n|)1/2n1/2 ||x||1≤成立。 根据Jensen不等式，令α=2，β=1可以证明。 2. 令f(x)= p=1,f(x)=1，所以只考虑p>1的情况
几个重要不等式及其应用
幂平均不等式
基本不等式及其应用
2021人教版新教材高一数学配套提升训练《专题17 均值不等式及其应用》(原卷版)
(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析
伯努利不等式
均值不等式的应用(习题+答案)
数学中常用不等式及其应用
19泰勒公式在证明不等式中的几个应用
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
基本不等式及其应用
均值不等式的总结与应用