贝努利不等式在中学数学中的应用
贝努利不等式在中学数学中的应用举例
江西省都昌县第一中学
数学中许多著名不等式，在中学中应用极为广泛，原因在于这些不等式本身具有高度的概括性，它反映出数量间的某种本质联系，使得许多表面很难求解的问题，通过化归，往往能借助于它们，可以收到意想不到的效果。
现以贝努利不等式应用为例，作一点说明。
贝努利不等式 设x ＞0 ,则
(1)在0＜α＜1时，有x α≤1＋α(x －1),
(2)在α＜0或α＞1时，有x α≥1＋α(x －1)。
两个不等式中的等号仅当x ＝1时成立。
(3) α,λ＞0，n ∈N *,n ≥1,有αn ≥n λn －1α－(n －1) λn ,当且仅当α＝λ时(3)取等号。 推论1 若0,t n N *>∈且2n ≥，则(1)1n t n t -+≥，当且仅当1t =时等号成立
推论2 若1,x n N *>-∈且2n ≥
1x n
+当且仅当0x =时等号成立 例1 设 a b 、是两个不等正数，则2a b a b b a a b a b a b ++??>> ???
证 先证2a b a b a b a b ++??> ??? ∵122111a b a a a a b b a b +??????>++?- ? ? ?++?????? 1a b a b b
-=+= 同理可得: 12b a b b a b a +??> ?+??
, 22ab
a a b
ab b a b a a a b b b b a b a ++????∴> ? ?+????
???? > ? ?+????
∴a b a a ???
??+2·2b
b a b ??
?+??＞1 ∴2a b
a b a b a b ++??
> ??? 再证2a b
b a
a b a b ++??> ???(略)
例2 0,1,a a >≠设且则
)1(1222--+n n a a a ＞n n 1
+(n ∈N)
证 暂1,a >设由贝努利不等式知
121()12(1)n a n a ---<-- ∴211
1(1)2n a n a +->
又 21
2122()n n n n a a ++= ＞2211(1)2n
n a n ++-
221
11(1)(1)2n n
n a a n n +=+-+-
21
1
(1)n n a a n +>+- ∴2221
1(1)n n n a a a n ++>+-
22211
1,(1)n n a n a a a n +-+>∴>- 即在1a >时，不等式成立。
如果01a <<，则a 1
＞1，于是
22
2111
111n n a n n a a +??
- ?+??>??
??-?? ???????
即：22
211
(1)n n a n
n a a +-+>-
∴a ＞0，且a ≠1时，原不等式成立。
例3 (第26届美国竞赛题)对任意正实数,,a b c 求证： abc
abc a c abc c b abc b a 1111333333≤++++++++. 证明 由(3)，得
a 3≥3
b 2a －2b 3,
b 3≥3a 2b －2a 3,
将上面两式相加，并整理得
a 3＋
b 3≥a 2b ＋ab 2,
从而 a 3＋b 3＋abc ≥a 2b ＋ab 2＋abc,
所以 abc b a abc ++33≤abc ab b a abc ++22＝c
b a
c ++. 同理 abc c b abc ++33≤c
b a a ++， ab
c c a abc ++33≤c
b a b ++， 三式相加，
abc b a abc ++33＋abc c b abc ++33＋abc
c a abc ++33≤ c b a a ++＋c b a b ++＋c
b a
c ++＝1 所以3333331111abc a b abc b c abc c a abc
++++++++≤ 例4 (1990年日本IMO 选拔题)设x,y,z ＞0，且满足x ＋y ＋z ＝1.求
z
y x 941++的最小值。
分析 引入正参数λ，由(3)得
1＝12≥2(λx)·1－(λx)2，
4＝22≥2(λx)·2－(λx)2，
9＝32≥2(λx)·3－(λx)2，
上面三式取等号的条件分别为1＝λx,2＝λy,3＝λz,又x ＋y ＋z ＝1,所以取λ＝6. 解 由(3),得
z y x 941++≥()()()()()()366362626261622
22=-?+-?+-?x z z y y y x x x . 所以当，z y x 时2
1,31,61===z y x 941++取最小值36。 从不等式的结构形式上分析，可以看出，贝努利不等式给出了正数x 的幂x α(α≠1)与x 的一个一次式之间的不等式关系。因此，一个问题如果能转化为x α与x 一次式的不等关系，则大多能用贝努利不等式加以解决。
例1（前苏联数学竞赛）求证：10101sin cos 16
θθ+≥ 证 当sin θ或cos θ中有一个为0时，不等式显然成立.
当sin 0θ≠且cos 0θ≠时，由推论1，得
252252(2sin )5(2sin 1)1,
(2cos )5(2cos 1)1,
θθθθ-+-+≥≥
以上两式相加，得
10102232(sin cos )5(2sin 2cos 2)22θθθθ++-+=≥. 故10101sin cos 16
θθ+≥. 例2 （《数学通报》问题819题）设,,αβγ均为锐角，且222sin sin sin 1αβγ++=.
求证：333sin sin sin αβγ++证 由推论1，得 333()3(1)1sin sin αα
-+≥
即322sin αα
同理322sin ββ
322sin γγ 以上三式相加，得
333222
333
2(sin sin sin)sin sin)3
sin sin sin
αβγαβγ
αβγ
++++=∴++
例3 （《数学通报》问题794题）试证：
()
n N*
∈当且仅当1
n=时取等号
证原不等式等价于
2（1）
显然，当1
n=时（1）式中等号成立，当1
n≠是时，由推论2，得
1
1
1
1
n
n
<+
<-
以上两式相加，得
2
<
综上可知，（1）式成立，故原不等式成立.