《数值计算方法》试题集和答案解析

《数值计算方法》复习试题

一、填空题：

1、⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为

A ⎡⎤⎡

⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦。

答案：

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1556141501

4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得

⎰≈3

1

_________

)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.25

3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2

x 的系数为 ，

拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，

)2)(1(21

)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=

x x x x x x x L

4、近似值*

0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；

5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；

答案

)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---

=+

6、对1)(3

++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；

7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为

( 1

2+-n a b )；

9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为

( )]

,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h

y y )；

10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为

( 0.15 )；

11、 两点式高斯型求积公式⎰1

d )(x

x f ≈(

⎰++-≈1

)]

321

3()3213([21d )(f f x x f )，代数精

度为( 5 )；

12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均

不为零)。

13、 为了使计算

32)1(6

)1(41310--

-+-+

=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表

达式改写为

11

,))64(3(10-=

-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式

19992001-改写为 199920012

+ 。

14、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区

间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分⎰1

5

.0d x

x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，

用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

16、 求解方程组

⎩⎨

⎧=+=+0

42.01

532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为

⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2

)(2)1(1

k k k k x x x x ，该迭

代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121

。

17、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿

插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。

18、 求积公式

⎰∑=≈b

a k n

k k x f A x x f )(d )(0

的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具

有( 12+n )次代数精度。

19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求⎰5

1

d )(x

x f ≈( 12 )。

20、 设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。

21、如果用二分法求方程043

=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）

次。

22、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2

33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则

a =( 3 )，

b =（ 3 ），

c =（ 1 ）。

23、

)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点

n

x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则

∑==

n

k k

x l

0)((

1 )，

∑==

n

k k j

k x l

x 0

)((

j

x )，当

2

≥n 时

=

++∑=)()3(20

4x l x x

k k n k k

( 32

4

++x x )。

24、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]

0[111]

0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是

2 阶方法。

25、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导数。 26、改变函数

f x x x ()=+-1 (x >>1)的形式，使计算结果较精确

()x x x f ++=

11

。

27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10

次。

28、设

()⎩⎨⎧≤≤+++≤≤=21,10,22

3

3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则 a= 3 , b= -3 , c= 1 。 29、若用复化梯形公式计算

⎰

10

dx

e x ，要求误差不超过6

10-，利用余项公式估计，至少用 477

个求积节点。

30、写出求解方程组

⎩⎨

⎧=+-=+2

4.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式

()()

()() ,1,0,4.026.111112211=⎩⎨⎧+=-=+++k x x x x k k k k ，迭代矩阵为 ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛--64.006.10，此迭代法是否收敛 收敛 。 31、设

A =⎛⎝ ⎫

⎭⎪

5443,则=∞A 9 。

32、设矩阵482257136A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦的A LU =，则U =

4820161002U ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 。 33、若

4

321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。 34、数值积分公式1

12

18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++⎰的代数精度为 2 。 35、 线性方程组121015112103x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最小二乘解为 11⎛⎫ ⎪⎝⎭ 。

36、设矩阵

321204135A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦分解为A LU =，则U = 32141003321002⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣

⎦ 。 二、单项选择题：

1、 Jacobi 迭代法解方程组b x =A 的必要条件是（ C ）。 A ．A 的各阶顺序主子式不为零 B ． 1)(

n

i a ii ,,2,1,0 =≠ D ．

1

≤A

2、设

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=700150322A ，则)(A ρ为( C )． A ． 2 B ． 5 C ． 7 D ． 3 3、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。 A ． 2 B ．5 C ． 3 D ． 4

4、求解线性方程组A x =b 的LU 分解法中，A 须满足的条件是( B )。

A ． 对称阵

B ． 正定矩阵

C ． 任意阵

D ． 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A ． 6

B ． 5

C ． 4

D ． 7 7、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。 A ． 模型 B ． 观测 C ． 截断 D ． 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A ．控制舍入误差 B ． 减小方法误差 C ．防止计算时溢出 D ． 简化计算

9、用1+3x

近似表示3

1x 所产生的误差是( D )误差。

A ． 舍入

B ． 观测

C ． 模型

D ． 截断 10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8

11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。 A ． –0．5 B ． 0．5 C ． 2 D ． -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 2 13、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1

14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=ϕ(x)，则f(x)=0的

根是( B )。

(A) y=ϕ(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=ϕ(x)交点的横坐标 (C) y=x 与x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y=ϕ(x)的交点

15、用列主元消去法解线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧-=+--=-+-=+-1

340921433

21321321x x x x x x x x x ，第1次消元，选择主元为

( A ) 。

(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9

16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x －x2)…(x－xn －1)(x －xn)，

(B)

)!1()

()()()()1(+=

-=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x －x1)(x －x2)…(x－xn －1)(x －xn)， (D)

)

()!1()

()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=

-=ωξ

17、等距二点求导公式f '(x1) ≈( A )。

1011

0101

0010

101)()()

D ()()()

C ()()()

B ()

()()

A (x x x f x f x x x f x f x x x f x f x x x f x f +--+----

18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列

{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

)()()D (0

)()()C (0

)()()B (0

)()()A (0000<'<''>'>''x f x f x f x f x f x f x f x f

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并

建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

(A)

1

1:,1

1

12-=-=+k k x x x x 迭代公式

(B)21211:,11k

k x x x x +=+

=+迭代公式

(C)

3

/12123)

1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式

(D)

11:,12

2

12

3+++==-+k k k

k x x x x x x 迭代公式

20、求解初值问题⎩⎨

⎧=='0

0y x y y x f y )(),(欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差

是();四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( A )

(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)

21、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)

()1(收敛的充要条件是（ ）。

（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ

22、在牛顿-柯特斯求积公式：⎰

∑=-≈b

a

n

i i n i x f C a b dx x f 0

)()

()()(中，当系数)

(n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，

（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次

24、若用二阶中点公式))

,(2

,2(1n n n n n n y

x f h

y h x hf y y +++=+求解初值问题1)0(,2=

-='y y y ，

试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（

）。 (1)10≤

, (3)10<

251732.≈计算4

1)x =，下列方法中哪种最好？（ ）

(A)28- (B)24(-； (C ；。

26、已知330221224()()()x x S x x a x b x ⎧≤≤=⎨

-+-+≤≤⎩是三次样条函数，则,a b 的值为( )

(A )6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。

(A)； (B)； (C) ； (D ) 。

28、形如

112233()()()()

b

a

f x dx A f x A f x A f x ≈++⎰的高斯（Gauss ）型求积公式的代数精度为

（ ）

(A)9； (B)7； (C ) 5； (D) 3。 29

的Newton 迭代格式为( )

(A)

132k k k

x x x +=

+；(B )

1322k k k

x x x +=

+；(C)

122k k k

x x x +=

+；(D)

133k k k

x x x +=

+。

30、用二分法求方程3

2

4100x x +-=在区间12[,]内的实根，要求误差限为3

1102

ε-=⨯，则对分

次数至少为( )

(A )10； (B)12； (C)8； (D)9。

31、经典的四阶龙格—库塔公式的局部截断误差为 ( )

(A)4()O h ； (B)2()O h ； (C ) 5()O h ； (D)

3()O h 。 32、设

()

i l x 是以

019(,,,)

k x k k ==为节点的Lagrange 插值基函数，则9

()i

k kl k ==

∑( )

(A)x ； （B ）k ； （C ）i ； （D ）1。 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度 (A )5； (B)4； (C)6； (D)3。

34、已知

3

3

02

21224()()()x x S x x a x b x ⎧≤≤=⎨-+-+≤≤⎩是三次样条函数，则,a b 的值为( )

(A )6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。

35、已知方程3250x x --=在2x =附近有根，下列迭代格式中在02

x =不收敛的是( )

(A)1k x +=；

(B)1k x += (C )315k k k x x x +=--； (D)

312

2532k k k x x x ++=-。

(A ) 4； (B)2； (C)1； (D)3。

37、5个节点的Gauss 型求积公式的最高代数精度为( ) (A)8； (B )9； (C)10； (D)11。

三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打√，否则打⨯） 1、已知观察值

)

210()(m i y x i i ，，，，， =,用最小二乘法求n 次拟合多项式

)

(x P n 时，

)

(x P n 的次数n 可以任意取。 ( )

2、用1-22

x 近似表示cos x 产生舍入误差。 ( )

3、))(()

)((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( √ )

4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

( √ )

5、矩阵A =⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-521352113具有严格对角占优。 ( )

四、计算题：

1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++22

52182411

24321

321321x x x x x x x x x ，取T )0,0,0()

0(=x

，迭代四次(要

求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

⎪⎨⎧--=--=--=++++++)222(51)

218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)

(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x

2、求A 、B 使求积公式⎰-+-++-≈1

1)]21

()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量

高,并求其代数精度；利用此公式求

⎰

=2

1

1

dx

x I (保留四位小数)。

答案：2

,,1)(x x x f =是精确成立，即

⎪⎩⎪

⎨⎧=+=+322122

22B A B A 得98,91==B A

求积公式为

)]21

()21([98)]1()1([91)(1

1f f f f dx x f +-++-=⎰- 当3)(x x f =时，公式显然精确成立；当4

)(x x f =时，左=52，右=31。所以代

数精度为3。

69286.0140

97

]

3

21132/11[98]311311[9131111322

1

≈=

+++-++++-≈+=⎰⎰--=dt t dx x x t

3、已知

分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)

(3x P ，并求)

2(f 的近似值（保留四位小数）。

答案：

)53)(43)(13()

5)(4)(1(6

)51)(41)(31()5)(4)(3(2

)(3------+------=x x x x x x x L

)45)(35)(15()

4)(3)(1(4

)54)(34)(14()5)(3)(1(5

------+------+x x x x x x

差商表为

)

4)(3)(1(4)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P

5

.5)2()2(3=≈P f

4、取步长2.0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题

⎩⎨

⎧=+='1)0(32y y

x y )10(≤≤x

答案：解：

⎪⎩⎪⎨⎧+++⨯+=+⨯+=++++)]32()32[(1.0)

32(2.0)0(111)0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y

即

04

.078.152.01++=+n n n y x y

5、已知

求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。 答案：解：

正规方程组为

⎪⎩⎪

⎨

⎧=+==+41

34103101510520

120a a a a a

1411,103,710210=

==a a a

221411103710)(x x x p ++= x

x p 711

103)(2+=' 103

)0()0(2

='≈'p f 6

、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表

如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

答案：解： 应选三个节点，使误差

|)(|!3|)(|33

2x M x R ω≤

尽量小，即应使|

)(|3x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点

}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果

596274.063891.0sin ≈，

且

4

1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!

31

596274

.063891.0sin -⨯≤----≤

-

7、构造求解方程0210=-+x e x 的根的迭代格式

,2,1,0),(1==+n x x n n ϕ，讨论其收敛

性，并将根求出来，4

110||-+<-n n x x 。

答案：解：令

010)1(,

02)0(,210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x

.

且

010e )(>+='x

x f )(∞+-∞∈∀，对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为

)e 2(101

x x -=

则当)1,0(∈x 时

)e 2(101)(x x -=ϕ，110e 10e |)(|<≤-='x x ϕ

故迭代格式

)e 2(101

1n x n x -=

+

收敛。取

5

.00=x ，计算结果列表如下：

且满足 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x .

8﹑利用矩阵的LU 分解法解方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++20

5318252143232

1321321x x x x x x x x x 。

答案：解：

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==244132

11531

21LU A 令b y =L 得T )72,10,14(--=y ，y x =U 得T

)3,2,1(=x .

9﹑对方程组 ⎪⎩⎪

⎨⎧=-+=--=++8

41025410151023321321321x x x x x x x x x

（1） 试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由；

（2） 取初值T

)0,0,0()0(=x ，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求

3)()1(10||||-∞+<-k k x x 。

解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=-+=--15

1023841025

410321321321x x x x x x x x x

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

⎪⎨⎧+--=++-=++=++++++)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3)

(3)1(1)1(2

)

(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x

取T )0,0,0()

0(=x

,经7步迭代可得：

T )010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x .

10、已知下列实验数据

试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

解：当0

0⎰有一位整数.

要求近似值有5位有效数字，只须误差

4)

(11021

)(-⨯≤

f R n .

由

)(12)()(

2

3

)(1ξf n a b f R n ''-≤，只要

4

2

2)

(11021

12e 12e )

e (-⨯≤≤≤n n R x n ξ

即可，解得

⋅⋅⋅=⨯≥

30877.67106e

2n

所以 68=n ，因此至少需将 [0,1] 68等份。

11、用列主元素消元法求解方程组 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡--11124112345111321x x x 。 解： ⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡----111124111123451111212345411121r r ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡-----−−−→−↔⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−-585

25

10

57951513

012345579515

130585251

0123455

2

51

321312r r r r r r

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡----−−

−→−+135

1350579515

13

0123

45131

23r r 回代得 3

,6,1123==-=x x x 。

12、取节点

1

,5.0,0210===x x x ,求函数x

x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式

)(2x P ,并估计误差。

解：

)15.0)(05.0()1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----⨯

+----⨯

=--x x e x x e x P

)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)

5.01)(01()5.0)(0(15.01-+----=----⨯

+---x x e x x e x x x x e

又

1

|)(|max ,)(,)(]

1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x

故截断误差 |)1)(5.0(|!31

|)(||)(|22--≤

-=-x x x x P e x R x 。

13、用欧拉方法求

⎰-=x t t

x y 0

d e

)(2

在点0.2,5.1,0.1,5.0=x 处的近似值。 解：

⎰-=x

t t

x y 0d e )(2

等价于

⎪⎩⎪⎨⎧=='-0)0(e 2

y y x (0>x )

记2

e ),(x y x

f -=,取5.0=h ,0.2,5.1,0.1,5.0,043210=====x x x x x .

则由欧拉公式

⎩⎨

⎧=+=+0)

,(01y y x hf y y n n n n , 3,2,1,0=n

可得 88940.0)0.1(,

5.0)5.0(21≈==≈y y y y ,

12604

.1)0.2(,

07334.1)5.1(43≈==≈y y y y

14、给定方程

01e )1()(=--=x

x x f 1) 分析该方程存在几个根；

2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。

解：1）将方程

01e )1(=--x

x （1） 改写为

x

x -=-e 1 （2）

作函数1)(1-=x x f ，x

x f -=e )(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*∈x 。

2) 将方程（2）改写为 x

x -+=e 1

构造迭代格式 ⎩⎨

⎧=+=-+5

.1e 101x x k

x k ),2,1,0( =k

计算结果列表如下：

3) x x -+=e 1)(ϕ，x

x --='e )(ϕ

当]2,1[∈x 时，]2,1[)]1(),2([)(⊂∈ϕϕϕx ，且

1e |)(|1<≤'-x ϕ

所以迭代格式

)

,2,1,0()(1 ==+k x x k k ϕ对任意

]

2,1[0∈x 均收敛。

15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x 0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

解：3是

03)(2

=-=x x f 的正根，x x f 2)(='，牛顿迭代公式为 n n n n x x x x 23

2

1

--

=+， 即

)

,2,1,0(2321 =+=+n x x x n n n

取x 0=1.7, 列表如下：

16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。

解：

)12)(12()

1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+⨯

--+-+⨯+------⨯

=x x x x x x x L

)1)(1(34

)2)(1(23)2)(1(32-+--+---=

x x x x x x

04167

.0241

)5.1()5.1(2≈=≈L f

17、n =3,用复合梯形公式求x

x

d e 10⎰的近似值（取四位小数）,并求误差估计。

解：

7342.1]e )e e (2e [3201d e 1210

310

≈+++⨯-=

≈⎰T x x

x x x f x f e )(,e )(=''=，10≤≤x 时，e |)(|≤''x f

05.0025.0108e

312e |e |||2

3≤==⨯≤

-= T R x

至少有两位有效数字。

18、用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--411131103⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--815， 取x (0)=(0,0,0)T ,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel 迭代格式为：

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

⎪⎨⎧-+-=----=+-=++++++)8(41)1(31)5(31)1(2)1(1)1(3)

(3)1(1)1(2

)

(3)1(1k k k k k k k k x x x x x x x x

系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡--411131103严格对角占优，故Gauss-Seidel 迭代收敛. 取x (0)=(0,0,0)T ，列表计算如下:

19、用预估—校正法求解⎩⎨

⎧=+='1)0(y y x y (0≤x ≤1)，h =0。2，取两位小数。

解：预估—校正公式为

⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪⎪⎨⎧

++==++=+),(),()(2

1121211

k y h x hf k y x hf k k k y y n n n n n n ,2,1,0=n

其中y x y x f +=),(，1

0=y ，h =0.2，4,3,2,1,0=n ，代入上式得：

20、（8解：

},1{x span =Φ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=22

2

2

38312519

1111T

A []3.730.493.320.19=T

y

解方程组

y A AC A T T =

其中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3529603339133914A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7.1799806.173y A T

解得：

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 21、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx

e x

⎰

-1

0时，试用余项估计其误

差。用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。

解：

001302.07681

81121)(12][022==⨯⨯≤''--

=e f h a b f R T η

]

)()(2)([2)8(7

1∑=++=k k b f x f a f h

T ]

36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16

1

++++++⨯+=

6329434.0=

22、（15分）方程013

=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31

+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)x x 11+=对应迭代格式n n x x 111

+=+；（3）13-=x x 对应

迭代格式1

3

1-=+n n x x 。判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，

精确到小数点后第三位。

解：（1）32

1(31

)(-+='）x x ϕ，118.05.1<='）（ϕ，故收敛；

（2）

x x x 1

121)(2+

-

='ϕ，117.05.1<='）（ϕ，故收敛；

（3）23)(x x ='ϕ，

1

5.135.12>⨯='）（ϕ，故发散。

选择（1）：5

.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ，

32476.15=x ，

32472

.16=x

23、（8分）已知方程组f AX =，其中

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f

（1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径。

解：Jacobi 迭代法：⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-=+++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)

(2)1(3)(3)(1)1(2)

(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k Gauss-Seidel 迭代法：⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-=+++++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)

1(2)1(3)(3)1(1)1(2)

(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣

⎡--=+-=-0430430

430430)(1

U L D B J ，

790569

.0)4

10

(85)(==或J B ρ