第三章实数章节小结
第三章实数章节小结
知识点：
1、实数中的一些相关概念：
①有理数：有限小数和无限循环小数
无理数：无限不循环小数
②平方根：如果一个数的平方等于a，则这个数为a的平方根。算术平方根：正数正的平方根和0的平方根称为算术平方根求平方根的运算中叫平方运算
表示：a
的平方根表示为a
③立方根：如果一个数的立方等于a，则这个数为a的立方根
求立方根的运算叫开立方运算，a
立方根等于本身的数是0、1、－1
3、实数的分类：实数分为有理数和无理数
4、实数中的相反数、倒数，绝对值、大小比较等同于有理数的概念
5、实数的运算法则、运算律、运算顺序等同于有理数
注：实数的运算：
（1）、实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减. 如果遇到括号，则先进行括号里的运算.有理数的运算法则适用于实数运算（2）、被开方数不相同的平方根不能直接相加减，平方根和立方根不能相加减，无理数的运算通常借助计算器
6、学会估测有理数
7、实数和数轴上的点一一对应，会在数轴上表示有理数和简单的无理数
基础知识应用
一、填空题
一、填空题（每空2分，共32分）
1、9的平方根是 ，算术平方根是 。
2、27的立方根是 。
3、计算：49±= ，=-364 。
4、已知某数的一个平方根是7，那么这个数是 ，它的另一个平方根是 。
5、3-的相反数是 ，绝对值是 。
6、用计算器计算（保留4个有效数字）：7≈ ，310-≈ 。
7、用“>”“<”或“=”填空：（1）0 -π，（2。
8、请你写出两个在1 和4之间的无理数： 。
9、一个正方形桌面的面积为0.64m 2，这个桌面的边长为 m 。
10、借助计算器可以求得2234+，223344+，22333444+，
2233334444+，……，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想
个
个20052005333444+= 。 二、选择题
11、“94的平方根是3
2±”，用式子表示就是（ ） A 、3294=± B 、 3294±=± C 、 3294= D 、 3
294±= 12、立方根等于8的数是（ ）
A 、512
B 、64
C 、2
D 、2±
13、在下列实数中，无理数是（ ）
A 、3.14
B 、2
1- C 、3 D 、135 14、下列命题，正确的是（ ）
A 、1的平方根是1
B 、8的立方根是2±
C 、任何数都有平方根
D 、负数有一个负的立方根
15、下列说法，正确的是（ ）
A 、无理数都是无限小数
B 、无限小数都是无理数
C 、有理数都是有限小数
D 、带有根号的数都是无理数
16、数轴上的点表示的数一定是（ ）
A 、整数
B 、有理数
C 、无理数
D 、实数
17、算术平方根等于它本身的数是（ ）
A 、0
B 、1，-1
C 、0，1
D 、0，1，-1
18、底面为正方形的蓄水池容积是4.86m 3，如果水池的深为1.5米，那么这个
水池的底面边长是（ ）
A 、3.24m
B 、1.8m
C 、0.324m
D 、0.18m
三、解答题
19、（12分）计算：
（1）49 （2）9
71- （3）44.1 （4）3216.0 （5）327
102- （6）312581- 20、（4分）已知一个正方体的体积为512cm 3,求它的棱长和表面积。
21、（6分）在7
1-，311，0.3 ，22，25，31-，0，0.575775777…（两个5之间依次多一个7）中，
属于有理数的有： ；
属于无理数的有： ；
属于实数的有： ；
22、（10分）用计算器计算：
（1）16
25 （2）23+（精确到0.01） （3）82-（精确到0.01） （4）4π5-（精确到0.001）
23、（4分）近似的在数轴上表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“<”连接：
3
2-，310，π，0，5-。
24、（4分）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16df ，其中v 表示车速（单位：千米/小时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示磨擦因素。在某次交通事故调查中，测得d=20米，f=1.2，问肇事汽车的车速大约是多少？（结果精确到1千米/小时）
25、（4分）利用如图的4×4方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和8 。
二、能力拓展题（附加20分）
26、（10分）一个正方体，它的体积是棱长3厘米的正方体体积的8倍，
（1）这个正方体的棱长是多少厘米？
（2）、由（1）中计算可知，正方体的体积变为原来的8倍，
它的棱长变为原来的 倍；依次类推，正方体的体积变为原来的27倍，它的棱长变为原来的 倍；正方体的体积变为原来的1000倍，它的棱长变为原来的 倍；……；正方体的体积变为原来的n 倍，它的棱长变为原来的 倍.
北师大版初中数学八年级上册《第二章实数回顾与思考》优质课教学设计0.doc
初级中学导学案 年级八学科教研组长主备人李博课型复习课第_8_课时课题第二章实数（复习） 1. 复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、估算、实数、二次根 学习 式及其相关概念，会求一个数的平方根、立方根，并进行相关计算； 目标 2. 灵活运用公式进行二次根式的相关运算。 学习熟练掌握无理数、算术平方根、平方根、立方根、估算、实数、二次根 式及其相关概念。 重点 学习 灵活运用公式进行二次根式的相关运算。 难点 教法教学 开放导学法班班通 学法准备 1. 下列说法：（1）有理数都是有限小数；（2）有限小数都是 达成目标有理数；（3）无理数都是无限小数；（4）无限小数都是无理 数。其中正确的的有（）。 A．（1）（2） B.(1)(3) C.(2)(3) D.(2)(4) 2. 已知X - 3 +（4-Y） + 2X Y 3Z 的值为。 2 X 3. 已知Y= X 2+ 2 X -3 ，求Y 的值为。 4. 已知：5+ 11的小数部分是a，5- 11的小数部分是b。 （1）a+b的值； （2）a-b 的值。 5. 已知a =5， b =7，且a b =a+b，则a-b 的值为（） 2 A.2 或12 B.2 或-12 C.-2 或12 D.-2 或-12 6. 下列说法正确的有（）个。 （1）零是最小的实数（2）带根号的数一定是无理数 （3）比 2 小的数只有1,0 （4）数轴上每个点都表示一
个有理数
A.3 B.2 C.1 D.0 7. 下列二次根式属于最简二次根式的是（） 评价 1 7 样题 A. 14 B. 8 C. 2 D. 4 8. 若3m 1有意义，则m能取的最小整数值是（） A.m=0 B.m=1 C.m=2 D.m=3 评价 设计通过教师提问、学生回答完成目标一。（目标达成率95%）通过评价样题完成目标二。（目标达成率90%） 学习知识点复习： 知识点一：有理数、无理数概念：
实数章节复习知识点归纳,总结
第六章 实 数 一．知识结构图： 二．知识定义 算术平方根 正数a 的算术平方根记作: . 正数和零的算术平方根都只有 个，零的算术平方根是 ，负数 算术平方根。 ? ?? ==||2 a a () =2 a 例：1. 25的算术平方根是 ；16 的算术平方根是 。 2.已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．1+a B. 1+a C. 12+a D. 12+a 3.面积为11的正方形边长为x ，则x 的范围是（ ） A ．31< 4.若∣a∣=6，b=3，且ab0，则a-b= 。 平方根 正数a的平方根记作: . 一个正数有平方根，他们互为； 零的平方根是；负数平方根。 例1.16的平方根是( ) A．4 B. 4 ± ± C. 2 D. 2 2.一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=____，x=___。 3.已知2a-1的算术平方根式3,4是3a+b-1的算术平方根，求a+2b的平方根。 立方根 a 的立方根记作: . 一个 数有一个 的立方根；一个 数有一个 的立方根；零的立方 根是 。3 3a a -=- =3 3 a ()=3 3 a 例：1. 4 12=_____， 169 ± =_____，3 27 8-_____. 2.下列说法中正确的是（ ） A 、81的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、 1=±1 D 、5-是 5的平方根的相反数 3.判断下列说法是否正确 （1） 的算术平方根是-3； （2） 225 的平方根是±15. （3）当x=0或2时，02=-x x （4）2 3 是分数 4.已知∣x ∣的算术平方根是8，那么x 的立方根是_____。 5.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ） 2.6 实数教学反思 《2.6实数》是北师大版数学八年级上册第二章第六节内容，这是一节实数的运算、化简课，只有在熟练掌握两个公式（和这两个公式的逆运用）的基础上，反复利用练习来巩固学生对知识理解和融汇，这也是数（或式）的运算（或化简）的最大的特点。 《数学课程标准》强调：要关注学生“是否积极主动地参与学习活动；是否有学好数学的自信心，能够不回避遇到的困难；是否乐于与他人合作，愿意与同伴交流各自的想法；是否能够通过独立思考获得解决问题的思路；能否找到有效的解决问题的方法，尝试从不同的角度去思考问题；是否能够使用数学语言有条理地表达自已的思考过程；是否理解别人的思路，并在与同伴的交流中获益；是否有反思自已思考过程的意识。”所以，我首先通过课本引例问题，旨在使学生通过自己的探究活动，经过老师的引导，感受并体验实数的运算、化简；让学生根据实例进行探索，通过同学们互相交流合作，得出两个化简的公式（实际上是两个运算公式的逆运用），培养他们的合作精神和探索能力，也让他们获得成功的体验（因为这是教材里没有写出来的），充分调动、发挥学生主体性的多样化的学习方式，促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习。 因为课本的知识量比较少，我在新课引入和练习巩固方面所花的时间相对多一些，这也是数（或式）的运算的通用的做法，旨在通过练习、例题来巩固学生对所学知识的理解和掌握。但我也把练习、例题的量掌握在一定的尺度，以避免学生的反感与厌烦，从而导致前功 尽弃。 由于复习练习时学生配合相对不默契，浪费了一些时间，导致在课时小结时，显得比较仓促，这是本节课不足的地方。另外，实数的有关计算和化简，还有待于以后的练习和作业继续加强和巩固。 整合提升 知识网络 重点突破 一、运用楞次定律、右手定则、左手定则、安培定则进行定性判断类问题 这类题是历年高考的热门题，利用这些方向类的定律、定则来解题，注意不要混淆这些规律的适用对象，还需在理解能力、推理能力和综合分析能力的培养上下功夫． ] 图3－1 【例 1】如图3-1所示，MN是一根固定的通电长直导线，电流方向向上，今将一金属线框abcd放在导线上，让线框的位置偏向导线的左边，两者彼此绝缘，当导线中的电流突然增大时，线框整体受力情况为（） A.受力向右 B.受力向左 C.受力向上 D. 受力为零 图3-2 解析：由安培定则判断出直导线电流周围磁场的特点，由楞次定律判断出感应电流的方向，再由左手定则判断出各边的受力情况，最后求合力．由安培定则可知直导线电流周围的磁场分布如图3-2所示．当直导线上电流突然增大时，穿过矩形回路的合磁通量（方向向外）增加，回路中产生顺时针方向的感应电流，因ad、bc两边分布对称，所受的安培力合力为零，ab、cd两边虽然通过的电流方向相反，但它们所处的磁场方向也相反，由左手定则可 知它们所受的安培力均向右，所以线框整体受力向右．选项A 正确． 答案：A 二、感应电动势和感应电流的计算类问题 这类题是利用法拉第电磁感应定律（或E=BLv ）和欧姆定律来进行计算的，在解答这类问题时，应注意培养“应用数学工具解决物理问题的能力”. 图3-3 【例2】 如图3-3所示固定在匀强磁场中的正方形线框abcd ，各边长为L ，其中ab 段是一段电阻为R 的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可忽略的铜线，磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，现有一与ab 段的材料、粗细、长度都相同的电阻丝PQ 架在导线框上，以恒定的速度v 从ad 滑向bc ，当PQ 滑到何处时，通过PQ 的电流最小？为多少？方向如何？ 解析：PQ 切割磁感线，它相当于电源，它的电阻就是电源内阻，ab 被分为两部分，并联作为外电路，等效电路图如图3-4所示. 把PQ 作为电源，内阻为R ，电动势E=BLv ① 外电路的总电阻为R R R R R R R R R aP aP bP bP bP bP )(-=+?='② 流过PQ 的电流为总电流R R E I '+= ③ 图3-4 ①②③式联立， 有)2 (452R R R RBLv I aP --=④ 由④可知，当2R R aP =,即PQ 滑到ab 中点时，R BLv I 54min =，流过 PQ 电流的方向向上，即由Q 到 P . 三、用能量观点解决电磁感应问题 只要有感应电流产生，电磁感应现象中总伴随着能量的转化.电磁感应的题目往往与能量守恒的知识相结合.这种综合是很重要的.要牢固树立起能量守恒的思想. 图3－5 【例3】 如图3-5所示，矩形线圈abcd 质量为m ，宽为d ，在竖直平面内由静止自由 数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理 2.1 数值分析的研究对象 方法的构造 研究对象 求解过程的理论分析 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差： 实数复习课 一、学生起点分析 本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础． 二、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 因此，本节课的教学目标是： ①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算； ②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流； 本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念． 本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握的难点． 2019版八年级数学上册第四章实数小结与思考学案新版苏科版 【学习目标】 回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解,感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣。 【教学重难点】 建立本章知识结构和各知识简单应用 【预习导航】 1．化简：16= ；9-= ；38-= ； 327--= 。 2．64的平方根是 ，立方根是 ；25的算术平方根是 。 3．一个数的平方根等于它本身，那么这个数是________；某数的立方根等于它本身，则这个数是 。 4．若12+x 的算术平方根是2，x ＝________． 5．将实数 23 1 ，38-，3.14159，-2π，2-，39,25,0.121121112…,填入下列集合 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …} 正实数集合: { …}; 负实数集合: { …}。 6． 21-的相反数是 ；绝对值是 。 7．比较下列各组数的大小： ⑴ 2- -1.4 ⑵3 1 3 12- 8．5.47×105 精确到 位， 28035≈_______ (精确到千位)，0.03196≈______ (精确到0.001) 9．比较下列各组数的大小： （1） 2- -1.4 ；（2） π- -3.14159 ； （3） 23________32 （设计意图：尊重学生已有的知识和经验，通过小题唤醒，复习旧知，为本课知识点归纳做准备） 【知识梳理】 本章的知识网络结构： （设计意图：因为学生的学习要经历短时记忆到长时记忆过程，而网络化的总结方式有利于长时记忆的形成，有利于完善学生的认知结构，有利于加强知识之间的联系，构建知识体系） 例题分析 例1．（1）若实数x y ，满足2 6(5)0x y ++-=，则xy 的值是 ． （2）已知2x-1的是9的平方根，2y-4的立方为216，求3x+y 的平方根。 例2．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，8，5； （3）在图3中，画一个三边都是无理数的直角三角形三角形。 例3．已知：如图，AC 是?ABD 的高，BC=2cm ， ∠BAC=30°, ∠DAC=45°，求AD 。 图2 图3 图1 45? 30? A 第二章实数 回顾与思考 一、学生起点分析 本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础． 二、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 因此，本节课的教学目标是： ①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算； ②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流； 本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念． 本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握 第二章回顾与反思 一、学生起点分析 本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础． 二、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可． 作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 三、教学目标 （一）知识与技能 复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算。 （二）过程与方法 在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想。 (三）情感态度与价值观 通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学 生学会倾听学会交流。 四、教学重点 二次根式四则运算、化简。 五、教学难点 1.算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用。 2.实数的混合运算。 3.如实数与几何知识勾股定理结合在一起的应用． 六、教学方法 启发式教学法讲授教学法 七、教学过程 本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：典例精析；第三环节：运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节知识回顾 知识框图展示。 第二环节典例精析 （一）实数的相关概念 例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 23 3.14159265π-1，2 (，3.1010010001…（相邻两个1之间0的各数逐次加1） 设计说明：此题考查概念．整数和分数统称为有理数，这是有理数的判断方法．无理数是无限不循环的小数，这是无理数的判断方法．而无限不循环小数主要有以下几种：①开方开不尽的方根；②含π的数；③是无限小数且不循环．在 判断时还应注意，一定要抓住概念的本质而不是根据数的形式，如此题中的 实数题型总结 一、填空题 1、 .平方根 （1）算术平方根的定义：一个正数x 的平方等于a,即_____，那么这个正数x 就叫做a 的 ________.0的算术平方根是_____。 （2）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的_______。 （3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是 _____；负数_____平方根。 （4）开平方：求一个数a 的________的运算，叫做开平方。 2、.立方根 （1）立方根的定义：如果一个数x 的_____等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的立方根。 （2）立方根的性质：每个数a 都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____； 负数的立方根是_____。 （3）开立方：求一个数a 的________的运算叫做开立方。 3、实数 （1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。 （2）实数的定义： _____和_____统称实数。 （3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。 （4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。 （5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。 4、已知实数x ，y 满足 2x -+(y+1)2 =0，则x-y 等于 5、一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ， 一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 6、若2 a =25, b =3,则a+b= ，4的平方的倒数的算术平方根是 7、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是 8、若 a a -=2 ，则a______0，若73-x 有意义，则x 的取值范围是 9、16的平方根是±4”用数学式子表示为 ，大于-2，小于10的整数有______个。 10、当x 时，式子21 --x x 有意义. 11、绝对值小于5的所有实数的积为 化简 = 12、若x x =3 ，则=x ；若x x =3，则=x x 1- 第一章微生物细胞结构与功能小结微生物的细胞有原核细胞和真核细胞两种细胞结构。细菌是典型的原核细胞，其细胞的基本构造包括: 细胞壁、细胞膜、细胞核、核糖体、颗粒状内含物，细菌细胞的特殊构造包括:质粒、间体、荚膜、芽胞、鞭毛与菌毛。细菌分 G＋细菌与G－细菌，G＋菌的细胞壁由一层组成，其化学组成为肽聚糖、磷壁酸及多糖；G－细菌的细胞壁由二层组成，其化学组成内壁层为肽聚糖，外壁层为脂多糖、脂蛋白、蛋白质和类脂。 肽聚糖是由组成肽聚糖的单体聚合而成的大分子网状化合物。肽聚糖的单体由三部分组成：①N - 乙酰葡萄糖胺(G)和N - 乙酰胞壁酸(M)通过β- 1.4 键连接的双糖。②胞壁酸上的四肽(L - Ala - D - Glu - L - Lys - D - Ala) ③两四肽间的肽间桥。G+菌与G－菌肽聚糖双糖亚单位的组成不同，①G+菌四肽上的第三个氨基酸为赖氨酸；G－菌四肽上的第三个氨基酸为DAP(内消旋二氨基庚二酸)。②肽间桥不同：G+菌为甘氨酸五肽；G－菌为肽键。G+菌的肽聚糖的分子结构交联度高，肽聚糖层厚,如枯草杆菌网状分子有40层。而G－菌的交联度低,肽聚糖层薄，如大肠杆菌仅由1～2层分子组成。古细菌细胞壁中没有肽聚糖，其细胞壁由假肽聚糖或蛋白质组成。 磷壁酸是G+菌细胞壁中的特有成份。磷壁酸有两种：一种是甘油磷壁酸，一种是核糖醇磷壁酸。磷壁酸赋于革兰氏阳性菌特异性的表面抗原，为某些噬菌体提供特异性的吸附受体。 脂多糖（LPS）是G－菌细胞壁的特殊成分。位于革兰氏阴性细菌细胞壁外层中。它由类脂A、核心多糖和 O- 特异侧链三部分所组成。它是革兰氏阴性细菌内毒素的物质基础，也是噬菌体在细胞表面的吸附受体。 细胞膜是外侧紧贴细胞壁而内侧包围原生质的一层柔软而富有弹性的半透性膜。细菌的细胞膜由两层磷脂分子组成，磷脂疏水端两两相对，亲水的头部向外，蛋白质嵌入磷脂双分子层中或分布在磷脂双分子层的内外表面。古细菌的细胞膜不含磷脂，而由植烷基甘油醚或二植烷基甘油四醚组成。细菌细胞膜的主要功能是控制细胞内外物质的运送、交换，并是许多酶和电 课题：第六章 实数（全章小结） 耿城中心学校 张 莺 教学目标：1、理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的 平方根或立方根； 2、了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义 3、进一步体会数系扩充的必要性与合理性，了解实数与数轴上的点一一对应以 及有理数的运算律适用于实数范围 教学重点：．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义； 教学难点：．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义以及相关概念及运算。． 教学过程： 一、 知识点回顾 1、 特别是平方根、立方根、算术平方根的概念，进行对比复习，注重它们的区别与联系，可让学生找一找区别与联系。 2、当求一个非负数的平方根时，可能会出现无理数，使得数的范围从有理数扩大到实数。 ①实数分类： 正有理数 正实数 正无理数 实数 0 负有理数 负实数 负无理数 ②每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点又都可以表示成一个实数，它们之间是一一对应的。 ③你会在数轴上寻找2、、5 ???????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????→←.00;;___00;.;00:,的立方根是方根负数有一个负的立方根正数有一个正的立性质定义立方根开立方的算术平方根是的正的平方根正数性质定义算术平方根负数没有平方根的平方根是们互为相反数根一个正数有两个平方性质定义平方根开平方开方乘方互为逆运算a ???? ?????????????负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数0 北师版八上数学本章归纳总结 【知识与技能】 掌握平面直角坐标系的概念及组成，学会建立平面直角坐标系以及利用轴对称的坐标规律解决有关问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识点，充分利用平面直角坐标系与点的坐标之间一一对应关系，才使数与形的相互转化得以体现，加深了对知识的理解. 【情感态度】 通过实例用有序实数对来表示点的位置和运用有序实数对建立数学模型的过程，让学生感受到平面直角坐标系在实际生活中广泛应用的价值.激发学生的学习热情. 【教学重点】 平面内点的坐标的表示方法及求法，能建立适当的平面直角坐标来描述点所处的位置以及利用轴对称的坐标规律解决实际问题. 【教学难点】 建立适当的平面直角坐标系的优化方案和利用轴对称的坐标规律解决问题. 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，让学生对本章所学知识有个系统地了解.教学时，可以边回顾边建立结构图. 二、释疑解惑，加深理解 1.平面直角坐标系与点的坐标. ①一、三象限角平分线上的点横、纵坐标同号；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标异号，但他们到两坐标轴的距离都相等，注意有时要考虑到这两种情况的存在. ②点的横坐标与该点到y轴的距离有关，点的纵坐标与该点到x轴的距离有关.不能理解为相反的意思.同时点的横、纵坐标的值可正可负，而距离只可能为非负数. 2.在坐标系中求几何图形的面积. 在坐标系中求图形的面积一般从两个方面去把握：（一）通常向坐标轴作垂线运用“割”或“补”的方法将要求的图形转化为一些特殊的图形，去间接计算面积；（二）需要将已知点的坐标转化为线段的长度，以备求面积的需要. 三、典例精析，复习新知 例1若点P(m,n)在第二象限，则点Q（-m,-n）在第象限. 【分析】本题考查象限内点的坐标的符号特征.由点P(m,n)在第二象限，可知m<0，n>0，则点Q(-m,-n)坐标的符号特征为-m>0,-n<0，故点Q在第四象限，填四. 例2等腰梯形的各点坐标为B（-1，0）,A(0,2),C(4,0)，则点D的坐标 为. 【分析】求一个点的坐标，首先求出它到x轴与y轴的距离，然后再看它所在的象限，确定其横、纵坐标的符号. 解：如图，过点D作DE⊥x轴.∵ABCD为等腰梯形. ∴CE=BO=1. 又∵C点坐标为（4，0），∴OC=4. ∴OE=4-1=3. 第十三章实数小结 昆明市实验中学初二（５）班陈璇一、平方根、算术平方根的概念及其性质 （１）平方根的概念及其性质 ①如果一个数x的平方等于a，即x2=a，则称这个数x为a的平方根（或二次方根）。正数a的正的平方根表示为“2a”或“a”，其中a叫做被开放数；“2”中的2叫做根指数（一般可省去不写）；“2a”或“a”读作“二次根号a”或“根号a”；正数a 的负的平方根表示为“－2a”或“－a”；正数a的平方根为±a，读作“正、负根号a”。 ②一个正数的平方根有两个且它们互为相反数；零只有一个平方根还是零；负数没有平方根。 （２）算术平方根的概念及其性质 ①一个正数a的平方根有两个，分别为a和－a，我们把那个正的平方根a为a 的算术平方根。 ②一个正数的算术平方根是一个正数；零的算术平方根仍为零；负数没有算术平方根。 （３）开平方运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中数a叫做被开方数；平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系。 （４）平方根（或算术平方根）的几个公式 ①式子±ａ有意义的条件为ａ≥０。 ②ａ表示ａ的算术平方根，ａ是非负数，即ａ≥０。 ａａ≥０ ③ａ2＝︱ａ︱＝０ａ＝０ －ａａ＜０ ④（ａ）2＝ａ（ａ≥０），（－ａ）2＝ａ（ａ≥０）。 二、立方根的概念及其性质 （１）如果一个数ｘ的立方等于ａ，即ｘ3＝ａ，那么就称这个数ｘ为ａ的立方根（或三次方根）。 ａ的立方根（或三次方根）表示为3ａ，其中ａ为被开方数，“3”符号中的３为根指数（这个数不能省略）；3ａ读作“三次根号ａ”或“ａ的立方根”。 （２）任意数都有立方根，正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根仍为零。 （３）有关立方根的补充说明和两个公式 ①在3ａ中，被开方数ａ可为正数、零，也可为负数。即3ａ的正负与ａ一致。 ②3－ａ=－3ａ ③(3a) 3=3a3＝ａ （４）开立方运算 求一个数ａ的立方根的运算叫做开立方运算。开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系。 三、实数的有关性质 （１）实数ａ的相反数为－ａ，零的相反数是其本身，若ａ与ｂ互为相反数，则ａ＋ｂ＝０；反之亦然。 （２）实数ａ的倒数为１/ａ（ａ≠０）。若ａ与ｂ互为倒数，则ａｂ＝１；反之亦然。 （３）实数ａ的绝对值表示为︱ａ︱，正实数的绝对值是它本身，零的绝对值是 第一章直角三角形的边角关系 一、本章知识要点： 1、锐角三角函数的概念； 2、解直角三角形。 二、本章教材分析： （一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤： 1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。 2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数 变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。 3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。 4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。同时要强调三角函数的实质是比值。防止学生产生 sin X=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。 课时6 章节小结 班级姓名学号 一、选择题 1．下面关于质点的正确说法有 A．研究和观察日食时可把太阳当做质点 B．研究地球的公转时可把地球看做质点 C．研究地球的自转时可把地球看做质点 D．原子核很小，可把原子核看做质点 2．下列说法正确的是 A．参考物必须选择地面 B．研究物体的运动，参考物选择任意物体其运动是一样的 C．研究物体的运动，必须选择参考物 D．选择不同参考物，物体的运动情况可能不同 3．关于质点的位移和路程，下列说法正确的是 A.位移是矢量，位移的方向即质点的运动方向 B.路程是标量，路程即位移的大小 C.质点做单向直线运动时，路程等于位移的大小 D.位移不会比路程大 4．两辆汽车在平直公路上行驶，甲车内的人看到窗外树木向东移动，乙车内的人发现甲车没有运动，如果以大地为参考系，上述事实说明 A.甲车向西运动，乙车不动 B.乙车向西运动，甲车不动 C.甲车向西运动，乙车向东运动 D.甲.乙两车以相同的速度都向西运动 5．关于物体运动的下述说法中正确的是（）A．物体运动的速度不变，在相等时间 B C D 6．一辆汽车以速度v1匀速行驶全程的2/3的路程，接着以v2=20 km/h走完剩下的路程，若它全路程的平均速度v=28 km/h，则v1应为（ A．24 km/h B．34 km/h C．35 km/h D．28 km/h 7．有两个做匀变速直线运动的质点，下列说法正确的是（）。 A、经过相同的时间，速度变化大的质点加速度必大 B、若初速度相同，速度变化大的质点加速度必大 C、若加速度相同，初速度大的质点末速度必大 D、相同的时间内，加速度大的质点速度变化必大 8．比较正在做直线运动的两个物体的速度和加速度，下列说法中正确的是 A.速度较大的物体加速度一定大 B.速度变化大的物体加速度一定大 C.速度变化快的物体加速度一定大 D.加速度大的物体速度一定大 9．在匀变速直线运动中，下列关于加速度的方向的几种说法中，正确的是（）。 A、加速度的方向总是与初速度的方向相同 B、加速度的方向总是与末速度的方向相同 C、加速度的方向总是与速度的变化的方向相同 D、加速度的方向总是与位移的方向相同 10.一物体沿直线运动，在前一半时间内的平均速度为2m/s，后一半时间内的平均速度为 3m/s，则全过程中是平均速度为 A.2.2m/s B.2.3m/s C.2.4m/s D.2.5m/s 11．甲.乙两质点在同一直线上匀速运动，设向右为正，甲质点的速度为2m/s，乙质点的速度为－4m/s，则可知 A.乙质点的速率大于甲质点的速率 B.因为2＞－4，所以甲质点的速度大于乙质点的速度 C.这里的正负号的物理意义是表示运动的方向 D.若甲.乙两质点同时由同一点出发，则10秒后甲.乙两质点相距60m。 12．下列关于速度和加速度的有关说法中，正确的是（） A．物体速度越大，则加速度越大 B．物体速度变化越大，则加速度越大 C．物体速度变化越快，则加速度越大 D．物体加速度的方向，就是物体速度的方向 二、填空题 13．气球升到离地面80m高空时，从上掉落下一物体，物体又上升了10m高后开始下落，若取向上为正方向，则物体从离开气球开始到落到地面时的位移为___________m，通过的路程为____________m。 14.一辆汽车在平直公路上行驶，在前三分之一的路程中的速度是v1，在以后的三分之二路程中的速度v2＝54km/h，如果在全程中的平均速度是v=45km/h，则汽车在通过前三分之一路程中的速度v1＝ _______km/h. 第十三章实数小结与复习 辽宁省开原市业民中学孙国庆 教案背景 1、面向八年级学生 2、学科：数学 教学课题 第十三章实数小结与复习 教材分析 《人教版义务教育课程标准实验教科书数学》八年级下册第十三章实数小结与复习。本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题。在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何的大部分知识做好准备。 教学目标 （一）教学知识点： 1、经历小结与复习，建立本章知识框架图。 2、进一步复习本章知识，强调有关概念、运算的联系与区别及数的范围由有理数扩大到实数后，有关概念和运算的变化情况。（二）能力训练要求： 通过回顾与思考使学生能进一步掌握实数的相关知识并会灵活运用，体会归纳的数学思想方法。 （三）情感与价值观要求： 1、培养学生学会归纳，整理所学知识的能力。 2、认识事物之间的内在联系及相互转化。 3、培养学生的数学应用意识。 教学重点 有关概念、运算。 教学难点 知识间的内在联系与区别。 教学方法 教师引导学生进行归纳 教具准备 多媒体演示等 教学过程 （一）引导学生复习知识要点： 1、平方根和开平方： ±。若x≥（1）如果2(0) =≥，那么x叫做a的平方根．a的平方根记作a x a a 0，则x叫a的算术平方根 （2）求一个数平方根的运算叫开平方。 互逆 开平方平方 （3）一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 注：a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0. 第1讲 实数 【回顾与思考】 （1）实数的有关概念 { } ????????????????????? ?????? ?????? 正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 ①实数： 和 统称实数， 和数轴上的点是一一对应．．．．的。（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。） ②有理数: 和 的统称.任何一个有绿树都可以写成分数p q 的形式，其中p 和q 是整数且最大公约数是1。 ③无理数：无限 叫无理数，常见的有三类：① ；② ；③ ； ④对实数进行分类，应先 ，后 。 (2)数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)。 和数轴上的点是一一对应．．．． 的。（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。） (3)相反数： 实数的相反数是一对数(只有 的两个数，叫做互为相反数， 零的相反数是 )． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于 对称． (4)绝对值 ①从数轴上看，一个数的绝对值就是 的距离。 ??? ??<-=>=)0() 0(0) 0(||a a a a a a ②一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ，零的绝对值是 。 (5)倒数： 实数a(a ≠0)的倒数是 (乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零 倒数． （6）平方根：如果 ,即 ，那么这个数x 叫做做a 的平方根（也叫二次方根）。一个正数有 平方根，且互为相反数；0的平方根是 ；负数 平方根。 （7）算术平方根：如果 ，即 ，那么这个正数x 叫做a 的算．术． 平方根，即x a =；特别规定0的算术平方根是 。即00=。 （8）立方根：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3 =a ，那么这个数x 叫做a 的立方根（也叫三次方根），一个正数的立方根是 ；0的立方根是 ；负数的立方根是 。 （9）科学计数法：用 的方法叫科学计数法，若N 是大于10的整数，记成N=a n 10?，其中1≤a<10，n= ；若0 课时7：实数小结与思考 主备人：徐玉香 审核人：靳红芬 2015年 9月 教学目标： 能灵活应用平方根、立方根、实数相关知识解决一些有价值的问题，提高学生用所学的知识探索、分析、解决问题的能力，引导学生用数学的眼光看待问题 教材分析 重点：平方根、立方根、实数的有关概念 难点：平方根、立方根、实数的有关概念 课型方法 新授课 电教手段 实物投影 前置作业： 知识点一、平方根与立方根 1、 1 4 的算术平方根是 ；-27的立方根是 ；_____ 的立方根是 。 2、算术平方根等于它本身的数是 ；立方根等于它本身的数是 。 3、若一正数的两个平方根分别是2a －7与－a ＋2，则这个正数等于__________ 知识点二、实数 4、在 22，4π ，1.732，327 1-，0.3，16，－722，38.0等数中，无理数的个数有 个。 5 、1的相反数是 ；π-的倒数是 ； 的负整数有 。 6、比较大小： 12； 7、实数上的点A 和点B 之间的整数点有 知识点三、近似数 8、用四舍五入法对0.8075取近似值为________(精确到0.01) 9、地球的半径约为3 6.410?㎞，精确到 位， 教学过程： 一、展示交流： 二、合作探究： 例1、计算：（1）312523832-+-- （2）98)2 1 ()2()2(31 2-++--- 例2、求下列各式中的x 。 （1）2 5(2)245x -= （2）3 (2)27x += 例3、（13 80,b -=求2a b - 的平方根及4a b 的立方根。 （2）已知2x －1的平方根为±3，3x ＋y －1的平方根为±4，求x ＋2y 的平方根 - 实数回顾与思考 一、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 因此，本节课的教学目标是： ①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算； ②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流； 本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念． 本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握的难点． 本章的知识结构框图 2 2 2 3 3 0) x a x a x a x a x x a a x x a x a x a x a x a ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?= ?? == ? ?= ?? ?= ? ? == ?? ≥ 整数 有理数 分数 实数分类 正无理数 无理数 负无理数 定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根平方根表示：若，则 算术平方根：若，则的算术平方根为 定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根立方根 表示：若，则 实数叫做二次根式 二次根式 最简二次 2 3 (0) 0,0) 0,0) a a a a a a b a b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? =≥ ? ? = ? ?= ? ? ?= ? ?=≥≥ ? ? =≥≥ ? ? ?? 根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式重要性质 实数的性质应用 二、教学过程设计 第一环节知识回顾 知识点填空: （1）无限不循环小数叫做无理数． （2）有理数和无理数统称为实数． ??? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? 整数 有理数 分数 实数分类 正无理数 无理数 负无理数实数教学反思
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