高中物理模型--常见弹簧类问题分析(1)

常见弹簧类问题分析

高考要求 轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见.应引起足够重视. 弹簧类命题突破要点

1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.

2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.

3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义

进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：W k =-（

2

1kx 22-

2

1kx 12），弹力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式E p =

2

1kx 2，

高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.

下面就按平衡、动力学、能量、振动、应用类等中常见的弹簧问题进行分析。

一、与物体平衡相关的弹簧问题

1.(1999年，全国)如图示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质

弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( )

A.m 1g/k 1

B.m 2g/k 2

C.m 1g/k 2

D.m 2g/k 2

此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题．题中空间距离的变化，要通过弹簧

形变量的计算求出．注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至m 1离开上面的弹簧．开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m 1 + m 2)g ／k 2，而m l 刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短m 2g ／k 2，因而m 2移动△x ＝(m 1 + m 2)·g ／k 2 - m 2g ／k 2＝m l g

／k 2．

此题若求m l 移动的距离又当如何求解?

参考答案:C

2.S 1和S 2表示劲度系数分别为k 1，和k 2两根轻质弹簧，k 1>k 2；A 和B 表示质量分别为m A 和m B 的两个小物块，m A >m B ,将弹簧与物块按图示方式悬挂起来．现要求两根弹

簧的总长度最大则应使( )． A.S 1在上，A 在上 B.S 1在上，B 在上 C.S 2在上，A 在上 D.S 2在上，B 在上

参考答案:D

3.一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长0.2m ，它们的一端固定，另一端自由，如图所示，求这两根弹簧的劲度系数k 1(大弹簧)和k 2(小

弹簧)分别为多少?

(参考答案k 1=100N/m k 2=200N/m)

4.(2001年上海高考)如图所示，一质量为m 的物体系于长度分别为L 1、L 2的两根细线上，L 1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L 2水平拉直，物体处于平衡状态．现将L 2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度．

(1)下面是某同学对该题的一种解法：

解 设L 1线上拉力为T l ，L 2线上拉力为T 2，重力为mg ，物体在三力作用下保持平衡

T l cos θ=mg ，T l sin θ=T 2，T 2=mgtan θ，

剪断线的瞬间，T 2突然消失，物体即在T 2反方向获得加速度．

清对该解法作出评价并说明理由．

解答：错．因为L

2被剪断的瞬间，L

1

上的张力大小发生了变化．此瞬间

T

2

=mgcosθ， a=gsinθ

(2)若将图中的细线L

l

改为长度相同、质量不计的轻弹簧，其他条件不变，求解的步骤和结果与(1)完全相同，即a=gtanθ，你认为这个结果正确吗?请说明理由．

解答：对，因为L

2被剪断的瞬间，弹簧L

1

的长度未及发生变化，T

1

大小和方向都

不变．

二、与动力学相关的弹簧问题

5.如图所示，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，

下端连接一个质量为M的木板，木板下面再挂一个质量为m的物体．当

剪掉m后发现：当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不

考虑剪断后m、M间的相互作用)则M与m之间的关系必定为 ( )

A.M>m

B.M=m

C.M

D.不能确定

参考答案:B

6.如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向

下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射

过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是( )

参考

答案：C

A.一直加速运动 B．匀加速运动

C.先加速运动后减速运动 D．先减速运动后加速运动

[解析] 物体的运动状态的改变取决于所受合外力．所以，对物体进行准确的受力

力大于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随着物体上移，弹簧形变量变小，弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离．

7.如图所示，一轻质弹簧竖直放在水平地面上，小球A由弹簧正上方某高度自由落下，与弹簧接触后，开始压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那么在小

球压缩弹簧的过程中，以下说法中正确的是()参考答案:C

A.小球加速度方向始终向上

B.小球加速度方向始终向下

C.小球加速度方向先向下后向上

D.小球加速度方向先向上后向下

(试分析小球在最低点的加速度与重力加速度的大小关系)

8.如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点．今用一小物体m把弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能运动到C点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确的是 ()

A.物体从A到B速度越来越大，从B到C

速度越来越小

B.物体从A到B速度越来越小，从B到C

加速度不变

C.物体从A到B先加速后减速，从B一直减速运动

D.物体在B点受到的合外力为零

参考答案:C

9.如图所示，一轻质弹簧一端与墙相连，另一端与一物体接触，当弹簧在O点位置时弹簧没有形变，现用力将物体压缩至A点，然后放手。物体向右运动至C点而静止，AC距离为L。第二次将物体与弹簧相连，仍将它压缩至A点，则第二次物体在停止运动前经过的总

A.s=L

B.s>L

C.s

D.条件不足，无法判断

参考答案:AC

(建议从能量的角度、物块运动的情况考虑)

10. A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A 、B 质量分别为0.42 kg 和0.40 kg ，弹簧的劲度系数k =100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止开始以0.5 m/s 2

的加速度竖直向上做匀加速运动（g =10 m/s 2

）.

（1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值； （2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过

程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J ，求这一过程F 对 木块做的功.

分析：此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0时 ,恰好分离.

解:

当F =0（即不加竖直向上F 力时），设A 、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x ，有

kx =（m A +m B ）g

x =（m A +m B ）g /k ①

对A 施加F 力，分析A 、B 受力如图

对A F +N -m A g =m A a ② 对B kx ′-N -m B g =m B a ′ ③

可知，当N ≠0时，AB 有共同加速度a =a ′，由②式知欲使A 匀加速运动，随N 减小F 增大.当N =0时，F 取得了最大值F m ,

即F m =m A （g +a ）=4.41 N

又当N =0时，A 、B 开始分离，由③式知， 此时，弹簧压缩量kx ′=m B （a +g ）

x m a g k

AB 共同速度 v 2=2a （x -x ′） ⑤

由题知，此过程弹性势能减少了W P =E P =0.248 J 设F 力功W F ，对这一过程应用动能定理或功能原理

W F +E P -（m A +m B ）g （x -x ′）=2

1

（m A +m B ）v 2

⑥

联立①④⑤⑥，且注意到E P =0.248 J 可知，W F =9.64×10-2

J

三、与能量相关的弹簧问题

11.(全国.1997)质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时弹簧的压缩量为x 0，如图所示.一物块从钢板正上方距离为3x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为m 时，它们恰能回到O 点.

若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离.

分析：本题的解题关键是要求对物理过程做出仔细分析，且在每一过程中运用动量守恒定律，机械能守恒定律解决实际问题，本题的难点是对弹性势能的理解，并不要求写出弹性势能的具体表达式，可用Ep 表示，但要求理解弹性势能的大小与伸长有关，弹簧伸长为零时，弹性势能为零，弹簧的伸长不变时，弹性势能不变．答案：0

21

x

12.如图所示，A 、B 、C 三物块质量均为m ，置于光滑水平台面上.B 、C 间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展.物块A 以初速度v 0沿B 、C 连线方向向B 运动，相碰后，A 与B 、C 粘合在一起，然后连接B 、C 的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A 、B 分离，脱离弹簧后C 的速度为v 0.

（1）求弹簧所释放的势能ΔE .

（2）若更换B 、C 间的弹簧，当物块A 以初速v 向B 运动，物块C 在脱离弹簧后的速度为2v 0，则弹簧所释放的势能ΔE ′是多少?

（3）若情况（2）中的弹簧与情况（1）中的弹簧相同，为使物块C 在脱离弹簧后的速度仍为 2v 0，A 的初速度v 应为多大?

（1）3

1mv 02 （2）

12

1m （v -6v 0）2 （3）4v 0

13..某宇航员在太空站内做丁如下实验：选取两个质量分别为m A =0.1kg 、m B =0.20kg 的小球A 、B 和一

根轻质短弹簧，弹簧的一端与小球A 粘连，另一端与小球B 接触而不粘连．现使小球A 和B 之间夹着被压缩的轻质弹簧，处于锁定状态，一起以速度v 0=0.10m/s 做匀速直线运动，如图所示．过一段时间，突然解除锁定(解除锁定没有机械能损失)，两球仍沿原直线运动．从弹簧与小球B 刚刚分离开始计时，经时间t=3．0s 两球之间的距离增加了s=2．7m ，求弹簧被锁定时的弹性势能E 0?

取A 、B 为系统,由动量守恒得:

( m A +m B )v 0=m A v A +m B v ;VA t+VB t=s

又A 、B 和弹簧构成系统，又动量守恒

解得:J

E

p

0275.0=

14.如下图所示，一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上，弹簧的上端与盒子A 连接在一起，下端固定在地面上．盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球B 恰好能放在盒内，已知弹簧的劲度系数为k=400N ／m ，A 和B 的质量均为2kg 将A 向上提高，使弹簧从自由长度伸长10cm 后，从静止释放，不计阻力，A 和B

一起做竖直方向的简谐振动，g 取10m/s 2已知弹簧处在弹性限度内，对于同一弹簧，其弹性势能只决定于其形变的大小．试求：

(1)盒子A 的振幅；

(2)盒子A 运动到最高点时，A 对B 的作用力方向； (3)小球B 的最大速度

2

2202

12121B

B B A B A P v m v m V m m E +=++）

（

15.如图所示，一弹簧振子．物块质量为m ，它与水平桌面动摩擦因数为μ，开始用手按住物块，弹簧处于伸状态，然后放手，当弹簧回到原长时物块速度为v 1，当弹簧再次回到原长时物块速度为v 2，求这两次为原长运动过程中弹簧的最大弹性势能．

16.如图，水平弹簧一端固定，另一端系一质量为m 的小球，弹簧的劲度系数为k ，小球与水平面之间的摩擦系数为μ，当弹簧为原长时小球位于O 点，开始时小球位于O 点右方的A 点，O 与A 之间的距离为l 0，从静止释放小球。

1．为使小球能通过O 点，而且只能通过O 点一次，试问μ值应在什么范围? 2．在上述条件下，小球在O 点左方的停住点B 点与O 点的最大距离l 1是多少?

分析 1、小球开始时在A 点静止，初始动能为零；弹簧拉长l o ，具有初始弹性势能k l 02/2释放后，小球在弹性力作用下向左运动，克服摩擦力作

功，总机械能减小．为使小球能通过O 点，要求初始弹性势能应大于克服摩擦力作的功μmg l 0，于是可得出μ值的上限．当小球越过O 点向左运动，又从左方最远点B 往回(即向右)运动时，为使小球不再越过O 点，要求初始弹性势能k l 02/2小于克服摩擦力作的功μmg （l 0+2l 1），其中l 1是B 点与O 点的距离，于是可得出μ值的下限 即满足1的范围

mg

kl mg

kl 2400<

<μ .

2．设B 点为小球向左运动的最远点，且小球在B 点能够停住，则小球克服力作的功应等于弹性势能的减少．此外，小球在B 点所受静摩擦力必须小于最大静摩擦力，由此可得出停住点B 点与O 点之间的最大距离． 3

01l l ≤

．

17.图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态．另一质量与B相同的滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行．当A滑

过距离L

1

时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连．已知最后A恰好返回到出发点P并停止．滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹

簧最大形变量为L

2，重力加速度为g。求A从P点出发时的初速度v

．

四、振动类问题

18.如图所示，在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，开始时，振子被拉到平衡位置O的右侧某处，此时拉力为F，然后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t后到达平衡位置O处，此时振子的速度为v，则在这过程中，振子的平均速度为( )

A. v/2

B. F/（2k t）

C. v

D. F/（k t）

19.在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子质量为M，振动的量大速

度为v

．如图所示，当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放在其上，则(1)要0

保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少多大？(2)

一起振动时，二者经过平衡位置的速度多大?二者的振幅又

是多大？(已知弹簧弹形势能E

=kx2 ,x为弹簧相对原长伸长

P

量)

五、应用型问题

20..惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速

度计，加速度计的构造原理示意图如下图所示。沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套一质

量为m的滑块，滑块两侧分别与劲度系数为K的弹簧相连，弹簧处于自然长度，滑块位于中

间，指针指示0刻度，试说明该装置是怎样测出物体的加速度的?

[分析] 当加速度计固定在待测物体上，具有一定

的加速度时，例如向右的加速度a，滑块将会相对于滑杆

向左滑动一定的距离x而相对静止，也具有相同的加速度

a，由牛顿第二定律可知：a∝F而F∝x，所以a∝x。因

此在标尺相应地标出加速度的大小，而0点两侧就表示了加速度的方向，这样它就可以测出

物体的加速度了。

21.“加速度计”作为测定运动物体加速度的仪器，已被广泛地应用于飞机，潜艇、航天器等装置的制导系统中，如图所示是“应变式加速度计”的原理图，支架A、B固定在待测系统上，滑块穿在A、B间的水平光滑杆上，并用轻弹簧固定于支架A上，随着系统沿水平方向做变速运动，滑块相对于支架发生位移，滑块下增的滑动臂可在滑动变阻器上相应地自由滑动，并通过电路转换为电信号从1，2两接线柱输出．

巳知：滑块质量为m，弹簧劲度系数为k，电源电动势为

E，内阻为r、滑动变阻器的电阻随长度均匀变化，其总电

阻R=4r，有效总长度L，当待测系统静止时，1、2两接线

柱输出的电压U

=0．4 E，取A到B的方向为正方向，

(1)确定“加速度计”的测量范围．

(2)设在1、2两接线柱间接入内阻很大的电压表，其读数为u，导出加速度的计算式。

(3)试在1、2两接线柱间接入内阻不计的电流表，其读数为I，导出加速度的计算式。

解：（1）当待测系统静上时，1、2接线柱输出的电压 u

0=E·R

12

/（R+r）

由已知条件U

0=0.4E可推知，R

12

=2r，此时滑片P位于变阻器中点，待测系统沿水

平方向做变速运动分为加速运动和减速运动两种情况，弹簧最大压缩与最大伸长时刻，P点只能滑至变阻器的最左端和最右端，故有：

a 1=kL/2m， a

2

=-kL/2m

所以“加速度计”的测量范围为 [-k·L/2m，·L/2m]，

(2)当1、2两接线柱接电压表时，设P由中点向左偏移x，则与电压表并联部分

的电阻 R

1

=(L/2-x)·4r/L

由闭合电路欧姆定律得： I=E/(R+r)

故电压表的读数为：U=I·R

1

根据牛顿第二定律得: k·x＝m·a

建立以上四式得: a=kL/2m - 5kLU/（4·E·m），

(3)当1、2两接线柱接电流表时，滑线变阻器接在1，2间的电阻被短路．设P由中点向左偏x，变阻器接入电路的电阻为：

R

2

=(L/2+x)·4r/L

根据牛顿第二定律得: k·x=m·a

联立上述三式得: a=k·L(E -3I·r)/(4I·m·r)

2010-2011学年高中物理弹簧模型问题复习探究

弹簧是高中物理中的一种常见的物理模型，几乎每年高考对这种模型有所涉及和作为压轴题加以考查。它涉及的物理问题较广，有：平衡类问题、运动的合成与分解、圆周运动、简谐运动、做功、冲量、动量和能量、带电粒子在复合场中的运动以及临界和突变等问题。为了将本问题有进一步了解和深入，现归纳整理如下，使学生在2011年高考中不为求解这类考题而以愁。

一、 物理模型：轻弹簧是不计自身质量，能产生沿轴线的拉伸或压缩形变，故产生

向内或向外的弹力。 二、 模型力学特征：轻弹簧既可以发生拉伸形变，又可发生压缩形变，其弹力方向一定沿弹簧方向，弹簧两端弹力的大小相等，方向相反。 三、 弹簧物理问题：

1． 弹簧平衡问题：抓住弹簧形变量、运动和力、促平衡、列方程。

2． 弹簧模型应用牛顿第二定律的解题技巧问题：

（1） 弹簧长度改变，弹力发生变化问题：要从牛顿第二定律入手先分析加

速度，从而分析物体运动规律。而物体的运动又导致弹力的变化，变化的规律又会影响新的运动，由此画出弹簧的几个特殊状态（原长、平衡位置、最大长度）尤其重要。

（2） 弹簧长度不变，弹力不变问题：当物体除受弹簧本身的弹力外，还受

到其它外力时，当弹簧长度不发生变化时，弹簧的弹力是不变的，出就是形变量不变，抓住这一状态分析物体的另外问题。

（3） 弹簧中的临界问题：当弹簧的长度发生改变导致弹力发生变化的过程

中，往往会出现临界问题：如“两物体分离”、“离开地面”、“恰好”、“刚好”……这类问题找出隐含条件是求解本类题型的关键。 3． 弹簧双振子问题：

它的构造是：一根弹簧两端各连接一个小球（物体），这样的装置称为“弹簧双振子”。本模型它涉及到力和运动、动量和能量等问题。本问题对过程分析尤为重要。

四．实例探究：

1．弹簧称水平放置、牵连物体弹簧示数确定

【例1】物块1、2放在光滑水平面上用轻弹簧相连，如图1所示。今对物块1、2分别

施以相反的水平力1F 、2F ，且12F F ，则：

A ． 弹簧秤示数不可能为1F

B ． 若撤去1F ，则物体1的加速度一定减小

C ． 若撤去2F ，弹簧称的示数一定增大

D ． 若撤去1F ，弹簧称的示数一定减小 【解析】对物块1、2进行整体分析：1212

F F a m m -=

+，方向向左；对物块1进行分析：

设弹簧弹力为F ，11F F m a -=

解得：2112

12

m F m F F m m +=

+12F F 1F F ∴ ，故

A 对，无论是撤去1F 或2F ，F 均变小故D 对C 错，撤去1F ，可能合外力变大，故

B 错，即正确答案为A 、D 【点评】对于轻弹簧处于加速状态时要运用整体和隔离分析，再用牛顿第二定律列方程推出表达式进行比较讨论得出答案。若是平衡时弹簧产生的弹力和外力大小相等。主要看能使弹簧发生形变的力就能分析出弹簧的弹力。

2．绳子与弹簧瞬间力的变化、确定物体加速度

【例2】四个质量均为m 的小球，分别用三根绳子和一根轻弹簧相连，处于平衡状态，如图所示。现突然迅速剪断1A 、1B ，让小球下落。在剪断轻绳的瞬间，设小球1、2、3、4的加速度分别用1a 、2a 、3a 、4a 表示，则：

（ ）

A ．10a =，22a g =，30a =，42a g =

B 。1a g =，2a g =，32a g =，40a =

C ．10a =，22a g =，3a g =，4a g =

D 。1a g =，2a g =，3a g =，4a g =

【解析】首先分析出剪断1A ，1球受到向上的拉力消失，绳2A 的弹力可能发生突变，那么究竟2A 的弹力如何变化呢？我们可用假设法：设2A 绳仍然有张力，则有1a g ，

2a g ，故1、2两球则要靠近，导致绳2A 松驰，这与假设的前提矛盾。故剪断1A 的

瞬间，2A 绳张力突变为0，所以12a a g ==，此时绳2A 处于原长但未绷紧状态，球1、2整体做自由落体运动；剪断1B 的瞬间，由于2B 是弹簧，其弹力不能瞬间突变，故其对3、4的拉力不变，仍为m g ，易知32a g =，40a =，故选择B 答案。

【点评】本题属于弹簧模型突变问题讨论。要抓住弹簧的弹力不能突变，还要会分析轻绳的弹力如何变化，因绳的力会突变，从而分析本题的答案。

【思考探究题】如图所示，A 、B 两物体的质量分别为m 和2m 中间用轻质弹簧相连，A 、B 两物体与水平面间的动摩擦因数均为μ，在水平推力F 作用下，A 、B 两物体F

一起以加速度a 向右做匀加速直线运动。当突然撤去推力的瞬间，A 、B 两物体的加速度大小分别为

（ ） A ．2a ；a

B 。(2)a g μ+；a g μ+

C ．23a g μ+；a

D 。a ；23a g μ+ 【解析】C 。当A 撤去F 的瞬间受到的合力为F 与原相反，A F a m

=

，而原来为

33F m g

a m

μ-=

，所以有23A a a g μ=+，B 的合力不变即加速度不变，为a ，故选C

答案。

3．弹簧系统放置在斜面上的运动状态分析

【例3】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B ，它们的质量分别为A m 、B m ，弹簧的劲度系数为k ，C 为一固定挡板，系统处于静止状态。现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 发生的位移d 。已知重力加速度为g 。

【解析】令1x 表示未知F 时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知：

1A m gsim kx θ= ①

令2x 表示B 刚要离开C 时弹簧的伸长量，a 表示此时A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知：2B kx m gsim θ=

② 2A A F m gsim kx m a θ--=

③

由②③式可得：()sin A B A

F m m g a m θ

-+=

④

由题意

12d x x =+

⑤

m

M

a

由①②⑤式可得 ()sin A B m m g d k

θ

+=

【点评】本例是弹簧模型在运动和力上的应用，求解时要抓住两个关键：“物块B 刚要离开C ”的条件和弹簧由压缩状态变为伸长状态，其形变量与物块A 的位移d 的关系。

【例4】如图，一倾角为θ的斜面固定在水平地面上，一质量为m 有小球与弹簧测力计相连在一木板的端点处，且将整个装置置于斜面上，设木板与斜面的动摩擦因数为μ，现将木板以一定的初速度0v 释放，不熟与木板之间的摩擦不计，则 （ ）

A ．如果0μ=，则测力计示数也为零

B ．如果tan μθ ，则测力计示数大于sin mg θ

C ．如果tan μθ=，则测力计示数等于sin mg θ

D ．无论μ取何值，测力计示数都不能确定

【解析】本例是将弹簧模型迁移到斜面上，而且设置了木板与斜面之间的动摩擦因数不同来判断测力计的示数的变化。依题意可知，当0μ=时，球与木板处于完全失重状态，测力计示数为零；当tan μθ 时，球与木板的加速度为sin cos g g θμθ-，隔离分析小球就可知道B 答案正确；同理可分析C 答案正确，从而选择A 、B 、C 答案。

【点评】本例是动力学在弹簧模型中的应用，求解的关键是分析整体的加速度，然后分析小球的受力来确定测力计示数的大小。

4．弹簧中的临界问题状态分析

【例5】如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一质量为m 的重物，先由托盘托住m ，使弹簧比自然长度缩短L ，然后由静止开始以加速度a 匀加速向下运动。已知a g ，弹簧劲度系数为k ，求经过多少时间托盘M 将与m 分开？ 【解析】当托盘与重物分离的瞬间，托盘与重物虽接触但无相互作用力，此时重物只受到重力和弹簧的作用力，在这两个力的作用下，当重物的加速度也为然后由牛顿

a 时，重物与托盘恰好分离。由于a g ，故此时弹簧必为伸长状态，第二定律和运动学公式求解：

根据牛顿第二定律得：mg kx ma -=

① 由①

得：()x m g a k

-=

由运动学公式有：2

12L x at +=

② 联立①②式有：

()

2

12

kL m g a at k

+-=

③ 解得：x =

【点评】本题属于牛顿运动定律中的临界状态问题。求解本类题型的关键是找出临界条件，同时还要能从宏观上把握其运动过程，分析出分离瞬间弹簧的状态。我们还可这样探索：若将此题条件改为a g ，情况又如何呢？

5．弹簧模型在力学中的综合应用

【例6】如图所示，坡度顶端距水平面高度为h ，质量为m 的小物块A 从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A 制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M 处的墙上，一端与质量为2m 的挡板B 相连，弹簧处于原长时，B 恰位于滑道的末湍O 点。A 与B 碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM 段A 、B 与

水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g ，求

（1） 物块A 在与挡板B 碰撞前的瞬间速度v

的大小；

（2） 弹簧最大压缩量为d 时的弹簧势能P

E （设弹簧处于原长时弹性势能为零）。

【解析】（1）由机械能守恒定律得：2

1112m gh m v =

①

v =

②

（2）A 、B 在碰撞过程中内力远大于外力，由动量守恒，有：()112m v m m v '=+③

A 、

B 克服摩擦力所做的功：()12W m m gd μ=+ ④

由能量守恒定律，有：

()()2121212

p m m v E m m gd μ'+=++

⑤

解得：()2

1

1212

p m E gh m m g m m μ=

-++d

【点评】本例是在以上几题的基础上加以引深，从平衡到匀变速运动，又由弹簧模型引入到碰撞模型，逐层又叠加，要会识别物理模型，恰当地选择物理规律求解。

【例7】有一倾角为θ的斜面，其底端固定一档板M ，另有三个木块A 、B 和C ，它们的质量分别为A B m m m ==，3C m m =，它们与斜面间

的动摩擦因数都相同。其中木块A 放于斜面上并通过一轻弹簧与档板M 相连，如图所示，开始时，木块A 静止于P 处，弹簧处于原长状态，木块B 在Q 点以初速度0v 向下运动，P 、Q 间的距离为L 。已知

木块B 在下滑的过程中做匀速直线运动，与木块A 相碰后立刻一起向下运动，但不粘连，它们到达一个最低点后又向上运动，木块B 向上运动恰好能回到Q 点。若木块A 仍静止放

在P 点，木块C 从Q 03

向下运动，经历同样过程，最后木块C 停

在斜面的R 点。求： （1）A 、B 一起压缩弹簧过程中，弹簧具有的最大弹性势能；

（2）A 、B 间的距离L '

【解析】（1）木块B 下滑做匀速直线运动，有：sin cos mg mg θμθ= ①

B 与A 碰撞前后总动量守恒有：012mv mv =

②

设AB 两木块向下压缩弹簧的最大的长度为S ，弹簧具有的最大弹性势能为P E ，压缩过程对AB 由能量守恒定律得：2

11

22sin 2cos 2P m v m gS m gS E θμθ+=+

③

联立①②③解得：2

014

P E m v =

④

（2）木块C 与A 碰撞过程，由动量守恒定律得：01343

m m v '=

⑤

碰后AC 的总动能为：2

2

101142

4

k E m v m v ''==

⑥

由③式可知AC 压缩弹簧具有的最大弹性势能和AB 压缩弹簧具有的最大弹性势能相

等，两次的压缩量也相等。设AB 被弹回到P 点时的速度为2v ，从开始压缩到回到P 点有： 2

2

12112cos 222

2

m g S m v m v μθ??=

?-

?

⑦

两木块在P 点处分开后，木块B 上滑到Q 点的过程：()2

21sin cos 2

m g m g L m v θμθ+=

⑧

设AC 回到P 点时的速度为2

v '，同理有：2

2

12

114cos 2442

2

m g S m v m v μθ''??=?-

? ⑨

()2

2

13sin 3cos 32

m g m g L m v θμθ''+=

⑩

联立⑦⑧⑨⑩得：2

32sin v L L g θ

'=-

【点评】本例在上例的基础上又进了一步，它是从受力分析开始，要从过程和状态分析该题，并选准物理规律：动量守恒、动能定理等，还要会用已知字母表达求解结果。

【反思演练题】1。质量不计的弹簧下端固定一小球。现手持弹簧上端使小球随手在竖直方向上以同样大小的加速度a （a g ）分别向上、向下做匀加速直线运动。若忽略空气阻力，

弹簧的伸长分别为1x 、2x ；若空气阻力不能忽略且大小恒定，弹簧的伸长分别为1x '、 2x '则有：A 。x x x x ''+=+ B 。x x x x ''++

C ．1212x x x x ''++

D 。12

12x x x x ''+=+ 【答案】D 。忽略空气阻力，小球向上运动时，由牛顿第二定律有1kx m g

a m

-=

，解得：

1()

m g a x k

+=

，同理可得向下运动时2()

m g a x k

-=

；当空气阻力不能忽略时，设空气阻

力为f ，根据牛顿第二定律有：1kx m g f

a m

'--=

解得：1()m g a f

x k

++'=

，同理向下运

动时2

()m g a f

x k

--'=由以上四式可得12

12x x x x ''+=+=2m g k

故D 答案正确。

2．如图所示，质量分别为1m 和2m 的两物块放在水平地面

上，与水平地面间的动摩擦因数都是μ(0)μ≠，用轻质弹簧将两物块连接在一起。当用水平力F 作用在1m 上时，两物块均以加速度a 做匀加速运动，此时弹簧伸长量为x 。若用水平力F '作用在1m 上时，两物块均以加速度2a a '=做

匀加速运动，此时，弹簧伸长量为x '，则下列关系式正确的是：（ ）

A ．2F F '=

B 。2x x '=

C 。2F F '

D 。2x x '

3．一个竖立着的轻弹簧，支撑着倒立的汽缸的活塞使汽缸悬空静止，如图所示，假设活塞

与汽缸壁之间无摩擦且不漏气，若大气压强增大，汽缸与活塞均有良好绝缘性能。下列说法中正确的是： A ．则弹簧的长度增长，缸底离地面的高度减小，缸内气体内能减少 B ．则弹簧的长度不变，缸底离地面的高度减小，缸内气体内能增加 C ．则弹簧的长度不变，缸底离地面的高度增大，缸内气体温度降低

D ．则弹簧的长度减小，缸底离地面的高度增大，缸内气体温度升高

4．如图所示，静止在水平面上的三角架质量为M ，它用两质量不计的弹簧连接着质量为m 的小球，小球上下振动，当三角架对水平面的压力为m g 时，小球加速度的方向与大小分别是

（ ）

A ．向上，/Mg m

B 。向下，

/Mg m

C ．向下，g

D 。向下，

()/M m g m +

5．有一弹簧原长为L ，两端固定绝缘小球，球上带同种电荷，电荷量都是Q ，由于静电斥力使弹簧伸长了L ?，如图所示，如果两球的电荷量均减为原来的一半，那么弹簧比原长伸长了 （ ）

A ．

4

L ? B 。小于

4

L ? C 。大于

4

L ? D 。

2

L ?

6．如图所示，两物体A 、B 用轻质弹簧相连，静止在光滑水平面上，现同时对A 、B 两物体施加等大反向的水平力1F 、2F ，使A 、B 同时由静止开始运动，在运动过程中，对A 、B 两物体及弹簧组成的系统，下列说法正确的是（整个过程中弹簧不超过其弹性限度）（ ）

A ．机械能始终守恒，动量始终守恒

B ．机械能不断增加，动量不断增加

C ．当弹簧伸长到最长时，系统的机械能最大

D ．当弹簧弹力的大小与1F 、2F 的大小相等时，系统总动能最大

7．如图所示，一端固定在地面上的竖直轻弹簧，在它的正上方高

H 处有一个小球自由落下，落到轻弹簧上，将弹簧压缩。如果分别从1H 和2H （12H H ）高处释放小球，小球落到弹簧上将弹簧压缩的过程中获得的最大动能分别为1

k E 和2

k E ，在具有最大动

能时刻的重力势能分别为1

p E 和2

p E ，比较1

k E 、2

k E 和1

p E 、2

p

E 的大小正确的是

（ ） A ．1

2

k k E E ，1

2

p p E E =

B

。

12k k E E ，12p p E E

C ．1

2

k k E E ，1

2

p p E E =

D 。

12k k E E ，12p p E E

8．如图所示，固定在水平面上的竖直轻弹簧上端与质量为M 的物块A 相连，静止时物块A 位于P 处，另有一质量为m 的物块B ，从A 的正上方Q 处自由下落，与A 发生碰撞立即具有相同的速度，然后A 、B 一起向下运动，将弹簧继续压缩后，物块A 、B 被反弹，下面有关的几个结论正确的是

（ ）

A ．A 、

B 反弹过程中，在P 处物块B 与A 分离 B ．A 、B 反弹过程中，在P 处物块A 具有最大动能

C ．B 可能回到Q 处

D ．A 、B 从最低点向上运动到P 处的过程中，速度先增大后减小 9．（2006年江苏卷）如图所示，物体A 置于物体B 上，一轻质

弹簧一端固定，另一端与B 相连，在弹性限度范围内，A 和B 一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），并保持相对静止，则下列说法正确的是

（ ） A ．A 和B 均做简谐运动 B ．作用在A 上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比 C ．B 对A 的静摩擦力对A 做功，而A 对B 的静摩擦力对B 不做功

D ．B 对A 的静摩擦力始终对A 做正功，而A 对B 的静摩擦力始终对B 做负功

10．（2006年高考北京卷）木块A 、B 分别重50N 和60N ，

它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0。25。夹在A 、B 之间的轻弹簧被压缩了2cm ，弹簧的劲度系数为400/N m 。系统置于水平地面上静止不动。现用F=1N 的水平拉力作用在木块B 上，如图所示。力F 作用后 （ ）

A ．木块A 所受摩擦力的大小是12.5N

B ．木块A 所受摩擦力的大小是11.5N

C ．木块B 所受摩擦力大小是9N

D ．木块B 所受摩擦力大小是7N

11．如图所示，光滑水平面上，质量为2m 的小球B 连接着轻质弹簧，处于静止状态；质量为m 的小球A 以速度0v 向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B 运动，过一段时间后，A 与弹簧分离。设小球A 、B 与弹簧相互作用过程中无机械

能损失，弹簧始终处于弹性限度以内。 （1）求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E ； （2）若开始时在小球B 的右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在小球A 与弹簧分离前使小球B 与挡板发生正碰，并在碰后立刻将挡板撤走。设小球B 与固定挡板的碰撞时间极短，碰后小球B 的速度大小不变，但方向相反。设此后弹簧弹性势能的最大值为m E ，求m E 可能值的范围。

参考答案：2。.D3。B4。B5。C6。C 、D7。C8。D9。A 、B10。C11。（1）E=2

012

m v =

（2）

2

2

1020112

27

m m E m v E m v =

=