常微分方程复习资料

常微分方程复习资料

一、 填空题

1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 2．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 3．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．

4．方程

21d d y x y

-=的常数解是 ． 5．方程22d d y x x

y

+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 6．若)(x y ?=在),(∞+-∞上连续，则方程y x x

y

)(d d ?=的任一非零解 与x 轴相交． 7．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy

平面上 与x 轴相切．

8．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．

9．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ． 10．方程04=+''y y 的基本解组是 ．

11．方程

1d d +=y x

y

满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 12．若)(),(21x y x y ??==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点． 二、单项选择题

1．方程y x x

y

+=-31

d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）

． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 2．)(y f 连续可微是保证方程

)(d d y f x

y

=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 3．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．

（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性

4．方程32

3d d y x

y

=过点(0, 0)有（ ）

．

(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 5．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．

（A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维 6. 方程

2d d +-=y x x

y

（ ）奇解． （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个

7．若)(1x y ?=，)(2x y ?=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ）．

（A ）)()(21x x ??- （B ）)()(21x x ??+ （C ）)())()((121x x x C ???+- （D ）)()(21x x C ??+

8．),(y x f y '

连续是方程

),(d d y x f x

y

=初值解唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分

9．方程

y x

y

=d d 的奇解是（ ）． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y

10. 方程21d d y x y -=过点)1,2

(π

共有（ ）个解． （A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三

11．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2 12．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．

（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解

13．如果),(y x f ，

y

y x f ??)

,(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y =的任一解的存在区间（ ）． （A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+ （C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定 三、计算题

求下列方程的通解或通积分：

1.

y y x y ln d d = 2. x y x y x y +-=2)(1d d 3. 5d d xy y x

y

+= 4．0)d (d 222=-+y y x x xy 5．3)(2y y x y '+'= 6. 21d d x

xy x y += 7. x y x y

2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．0)(2

='+''y y y

11.

x y x y x y tan d d += 12. 1d d +=x

y x y 13. 0d d )e (2=+-y x x y x y 14．1)ln (='-'y x y

15．022=+'+''x y y y 16．求方程255x y y -='-''的通解．

17．求下列方程组的通解．

???????-=+=x

t

y t

y t x d d sin 1d d 18．求方程x y y e 21=-''的通解．

19．求下列方程组的通解

???????+=--=y x t

y y x t

x

43d d 2d d ．

五、证明题

1．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞

→x f x ，求证：方程

)(d d x f y x

y

=+的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞

→x y x ．

2．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．

3．设),(y x f 在整个xoy 平面上连续可微，且0),(0≡y x f ．求证：方程

),(d d y x f x

y

= 的非常数解)(x y y =，当0x x →时，有0)(y x y →，那么0x 必为∞-或∞+． 4．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．

5．在方程)()(d d y y f x

y

?=中，已知)(y f ，)(x ?'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±?．求证：对任意0x 和10

6．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．

参考答案

一、填空题 1．2 2．x x x e ,e 3．开 4．1±=y 5．xoy 平面 6．不能 7．不能 8．必要 9．1,1±=±=x y

10．x x 2cos ,2sin 11．}0),{(2

>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面） 12．没有

二、单项选择题

1.D

2.B

3.C

4.A

5.A

6.A

7.C

8.D

9.D 10.B 11.A 12.C 13.D

三、计算题

1．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得

C x y

y y

+=??d ln d 通积分为

x

C y e ln = 2．解 令xu y =，则x

u x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x

u

x

-= 分离变量，取不定积分，得

C x

x

u u ln d 1d 2

+=-?

?

（0≠C ） 通积分为： Cx x

y

ln arcsin = 3．解方程两端同乘以5

-y ，得

x y x

y

y +=--45

d d 令 z y

=-4

，则x

z x y y d d d d 45

=--，代入上式，得

x z x

z

=--d d 41 通解为

4

1e 4+

-=-x C z x

原方程通解为 4

1

e 44

+

-=--x C y x 4．解 因为

x

N

x y M ??=

=??2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为

C y y x xy y

x

=-??

20

d d 2

即 C y y x =-

3

2

3

1 5．解 原方程是克莱洛方程，通解为 32C Cx y += 6．解 当0≠y 时，分离变量得

x x x y y d 1d 2

+= 等式两端积分得 C x y ln )1ln(2

1

ln 2++= 即通解为

21x C y += 7．解 齐次方程的通解为

x

C y 3e -= 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e

)(-=

代入原方程，确定出 C x C x

+=5e 5

1)( 原方程的通解为

x

C y 3e

-=+

x

2e 5

1 8．解 由于x

N

xy y M ??==??2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为

10

30

23d d )(C y y x xy x y

x

=++??

即 C y y x x =++4

2242 9．解 令t y ='，则原方程的参数形式为

???='+=t

y t x t

e

由基本关系式

t t x y y t d )e 1(d d +='= 积分有

C t t y t +-+=)1(e 2

1

2

得原方程参数形式通解

??

???+-+=+=C

t t y t x t

t

)1(e 21e 2 10．解 原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即

1C y y =' 分离变量得

x C y y d d 1= 积分得通积分

21221

C x C y +=

11．解 令u x y =，则x

u

x

u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x

u

x u tan d d +=+，u x u x

tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得

C x

x

u u ln d tan d +=??

C x u ln ln sin ln +=

即通积分为： Cx x

y

=sin

12．解 齐次方程的通解为

Cx y = 令非齐次方程的特解为 x x C y )(=

代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为

Cx y =+x x ln 13．解 积分因子为 2

1

)(x x =μ 原方程的通积分为

101

2d d )(e C y x x

y

y x x =+-

??

即 1e ,e C C C x

y

x

+==+

） 14．解 令p y ='，则原方程的参数形式为

??

?

??='+=p y p p x ln 1

由基本关系式

y x

y

'=d d ，有 p p p

p x y y )d 1

1(d d 2+-?='=

p p

)d 1

1(-=

积分得 C p p y +-=ln

得原方程参数形式通解为

??

?

??+-=+=C p p y p p

x ln ln 1 15．解 原方程可化为

0)(2='+'x y y

于是 12d d C x x

y

y

=+ 积分得通积分为

23123

1

21C x x C y +-= （6分） 16．解 对应齐次方程的特征方程为052

=-λλ，

特征根为01=λ，52=λ，

齐次方程的通解为 x C C y 521e += 因为0=α是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

)()(21C Bx Ax x x y ++= 代入原方程，比较系数确定出 31=A ，5

1=B ，252=C

原方程的通解为 x x x C C y x

25

2

5131e

23521+++

+= 17．解 先解出齐次方程的通解

??

?

???+??????=??????t t C t t C y x cos sin sin -cos 21

令非齐次方程特解为

?

?

?

???+??????=??????t t t C t t t C y x cos sin )(sin -cos )(~~21 )(),(21t C t C '

'满足

???

?

????=????????''?

?????-0sin 1)()(cos sin sin cos 21t t C t C t t t t 解得 1)(,sin cos )(21='

=

't C t

t t C 积分，得 t t C sin ln )(1=，t t C =)(2

通解为

??

?

???+++?

?????+????

??=??

????t t t t t t t t t t C t t C y x cos sin ln sin -sin sin ln cos cos sin sin -cos 21 18．解对应的齐次方程的特征方程为： 012

=-λ

特征根为： 1,121-==λλ

故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21 因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为

x Ax x y e )(1= 代入原方程，有 x x

x

x

Ax Ax A e 21e e e 2=-+， 可解出 4

1

=A ． 故原方程的通解为 x

x

x

x C C y e 4

1e e 21+

+=- 19．解方程组的特征方程为 0432

1=----=

-λ

λλE A

即 0232

=+-λλ

特征根为 11=λ，22=λ 11=λ对应的解为

t

b a y x e 1111??

????=??????

其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足

???

???=???????????

?----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．

同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a ． 所以，原方程组的通解为

?

?

????-+??????-=???

???t t t t C C y x 2221e 32e e e 五、证明题

1．证明 设)(x y y =是方程任一解，满足00)(y x y =，该解的表达式为

00

e

d e )(e

)()(0x x x x x s x x s s f y x y ---?+

=

取极限

00

e

d e )(lim

e

lim

)(lim )(0

x x x x x s x x x x x s s f y x y --+∞

→-+∞

→+∞

→?+=

=?????

??∞==∞

<+??∞

---+∞→∞

-0

00

000d e )(,0e e )(lim d e )(,00)()

()(x x s x x x x x x x s s s f x f s s f 若若 2．证明 设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞

上有定义，且0)(≠x W ．又由刘维尔公式 ?=-

x

0d )(0e

)()(x s s p x W x W ，),(0∞+-∞∈x

)(e

)()(x

0d )(0x p x W x W x s

s p ?='-

由于0)(0≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有 0)(>'x W 或 0)(<'x W

故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．

3．证明 由已知条件，方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。 （2分） 又由已知条件，知0y y =是方程的一个解。

假如方程的非常数解)(x y y =对有限值0x 有0)(lim 0

y x y x x =→，那么由已知条件，该解在点),(00y x 处可向

0x 的右侧（或左侧）延展．这样，过点),(00y x 就有两个不同解0y y =和)(x y y =．这与解的唯一性矛盾，因此0x 不能是有限值．

4．证明 如果)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次方程 0)()(=+'+''y x q y x p y

的解，那么由刘维尔公式有 ?=-

x

0d )(0e )()(x t t p x W x W

现在，0)(≡x p 故有

C x W x W x W x t ==?=-)(e

)()(0d 00x

5.证明 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然1±=y 是方程的两个常数解．

任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10

)(x y y = 可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过1=y ，下方不能穿过1-=y ，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为),(∞+-∞．

6．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(∞+-∞． 显然，该方程有零解0)(≡x y ．

假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有)()(01

01x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ，这是因为零解也满足初值条件)()(0101x y x y '== 0，于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞ )∞+．这与)(1x y 是非零解矛盾．