常微分方程应用题和答案
应 用 题（每题10分）
1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有
()()()f x y f x f y +=，求()f x 。
2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件
()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+=
（1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。
3、已知连续函数()f x 满足条件320
()3x x
t f x f dt e ??=+ ???
?，求()f x 。
4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞
>=，且满足
1
1
0()lim ()h x h f x hx e f x →?
?+ ?= ?
??
?
，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5
(1)2
f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件
1
1
1
()()()xt x t
f u du t f u du x f u du =+?
??，求()f x 。
6、求连续函数()f x ，使它满足10
()()sin f tx dt f x x x =+??
。
7、已知可微函数()f t 满足
31()
()1()x
f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。
8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21
()01x x x ??
。试求在(,)-∞∞内的连续函
数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。
9、设位于第一象限的曲线()y f x =
过点122??
? ?
??
，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程；
（2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。
10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线
1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。
11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为
A ，已知||||MA OA =，且L 过点33,22??
???
，求L 的方程。 12、设曲线L 的极坐标方程为(),(,)r r M r θθ=为L 上任一点，0(2,0)M 为L 上一定点，若极径0,OM OM 与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于L 上0,M M 两点间弧长值的
一半，求曲线L 的方程。
13、设1y x =和2ln y x x =是二阶齐次线性方程 "()'()0y p x y q x y ++= 的两个解，求
(),()p x q x 以及该方程的通解。
14、设对任意0x >，曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于
01()x
f t dt x
?，求()f x 的一般表达式。
15、设函数(),()f x g x 满足'()(),'()2()x
f x
g x g x e f x ==-，且(0)0,(0)2f g ==，求
20
()()1(1)g x f x dx x x π
??
-??++??
?
。
16、设函数()y y x =在(,)-∞+∞内具有二阶导数，且'0y ≠，()x x y = 是()y y x =的反
函数。（1）试将()x x y =满足的微分方程 3
22(sin )0d x
dx y x dy dy ??++= ???
，
变换为()y y x =所满足的微分方程；
（2）求变换后的微分方程满足初始条件3
(0)0,
'(0)2
y y ==
的解。 17、已知连续函数f x ()满足f tx dt x f x x f t dt x
()()()01
2
01??=+-，求f x ().
解：设u=tx ，则原式化为1102
x f u du x f x x f t dt x x ()()()=+-??
即20
3
f t dt x xf x x
()()?
=+ 由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导
对上式两端关于x 求导，得一阶线性方程f x x
f x x '()()-
=-1
3 所求函数为f x e
xe
dx c cx x dx
x dx
()()=?-?+=-?1
1
33x 2 c 为任意常数
18、.对于任意简单闭曲线L ，恒有
20224xyf x dx f x x dy L
()[()]+-=?
其中 f (x)在（）-∞+∞,有连续的导数，且f (0)=2.求f x ().
19、设f (x)满足)(x f '=f (1-x),求f x ()
20、设??()()()x e x u u du x
x
=--?
,其中?(x)为连续函数,求?(x )
21、人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。
（1）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？
（2）如在3小时的时候，有细菌数4
10个，在5小时的时候有4
410?个，那么在开始时有多少个细菌？
应 用 题 答 案
1、解： 首先从导数定义出发，证明()f x 处处可微，并求出()f x 与()f x '满足的关系，最后定出()f x 。
由于()f x 不恒为零，设0(0)0f x +≠，因而 000()(0)()(0)f x f x f x f =+=得到
(0)1f =
又由'(0)f 存在，对任意x 有
00()()()()()
'()lim lim
x x f x x f x f x f x f x f x x x
?→?→+?-?-==?? 0()[()1]lim ()(0)x f x f x f x f x
?→?-'==?? 由此可见()f x 处处可微且满足 '()()'(0)f x f x f = 即 (0)df
f dx f
'= 解得
'(0)()f x f x ce =
又由 (0)1f = 所以 '(0)()f x
f x e =。
2、解：（1）2
2
()()()()()()()F x f x g x f x g x g x f x '''=+=+
222[()()]2()()(2)2()f x g x f x g x e F x =+-=-
于是()F x 满足一阶线性微分方程 224x
y y e '+=
（2）按一阶线性微分方程的通解公式，
{
}
{}
2222422()44dx
dx
x x
x
x x F x e e e
dx C e e
dx C e Ce ---?
?=?+=+=+??
由 (0)(0)(0)0F f g == 得 1C =-， 于是 22()x
x F x e e -=-.
3、解：方程两端同时对x 求导，得到 2()3()2x
f x f x e '=+ 由题设知道 0
(0)01f e =+=。
故令 ()f x y = 即得 20
321x
x y y e
y ='?-=??=??
332332222dx dx x
x x x x y e C e e dx e C e dx Ce e --??????=+?=+=-??????
?? 由 01x y == 得到 3C =
于是 32()32x
x f x e e =-.
4、解：设1()()h
f x hx y f x ??+=
?
??
， 则 1()
ln ln ()f x hx y h f x +=. 因为 0001()[ln ()ln ()]
limln lim ln
lim [ln ()]()h h h f x hx x f x hx f x y x f x h f x hx
→→→++-'===， 故
1[ln ()]0()lim ()h
x f x h f x hx e f x '→??+= ???
. 由已知条件得 1[ln ()]x f x x
e e
'
=，因此 1[ln ()]x f x x '=
，即 21[ln ()]f x x
'=. 解之得 1
()x
f x Ce
-
= 。
由lim ()1x f x →+∞
=，得 1C =。故 1()x
f x e -
=。
5、解：由题意可知，等式的每一项都是x 的可导函数，于是等式两边对x 求导，得
1
()()()t
tf xt tf x f u du =+? （1）
在（1）式中令1x =，由5(1)2f =
，得 15
()()2
t tf t t f u du =+?， （2）
则()f t 是(0,)+∞内的可导函数，（2）式两边对t 求导，得 5
()'()()2
f t tf t f t +=+，
即 5
'()2f t t
=。
上式两边求积分，得 5
()ln 2
f t t C =+
由5(1)2f =，得5
2
C =。于是 5()(ln 1)2f t t =+。
6、解：令,u tx du xdt ==，原方程变为 01()()sin x
f u du f x x x x
=+? 即
20
()()sin x f u du xf x x x =+?
.
两边求导数，得到 2
()()()2sin cos f x f x xf x x x x x '=+++
'()2sin cos f x x x x =--
积分得 ()2cos sin 2cos sin cos f x x xd x x x x x C =-=-++?
cos sin x x x C =-+.
7、解：首先从题设可求得 (1)1f =， 方程两边求导得 3()
'()()f x f x x f x x
=+.
记 ()y f x = ，得 3'y
y x y x
=
+ 考虑 ()x x y =，方程可化为伯努利方程
31
dx x x dy y
-= 且 11x y == 令 2
32u x
du x dx --==-
2
2du u dy y
+=- 22
322122233dy dy y y C u e C e
dy C y y y y -
?????
?=+-?=-=-?????
?????? 变量还原得 22123
C y x y =- 或者
23
()2()3f x f x C x +=. 又因为(1)1f =，代入上式可得C =5
3
。
即 23()25
().33
f x f x x +=
8、解：当1x <时， 22y y '-=
22222111221dx
dx x x x y e C e dx e C e dx C e --???
???=+=+=-??????
?? 1x < 由 (0)0y = 代入得 11C = 所以 21
(1)x
y e x =-< 当 1x > 时 20y y '-=
通解为 2222(1)dx
x
y C e C e x ?
==>
由 1x = 处()y x 是连续的 22222210
10
lim lim (1)1x
x x x C e
C e e e →+→-==-=-.
所以 2221C e e =- 2
21C e =-.
于是若补充函数值 2
11x y e ==- ，则得到(,)-∞∞上连续函数是所求的函数
22211
()(1)1
x x
e x y x e e x -?-≤=?->?
是所求的函数。
9、解：（1）曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为 1
()Y y X x y
-=-
-'，其中(,)X Y 为法线上任意一点的坐标，令0X =，则 '
x Y y y =+
，
故Q 点坐标为0,'x y y ??
+
?
??
。由题设知 0'x y y y ++=， 即 20ydy xdx +=。 积分得 2
2
2x y C +=（C 为任意常数）。 由
12
x y
=
知 1C = ，故曲线()y f x =的方程为2221(0,0)x y x y +=≥≥。 （2）曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为
2
l =?
.
曲线 ()y f x = 的参数方程为
cos ,02
2
x y θπθθ=??
≤≤
?=??,
故其弧长为
()2
s t π
θ===
-?令
==
12
4=
?=.
10、解：原方程可以改写为一阶线性方程
2
1dy y dx x
-=-， 应用其通解公式得 22
2221dx dx x x
y e C e dx x C dx Cx x x -??????=+-=-=+ ? ?????
?? 由2
,1,2,0y Cx x x x y =+===所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体
体积为 222
2131157()()523V C x Cx dx C C ππ??=+=++ ????
由 62
17'()05
2V C C π??=+= ??? 解得驻点075124C =-，由于62''()05V C π=>，故
075124C =-是唯一的极小值点，因而也是最小值点，于是得所求曲线为2
75124
y x x =-。
11、解：设点M 的坐标为由切线MA 的方程为 ()Y y y X x '-=-
令 0X =，则'Y y xy =-，故点A 的坐标为 (0,')y xy - 由 ||||MA OA =，有
|'|y xy -=
化简后得 2
12'yy y x x -
=-。 令 2
z y =，得 dz z x dx x
-=-。
解得 11()dx dx x x z e xe dx C x x C -????=-+=-+ ???
?。 即 22
y x Cx =-+ 。
由于所求曲线在第一象限内，故
y = 再以条件 3322y ????= ? ?????
代入得 3C =。于是曲线方程为
(03)y x =<<.
12、解：由已知条件得
2001122
r d θθθθ=??， 两边对θ求导得
2
r =
， 即
'r =±，
从而
d θ=±。
因为
1arcsin C r =-+， 所以 1
arcsin C r
θ+=± 由条件(0)2r =，知6C π=，故所求曲线L 的方程为 sin 16r πθ??
=
???
。
13、解：由 1
1221
1,0,ln 1,y y y x y x
''''''===+=；分别代入方程得到 ()()0(1)1
()(ln 1)()ln 0(2)
p x xq x p x x q x x x x
+=???+++=??
(1)ln (2)x ?- 得 1()p x x -= 即 1
()p x x
-=
把 1()p x x -= 代入（1）式得 21
()q x x
=
所以原方程为 211
0y y y x x
'''-+=
又由于12/ln y y x =不为常数，12,y y 是齐次方程的基本解组 原方程的通解为 12ln y c x c x x =+。
14、解：曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线方程为过 ()'()()Y f x f x X x -=-
令 0X =，得截距 ()'()Y f x xf x =-。 由题意，知
01()()'()x
f t dt f x xf x x
=-?， 即 0()[()'()]x f t dt x f x xf x =-?，
上式对x 求导，化简得 "()'()0xf x f x +=， 即 ('())0d
xf x dx
=。 积分得 1'()xf x C =， 因此 12()ln f x C x C =+（其中12,C C 为任意常数）。
15、解：（解法一）由是'()()f x g x = 得 "()'()2()x
f x
g x e f x ==-，于是有
"()()2,(0)0,
'(0)2,x f x f x e f f ?+=?=??=?
解之得 ()sin cos x
f x x x e =-+。 又
220
0()()()(1)()1(1)(1)g x f x g x x f x dx dx x x x π
π??
+--=??+++??
?
? 200'()(1)()()(1)1f x x f x f x dx x x
ππ+-==++?? 0()()1(0)111x
f x f e f x π
πππ
+==-=
+++ （解法二）同解法，得 ()sin cos x
f x x x e =-+ 又
20
00()()()1
()1(1)11g x f x g x dx dx f x d x x x x π
ππ??-=+??++++??
?
?? 000()1
'()()111g x f x dx f x dx x x x
π
π
π=+?-+++??
00()
()()(0)11111x f g x g x f dx dx
x x e ππππ
π=-+-++++=
+??
16、解：（1）由反函数的求导公式
1'dx dy y = 得 '1dx
y dy
=。 两端关于x 求导，得 22
2
()0dx d x y y dy dy
'''+= 由此得到 2
223
()()dx y d x y dy
dy y y ''''=-=-''。
代入原微分方程得 sin y y x ''-=。 （*）
（2）方程 0y y ''-= 的通解为 12x x
Y C e C e -=+。 设方程（*）的特解为 cos sin y A x B x =+，
代入方程（*）求得10,2A B ==-，故 1
sin 2
y x =-， 从而方程（*）的通解是 121sin 2
x x
y C e C e x -=+-。
由 3
(0)0,(0)2
y y '== 得 121,1C C ==-。故所求值问题的解为
1
sin 2
x x y e e x -=--。
17、解：设u=tx ，则原式化为
1102
0x f u du x f x x
f t dt x x ()()()=+-?? 即203
f t dt x xf x x
()()?
=+ 由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导
对上式两端关于x 求导，得一阶线性方程1
()()3f x f x x x
'-
=- 所求函数为1
1
()(3)3dx dx
x x f x e xe dx c cx -??=-+=-?x 2 c 为任意常数
18、解：根据积分与路径无关的充要条件有
[][]
????y 2224xyf x x
f x x ()()=- 即2242223xf x f x x x x ()()]=-?? 或??f x x f x x ()()22
22
2-= 设x 2=t ()
()2df t f t t dt
-=
由一阶线性方程的求解公式有f t e te dt c dt dt ()[]=??+-?
12 =e te e c t t t
[]--+--22
∴f(x)=2
2(1)x ce x -+ 由 f (0)=2得 2=c-2 ∴c=4
∴f(x)=4212
e x x -+()
19、解：由()(1)f x f x '=-知()f x 有二阶导数
在方程两端x 对求导得
()(1)[1(1)]()f x f x f x f x '''=--=---=- 故有()()0f x f x ''+=。 从而有f(x)=c 1cos x +c 2sin x 代入方程，且比较系数有c c c c c c 1122
1211
11=-=+??
?sin cos cos sin
有∴原方程的通解为f(x)=0 20、解:所给为???()()()x e x
u du u u du x
x
x
=-+??
（1）
由上式知?(x )可导，在两端求导得
????'()()()()x e x x u du x x x x =--+?0
即??'()()x e u du x x
=-?0
（2）
再对上式两端求导，得()()x
x x e ??''+= 此方程的通解为 ?(x )=c 1cos x +c 2sin x +(1/2)e x 由 (1) 知?(0)=1，故c 1+(1/2)=1 ,c 1=1/2 由 (2) 知(0)1?'=，故c 2+(1/2)=1 ,c 2=1/2 ∴?(x )=1/2(cos x +sin x +e x )
21、解：设t 时，细菌数为x(t)，由题设有dx
kx dt =，0kt
x x e =。
（1）由4
002(4)k x x x e
==得1
4
2k e =，140(2)t x x =，
112
400
(12)(2)
8x x x ==。
（2）由
43450010(3),410(5)k k
x x e x x e ==?==解得
02,1250
k e x ==。
常微分方程习题及答案
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。
8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程试题(卷)
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
常微分方程第三版答案
常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.
常微分方程期末试题B答案
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2
一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）
四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.
(整理)常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程
常微分方程课后答案
习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;
)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0φσ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，
《常微分方程》第三次作业
《常微分方程》第三次作业 第3章 一阶线性微分方程组 1．完成定理3.1的证明． 2．完成定理3.1′的证明 3．将下列方程式化为一阶方程组 （1）0)()(=++x g x x f x &&& （2）)(d d d d 22t f kx t x c t x m =++ （3）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y 4．求解方程组 ?????? ?+=+=y t p x t q t y y t q x t p t x )()(d d )()(d d 其中)(),(t q t p 在[a , b ]上连续． 5．设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组 X A X )(d d 1t t = 与X A X )(d d 12t t = 有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A ． 6．求解下列方程组： （1）???????==y t y x t x 2d d d d （2）???????+=+=x y t y x y t x 54d d 45d d （3）???????+-=+=y x t y y x t x αββαd d d d 7．求解下列方程组： （1）???-=+=x y y y x x 23&& （2）??? ??+-=-+=+-=z y x z z y x y z y x x 222&&& 8．求解下列方程组： （1）???????=+=y t y y x t x 3d d 3d d （2）???? ?????=+=+=333222 11 2d d 2d d 2d d y x y y y x y y y x y （3）?????+=+=2 e 2t x y y x t && （4）???++=++=t y x y t y x x e 823532&&
2012常微分方程试题B及答案
南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装 订 线 装 订 线
常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解： 齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解： 对应的特征方程为：012 =++λλ， 解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分） 所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分） 凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离 （3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量 （5分）
常微分方程(第三版)课后答案
常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为：
x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：
2018常微分方程考研复试真题及答案
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二
个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27
常微分方程第三版的课后答案
常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：
秋华师《常微分方程》在线作业
秋华师《常微分方程》在线作业
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:
奥鹏1７春16秋华师《常微分方程》在线作业 一、单选题（共20 道试题，共60 分。） １. 微分方程ｙ''+y=sinx的一个特解具有形式()。 A. y*=asinx B．y＊＝acosx C．ｙ*=x(ａsiｎｘ＋bcosx) D．y*＝acｏsx+bｓinx 正确答案: 2. y'''+ｓｉnxy＇-ｘ=cｏsx的通解中应含(）个独立常数。 A. １ B. 2 C．3 D. ４ 正确答案： 3．微分方程xyy''+x（y')^3-y^4-ｙ'＝0的阶数是()。 A. 3 B. 4 C. 5 Ｄ. 2 正确答案： ４．微分方程ｙ'''-ｘ^2ｙ'＇-x^5＝１的通解中应含的独立常数的个数为（)。 A. 3 B. 5 C. 4 D． 2 正确答案： 5. 过点(１,3)且切线斜率为2x的曲线方程y=ｙ(x)应满足的关系是（）。 A.y'＝2x B. ｙ''＝２ｘ C. y＇＝2x,y(１)=３ Ｄ. ｙ''＝2x,ｙ(1）＝3 正确答案： ６.方程dy/ｄx=3y（2/３)过点(0，0）有（)． A. 无数个解 B. 只有一个解 C．只有两个解 D．只有三个解
正确答案： ７. 方程y'-２y=0的通解是（)。 A. y＝sinx B. y=4e^(２ｘ) C．ｙ=Ce^(2ｘ) Ｄ．ｙ=ｅ^x 正确答案： 8. 下列函数中,是微分方程y＇'-7y'+1２ｙ＝0的解()。 Ａ. y=ｘ^３ B. y=x^2 C. ｙ=e^(3x) D．y=ｅ^（2x) 正确答案： 9．按照微分方程通解定义,ｙ＇'=sinx的通解是()。 A. -sｉnｘ+C1x+C2 Ｂ. －ｓinx+C1+Ｃ2 Ｃ. siｎx+C１ｘ＋C2 D．ｓinx+C１x+C2 正确答案: 10．方程组dY/ｄx＝F(x,Y),ｘ∈R，Y∈R^n的任何一个解的图象是（）维空间中的一条积分曲线. A. n B.n+１ C．n-1 D. n－２ 正确答案: 1１．下列函数中，哪个是微分方程dｙ-２ｘdx=0的解（)。 A. y=2x Ｂ．y=x^2 C. ｙ=-2x D．y=－x 正确答案： １２. 微分方程cosｙdy=ｓｉnxdx的通解是()。 Ａ. sinｘ+cｏsｘ=C B．ｃosｙ-ｓinx=Ｃ C. cosｘ－siny＝C D.cｏｓx+sinｙ=C 正确答案: 13. 微分方程2ydｙ-ｄx=0的通解为（)。 A. y^2-x=C B. ｙ-x＾(１/2)＝C C. y=x+C D. y＝-x+C 正确答案：
常微分方程期末考试练习题及答案
一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程
1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知
常微分方程应用题和答案
应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为
常微分方程课后答案(第三版)王高雄
习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.
常微分方程习题
第一章习题 1-1求下列两个微分方程的公共解。 （1）422x x y y -+=' （2）2422y y x x x y --++=' 解 两方程的公共解满足条件 4224222x x y y y x x x -+=--++， 即 022224=-+-y x y x ， 0))(122(22=-++y x y x ， 所以2 x y =或2212 x y +-=。 代入检验可知2 212 x y +-=不符合，所以两方程的公共解为2x y =。 评注：此题是求解方程满足一定条件的解，即求两个微分方程的公共解。在求解时由于令其导数相等，很容易产生增解，因而要对所求结果回代原方程进行检验，舍去增解。 1-2 求微分方程02 =-'+'y y x y 的直线积分曲线。 解 设直线积分曲线为b ax y +=，则a y ='，代入原方程得 02≡--+b ax xa a ， 即0)()(2 ≡-+-b a a a x ， 所以 ???=-=-0 02b a a a ， 可得0==b a 或1==b a 。 因而所求直线积分曲线为0=y 或1+=x y 。 评注：此题是求解方程的部分解，采用的是待定系数法。待定系数法是求解常微分方程常用的方法之一，有待定常数法和待定函数法。本题首先设出满足题设条件的含有待定常数
的解，然后代入原方程来确定待定常数，解决此类问题的关键在于正确地设出解的形式。 1-3 微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线是关于坐标原点成中心对称的曲线。 证 设)(x y ?=满足微分方程，只须证明)(x y --=?也满足方程即可。 作变换x t -=，则证明)(t y ?-=满足方程即可，代入方程两端，并利用)(x y ?=满足此方程，得 左=)())((42222t dx dt t t ??-'， )()1)((42222t t t ??--'= )()(4222t t t ??-'=)(3t t ?==右 故)(t y ?-=也满足方程32224xy y y x =-'。 评注：为了验证)(x y --=?也满足方程，利用积分曲线的性质，进行变量代换x t -=，将)(x y --=?变换成)(t y ?-=后，问题就很容易解决了。 1-4 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比，如果物体在20分钟内由100℃冷却至60℃，那么，在多长时间内，这个物体由100℃冷却至30℃？假设空气的温度为20℃ 解 设物体在空气中时刻t 的温度为)(t T T =，则依牛顿冷却定理得 )20(--=T k dt dT ， 其中k 是比例常数。 两边积分，得通解为kt Ce T -+=20。 由于初始条件为：,100)0(=T 故得80=C ，所以kt e T -+=8020。 将60,20==T t 代入上式后即得：202ln = k ， 即 20202ln )2 1(80208020t t e T ?+=+=-。 故当30=T 时，有20)2 1(802030t ?+=，从中解出60=t （分钟），因此，在一小时内，可使物体由100℃冷却至30℃。