高中选考微专题精练48(四十八)中美洲

高中选考微专题精练48(四十八)中美洲
高中选考微专题精练48(四十八)中美洲

高中选考微专题精练(四十八):中美洲

1.阅读材料,完成下列问题。

材料一:下图为中美洲部分地区略图。

材料二:中美洲地区农业以种植热带经济作物为主,经济作物主要有咖啡、香蕉等。材料三:危地马拉城是中美洲主要城市之一,城市街道像棋盘方格般划分。右上图是该城市周边区域等高线地形图。

(1)简述中美洲发展热带经济作物的有利条件。

(2)图中15°N 附近的陆地区域生物物种非常丰富,说明其物种丰富的自然原因。(3)简析危地马拉城形成的自然区位条件。

2.阅读材料,回答问题。

材料:哥斯达黎加是中美洲一个农业国家,但经济水平在中美洲相对较高。哥斯达黎加临太平洋、大西洋,境内多火山,沿海为平原,中部有山脉。下图为哥斯达黎加地形图及利蒙与蓬塔雷纳斯两城市的气候资料图。

(1)据气候资料图,比较两城市的气温特征并分析其成因。

(2)咖啡、香蕉、甘蔗是哥斯达黎加的主要农产品,且咖啡、香蕉是其主要的出口商品。根据所学知识,简要说明哥斯达黎加咖啡、香蕉种植业发展的有利条件。

(3)美国是哥斯达黎加最大的贸易伙伴,也有人说哥斯达黎加是美国的后花园。请从地理角度分析哥斯达黎加与美国关系密切的原因。

3.阅读图文资料,完成下列要求。

萨尔瓦多(图甲)为中美洲国家,图乙为图甲中该国首都圣萨尔瓦多气候资料统计图,该国国土面积20720平方千米,地形以山地、高原为主,境内多火山。国内经济以农业为主,全国43.2%的人口从事农业生产,可耕地面积210.4万公顷,80%的农产品供出口,主要盛产咖啡豆和棉花,此外蔗糖业每年为其贡献2.5%的GDP产值以及2亿美元的出口收入。该国工业基础薄弱,电力有出口,人口稠密,主食为大米、豆类、玉米、牛奶等。

(1)圣萨尔瓦多气温最高值出现在春季,降水集中分布于夏秋季节,试分析其原因。(2)简述萨尔瓦多发展制糖工业的有利条件。

(3)分析萨尔瓦多电力富余的原因。

4.阅读图文材料,完成下列要求。

尼加拉瓜湖位于尼加拉瓜国境内,西班牙人称之淡水海,是中美洲最大的湖泊,平均水深约在2370米之间,湖中有大小岛屿300多个,湖水由40多条大小河流补给。数万年前,尼加拉瓜湖曾是太平洋的一个海湾,后因某种地质作用形成湖。现在湖里仍然有成千上万尾鲨鱼、箭鱼和大海鲢等海鱼,渔业资源丰富,尼加拉瓜湖是世界上唯一的繁殖生息海水鱼的淡水湖。下图为尼加拉瓜潮流域示意图。

(1)简析尼加拉瓜湖由成水湖变为淡水湖的形成过程。

(2)推断尼加拉瓜湖水位年变化规律,并说出推断依据。

(3)分析尼加拉瓜湖渔业资源丰富的自然原因。

(4)分析尼加拉瓜湖繁殖生息海水鱼的原因。

5.阅读材料,回答下列问题。

材料一:萨尔瓦多是中美洲人口最密集的国家,多山地、高原,经济以农业为主,工业基础薄弱,现已成为海外投资热点。

材料二:中美洲局部略图。尼加拉瓜湖海拔为29米,面积8157平方千米,湖水通过圣胡安河向东南注入加勒比海,湖中生活着众多的海鱼。

(1)比较甲、乙两地降水特征的差异,并从大气环流和地形的角度简析其成因。(2)从地形地质角度简析萨尔瓦多泥石流多发的原因,并说出泥石流对农业生产和交通运输的主要影响。

(3)萨尔瓦多有色金属和硫磺矿丰富,简析其原因。

6.阅读图文材料,完成下列要求。

古巴位于加勒比海西北部,古巴岛是中美洲大安的列斯群岛中最大的岛屿,最北端与美国佛罗里达州隔海相望,被誉为“墨西哥湾的钥匙”。

古巴生产的烟草是世界公认最好的,尤其以古巴西部比那德里奥省的烟草品质最佳,当地生产的雪茄堪称世界极品。当地的烟农们常采用棉质的遮阳篷,确保烟叶良好生长。

(1)指出古巴被誉为“墨西哥湾的钥匙”的原因。

(2)分析古巴优质烟叶产区生产烟叶的优势自然条件。

(3)烟农们采用棉质遮阳篷种植烟草有何目的?

7.阅读图文材料,完成下列要求。

尼加拉瓜运河综合开发项目(筹建中)包括连接大西洋和太平洋的全长278km的运河以及港口、自贸区、度假村、机场、公路等6个子项目,总投资约500亿美元。该运河将比巴拿马运河更长、更深、更宽,投入使用后的经济效益十分可观,尼加拉瓜也将因此而逐步成为中美洲较富裕的国家。尼加拉瓜大运河沿线地区东部多丛林、沼泽,地势低平,西部为沿岸低地,多湖泊、火山。下列左图是尼加拉瓜运河所在区域略图,右图为里瓦斯和布卢菲尔兹两地气候资料图。

(1)简述里瓦斯与布卢菲尔兹两地的降水差异,并分析原因。

(2)分析尼加拉瓜城市分布的特征及其自然原因。

(3)阐述尼加拉瓜运河综合开发项目建成后对沿线地区发展的积极意义。

参考答案

1.(1)地处热带地区,水热充足;火山灰带来肥沃的土壤;地价低,劳动力廉价;离北美市场近。

(2)纬度低,热量充足,降水丰富;多山地,水热垂直差异显著;地形阻挡,山地两侧降水差异大。

(3)海拔高,气候凉爽;地势平缓;附近有河流提供水源。

【解析】

【详解】

(1)中美洲发展热带经济作物的有利条件从气候、土壤、地租、劳动力、市场等方面综合分析。中美洲地处热带地区,水热充足;火山灰带来肥沃的土壤;地价低,劳动力廉价;离北美市场近。

(2)物种丰富的自然原因一般从纬度、相对高度或海拔、水热组合条件等方面分析。图中15°N 附近的陆地区域,纬度低,热量充足,降水丰富;多山地,水热垂直差异显著;地形阻挡,山地两侧降水差异大。

(3)由于中美洲多为热带,且危地马拉城周边多为热带干旱区域,而危地马拉所在地海拔高,气候凉爽;地势平缓;附近有河流提供水源,这些都是该城形成的优势自然条件。【点睛】

中美洲发展热带经济作物的有利条件从气候、土壤、地租、劳动力、市场等方面综合分析。物种丰富的自然原因一般从纬度、相对高度或海拔、水热组合条件等方面分析。城市形成的自然条件要从气候、地形、水源等方面综合分析。

2.(1)特征:两城市均全年高温,但蓬塔雷纳斯各月均温均高于利蒙;蓬塔雷纳斯最高月均温出现在4月,利蒙7月的月均温偏低。原因:两城市均位于低纬、低海拔地区,全年高温且温差小,但蓬塔雷纳斯处在背风坡,各月均温均较高;蓬塔雷纳斯4月正午太阳高度大且处在雨季来临前的旱季,降水量少,气温高,而利蒙7月降水丰富,削弱了太阳辐射,气温偏低。

(2)位于热带地区,水热条件充足;位于环太平洋火山地震带,多火山,火山灰增加了土壤的肥力;劳动力、地租较为廉价;政府政策支持。

(3)哥斯达黎加位于加勒比海沿岸,临太平洋、大西洋,与美国地缘相近(交通联系便利);哥斯达黎加位于热带地区,而美国本土缺少热带领土,因此哥斯达黎加成为了美国热带农产品的供应地及冬季休闲旅游地;哥斯达黎加劳动力比美国廉价,可成为美国劳动力导向型产业的转移地。

【解析】

【详解】

(1)由图可知,利蒙与蓬塔雷纳斯两城市均位于低纬、低海拔地区,因此两地均全年高温且温差小,但蓬塔雷纳斯各月均温均高于利蒙;蓬塔雷纳斯最高月均温出现在4月,利蒙7月的月均温偏低。这是因为该地降水主要受来自海洋的东北信风的影响,蓬塔雷纳斯处在背风坡,各月均温均较高;蓬塔雷纳斯4月正午太阳高度大且处在雨季来临前的旱季,降水量少,气温高,而利蒙7月降水丰富,削弱了太阳辐射,气温偏低。

(2)哥斯达黎加咖啡、香蕉种植业发展的有利条件从自然条件、社会经济因素两方面综合分析。根据图中的经纬度分析,该国地处热带,热量丰富,降水丰富,水热条件优越;该国处在板块的交界处,多火山,火山灰使土壤疏松、肥沃;该国地形以山地为主,排水良好。结合材料分析,咖啡、香蕉种植耗费劳动力较多,而该国的劳动力、地租较为廉价;政府政策支持产业发展,这些都是哥斯达黎加咖啡、香蕉种植业发展的有利条件。

(3)哥斯达黎加与美国关系密切与两国的地缘位置临近、经济发展优势互补有很大关系。

答案第1页,总5页

哥斯达黎加与美国地缘相近且交通联系便利;哥斯达黎加位于热带地区,而美国本土缺少热带领土,因此哥斯达黎加成为了美国热带农产品的供应地及冬季休闲旅游地;哥斯达黎加劳动力比美国廉价,可成为美国劳动力导向型产业的转移地。

【点睛】

影响农业区位的主要因素:(1)自然条件:气候、水源、土壤、地形;(2)社会经济条件:市场、交通运输、政府政策、劳动力、土地价格、资金、管理;(3)技术条件:冷藏、良种、化肥、机械。根据图中的区域位置,结合材料分析哥斯达黎加咖啡种植业发展的有利条件。3.(1)春季,太阳直射点越过赤道向北移动,该地正午太阳高度角较大,雨季未到,降水少,晴天多,太阳辐射强。夏秋季节,受赤道低气压带影响,盛行上升气流,降水多,冬春季节,气压带、风带南移,地处东北信风的背风坡,降水少。

(2)甘蔗产量大,原料充足;国际市场对蔗糖的需求量大;濒临海洋,水运条件好。(3)以热带草原气候为主,雨季降水量大,地势起伏大,水能资源丰富;纬度低,太阳辐射强,太阳能资源丰富;地处板块交界处,地热资源丰富;工业较落后,生活水平较低,电力消费少。

【解析】

【详解】

(1)影响气温的因素主要有纬度、地形、洋流、天气状况等,据图甲纬度可知,圣萨尔瓦多地处北半球低纬度地区,春季,太阳直射点越过赤道向北移动,该地正午太阳高度角较大,且雨季未到,降水少,晴天多,太阳辐射强,因此气温最高。影响降水的因素有大气环流、地形、海陆位置、洋流等。夏秋季节,随着太阳直射点南移,据图可知该地区夏季受赤道低气压带影响,盛行上升气流,降水多,而冬春季节,气压带、风带南移,据图可知该地地处冬季东北信风的背风坡,因此降水少。

(2)工业区位条件包括资源、原料、市场、交通、科技、劳动力、政策等因素。据图甲可知,该地区地处低纬度热带地区,热量充足,甘蔗产量大,因此制糖原料充足;据材料可知,该地区蔗糖业是经济收入的主要创汇来源,说明国际市场对蔗糖的需求量大;据图可知,该地区濒临海洋,水运便利,便于出口。

(3)萨尔瓦多电力富余的原因应从产大于用角度分析。据材料可知,该国地形以山地、高原为主地势起伏大,据海陆位置和纬度位置可知,其以热带草原气候为主,雨季降水量大,因此水能资源丰富;据图可知,其纬度低,太阳辐射强,太阳能资源丰富;据材料知该地多火山,且其位于处板块交界处,因此地热资源丰富;据材料知,该国家属于中美洲国家,经济以农业为主,工业较落后,生活水平较低,电力消费少。

4.(1)海湾受火山喷发影响,将海湾封闭,形成咸水湖;咸水湖受河流及降水补给,由圣胡安河流入到加勒比海,使湖水的盐度降低,逐渐变成淡水湖。

(2)尼加拉瓜湖水位年变化明显,5-10月水位高,12月到次年4月水位低;依据:湖区周围属于热带草原气候,5-10月为雨季,降水多,河流径流量大,水位高;12月到次年4月为旱季,降水少,河流径流量小,水位低。

(3)火山喷发时含有大量火山灰,火山灰为藻类提供了大量的营养物质,促进藻类生长;纬度位置低,热量充足,藻类及鱼类生长快;湖域面积大,为鱼类生长提供了生存空间。(4)尼加拉瓜湖曾是太平洋的一个海湾,海水盐度较高,适合海鱼生长,后因地质作用成湖,且湖水逐渐变淡,海鱼适应了淡水的生活。

【解析】

【详解】

(1)尼加拉瓜湖位于太平洋板块与美洲板块消亡边界差交界处,多火山地震,因火山喷发,火山熔岩流堵截,而与外海隔绝而成湖;地表径流不断汇入湖泊,湖水上涨不断外泄入海,

湖水盐度降低,日渐淡化,变成淡水湖。

(2)尼加拉瓜湖的补给主要来自降水,故其水位年变化规律与当地气候关联度高。尼加拉瓜湖周边为热带草原气候,故该湖的水位年变化明显,5-10月水位高,12月到次年4月水位低。这是因为湖区周围属于热带草原气候,5-10月为雨季,降水多,河流径流量大,水位高;12月到次年4月为旱季,降水少,河流径流量小,水位低。

(3)尼加拉瓜湖渔业资源丰富的自然原因主要与湖区气候适宜、湖水中的营养物质多,湖区面积大有关。该湖所处纬度位置低,热量充足,藻类及鱼类生长快;该湖是火山湖,火山喷发时含有大量火山灰,为藻类繁殖提供了大量的营养物质,湖中藻类多,鱼类饵料丰富;湖域面积大,为鱼类生长提供了生存空间。

(4)大型海鱼需要大面积生存空间,尼加拉瓜湖湖面广阔,为体型大的海鱼提供了广阔的生存空间;尼加拉瓜湖湖水由海水逐渐变成淡水,在湖水日渐淡化过程中,海鱼也适应了水的淡化存活下来。

【点睛】

尼加拉瓜湖渔业资源丰富的自然原因主要与湖区气候适宜、湖水中的营养物质多,湖区面积大有关。

世界性的大渔场形成一般具有如下条件:

1、温带或亚热带海区。这里海水交换较多,饵料丰富。

2、大陆架浅海区域。这里光照条件较好,氧气较多,各种生命活动较旺盛,饵料充足。

3、河流入海口处,河流从陆地带来大量的泥沙和营养类物质,导致这里浮游生物多,鱼类聚集多。

4、寒暖流交汇处。这里海水热扰动强烈,饵料丰富,鱼类聚集。

5、上升流分布位置。冷海水上泛,海水较深处的营养盐类泛到表层,浮游生物较多。

6、离岸风的海边。风吹动表层海水离去,下层海水上泛,海水扰动,营养物质较多,饵料丰富,鱼类较多。

5.(1)差异:与乙地比,甲地年降水量少;降水季节变化大

成因:甲地夏半年受赤道气压带影响,降水丰沛;冬半年位于东北信风的背风坡,降水稀少。乙地全年位于东北信风的迎风坡,多地形雨,各月降水丰富。

(2)成因:多高原山地,地形起伏大;地壳活跃,岩石破碎。危害:淹没农田;摧毁交通设施

(3)地处板块交界,岩浆活动频繁,有利于有色金属矿产形成;火山喷发物多形成硫磺。【解析】

【分析】

本题主要考查影响降水的因素,泥石流的形成以及危害,有色金属和硫磺矿丰富的因素。【详解】

(1)根据甲乙两地位置分析影响降水多少的原因,主要从大气环流、地形等方面分析。甲地夏半年受赤道低气压带的影响,盛行上升气流,降水丰富;冬半年位于东北信风的背风坡,降水稀少,所以甲降水季节变化大;乙地终年位于东北信风的迎风坡,多地形雨,降水量比甲多,季节分配较为均匀。

(2)根据泥石流的形成条件,地势起伏大,多岩石碎屑物;读图该地以高原、山地为主,地势起伏大;位于板块交界处,地壳活跃,岩石破碎,为泥石流的发生提供物质基础;泥石流带来的危害是:淹没农田,摧毁交通设施。

(3)该地位于板块交界处,岩浆活动频繁,有利于有色金属矿产的形成;多火山活动,火山喷发物多形成硫磺矿。

【点睛】

答案第3页,总5页

影响降水的因素

1、位置

海陆位置:近海地区(湿地),大气中水汽含量丰富。

2、大气

(1)风向:海风(湿地)降水多,陆风降水少。

(2)风带:低纬吹向高纬,水汽容易凝结(西风带);反之干燥少雨(信风带)。

(3)气压带:低压带控制空气上升降温,水汽凝结致雨(赤道对流雨);高压带相反。(4)天气系统:低压气旋、锋面空气上升降温,水汽凝结致雨;高压反气旋空气下沉,干燥少雨。

3、地形

(1)地形雨:迎风坡降水多,背风坡降水少;迎风坡山腰处形成地形雨

(2)地形类型:平原利于水汽深入,盆地、谷地地形封闭,高原地势高,水汽难进入(3)山脉走向:与气流方向平行,有利于水汽深入;与气流方向垂直,阻挡水汽深入

4、洋流

暖流上空水汽充足,寒流上空水汽少

5、下垫面

植被覆盖率高,水域面积大,大气水汽充足;裸地水汽含量少

6、人类活动

凝结核(城市雨岛)

6.(1)古巴岛为中美洲大安的列斯群岛中最大岛屿,地处墨西哥湾和大西洋的连接地带;位于加勒比海的西北部,最北端与美国的佛罗里达州隔海相望,地理位置优越,因此被誉为“墨西哥湾的钥匙”。

(2)位于东北信风背风处,光热条件好;山麓缓斜平原,排水条件好;多火山灰土,土壤肥沃;临海,空气湿度大。

(3)减少阳光直射;降低病虫害侵袭;保温保湿;降低风速。

【解析】整体分析:该题以加勒比海的古巴为材料,考查古巴的地理位置,古巴生产烟叶的优势自然条件和采用棉质遮阳篷种植烟草的目的。

(1)本题重点考查地理位置的相关知识,且设问强调了“墨西哥湾钥匙”这一点,因此可从相对位置、交通位置等方面进行考虑。

(2)本题侧重于考查农作物品质优的成因分析。可重点从作物生长环境、生产因素等方面进行分析。

(3)本题考查了农业生产方式的目的。棉质遮阳篷主要会影响作物生长的光热条件,并起到一定的减弱风力、减轻病虫害的作用,从而提升作物品质。

7.(1)差异:里瓦斯年降水量较少,且季节变化大,干湿季分明;布卢菲尔兹全年多雨,除了3月份以外,其余各月降水均超过100mm。原因:布卢菲尔兹地处山地迎风坡,受东北信风影响大,多地形雨,加上纬度较低,受赤道低气压带的影响,形成热带雨林气候,降水量大;里瓦斯地处太平洋沿岸,属于背风地带,形成热带草原气候,降水量较小,且干湿季分明(2)特点:主要分布在中西部海拔较高的地区,自然原因:尼加拉瓜所处纬度低,气温高;中西部地区海拔较高,气候较凉爽,降水量适中,人口较稠密(或东部沿海地区雨林广布,气候湿热,人口稀少)(3)运河沟通了东、西两大洋,成为国际重要的海洋运输通道;促进该国与外界的联系,加快沿线地区的外向型经济发展;增加就业岗位,缓解沿线地区居民就业压力;推动沿线地区相关产业的快速发展;提高沿线地区居民的经济收入等(答出四点)

【解析】(1)影响降水差异的因素有大气环流、地形、洋流、海陆分布等。图示里瓦斯年降

水量较少,且季节变化大,干湿季分明;布卢菲尔兹全年多雨,除了3月份以外,其余各月降水均超过100mm。两地都是低纬区洋流影响无关;两地分在大陆东西两侧,降水差异应与海陆分布、地形、所处纬度有关,布卢菲尔兹地处墨西哥湾沿岸,是山地迎风坡,受东北信风影响大,多地形雨,加上纬度较低,受赤道低气压带的影响大,形成热带雨林气候,降水量大;里瓦斯地处大陆西侧太平洋沿岸,属于东北信风的背风地带,形成热带草原气候,降水量较小,且干湿季分明。

(2)由图可以看出尼加拉瓜城市主要分布在中西部海拔较高的地区;尼加拉瓜所处纬度低,气温高;中西部地区海拔较高,气候较凉爽,降水量适中,适宜人居,人口较稠密;东部沿海地区雨林广布,气候湿热,不利于人居,人口稀少。

(3)尼加拉瓜运河综合开发项目包括运河以及港口、自贸区、度假村、机场、公路等,运河沟通了东、西两大洋,成为国际重要的海洋运输通道;港口、自贸区的发展促进该国与外界的联系,加快沿线地区的外向型经济发展;增加就业岗位,缓解沿线地区居民就业压力;交通运输的建设,推动沿线地区相关产业的快速发展;提高沿线地区居民的经济收入等。本题考查区域地理环境特征及与人类活动的关系。影响降水差异的因素有大气环流、地形、洋流、海陆分布等;两地降水量的差异从降水总量及季节变化进行比较。尼加拉瓜城市主要分布在中西部海拔较高的地区与其所处纬度低,气温高有关。尼加拉瓜运河综合开发项目包括运河以及港口、自贸区、度假村、机场、公路等,对沟通两大洋、外界的联系、增加就业岗位、推动沿线地区相关产业的快速发展、提高沿线地区居民的经济收入等有重要影响。

答案第5页,总5页

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专题13定积分与微积分基本定理知识点

专题13定积分与微积分基 本定理知识点 标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0

微积分知识点小结

第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数,定义域,单调性,奇偶性,有界性,周期性,分段函数,反函数,复合函数,基本初等函数,初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限,左极限,右极限,数列的极限,无穷小量,无穷大量,等价无穷小,在一点连续,连续函数,间断点,第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点),第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口 口口, (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限; ⑵ 利用四则运算法则求极限; ⑶ 利用两个重要极限求极限; ⑷ 利用无穷小替换定理求极限; ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限; ⑹ 利用分子,分母同除以自变量的最高次幂求 ∞∞形式的极限; ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限; ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系,单调有界原理,夹逼准则,极限的惟一性,极限的保号性,极限的四则运算法则,极限与无穷小的关系,无穷小的运算性质,无穷小的替换定理,无穷小与无穷大的关系,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质. 第三章 导数与微分 一、本章提要

瞬时速度,切线,导数,变化率,加速度,高阶导数,线性主部,微分. 2.基本公式 基本导数表,求导法则,微分公式,微分法则,微分近似公式. 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数; ⑵利用导数公式与求导法则求导数; ⑶利用复合函数求导法则求导数; ⑷隐含数微分法; ⑸参数方程微分法; ⑹对数求导法; ⑺利用微分运算法则求微分或导数. 第四章微分学的应用 一、本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线. 2.基本方法 ⑴用洛必达法则求未定型的极限; ⑵函数单调性的判定; ⑶单调区间的求法; ⑷可能极值点的求法与极大值(或极小值)的求法; ⑸连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法; ⑹求实际问题的最大(或最小)值的方法; ⑺曲线的凹向及拐点的求法; ⑻曲线的渐近线的求法; ⑼一元函数图像的描绘方法. 3. 定理 柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则. 第五章不定积分 一、本章提要 1. 基本概念 原函数,不定积分.

微积分知识点归纳

知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 :A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37: 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之,无穷小的倒数是无穷大。 例如:lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则,

lim 0→x x x tan 1=,lim 0→x x x arctan 1=,lim 0→x x x arcsin 1=, lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =,lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时, x x ~sin ,x x ~tan , x x ~arcsin ,x x ~arctan ,x x ~)1ln(+, x e x ~,221 ~cos 1x x -,x x αα++1~)1(,≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限?P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =,)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式:00,∞∞ , 其它未定式 ∞?0,∞-∞,00,∞1,0∞(后三个皆为幂指函数) 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77: lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→

大学微积分知识点总结

【第五部分】不定积分 1.书本知识(包含一些补充知识) (1)原函数:F ’(x )=f (x ),x ∈I ,则称F (x )是f (x )的一个“原函数”。 (2)若F (x )是f (x )在区间上的一个原函数,则f (x )在区间上的全体函数为F (x )+c (其中c 为常数) (3)基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1 (α≠1,α为常数) (4)零函数的所有原函数都是c (5)C 代表所有的常数函数 (6)运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① (7 )[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分: c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地, (9)连续函数一定有原函数,但是有原函数的函数不一定连续,没有原函数的函数一定不连续。 (10)不定积分的计算方法 数乘运算 加减运算 线性运算 (8)

①凑微分法(第一换元法),利用复合函数的求导法则 ②变量代换法(第二换元法),利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法: 【解释:一阶微分形式不变性】 释义:函数 对应:y=f(u) 说明: (11)分段函数的积分 例题说明:{}dx x? ?2,1 max (12)在做不定积分问题时,若遇到求三角函数奇次方的积分,最好的方法是将其中的一 (16)隐函数求不定积分 例题说明: (17)三角有理函数积分的万能变换公式 (18)某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 (19)其他形式的不定积分

高等数学积分公式大全

常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? =1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +? =21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5.d () x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +? =21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2 d ()x x ax b +? = 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10.x C + 11.x ?=2 2(3215ax b C a -+ 12.x x ?=2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13.x =22 (23ax b C a - 14.2x =2223 2(34815a x abx b C a -+

15 . =(0) (0) C b C b ?+>< 16 . 2a b - 17 .x =b +18 .x =2a x -+ (三)含有22x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2(0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23.2 d x x ax b +? =2 1ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x x ax b +?=2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26.22d ()x x ax b +? =21d a x bx b ax b --+?

知识讲解_微积分基本定理

微积分基本定理 编稿:赵雷 审稿:李霞 【学习目标】1.理解微积分基本定理的含义。 2.能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 (1)导数和定积分的直观关系: 如下图:一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),由导数的概念可知,它在任意时刻t 的速度v (t )=s '(t )。设这个物体在时间段[a ,b]内的位移为s ,你能分别用 s (t )、v (t )表示s 吗? 一方面,这段路程可以通过位置函数S (t )在[a ,b]上的增量s (b )-s (a )来表达, 即 s=s (b )-s (a )。 另一方面,这段路程还可以通过速度函数v (t )表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有: ()d b a v t t =? s (b )-s (a ) (2)导数和定积分的直观关系的推证: 上述结论可以利用定积分的方法来推证,过程如下: 如右图:用分点a=t 0<t 1<…<t i -1<t i <…<t n =b , 将区间[a ,b]等分成n 个小区间: [t 0,t 1],[t 1,t 2],…,[t i ―1,t i ],…,[t n ―1,t n ], 每个小区间的长度均为

1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时,在[t i ―1,t i ]上,v (t )的变化很小,可以认为物体近似地以速度v (t i ―1)做匀速运动,物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看,设曲线s=s (t )上与t i ―1对应的点为P ,PD 是P 点处的切线,由导数的几何意义知,切线PD 的斜率等于s '(t i ―1),于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图,可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然,n 越大,即Δt 越小,区间[a ,b]的分划就越细,1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),那么v (t )=s '(t )在 区间[a ,b]上的定积分就是物体的位移s (b )―s (a )。 一般地,如果()f x 是区间[a ,b]上的连续函数,并且'()()F x f x =,那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理: 一般地,如果'()()F x f x =,且()f x 在[a ,b]上可积,则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中,()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便,我们常把()()F b F a -记作()b a F x ,即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。

微积分上重要知识点总结

1、常用无穷小量替换 2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有 界集。 3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角 函数:定义域、值域 4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几 何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。 5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、 高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。 6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。 7、极限的四则运算法则。 8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。 9、两个重要极限及其变形 10、等价无穷小量替换定理 11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续 12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断 点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。 13、连续函数的四则运算 14、反函数、复合函数、初等函数的连续性 15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。 16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。 17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数 的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 18、隐函数的导数。 19、高阶导数的求法及表示。 20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。 21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、

微积分(下册)主要知识点汇总

一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式 三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1 =. 四、积分表续 4.3分部积分法 x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 ) (arcsin .11) (arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1 )(ln .3)0()()(1)(.2) 0()()(1 )(.1法 分 积元换一第换元公式 积分类型2 2 2 2 1==========+=-=-= +-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +?????? ????????????????-μμ μμμμμ

微积分大一基础知识经典讲解

Chapter1 Functions(函数) 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B. 2)The set A is called the domain(定义域) of the function. 3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain. ?=)()(x g x f :Note 1)(,1 1)(2+=--=x x g x x x f E xample )()(x g x f ≠? Elementary Functions(基本初等函数) 1) constant functions f (x )=c 2) power functions 0,)(≠=a x x f a 3) exponential functions 1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞ 4) logarithmic functions 1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R 5) trigonometric functions f (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc x

微积分公式大全

导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++, , ,  22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

专题13 定积分与微积分基本定理知识点

考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0

()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . (2)在 ()d b a f x x ? 中,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数()f x 叫做被 积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. 4.定积分的性质 (1)()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数); (2)[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??; (3) ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a

高中微积分知识点总结

微积分(下)知识点总结 6月26日 马上就要进入期末考试了,本学期的推送也将告一段落了,希望同学们期末考试能有个好成绩,现将本学期所做的推送归纳一下。 微积分(下)的主要知识点和考点归纳如下: 第6章定积分及其应用 1、定积分的计算(换元积分法、分部积分法、定积分的对称性问题); 2、定积分的应用(平面图形的面积、旋转体的体积); 3、反常积分(无穷区间上的反常积分、无界函数的反常积分)。 第7章多元函数微分学 1、空间解析几何基础(空间两点间的距离、平面方程:一般方程、截距式方程特殊的平面方程、球面方程); 2、多元函数的概念(二元函数的极限、二元函数的连续性); 3、偏导数(偏导数的定义、偏导数的计算、偏导数存在与函数连续性的关系、高阶偏导数); 4、全微分及其应用(全微分的定义、全微分的计算、可微与连续,偏导数存在之间的关系); 5、多元复合函数的微分法; 6、多元函数的极值(二元函数的极值、二元函数的最值、条件极值)。 第8章二重积分 1、二重积分的几何意义; 2、二重积分的性质; 3、二重积分的计算(在直角坐标系中计算二重积分、交换积分次序、在极坐标中计算二重积分)。 第9章无穷级数 1、常数项级数的概念和性质(常数项级数收敛与发散的定义、常数项级数的性质、级数收敛的必要条件); 2、三类常用的级数(等比级数、调和级数、p级数); 3、正项级数及其审敛法(比较判别法、比较判别法的极限形式、比值判别法、根值判别法); 4、任意项级数(交错级数及其莱布尼茨判别法、绝对收敛与条件收敛); 5、幂级数(求幂级数的收敛半径及收敛域、求幂级数的和函数); 6、函数展开成幂级数(常用的函数的幂级数展开式、间接展开法)。 第10章微分方程 1、微分方程的基本概念(微分方程的阶数、验证函数是微分方程的解); 2、可分离变量的微分方程; 3、齐次方程; 4、一阶线性微分方程及其常数变易法; 5、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构及求解方法。 §6.3定积分的换元积分法和分部积分法知识点; §6.4 定积分的应用知识点; §6.5 反常积分的知识点; 第6章定积分及其应用练习题及答案;

(完整版)高等数学(下)知识点总结

高等数学(下)知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2 222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222 双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111C B A n =ρ,),,(2222C B A n =ρ , 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ;?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= (三) 空间直线及其方程

(完整)高中微积分基本知识

高中微积分基本知识 第一章、 极限与连续 一、 数列的极限 1. 数列 定义: 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 1,,,n x x K L 叫数列,记作{}n x ,并吧每个数叫做数列的项,第n 个数叫做数列的第n 项或通项 界的概念: 一个数列{}n x ,若0M ?>,..s t 对*n N ?∈,都有n x M ≤,则称{}n x 是有界的: 若不论M 有多大,总*m N ?∈,..s t m x M >,则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤,则a 称为n x 的下界,b 称为n x 的上界 {}n x 有界的充要条件:{}n x 既有上界,又有下界 2. 数列极限的概念 定义: 设{}n x 为一个数列,a 为一个常数,若对?0ε>,总?N ,..s t 当n N >时,有 n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限,记作lim n n x a →∞ =或()n x a n →→∞ 数列有极限时,称该数列为收敛的,否则为发散的 几何意义: 从第1N +项开始,{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+ 3. 数列极限的性质 ①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性:极限大小关系?数列大小关系(n N >时) 二、 函数的极限 1.定义:两种情形 ①0x x →:设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>, 0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,恒有()f x A ε-<成立, 则称()f x 在0x x →时有 极限A 记作0 lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111 C B A n =ρ ,),,(2222C B A n =ρ , 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ;? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= (三) 空间直线及其方程

常用微积分公式大全

常用微积分公式大全 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分.

大学微积分l知识点总结(一)

大学微积分I 知识点总结 【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式: 2 2 a b 2ab 3 abc c 3 3abc a b a 2 b 2 2 ' 2 当且仅当,a i b i 为常数,i 1,2,3...n 时取等号 2、函数周期性和对称性的常用结论 1、若 f (X+a ) =± f (X+b ),则 f (x )具有周期性;若 f (a+X )=± f (b-X ),则 f ( X )具有对 称性。 双向不等式: 扩展:若有y -b b 两侧均在ab > 0或ab < 0时取等号 且x 1 n 则的最大值为:Xl X2 ... X n n x 1 ?X 2?...?X n , X 2 ... x n p p 为常数 柯西不等式: ^设 a i 、a 2、...a n , b i 、 b 2、..?b n 均是实数,则有: a 〔 b-] a 2 2 2 2 a n b n a i a 2 2 2 2 ... a n b| b ? bn 2 a i a 2??? a n n n

口诀:“内同表示周期性,内反表示对称性” 2、周期性 (1) 若f (x+a) =f (b+x),贝U T=|b-a| (2) 若f (x+a) =-f (b+x),则T=2|b-a| (3) 若f (x+a) =± 1/f (x),贝U T=2a (4) 若f (x+a)=【1-f (x)】/【1+f (x)】,则T=2a (5) 若f (x+a)=【1+f (x)】/【1-f (x)】,则T=4a 3、对称性 (1) 若f (a+x) =f (b-x),贝U f (x)的对称轴为x= (a+b) /2 (2) 若f (a+x) =-f (b-x) +c,则f (x)的图像关于((a+b) /2,c/2)对称4、函数图象同时具备两种对称性,即两条对称轴,两个对称中心,一条对称轴和一个对称中心,则函数必定为周期函数,反之亦然。 (1) 若f (x)的图像有两条对称轴x=a和x=b,则f (x)必定为周期函数,其中一个周期为2|b-a| 。 (2) 若f (x)的图像有两个对称中心(a,0)和(b,0),(a^b),则f (x) 必定为周期函数,其中一个周期为2|b-a| (3) 若f (x)的图像有一个对称轴x=a和一个对称中心 则f (x)必定为周期函数,其中一个周期为4|b-a| 3、三角函数 正弦sin 余弦cos 十「十n 正切tan b,0) ,( a^ b),

微积分下册主要知识点

微积分下册主要知识点 C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式 三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,2 2x a - 可令 ;sin t a x = b) ,2 2a x + 可令 ;tan t a x = c) ,2 2a x - 可令 .sec t a x = 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1= . 四、积分表续 4.3分部积分法 分部积分公式: x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 ) (arcsin .11) (arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1 )(ln .3)0()()(1)(.2) 0()()(1 )(.1法 分 积元换一第换元公式 积分类型2 2 2 2 1==========+=-=-= +-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +?????? ????????????????-μμ μμμμμ

高中微积分基本知识

高中微积分基本知识 第一章、 极限与连续 一、 数列的极限 1. 数列 定义: 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 1, ,, n x x 叫数列,记作{}n x ,并吧每个数叫做数列的项,第n 个数叫做数列 的第n 项或通项 界的概念: 一个数列{}n x ,若0M ?>,..s t 对*n N ?∈,都有n x M ≤,则称{}n x 是有界的: 若不论M 有多大,总*m N ?∈,..s t m x M >,则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤,则a 称为n x 的下界,b 称为n x 的上界 {}n x 有界的充要条件:{}n x 既有上界,又有下界 2. 数列极限的概念 定义: 设{}n x 为一个数列,a 为一个常数,若对?0ε>,总?N ,..s t 当n N >时,有 n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限,记作lim n n x a →∞ =或()n x a n →→∞ 数列有极限时,称该数列为收敛的,否则为发散的 几何意义: 从第1N +项开始,{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+ 3. 数列极限的性质

①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性:极限大小关系?数列大小关系(n N >时) 二、 函数的极限 1.定义:两种情形 ①0x x →:设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>, 0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,恒有()f x A ε-<成立, 则称()f x 在0x x →时有 极限A 记作0 lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→ 几何意义:对0ε?>,0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,()f x 介于两直线y A ε=± 单侧极限:设()f x 在点0x 处的右侧某邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>,0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时, 恒有()f x A ε-<成立,称()f x 在0x 处有右极限A , 记作0 lim ()x x f x A + →=或0()f x A + = 0 lim ()x x f x A →=的充要条件为:0 0()()f x f x +- ==A 垂直渐近线:当0 lim ()x x f x →=∞时,0x x =为()f x 在0x 处的渐近线 ②x →∞:设函数()f x 在0x b ≥≥上有定义,A 为常数,若对0ε?>,,..X b s t ?>当x X >时,有()f x A ε-<成立,则称()f x 在x →∞时有极限A ,记作 lim ()x f x A →∞ =或()()f x A x →→∞ lim ()x f x A →∞ =的充要条件为:lim ()lim ()x x f x f x A →+∞ →-∞ == 水平渐进线: 若lim ()x f x A →+∞ =或lim ()x f x A →-∞ =,则y A =是()f x 的水平渐近线 2.函数极限的性质: ①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性(②③在当00x x δ<-<时成立) 三、 极限的运算法则 1. 四则运算法则

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