(word完整版)高中微积分基本知识
高中微积分基本知识
第一章、 极限与连续
一、 数列的极限 1. 数列 定义:
按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数
1,,,n x x K L 叫数列,记作{}n x ,并吧每个数叫做数列的项,第n 个数叫做数列的第n 项或通项 界的概念:
一个数列{}n x ,若0M ?>,..s t 对*n N ?∈,都有n x M ≤,则称{}n x 是有界的: 若不论M 有多大,总*m N ?∈,..s t m x M >,则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤,则a 称为n x 的下界,b 称为n x 的上界
{}n x 有界的充要条件:{}n x 既有上界,又有下界
2. 数列极限的概念 定义:
设{}n x 为一个数列,a 为一个常数,若对?0ε>,总?N ,..s t 当n N >时,有
n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限,记作lim n n x a →∞
=或()n x a n →→∞
数列有极限时,称该数列为收敛的,否则为发散的 几何意义:
从第1N +项开始,{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+
3. 数列极限的性质
①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性:极限大小关系?数列大小关系(n N >时) 二、 函数的极限 1.定义:两种情形
①0x x →:设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>,
0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,恒有()f x A ε-<成立, 则称()f x 在0x x →时有
极限A
记作0
lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→
几何意义:对0ε?>,0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,()f x 介于两直线y A ε=± 单侧极限:设()f x 在点0x 处的右侧某邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>,0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,
恒有()f x A ε-<成立,称()f x 在0x 处有右极限A , 记作0
lim ()x x f x A +
→=或0
()f x A +
= 0
lim ()x x f x A →=的充要条件为:0
0()()f x f x +-==A 垂直渐近线:当0
lim ()x x f x →=∞时,0x x =为()f x 在0x 处的渐近线
②x →∞:设函数()f x 在0x b ≥≥上有定义,A 为常数,若对0ε?>,,..X b s t ?>当x X >时,有()f x A ε-<成立,则称()f x 在x →∞时有极限A ,记作
lim ()x f x A →∞
=或()()f x A x →→∞
lim ()x f x A →∞
=的充要条件为:lim ()lim ()x x f x f x A →+∞
→-∞
==
水平渐进线: 若lim ()x f x A →+∞
=或lim ()x f x A →-∞
=,则y A =是()f x 的水平渐近线
2.函数极限的性质:
①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性(②③在当00x x δ<-<时成立) 三、 极限的运算法则
1. 四则运算法则
设()f x 、()g x 的极限存在,lim (),lim ()f x A g x B ==则 ①lim ()()f x g x A B ±=± ②lim[()()]f x g x AB = ③()lim
()f x A
g x B
= (当0B ≠时) ④lim ()cf x cA = (c 为常数) ⑤lim[()]k k f x A = (k 为正整数) 2. 复合运算法则
设[()]y f x ?=,若0
lim ()x x x a ?→=,则0
lim [()]()x x f x f a ?→=
可以写成0
lim [()][lim ()]x x x x f x f x ??→→= (换元法基础)
四、极限存在准则及两个重要极限 1.极限存在准则 ①夹逼准则
设有三个数列{}n x ,{}n y ,{}n z ,满足
n n n y x z ≤≤ , lim lim n n n n y z a →∞
→∞
== 则lim n n x a →∞
=
②单调有界准则 有界数列必有极限 3. 重要极限
①0sin lim 1x x x →= ②1lim 1x
x e x →∞??+= ???
或()1
0lim 1x x x e →+= 五、无穷大与无穷小 1.无穷小:
在自变量某个变化过程中lim ()0f x =,则称()f x 为x 在该变化过程中的无穷小 ※ 若()0f x =,则()f x 为x 在所有变化过程中的无穷小
若()f x ε=,则()f x 不是无穷小 性质:1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小
4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小
5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小
定理:lim ()f x A =的充要条件是()()f x A x α=+,其中()x α为x 在该变化中过程中的无穷小
无穷小的比较:(趋于0的速度的大小比较)
(),()x x ααββ==,为同一变化过程中的无穷小
若lim
c α
β
=(0c ≠常数) 则α是β的同阶无穷小 (当1c =时为等价无穷小) 若lim
k
c α
β=(0c ≠常数) 则α是β的k 阶无穷小 若lim
0α
β
= 则α是β的高阶无穷小 常用等价无穷小:(0x →)sin tan arcsin arctan ln(1)1x x x x x x x e +-::::::;
2
1cos 2x x -:;(1)1x x βααβ+-:;1ln x a x a -:
2.无穷大:
设函数()f x 在0x 的某去心邻域内有定义。若对于0M ?>,0δ?>..s t 当
00x x δ<-<时,恒有()f x M >
称()f x 当0x x →时为无穷大,记作0
lim ()x x f x →=∞
定理:lim ()f x 1lim ()1lim ()f x f x ??
????
????
????
无穷大为无穷小无穷小为无穷大 (下:趋于某点,去心邻域不为0)
※ 无穷大的乘积为无穷大, 其和、差、商不确定
六、连续函数 1.定义
设函数()y f x =在0x 某邻域有定义,若对0ε?>,0δ?>..s t 当00x x δ<-<时,恒有: 0()()f x f x ε-<
也可记作 0
0lim ()()x x f x f x →= 或 0
lim 0x y ?→?=
00()()f x f x -=(或00()()f x f x +=)为左(或右)连续
2.函数的间断点
第一类间断点:左右极限存在???
左右极限相等,该处无定义可去间断点左右极限不等跳跃间断点
第二类间断点:无穷间断点,震荡间断点等
3.连续函数的运算
若函数()f x 与()g x 都在x 处连续,则函数
()()f x g x ±,()()f x g x ,
()
()
f x
g x (()0g x ≠) 定理:[()]y f g x =,00()g x u =,若()g x 在0x 处连续,()f g 在0u 处连续,则
[()]y f g x =在0x 处连续
4. 闭区间连续函数的性质
① 最值定理:()f x 在[,]a b 上连续, 则12,x x ?,对一切[,]x a b ∈有 12()()()f x f x f x ≤≤
②介值定理:()f x 在[,]a b 上连续,对于()f a 与()f b 之间的任何数u ,至少?一点ξ,
..s t ()f u ξ=
第二章、 导数
一、导数的概念
定义:设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义,如果极限 000
()()
lim
x f x x f x x
?→+?-? 存在,则称函数()y f x =在点
0x 可导,极限值为函数()y f x =在点0x 处的导数,记为'0()f x
单侧导数:设函数()y f x =在点0x 处的左侧00(,]x x δ-有定义,若极限 000
()()
lim x f x x f x x
-
?→+?-? 存在,则称此极限为函数
()y f x =在点0x 处的左导数,记为'0()f x -,类似有右导数'0()f x +
导函数:函数()y f x =在某区间上可导,则 '0
()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-=?
性质:①函数()y f x =在点0x 处可导的充要条件''00()()f x f x -+= ②可导?连续
导数的几何意义: 函数点处的切线斜率 二、求导法则
1.函数的和、差、积、商的求导法则
定理:若(),()u u x v v x ==都在x 处可导,则函数()()u x v x ±在x 处也可导,且 '''[()()]()()u x v x u x v x ±=±
定理:若(),()u u x v v x ==都在x 处可导,则函数()()u x v x 在x 处也可导,且 '''[()()]u x v x u v uv =+
推论:若1,,n u u K 都在x 处可导,则函数12n u u u L 在x 处也可导,且
''''12121212[]n n n n u u u u u u u u u u u u =++L L L L L
定理:若(),()u u x v v x ==都在x 处可导,则函数
()
()
u x v x 在x 处也可导,且 '
''
2
()()u x u v uv v x v ??-=???? 2.反函数的求导法则
定理:设函数()x g y =在y I 上单调可导,它的值域为x I ,而'()0g y ≠,则其反函数
1()()y g x f x -==在区间x I 上可导,并且有
''1
()()
f x
g x = 4. 复合函数的求导法则
定理:若函数()u x ?=在0x 可导,函数()y f u =在点00()u x ?=可导,则复合函数
(())y f x ?=在0x 处可导
'''[(())](())()f x f x x ???= 或 dy dy du
dx du dx
=g (连锁规则) 三、高阶导数
定义:若函数()y f x =的导数''()y f x =仍可导,则''()y f x =导数为()y f x =的二
阶导数,记作2"
"
2,(),d y y f x dx , 类似的,有n 阶导数()()
,(),n n n n d y y f x dx
四、隐函数求导
对于[,()]0F x y x =,或[,()][,()]F x y x G x y x =,若求dy dx
求导法:方程两侧对x 求导
微分法:方程两侧求微分
公式法:''x y
F dy
dx F =- ,将方程化成[,]F x y =0,将F 看成关于x,y 的二元函数,分
别对x,y 求偏导'',x y F F 五、参数方程所确定的函数求导
()()
x t y t ?ψ=??
=? ,''''()/()t t y dy dy dt dy dx t dx dt dx dt dt t x ψ?====g
导数公式 基本函数:
导数运算法则:
'''()u v u v ±=± ''()Cu Cu =
'
'
'
()uv u v uv =+ ''
'2
()u u v uv v v
-= ()
()
()
()
n n n u v u
v
±=± ()
()()
()
n
n k n k k n k uv C u v -==∑ 高阶导数
()()[()]()n n n Cf ax b Ca f ax b +=+ ()
*(),(),0n m m n m
n x A x n N m n -=∈>=若则 ()
11!(1)n n
n n x x
+??=- ?
??
()()ln x n x n a a a = ()1
(1)!
(log )(1)ln n n a n
n x x a --=- ()(sin )sin()2
n n x x π
=+
()(cos )cos()2
n n x x π
=+
※1.1()()n n o x o x x += 2.'000
()()
lim ()x f x f x f x x x ?→-≠-,需补充条件()f x 在0x 处可导或该极限存在
'0C ='1()x x μμμ-='
()ln x x a a a ='1(log )ln a x x a ='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'2(cot )csc x x =-'(sec )sec tan x x x ='(csc )csc cot x x x
=
-'(arcsin )x =
'(arccos )x ='21(arctan )1x x =
+'2
1(arccot )1x x =-
+
第三章、微分
一、微分的概念
定义:设函数()y f x =在某区间I 上有定义,00,x x x I +?∈,若
00()()y f x x f x ?=+?-可表示为
()y A x o x ?=?+? (其中A 与x ?无关) ,则称A x ?为y 在0x 处的微分,记作dy A x =? ※dy y ?与的区别: 当y 为自变量时,dy y =?
当y 为因变量时,dy y ≈?,()y dy o x ?=+?,dy 为y 的线性主部 定理:对于一元函数()y f x =,?可导可微
性质:一阶微分形式不变性,对于高阶微分()()()n n n d y f x dx = 二、微分的几何意义 “以直代曲”
①有限增量定理:'()y f x x x θ?=+?? (01)θ<< ②,L Hospital 法则:
型未定式定值法:(),()f x g x 在0x 的某去心邻域有定义,且0
lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==,(),()f x g x 在0x 的某去心邻域可导,且'()0g x ≠
0''()lim ()x x f x A g x →=,则有00''()()lim lim ()()
x x x x f x f x g x g x →→= ∞
∞,0∞g ,1∞,∞-∞,00,0∞类似
四、函数的单调性与极值 1.单调性:
定理:设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,则
2.极值
定义:设函数()y f x =在点0x 某邻域有定义,若对该邻域内一切x 都有 0()()f x f x >
则0()f x 是函数()f x 的一个极大值,点0x 为函数()f x 的一个极大值点。(极小值类似) 函数取得极值的一阶充分条件
函数()y f x =在点0x 去心邻域可导,且在0x 处可导或导数不存在,则: ①当0x x <时,'()0f x >,0x x >时,'()0f x <,则0()f x 是极大值 ②当0x x <时,'()0f x <,0x x >时,'()0f x >,则0()f x 是极小值 ③无论0x x <还是0x x >,总有'()0f x >(或'()0f x <),则0()f x 不是极值 函数取得极值的二阶充分条件
函数()y f x =在点0x 处具有二阶导数,且'0()0f x =,"0()0f x ≠,则
①若"
0()0f x >,则0()f x 是极小值
②若"0()0f x <,则0()f x 是极大值
第四章、不定积分
一、不定积分的概念和性质 1.原函数与不定积分
原函数:设()f x 在I 上有定义,若对x I ?∈,都有
'()()F x f x = 或 ()()dF x f x dx =
则称()F x 为()f x 在I 上的一个原函数
原函数存在定理:若函数()f x 在I 上连续,则在I 上?可导函数()F x ,..s t 对x I ?∈,
都有'()()F x f x =。即连续函数一定有原函数
不定积分:设()F x 使()f x 的一个原函数,C 为任意常数,称()F x C +为()f x 的不
定积分,记作
()()f x dx F x C =+?
几何意义:积分曲线族 2.不定积分的性质:
①积分运算与微分运算为互逆运算 ②[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±??? ③()()kf x dx k f x dx =?? 0k ≠ 二、换元积分法
1.第一类换元积分法
定理:设()f u 有原函数,且()u x ?=具有连续导数,则'[()]()f x x ??有原函数
'[()]()()f x x dx f u du ??=?
?
2.第二类换元积分法
定理:设()f x 连续,()x t ?=具有连续导数,且'()0t ?≠,则
'()[()]()f x dx f t t dt ??=??,其中1
()t x ?
-=
三、分部积分法
''uv dx uv u vdx =-??
四、有理函数的积分 1.简单有理函数的积分 ①将真分式
()
()
P x Q x 分解为部分分式之和
对于()()k Q x x a =-形式:应分解成k 个部分分式12
2,()()k k
A A A x a x a x a ---L 对
于
2()()l
Q x x px q =++:应分解成
l 个部分分式
1122
2222,()()l l l
C x
D C x D C x D x px q x px q x px q +++++++++L ②求4种积分
1
dx x a
-?,1()k dx x a -?,2Cx D dx x px q +++?,2()l Cx D dx x px q +++? 其中,对于2()l Cx D dx x px q +++?,可令2p
t x =+
,2444q p a -?==- 则2()l
Cx D dx x px q +++?
221
()l dt t a =+?,再利用递推法 2.三角函数有理式的积分
万能变换:tan 2x u =,2
2
22sin 11cos 1u x u u
x u ?
=??+?-?=?+? ,221dx du u =+ 其他方法:
一、
二、tan n xdx ?与cot n xdx ? *n N ∈ 对于tan n xdx ?令tan t x = 对于cot n xdx ?令cot t x =
三、sec n xdx ?与csc n xdx ? n 为偶数 对于sec n xdx ?令tan t x =
对于csc n xdx ?令cot t x = 四、sin cos m n x xdx ?
当n,m 至少有一个为奇数时,可利用22sin cos 1x x +=将其转化 当n,m 均为偶数时,利用2倍角转化
五、11sin cos sin cos a x b x
dx a x b x
++?
令11(sin cos )(sin cos )(cos sin )a x b x A a x b x B a x b x +=++-1442443144424443
分母
分子
解出A,B
原函数为ln|sin cos |Ax B a x b x C +++1442443
分母
积分表
kdx kx C =+?
111n
n x dx x C n +=++? (1n ≠-) 1
ln dx x C x
=+? ln x
x
a a dx C a =+? sin cos xdx x C =-+? cos sin xdx x C =+?
tan ln cos xdx x C =-+? cot ln sin xdx x C =+? sec ln sec tan xdx x x C =++?
csc ln csc cot xdx x x C =-+? 2
sec tan x x C =+?
2csc cot xdx x C =-+? sec tan sec x xdx x C =+? csc cot cot x xdx x C =-+?
arcsin x C =+
21arctan 1dx x C x =++? 22
11arctan x dx C x a a a
=++?22
11ln 2x a
dx C x a a x a
-=+-+?
arcsin
x dx C a =+ x C =+
第五章、定积分
一、定积分的定义
定义:设函数()f x 在[,]a b 上有界,在[,]a b 内任意插入n-1个分点
011n n a x x x x b -=<<<<=L
把[,]a b 分成n 个小区间,1[,]i i x x -(1,2,,i n =L ).记1i i i x x x -?=-,在第i 个区间上
任取一点i ξ,用()i f ξ乘上区间长度i x ?,即()i i f x ξ?,并作和1
()n
i i i f x ξ=?∑.
记{}12max ,,,n x x x λ=???L ,无论怎么分割,无论怎么取i ξ,若0λ→时,
1
()n
i
i
i f x ξ=?∑趋于同一极限,则称此极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记作()b
a
f x dx ?
()b
a
f x dx ?
1
lim ()n
i i i f x λξ→==?∑
可积定理:
①函数()f x 在[,]a b 上连续
②函数()f x 在[,]a b 上有界,且仅有有限个第一类间断点 ③函数()f x 在[,]a b 上单调有界 二、定积分的性质
①()()b
b
a
a
kf x dx k f x dx =?? ②[()()]()()b
b
b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx ±=±???
③区间可加性()()()b c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+???
④()b a
Cdx b a C =-? ⑤单调性:若[,]a b 上()()f x g x ≥则()()b b
a
a
f x dx
g x dx ≥??
⑥
()()b
b
a
a
f x dx f x dx ≤?
?
⑦估值性质:设M ,m 分别为()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值,则
()()()b
a
m b a f x dx M b a -≤≤-?
⑧定积分中值定理:若()f x 在[,]a b 上连续,则在区间[,]a b 上至少存在一点ξ,..s t
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-?
⑨()f x 在[,]a b 上的平均值为1()b
a f x dx
b a
-? ⑩若()f x 为奇函数,()0a
a
f x dx -=?
;若为偶函数0
()2()a
a
a
f x dx f x dx -=??
⑾220
(sin )(cos )f x dx f x dx π
π
=?? 0
(sin )(sin )2xf x dx f x dx π
π
π
=
??
()f x 为周期函数,20
2
()()()T
T a
T
T a
f x dx f x dx f x dx +-==?
??
()()nT
T
f x dx n f x dx =?
?
三、微积分学基本定理 1.变上限函数
()()x
a
x f t dt φ=? [,]x a b ∈
定理:若()f x 在[,]a b 上连续,则变上限函数可导,'()()x f x φ=
2.原函数存在定理
若()f x 在[,]a b 上连续,则函数()x φ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数 3.Newton-Leibniz 公式
(微积分基本定理)()f x 在[,]a b 上连续,()F x 是()f x 在[,]a b 上一个原函数
则()()()b
a f x dx F
b F a =-?
※若不满足连续条件,可分段积分 四、定积分换元法
定理:设函数()f x 在[,]a b 上连续,函数()x t ?=满足: ①()t ?在[,]αβ上单调,值域为[,]a b ,(),()a b ?α?β== ②()t ?在[,]αβ上具有连续导数
则有:'()()[()]b
a f x dx t f t dt β
α
??=??
五、定积分的分部积分法 类似不定积分 六、广义积分
1.无穷区间上的广义积分
设函数()[,]f x a +∞在上连续,任取b a >,若极限
lim
()b
a
b f x dx →+∞?
存在
则称此极限为函数在无穷区间[,]a +∞上的广义积分,记作()a
f x dx +∞
?
()lim
()b
a
a
b f x dx f x dx +∞
→+∞=?
?
类似定义()[,]f x a -∞在上的广义积分
对于
()f x dx +∞
-∞
?
,令()()()c
c
f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
=+?
?
?
,c 为常数
2.无界函数的广义积分
设函数()f x 在(,]a b 上连续,而lim ()x a
f x +
→=∞,取0ε>,如果极限
0lim ()b
a f x dx ε
ε+
+→?
存在
则称此极限为函数()f x 在(,]a b 上的广义积分,记作()b
a
f x dx ?
()lim ()b
b
a
a f x dx f x dx ε
ε++→=?
?
类似可定义b 为无穷间断点时的广义积分 3.Γ函数
含参变量s (0)s >的广义积分
10
()s x s x e dx +∞
--Γ=?
称为Γ函数 性质:
①(1)()s s s Γ+=Γ (1)!n n Γ+= ②当0x +→,()s Γ→+∞ ③余元公式:()(1)sin s s s
π
πΓΓ-=
(01)s << ④令2
x u =,令21s t -= 得 2
11()22
t u t u e du +∞
-+=
Γ? (1)t >- 七、定积分的应用
1.求面积
2.求体积
①旋转体:旋转轴为1y y =,2
1[()]b
a V f x y dx π=-?
②平行截面面积为已知的立体体积:平行截面是x 的函数()A x ,()b
a
V A x dx =?
3.求弧长
①对于()y f x =,a
s =?
②参数方程()
()
x t y t ?φ=??=? t αβ≤≤ ,s βα
=?
③极坐标()cos ()sin x r y r θθ
θθ
=??=? αθβ≤≤ ,s βα
θ=?
※()f x 为奇函数,则()F x 为偶函数;()f x 为偶函数,则()F x 中仅0
()x
f t dt ?为奇函
数
()F x 为周期函数,则()f x 为周期函数;()f x 为周期函数,且0
()0T
f x dx =?则()
F x
为周期函数