分形理论在图像处理中的应用研究

软件导刊?２００６?１２月号ＴｈｅＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＡＬｏｓｓｌｅｓｓＣｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎＭｅｔｈｏｄｏｆＨａｌｆｔｏｎｅＩｍａｇｅ

ＷａｎｇＨｕｉ，ＯｕｙａｎｇＹｕａｎ，ＹｕＸｉｎｂｉｎｇ

（ＴｈｅＲｅｓｅａｒｃｈＩｎｓｔｉｔｕｔｅｆｏｒＭａｔｈａｎｄＲｅｍｏｔｅＳｅｎｓｉｎｇｏｆＧｅｏｌｏｇｉｃ，ＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＧｅｏｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｗｕｈａｎ４３００７４）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｓａｌｏｓｓｌｅｓｓｄａｔａｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｂｉ＿ｌｅｖｅｌｉｍａｇｅｓ，ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙｐｒｉｎｔｉｎｇｉｍａｇｅｓ．Ｉｎｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈｉｓｃａｌｌｅｄＤｉｓｐｅｒｓｅｄＲｅｆｅｒｅｎｃｅＣｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ（ＤＲＣ），ｔｈｅｃｏｄｉｎｇｓｃｈｅｍｅｉｓｃｈａｎｇｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｏｆｔｈｅｉｍａｇｅｓｔｏｂｅｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄｂｙＥｖｏｌｖａｂｌｅＨａｒｄｗａｒｅ．ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈａｔＤＲＣｐｒｏｖｉｄｅｓｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｒａｔｉｏｎｓｔｈａｔａｒｅｕｐｔｏ３０％ｂｅｔｔｅｒｔｈａｎｔｈｅｃｕｒｒｅｎｔｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌｓｔａｎｄａｒｄｆｏｒｂｉ＿ｌｅｖｅｌｉｍａｇｅｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ，ａｎｄｗｈｉｃｈｉｓａｌｓｏｐｒｏｖｅｄｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｉ＿ｌｅｖｅｌｉｍａｇｅ；ｄｉｓｐｅｒｓｅｄｒｅｆｅｒｅｎｃｅｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ；ｅｖｏｌｖａｂｌｅｈａｒｄｗａｒｅ；ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｒａｔｉｏ

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分形理论在图像处理中的应用研究

李增华，于炳飞

（中国地质大学资源学院，湖北武汉４３００７４）

摘要：分形理论是现代非线性科学中的一个重要分支，是科学研究中一种重要的数学工具和手段。介绍了

分形理论的基本概念，给出了分形理论的重要参数分形维数的常见定义和计算方法。重点介绍了分形理论在图像处理领域的应用情况。最后，展望了分形理论的应用前景及其发展方向。

关键词：分形理论；分形维数；图像处理；应用

中图分类号：ＴＰ３０２．０４文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－７８００（２００６）１２－００２１－０３

０前言

自从Ｍａｎｄｌｅｂｒｏｔ于上世纪６０年代提出分形理论，其作为一种新的概念和方法，就被广泛应用于图像压缩、图像生成、纹理分割以及其它生物物理和社会科学中，并取得了很好的效果。本文将介绍分形理论及其在图像处理中的应用，以此抛砖引玉，促进图像处理及其它学科中分形现象的研究。１分形理论１．１分形的提出１９６７年ＢｅｎｏｉｔＢ．Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ在其论文《英国的海岸线有多长：统计自相似性与分数维数》中首次创造性地阐述了分形

理论。Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ在研究英国海岸线的复

杂边界时发现，不同比例的地图上会测出

不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何

无法解释的。在研究中，他将测量长度与

放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二

维坐标点存在一种线性关系，此线性关系

可用一个定量参数一称分维数来描述。由

此，Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ进一步将其发展成分形几何理论，并指出作为分形应具有３个要素：形状、机遇与维数。分形几何理论可以产生许多分形集

图形和曲线，如Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ集、Ｃａｎｔｏｒ集、Ｋｏｃｈ曲线、Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。与欧氏几何比较，分形几何主要有以下特点：①描述对象虽然很复杂、不规则，但不同尺度上有规则性或相似性；②欧氏几何具有标度，理想分形具有无限的几何标度，而无特征长度；③欧氏几何描述特征以整数维，而具有分形的复杂曲线，其分维数是大于１的非整

软件技术研究

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软件导刊?２００６?１２月号

数，具分形的表面分维是大于２的非整数。１．２分数布朗运动分数布朗运动（ＦＢＭ）是一种分形模型，可以很好地描述分形信号。它是连续不可导的一种非平稳随机过程，对尺度变化具有相似性。设ＢＨ（ｔ）为一随机场，对于０＜Ｈ＜１，若满足Ｐｒ（ＢＨ（ｔ＋△ｔ）－ＢＨ（ｔ）△ｔＨ＜ｙ）＝Ｆ（ｙ）（１）Ｐｒ（．）为概率测度，Ｆ（ｙ）为高斯分布函数，称为ＢＨ（ｔ）场，Ｈ称Ｈｕｓｔ系数。对（１）式取数学期望，ＥＢＨ（ｔ＋△ｔ）－ＢＨ（ｔ）"#＝Ｅｙ"$＝１（２π）１／２σ△ｔ２Ｈ

（２）美国的Ｐｅｎｔｌａｎｄ假定，如果一个物体的表面是分形的，则由它产生的图像灰度表面也具有分形的性质，反之亦然。他还证明，自然界大多数景物表面是空间各向同性的分形，它们的表面映射成的灰度图像是具有分形特性的分形灰度表面。因此对ＦＢＲ场的参数研究，可以有效地分析分形图像。各向同性的分数布朗随机场（ＦＢＲ）是描述自然景物的有效方法之一，同一图像区域的灰度表面具有统计意义上的自相似性，这样可以用ＦＢＲ来描述一幅灰度图像。１．３分形参数（１）分维值ＤＦ，，可由下式通过Ｈｕｓｔ系数得到，也有许多其他估计方法（见下节），ＤＦ＝Ｄ＋１－Ｈ（３）Ｈ参数的估计有时域和频域法，都是基于（２）式推导求得。Ｄ是拓扑维，对曲线Ｄ＝１；对ＦＢＲ表面，Ｄ＝２。ＤＦ是描述分形的主要参数，一般地，当不规则曲线的ＤＦ大于１，或纹理表面的ＤＦ大于２时，认为它们具有分形性质。（２）增量标准差σ，由（２）式可得。（３）无标度区间（εｍａｘ／εｍｉｎ），理想分形满足（２）式，具有无限标度；对于实际图像，由于量化效应和模型的差异，只有一段尺度空间使（１）式满足线性关系，称无标度区。实际图像越接近理想分形其无标度区间越大，即εｍａｘ／εｍｉｎ的值越大。在此区间，可用线性回归方法估计Ｈ值。１．４分维的估计方法分维的估计有许多方法，比较实用的是从速度和精度考虑，主要采用数盒子法。对于分形曲线，用可变尺度ε沿曲线度量长度所需Ｎ次，Ｎ（ε）是随ε而变的，由（１）式可推出：Ｄ＝ｌｉｍε→０ｌｏｇ（Ｎ）ｌｏｇ（ε）&’（４）

为求Ｎ（ε），在计算时，以不同尺寸的网状栅格覆于曲线上，ε为格子大小，然后计算求得与曲线相交的格子数，即Ｎ（ε）。最后，利用双对数曲线估计Ｈ值及分维值Ｄ。同理，对于分形纹理曲面，它被包容在三维空间中，因此用小立方体代替网状栅格，同样取不同尺寸的立方体覆盖于曲

面上，可得到与尺寸对应的小立方体总数

Ｎ（），进而求得分形表面的分维值。

２分形方法用于图像处理数字图像处理就是把图像根据一定的采样规则进行采样和量化成计算机能接受的形式，一般而言是用数字矩阵来表达，然后用数学知识如泛函分析、矩阵变换、数值分析等理论来进行处理和提取数字特征，根据一定的数学方法对其图像进行分析，从图像中得到更多的知识，为其应用提供理论基础。分形理论用于图像（图形）处理的几个方面，即模拟自然景物生成、图像分割、纹理特征提取与纹理分类、图像编码压缩。２．１分形图像生成理想的分形图形（图像）是利用分形的自相似性，通过递归迭代方法生成的；对自然物体的分形生成要更加复杂，需多级嵌套、多级结构，如云彩、海浪、树木等图像。一种好的分形模型可描述事物的形态、结构以至功能的多种变化。２．２分形方法用于边缘检测和分割根据离散布郎随机场理论，若图像表面统计特性满足各向同性时，可由随机场参数Ｈ得出表面分维数。但在不同区域的交界处，破坏了随机场的一致性，Ｈ值会发生奇异。利用这一类特征可作检测边缘、分割区域的依据。一般在图像上定义移动窗口，用窗内像素估计该窗口中心点的Ｈ值（或分维），用估计出的所有像素的分形参数形成一幅新图，进而可提取边缘。邹群彩等将分形理论用在岩相的识

别与分析上，讨论了岩相轮廓顺序识别，确定了不同岩相轮廓的分形维数，进而通过比较不同岩相的分形维数进行岩相图像的识别与分析。

２．３分形形状分析和纹理分析

这是目前应用最多的一个领域。具有

分形特性的对象，往往表现出在边界很不

规则、很复杂，用传统的周长、面积做近似描述很不适合，而采用分形参数———如分维数及其导出形状特征可以精确定量描

述，为形状分析及目标识别等提供了简洁的方法。

纹理图像也具有复杂性、自相似性等特点尤其是自然纹理很适于用分形模型

来描述。分形维数是运用于分形图像处理

中的其它技术的主要度量工具。分形维数

作为图像表面不规则程度的度量，不仅能度量复杂程度而且具有多尺度、多分辨率变化的不变性，它与人类视觉对图像表面纹理粗糙程度的感知是一致的，即分形维数越大，对应的图像表面越粗糙；反之，分形维数越小，对应的图像表面越光滑。因此，分形维数作为纹理的一个重要特征可用于纹理分割、纹理边缘检测等。有关纹理分割和识别主要依据的纹理特征，大体分为基于统计特征和基于结构特征，有共生矩阵特征、功率谱特征、Ｌａｗ’ｓ纹理能量

函数、Ｍａｒｌｋｏｖ纹理随机场等。Ｐｈｉｌｉｐｐｅ等对多种纹理特征进行了多种实验比较，认

为分形维特征是一种非常有效的纹理特征，无论从计算精度、速度还是从判别正确率方面都比较高。２．４分形图像压缩编码在图像处理领域里图像压缩编码的方法已有近百种，但是压缩效果、压缩比以及编解码时间还不能满足信息时代发

展的要求。传统的图像压缩编码方法已经没有太大的发展潜力，而基于分形的图像压缩编码具有思想新、潜力大、发展快、压缩比高、解压速度快等特点，是一种极具发展前途的图像压缩编码方法。它利用图像自身的自相似性，以独特创新的构想成为目前图像处理领域的研究热点，已在图像通信、多媒体、互联网中得到了广泛的应用。目前分形理论用于图像的压缩是比软件技术研究

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较成熟的。

近几年来，将分形与其他方法相结合的混合编码取得了很好效果。常用的混合方法有：与小波变换结合编码、与矢量量化结合编码、与神经网络结合编码、与遗传算法结合编码、与数学形态学结合编码、与ＤＣＴ和ＦＦＴ算法结合编码以及与非线性模型结合编码等许多有效的混合编码方法。

目前研究得最多的一种混合编码方案是分形与小波变换相结合的压缩方法。小波变换是将图像信号分解为具有不同尺度和空间选择性的系列子空间信号，这些子信号可以重构图像。与小波变换结合的分形压缩过程是：首先将待编码图像经过金字塔型离散小波变换，得到小波系数；其次对小波系数在小波域内组成分层树状数据结构（小波树），这些不同分辨率的小波树之间存在一定的相似性，则可通过分形变换来描述。编码过程是一个由小波树的顶部开始一层层向下预测其他系数的过程，这个以上至下、由粗到细的预测过程可通过分形编码来完成。目前，在相近的压缩比情况下，该方法的信噪比要比ＪＰＥＧ高得多，且解码图像的视觉效果也要优于ＪＰＥＧ。

分形图像压缩既考虑局部与局部，又考虑局部与整体之间的相关性，适合于自相似或自仿射的图像压缩。分形图像压缩解码时能放大到任意大的尺寸，而且能保持精细的结构。在高压缩比的情况

下，形图像压缩自动编码有很高的信噪

比和很好的视觉效果。因此，分形图像压

缩是一个有潜力、有发展前途的压缩方

法。

３结语

从数学理论和实际应用中可以看出，

分形方法是一种新的有力工具。分形方法

是近年来提出的一种全新的图像处理方

法，虽然有很多优势，但是也存在着一些

问题。分形理论本身的发展也尚处于一个

不完备、不成熟的阶段，没有解决、没有涉

及的问题远远多于已解决和涉及的问题。

随着分形理论在各个领域的不断发展，分

形理论本身的数学基础也面临着不断发

展的问题，只有将分形理论和其应用相结

合，同步发展，才能逐渐使之形成一门系

统理论。可以相信，分形理论在图像处理

乃至整个地学领域的应用都是非常乐观

的。

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（责任编辑：曙光）

ＦｒａｃｔａｌＴｈｅｏｒｙａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎＩｍａｇｅＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ

ＬｉＺｅｎｇｈｕａ，ＹｕＢｉｎｇｆｅｉ

（ＦａｃｕｌｔｙｏｆＲｅｓｏｕｒｃｅｓ，ＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＧｅｏｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｗｕｈａｎ４３００７４）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙｉｓａｂｒａｎｃｈｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｉｅｎｃｅａｎｄａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｅａｎｓｆｏｒｓｃｉｅｎｃｅｒｅｓｅａｒｃｈ．Ｔｈｉｓ

ｐａｐｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅｂａｓｉｃｃｏｎｃｅｐｔａｎｄｓｅｖｅｒａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｏｆｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｓａｍａｉｎｐａｒａｍｅｔｅｒｏｆｆｒａｃｔａｌ

ｔｈｅｏｒｙ．Ｐｒｉｍａｒｉｌｙ，ｔｈｅｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｗｅｒｅｒｅｖｉｅｗｅｄ．Ｉｎｔｈｅｅｎｄｔｈｅｆｏｒｅｇｒｏｕｎｄａｎｄ

ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔａｌｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙｉｓｐｒｏｓｐｅｃｔｅｄ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙ；ｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎ；ｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

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