乘法公式(提高)知识讲解
乘法公式（提高）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】
要点一、平方差公式
平方差公式：2
2
()()a b a b a b +-=-
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3
2
3
2()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+
（6）增因式变化：如2
2
4
4
()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式
完全平方公式：()2
2
2
2a b a ab b +=++
2222)(b ab a b a +-=-
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
()2222a b a b ab +=+-()2
2a b ab =-+
()
()2
2
4a b a b ab +=-+
要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
添括号是否正确. 要点四、补充公式
2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2
233()()a b a ab b a b ±+=±；
3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b ±=±+±；2
2
2
2
()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．
【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】
解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．
【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三： 【变式1】计算：
(1)2
(3)(9)(3)x x x -++
(2)(a ＋b )( a －b )( 22a b +)( 44
a b +) 【答案】
解：(1)原式＝[(x ＋3)(x －3)](29x +)＝(29x -)(29x +)＝4
81x -． (2)原式＝[(a ＋b )( a －b )]( 22a b +)( 44
a b +) ＝[(22a b -)( 22a b +)]( 44
a b +)
＝(44a b -)( 44a b +)＝88
a b -．
【变式2】（2015?内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；
（a ﹣b ）（a 2
+ab+b 2
）= ；
（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3
）= ． （2）猜想：
（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1
）= （其中n 为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22
+2． 【答案】
解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2
﹣b 2
；
（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3
；
（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4
；
故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4
； （2）由（1）的规律可得：
原式=a n
﹣b n
，
故答案为：a n ﹣b n
；
（3）29
﹣28
+27
﹣…+23
﹣22
+2=（2﹣1）（28
+26
+24
+22
+2）=342．
2、（2014春?牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？ 【答案与解析】
解：设原绿地的边长为x 米，则新绿地的边长为x+3米，
根据题意得，（x+3）2
﹣x 2
=63， 由平方差公式得，（x+3+x ）（x+3﹣x ）=63， 解得，x=9；
∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；
答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．
【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；（a+b ）（a ﹣b ）=a 2
﹣b 2
，熟练应用平方差公式可简化计算．
举一反三：
【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,
(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->??---<-?
【答案】 解： (3)(3)(2)1,
(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->??
---<-?①
②
由①得2
2
921x x x --+>，210x >，5x >．
由②得2
2
2
5(2)44x x x -<-，22
25444x x x -<-，
425x -<-， 6.25x >．
∴ 不等式组的解集为 6.25x >．
类型二、完全平方公式的应用
3、运用乘法公式计算：
（1）2
(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．
【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；
（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．
【答案与解析】
解：（1）原式2
2
2
[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-
22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．
（2）原式2
2
2
2
2
[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：
【变式】运用乘法公式计算：
(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2
x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】
解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]
＝()(
)2
2
2
2
2
2a b c a b bc c
--=--+
＝222
2a b bc c -+-．
(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]
＝()()()
2
2
2
2
21421x y x y y --=--+
＝22
421x y y -+-．
(3)()()()()2
2
2
2
2x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+????
＝222
222x xy y xz yz z -++-+．
(4) ()()231123a b a b +---＝()2
231a b -+-
＝－22
[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋
＝－()2
2
(2)2233461a a b b a b ??+??+--+??
＝22
4129461a ab b a b －－－＋＋－
4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足222
0a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC
的形状．
【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】
解：∵ 222
0a b c ab bc ac ++---=，
∴ 222
2222220a b c ab bc ac ++---=，
即2
2
2
2
2
2
(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即2
2
2
()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，
即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．
【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：
【变式】多项式2
2
2225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；
提示：()()2
2
2
2
222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.
乘法公式--培优
乘法公式--培优-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第三讲 乘法公式 【易错点剖析】 1.注意乘法公式的特点，符合公式的特点的多项式乘法才能套用公式. 2. 在混合运算时，运用乘法公式计算出来的积要添括号，如果前面是 “-”要注意变号 ⑤()()22 22x y x y +- ⑥()()()()24832124515151...51+++++ ⑦221.2340.766 2.4680.766++? ⑧2222211111111...11234910??????????----- ????? ?????????????
【能力提高】 整体思想 1、 若()2 23m -=，求246m m -+的值. 2、 已知22227,+9a ab b a ab b ++=-=，求()2 a b +的值. 3、 已知5,4a b ab ++=，求（1）22a b +；（2）44a b +；（3）44a b -的值 4A 、已知2510x x -+=，求（1）221x x + （2）322143x x x --+的值 4B 、已知0a ≠，且满足()()()222112329147a a a a a +---+=-， 求（1）2 21a a +（2）24255a a a ++的值. 5、 已知()()22 201820171a a -+-=，求()()20182017a a --的值
配方法 1、已知()22116x m x --+是一个完全平方式，则m = . 2、已知264A x x +-+是一个完全平方式，则A = . 1B 、已知()()2222116x xy y m x y ++--++是一个完全平方式，则m = . 2B 、已知()()()()22 2210024400a b k b a a b +++--是一个完全平方式，则k = . 3、把代数式223x x --化为()2 x m k -+的形式，则m k += . 4、若22 28170x y x y ++-+=，求y x 的值. 5A 、当x 为多少时，代数式245x x -+有最小值，最小值为多少 5B 、求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值及此时,x y 的值. 6、试说明：无论x 取何值，225x x ++的值一定为一个正数. 7、已知111100,99,101100100100 a x b x c x = +=+=+，求222a b c ab bc ac ++---的值
乘法公式能力提高题
乘法公式提升练习题 一、完全平方公式 （1）（－21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； （3）（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （4）（2a ＋3）2＋（3a －2） 2 （5）（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； （6）（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2； （7）（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2 ． 二、完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2 是一个完全平方式，则N = 4、如果2 24925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2 n ＋________． 3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 5．代数式xy －x 2－4 1y 2等于（ ）2 四、配方思想 1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2 x xy --=_______. 4、已知x 、y 满足x 2十y 2十4 5＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______.
乘法公式(提高)知识讲解
乘法公式（提高） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 【高清课堂 乘法公式 知识要点】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
乘法公式提高练习试题
乘法公式提高练习2016年10月6日 一．选择题（共10小题） 1．（2011?宜宾）下列运算正确的是（） A．3a﹣2a=1 B．a2?a3=a6C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+b2 2．（2010?江门一模）下列多项式中，完全平方式是（） A．x2﹣x﹣2 B．x2﹣x+2 C．x2﹣2x﹣1 D．x2﹣2x+1 3．（2015?甘南州）下列运算中，结果正确的是（） A．x3?x3=x6B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y2 4．（2011?昭通）下列结论正确的是（） A．3a+2a=5a2B．C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．x6÷x2=x3 5．（2012?庆阳）下列二次三项式是完全平方式的是（） A．x2﹣8x﹣16 B．x2+8x+16 C．x2﹣4x﹣16 D．x2+4x+16 6．（2011?连云港）计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，则“□”中的数为（） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 7．（2010春?广东校级月考）请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（） A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+ab+b2 8．（2007?益阳）已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（） A．2 B．±2 C．﹣6 D．±6 9．（2015?赤峰模拟）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（） A．4 B．3 C．12 D．1 10．（2014?思明区校级模拟）如图所示，在边长为a的正方形中挖去 一个边长为b的小正方形（a＞b），再把剩余的部分剪拼成一个矩形， 通过计算图形（阴影部分的面积），验证了一个等式是（） A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2 二．填空题（共15小题） 11．（2013春?江阴市校级月考）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3=22﹣12，16=52﹣32）．已知按从小到大顺序构成如下列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…．则第2013个“智慧数”是______． 12．（2013?广东模拟）如图两幅图中， 阴影部分的面积相等，则该图可验证 的一个初中数学公式为______． 13．若m2﹣5m+1=0，则=______． 14．（2011?乐山）若m为正实数，且m﹣=3，则m2﹣=______． 15．（2012?佛山）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为______．
乘法公式(提高)
乘法公式（提高） 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：()()a b a b +-=22b a -. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，a ，b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+； （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232 ()()m n m n +-； （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+； （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：=+2)(b a 222b ab a ++ ()2a b -=222b ab a +- 两数和 （差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+；ab b a b a 4)()(22+-=+. 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式 2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±； 33223()33a b a a b ab b ±=±+±； 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.
乘法公式(练习加强版)
专题学习：乘法公式（练习加强版） 〖平方差公式〗 22))((b a b a b a -=-+ 公式描述：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。 公式特点：公式的一边是两个多项式相乘，其中有两项是相同的，有两项是相反的；另一边就等于相同项的平 方减去相反项的平方。 特点利用：利用上述特点，首先可以判断一个式子可否用平方差公式计算，如果可以，就找出相同项与相反项， 再平方后相减就可以了。例： ))((b a b a ---，观察可知b 是相同项，a 是相反项（不用管符号） ，所以就等于2 2a b -。 〖完全平方公式〗 2222)(b ab a b a +±=± 公式描述：两数和（或差）的平方等于这两个数的平方和再加上（或减去）它们的积的两倍。 公式特点：① 公式的一边是一个和或差的平方，另一边就先将这两项平方相加（总是平方相加，不会出现差的 形式），再加或减这两项积的2倍； ② 如果完全平方公式底数中的两项同号，就用只含加号的公式；异号则用含减号的公式。即： 22)()(b a b a --=+，222)()()(a b b a b a -=+-=- 【知识点一】直接套用公式进行运算 〖例〗=-+)2)(2(b a b a 22224)2(b a b a -=- 2 22224129)2(232)3()23(y xy x y y x x y x +-=+??-=- 〖练习〗⒈ 根据乘法公式直接写出答案： ① 2)12(-a ② )23)(23(x x +-＝ ③ 2 )3(n m -＝ ④ )32)(32(b a b a --+-＝ ⑤ )2)(2(2 2+-x x ＝ ⑥ 2)32(y x --＝ ⑦ 2)23(b a +-＝ ⑧ )1)(1)(1)(1(24-+++x x x x ＝ ⑨ )1()1)(1)(1)(1)(1(64842+???++++-x x x x x x ＝ ⒉ 利用乘法公式进行因式分解： ① 229y x -＝ ② 22254y x -＝ ③ 12 2-y x ＝ ④ 22)(c b a -+＝ ⑤ 14 -x ＝ ⑥ 2244y xy x +-＝ ⑦ 2 )()(816y x y x -+--＝ ⑧ 25)(20)(42++-+b a b a ＝ ⑨ 2 2)(9)(4b a b a --+＝ 【知识点二】辨别两个多项式相乘要选用哪一种乘法公式 〖要点〗① 两个多项式相乘，如果既有相同项又有相反项，那么一定是用平方差公式；如果全是相同项或全是相 反项，那么就要用完全平方公式。 ② 如果两个多项式互为相反数，就等于其中一个多项式的平方的相反数。例：2 )())((b a b a b a +-=--+ 〖练习〗① )32)(32(n m n m -+-＝ ＝ ②)5)(5(33m n n m -+＝ ③)1)(1(---xy xy ＝ ④)2.02)(22.0(x y y x -+＝ 【知识点三】了解乘法公式的几何意义 〖平方差公式的几何意义〗 如图1，在边长为a 的正方形中截去一个边长为b 的正方形， 再通过割补法拼成如图2形状；分别用代数式表示两图面积为： 图1：2 2 b a - 图2：))((b a b a -+ 两个图形面积相等，则有平方差公式。 〖完全平方公式的几何意义〗 图3中，用两种方式表示大正方形的面积： 图1 图2
乘法公式知识点详解及提高练习(含答案)
初中数学竞赛辅导资料 乘法公式知识点详解及提高练习 甲内容提要 1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。 2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2 立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广： ①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 ②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）
（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式 （a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 ………… 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数 (a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n (a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地： （a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋a b n－2+b n－1)=a n－b n 4.公式的变形及其逆运算 由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2a b来源学#科#网 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)
浙教版初中数学七年级下册乘法公式(提高)知识讲解
乘法公式（提高） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 【 乘法公式 知识要点】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，
乘法公式培优提高专题
乘法公式培优专题 知识要点： 平方差公式：22))((b a b a b a -=-+ 完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 立方和（差）公式：) )((2233b ab a b a b a +±=±μ 三项的完全平方公式：ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 一、选择题 1．下列式子：①2)13()13)(13(-=-+x x x ； ②22293)3(y xy x y x +-=-； ③422241)21(y x xy -=-； ④ 22212)1(a a a a ++=+中正确的是（ ） A ．① B ．①② C ．①②③ D ．④ 2．=--2 )(y x （ ） A ．222y xy x ++ B ．222y xy x --- C ．222y xy x +- D ．222y xy x -+ 3．若,)()(22y x M y x -=-+，则M 为（ ）． A ．xy 2 B ．xy 2± C ．xy 4 D ．xy 4± 4．一个正方形的边长为,acm 若边长增加,6cm 则新正方形的面积增加了（ ）． A ．236cm B ．212acm C ．2 )1236(cm a + D ．以上都不对 5．若一个多项式的平方的结果为,12422m ab a ++则=m （ ） A ．29b B ．23b C ．29b - D ．b 3 6．下列多项式不是完全平方式的是（ ）． A ．442--x x B ． m m ++241 C ．2269b ab a ++ D ．91242++t t 7．已知,21=+ x x 则下列等式成立的是（ ） ①2122=+x x ②2144=+x x ③218 8=+x x ④01=-x x A ．① B ．①② C ．①②③ D ．①②③④ 8．若)1)((2 +-=--x m x m x x 且,0≠x 则m 等于（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 9．)(q x +与)5 1 (+x 的积不含x 的一次项，则q 应是（ ）
浙教版七年级数学下册 3.4 乘法公式(提高)知识讲解
乘法公式（提高讲义） 【重点梳理】 重点一、平方差公式 平方差公式：2 2 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 重点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3 2 3 2()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2 2 4 4 ()()()()a b a b a b a b -+++ 重点二、完全平方公式 完全平方公式：()2 2 2 2a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 重点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ () ()2 2 4a b a b ab +=-+ 重点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 重点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 重点四、补充公式
乘法公式的拓展及常见题型整理
乘法公式的拓展及常见题型整理 例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---222 2)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++2 2 ，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+- ，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2 =m ，(a —b)2 =n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-2 2)32()32(， 则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ 例题：已知(a+b)2 =7,(a-b)2 =3, 求值: (1)a 2 +b 2 (2)ab 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1 x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422 +-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值 是 ． （四）步步为营 例题：3?(22 +1)?(24 +1)?(28 +1)?(16 2 +1) 6?)17(+?(72+1)?(74+1)?(78+1)+1 ()()()()() 224488a b a b a b a b a b -++++ 1)12()12()12()12()12()12(3216842++?+?+?+?+?+
浙教版初中数学七年级下册乘法公式(提高)巩固练习
【巩固练习】 一.选择题 1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( )． ①()()2552ab x x ab -++ ②()()ax y ax y --- ③()()ab c ab c --- ④()()m n m n +-- A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2. 若214 x kx ++是完全平方式，则k 值是（ ） A. 2± B. 1± C. 4± D. 1 3.下面计算()()77a b a b -++---正确的是( )． A.原式＝(－7＋a ＋b )[－7－(a ＋b )]＝－27－()2 a b + B.原式＝(－7＋a ＋b )[－7－(a ＋b )]＝27＋()2 a b + C.原式＝[－(7－a －b )][－(7＋a ＋b )]＝27－()2 a b + D.原式＝[－(7＋a )＋b ][－(7＋a )－b ]＝()2 27a b +- 4．(a ＋3)(2a ＋9)(a －3)的计算结果是( )． A.4a ＋81 B.－4a －81 C. 4a －81 D.81－4 a 5．下列式子不能成立的有( )个． ①()()22x y y x -=- ②()22224a b a b -=- ③()()()32a b b a a b -=-- ④()()()()x y x y x y x y +-=---+ ⑤()2 2112x x x -+=-- A.1 B.2 C.3 D.4 6．（2015春?开江县期末）计算20152﹣2014×2016的结果是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1 二.填空题 7．多项式28x x k -+是一个完全平方式，则k ＝______． 8. 已知15a a +=，则221a a +的结果是_______. 9. 若把代数式223x x --化为()2 x m k -+的形式，其中m ，k 为常数，则m ＋k ＝ _______. 10.（2015春?深圳期末）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A 的末位数字是 ． 11．对于任意的正整数n ，能整除代数式()()()()313133n n n n +---+的最小正整数是
乘法公式(提高)知识讲解
乘法公式（提高） 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式 2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2 233()()a b a ab b a b ±+=±； 33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1． 【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】 解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642． 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三： 【变式1】计算： (1)2 (3)(9)(3)x x x -++ (2)(a ＋b )( a －b )( 22a b +)( 44a b +) 【答案】 解：(1)原式＝[(x ＋3)(x －3)](29x +)＝(29x -)(29x +)＝481x -． (2)原式＝[(a ＋b )( a －b )]( 22a b +)( 44a b +) ＝[(22a b -)( 22a b +)]( 44a b +) ＝(44a b -)( 44a b +)＝88a b -．
乘法公式经典题型及拓展
乘法公式 一、复习: (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )] =(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2 ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z ) =(x -y )2-z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2 ⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2) =(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4 ⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2 =[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
36数学八年级上册乘法公式(提高)知识讲解
数学八年级上册乘法公式（提高）知识讲解 乘法公式（提高） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，
乘法公式能力提升训练
乘法公式能力提升训练 一、填空题 1、=+=-221,21a a a a 那么如果 2、=+=+22)112a a a 则（如果 3、 (江苏省竞赛题)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ． 4、(重庆市竞赛题)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． 5、 计算：(天津市竞赛题) (1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1= ； (2)××—一×= ． 6、如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示 方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题) 7、(武汉市中考题)观察下列各式： (x 一1)(x+1)＝x 2一l ； (x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1； (x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1． 根据前面的规律可得 (x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． 8、(杭州市中考题)已知052422=+-++b a b a ，则b a b a -+= ． 10、已知51=+a a ，则2241a a a ++= ． 11、(天津市选拔赛试题)已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 二、选择题 12、如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部 分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等 式，则这个等式是( )． A ．))((22b a b a b a -+=- B ．2222)(b ab a b a ++=+ C ．2222)(b ab a b a +-=- D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ 13、 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M 乘法公式提高训练(难度较大) 一、填空 1、（x+y）（x－y）（）=x4－2x2y2+y4，（x2+2x－1）（－2x+1+x2）= ， 2、4m2+ +9 =（2m+ ）2，9x2－+81=（3x－）2 －16x2＋－9y2=－（4x+ ）2，3x2+ +12y2=3（）2 ( )－24a2c2+( )＝( －4c2)2，（ +5n）2=9m2+ + ， 3、已知a+b=4，a2－b2=20，则a－b= 。 4、若（3x+2y）2=（3x－2y）2+A，则A= 。若x+y=5，xy=4，则x－y= 。 5、(3x+2y)2－(3x－2y)2＝，(3a2－2a+1)(3a2+2a+1)＝ 6、已知，4x2+M+9y2是一个完全平方式，则M= 。 7、已知4a2+16b2+12a－8b+10=0，则a+b= 。若m+n=3，mn=2，则3m2－5mn+3n2= 。 8、观察下列各式：1×3=22－1，3×5=42－1，5×7=62－1，7×9=82－1，…请你把发现的规律用含n（n为正整数）的等式表示为。 二、选择题 1、(-5)101+(-5)100所得的结果是（）A．－5 B．－4×5100 C．－1 D．－5100 2、化简（－x4）·（－x3）·（－x）2的结果是（）A．x9B．－x9C．x6D．－x6 3、在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( ) A.(x+1)(1+x) B.(a+b)(b－a) C.(-a+b)(a-b) D.(x2－y)(x+y2) 4、若4x2+axy+9y2是一个完全平方式,则a=( ) A、±12 B、12 C、－12 D、±6 5、若4x2－20x+m2是一个完全平方式，则m=（）A、5 B、－5 C、±5 D、25 6、（3a2－4b2）（－3a2+4b2）的运算结果是（） A、－9a4－4b4 B、－9a4+24a2b2－16b4 C、9a4－16b4 D、9a4－24a2b2＋16b4 7、已知：（a+b）2=11，（a－b）2=19，则2ab的值为（）A、2 B、4 C、8 D、－4 8、有理数a、b满足a2b2+a2+b2－4ab+1=0，则a、b的值分别为（） A、a=1，b=1 B、a=－1，b=－1 C、a=b=1或a=b=－1 D、不能确定 乘法公式提升练习题 一、完全平方公式 （ 1）（－ 1 ab 2 － 2 c ） 2； （ 2）（ x － 3y － 2）（x ＋ 3y － 2）； （ 3）（ x － 2y ）（ x 2－ 4y 2）（ x ＋ 2y ）； 2 3 （ 4）（ 2a ＋ 3） 2＋（ 3a －2） 2 （ 5）（ a － 2b ＋3c － 1）（ a ＋ 2b － 3c －1）； （ 6）（ s － 2t ）（－ s － 2t ）－（ s － 2t ） 2； （7 ）（ t － 3） 2（ t ＋3） 2（ t 2 ＋9） 2． 二、完全平方式 、若 2 是完全平方式，则 k = 2、 .若 x 2－ 7xy+M 是一个完全平方式，那么 M 是 1 x 2x k 3、如果 4a ab b N = 2 － N · ＋ 81 2 是一个完全平方式，则 4、如果 25x 2 kxy 49 y 2 是一个完全平方式，那么 k = 三、公式的逆用 2．（ 3 m 2＋ _______） 2＝ _______＋12m 2 ＋ ________． 1 ．（ 2x － ______） 2＝ ____－ 4xy ＋ y 2． n 3．x 2－ xy ＋ ________＝（ x －______ ） 2． 4．49 a 2－ ________＋ 81b 2 ＝（ ________＋ 9b ） 2 ． 2 1 2 等于（ ） 2 5．代数式 xy － x － 4 y 四、配方思想 、若 2 2 －2a+2b+2=0,则 a 2004 2005 、已知 x 2 y 2 4x 6 y 13 0，求 x y =_______. 1 a +b +b = 3、已知 x 2 y 2 2x 4 y 5 0 ，求 1 (x 1)2 xy =_______. 2 、已知 x 、 y 满足 x 2 十 y 2 十 5 ＝2x 十 y ，求代数式 xy 4 =_______. 4 x y乘法公式提高训练
乘法公式能力提高题.docx