高数竞赛试题集

高等数学竞赛

一、 填空题

⒈ 若

5)(cos sin lim

0=--→b x a

e x

x x ，则a = ，b = ．

⒉ 设2(1)()lim 1

n n x

f x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ．

⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为

．

⒋ 已知x

x xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ．

⒌ 设函数

()y x 由参数方程

33

31

31

x t t y t t ?=++??=-+?? 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设

1

ln arctan 22+-=x

x

x

e e e y ，则==1

x dx dy

．

⒎若

0→x 时，1)1(4

1

2

--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .

⒏ 设??

???≥-<≤-=21,12121,)(2

x x xe x f x ，则=-?221)1(dx x f ．

⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→n

k n k

n n

12

2

lim ． ⒑

1+∞=? ． 二、 单项选择题

11．把+

→0

x 时的无穷小量dt t dt t dt t x

x x

???===0

3

2

sin ,tan ,cos 2

γβα，使排在后面的

是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】

(A)

γ

βα,,. (B)

βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.

12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.

（C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .

13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】

（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.

（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.

14 .

lim (1)n n

→∞+等于 【 】

（A ）

2

21

ln xdx ?. （B ）21

2ln xdx ?. （C ）2

1

2ln(1)x dx +?. （D ）2

21

ln (1)x dx +?

15 . 函数

2

)2)(1()

2sin(||)(---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【

】

(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).

(C) (1 , 2).

(D) (2 , 3).

16 . 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且

a x f x =∞

→)(lim ，

?????=≠=0

,00

,)1()(x x x

f x

g ，则 【 】

(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.

(C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. 17 . 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是【 】

(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).

(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .

(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得

)(0x f = 0.

18 . 设

??

?

??<-=>=0,10,00

,1)(x x x x f ，?=x dt t f x F 0

)()(，则

【 】

(A) F (x )在x = 0点不连续.

(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导.

(C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足

)()(x f x F ='.

(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.

三、解答题

19．求极限3

01

2cos lim 13x x x x

→??+??-?? ???????

.

20．设函数

()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足

()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.

21．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式

??

??????????≤?????????b

a b a b a dx x g dx x f dx

x g x f )()()()(222

22．设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 22

2a b e

a b ->-.

23曲线2

x x

e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其

体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ) ()

lim ()

t S t F t →+∞.

24．设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足

??≥x a

x

a

dt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，??=b

a

b a

dt t g dt t f )()(.

证明：

??≤b

a b a dx x xg dx x xf )()(.

25． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66?=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注

kg 表示千克，km/h

表示千米/小时.

高等数学竞赛试卷

一、单项选择题

1、若2

lim(

)01

x x ax b x →∞--=+，则 （A ） 1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-

2、设()

,0()(0),0

f x x F x x f x ?≠?

=??=? ，其中()f x 在0x =处可导且'(0)0f ≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的

（A ） 连续点 （B ） 第一类间断点 （C ） 第二类间断点 （D ）以上都不是 3、设常数0k >，函数()ln x

f x x k e =-+在(0,)+∞内零点的个数为 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3

4、若在

[0,1]

上有

(0)(0)0,(1)(1)0

f g f g a ====>，且

''()0

f x >，

''()0

g x <，则

1

10

()I f x dx

=?，

1

20

()I g x dx =?，130

I ax dx =?的大小关系为

（A ） 123I I I ≥≥ （B ） 231I I I ≥≥ （C ） 321I I I ≥≥ （D ） 213I I I ≥≥

5、由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为

（A ）

2()b a

V xf x dx π=? （B ） 2()b a

V f x dx π=?（C ） 2()b a

V f x dx π=? （D ） ()b

a

V f x dx π=?

6、(1,3,4)P -关于平面320x y z +-=的对称点是 （A ）

(5,1,0)- （B ）(5,1,0) （C ）(5,1,0)-- （D ）(5,1,0)- 7、设

D 为222x y R +≤，1D 是D 位于第一象限的部分，()f x 连续，则22()D

f x y d σ+??=

（A ）

1

2

8()D f x d σ

?? （B ）0 （C ）

22()R R R

R

dx f x y dy --+?

?

（D ）1

224()D f x y d σ

+??

8、a

为常数，则级数21sin()n na n ∞

=???

∑ （A ） 绝对收敛（B ）发散C ） 条件收敛（D ） 收敛性与a 的取值有关

二、填空题

1、340tan 2lim (1)1

x x x x

x e →-=- 。 2、具有n 个不相等实根的n 次多项式，其一阶导数的不相等实根至少有 个。

3、对数螺线e

θ

ρ=在点

2(,)(,)2

e π

π

ρθ=处的切线的直角坐标方程为 。

4、设()f x 是x 的二次多项式，且(1)'()2()0x f x f x -+=，(0)1f =，则()f x = 。

5、设

2sin y x =，则dy = 3()d x 。

6、74322

2284231

1

x x x x x dx x -+++-+=+? 。 7、若级数1

(1)n n a

n +∞

=-+∑收敛，则常数a = 。

8、三重积分2222222221

ln(1)

1x y z z x y z dxdydz x y z ++≤+++=+++??? 。 8*、已知曲线323y x a x b =-+与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为2b = 。

9、设

∑

为上半椭球面

2221,(0)94

x y z z ++=≥，已知

∑

的面积为S ，则曲面积分

222

(4936)x y z dS ∑

++=?? 。 9*、级数211

3n n

n x ++∞

=∑的收敛区间为 。 10、三元函数2z

u z e xy =-+在点(1,1,1)处沿该点的向径方向的方向导数为 。

10*、设1()1x

f x x

=+，且()f x 可微，则'()f x = 。

11、设

sin x y t dt =?

(0)x π≤≤，则曲线()y y x =的长度为

。

11*、若()x f x dx xe C =+?

，则()f x = 。

12、设

,,a b c 都是单位向量，且满足0a b c ++=，则a b b c c a ?+?+?= 。

12*、函数3y x =的拐点为 。

三、按要求做下列各题。1、求极限

32

lim (221)x x x x x →+∞

+-++。2、已知函数()

y f x =对一切

x

满足

2''()3['()]1x xf x x f x e -+=-且在点00x ≠处取得极值，问0()f x 是极大值还是极小值，并证明你的结论。

四、计算下面积分。1、1ln x x x dx x x -++? 2、dx x x ?π

π34

2sin 五、

(,)f x y 为22:,0D x y y x +≤≥上的连续函数， 228

(,)1(,)D

f x y x y f u v dudv π

=---

??,求(,)f x y

六、周长为2l 的等腰三角形绕其底边旋转，问此等腰三角形的腰和底边之长各为多少时，才可使旋转体的体积为最大？

七、()f x [,]a b 连续(,)a b 可导，()()0f a f b ?>，()()02

a b

f a f +?<。

证明：在(,)a b 内存在ξ，使得'()()f f ξξ=。 八、设函数()y y x =由方程组22

2sin 2x t t t y a y ?=+?-+=?

(01)a <<所确定，求dy dx ，22d y

dx 。 九、1、已知2

2

x e dx π

+∞-=

?

，b 为大于零的常数。设积分

2

2

2

2

(cos 23)(sin 2)y

x y

x y L

I e xy y dx e xy b dy --=-+-?。

其中

L 是依次连结(,0),(,),(0,),(0,0)A a B a C O a a

ππ

的有向折线。求极限lim a I →+∞。

2、计算曲面积分2223()I x y z ∑

=++?? ，其中∑为曲面22(2)(1)1(0)5169z x y z ---=

+≥的上侧。 提示：先补充两个曲面22

2

2

2

1(2)(1){(,,)|0,,

1}169

x y x y z z x y a --∑==+≥+≤，取下侧； 222

2{(,,)|x y z z a x y ∑==--，取下侧，其中常数

a 充分小，使上半球面2∑与积分曲面∑互不相交。

九*、1、已知()F x 是()f x 的一个原函数，而()F x 是微分方程'x xy y e +=满足初始条件0

lim ()1x y x →=的解，试将()

f x 展开成

x 的幂级数，并求1(1)!

n n

n +∞

=+∑

的和。

2、如下图，曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线

C 在点

(0,0)与(3,2)处的

切线，其交点为

(2,4)。设函数()f x 具有三阶连续导数，计算定积分320

()'''()x x f x dx +?。

高等数学竞赛

一、 填空题

⒈ 22

2

12lim 12

x n n n n n n n n →∞?

?

+++

= ?++++++??

。⒉ 2

01

1lim tan x x

x x →??-= ???.

⒊ 设函数

()y y x =由方程1y y

xe =-确定，则0

x dy

dx

== 。4.

=

?

。

5. 广义积分

22

(1)xdx

x +∞=

+?

。6. 222

x y a +=绕(0)x b b a =->>旋转所成的旋转体的体积为 。

7. (,)z z x y =由232x z z e y -=+确定, 则3z z x y

?

?+=??。⒏

22y x z +=与042=-+z y x 平行的切平面的方程是

⒐ 设r =

则()1,2,2()div grad r -=

。

⒑ 交换二次积分次序的积分次序

11

2

(,)y

dy f x y dx --=

?

?

11.

1

sin 1x y

o

z

dx dy dz z

=-?

??

12. 设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分

?-L

ydx xdy 2的值为 .

二、单项选择题

13. 设函数)(1)(3x x x f ?-=，其中)(x ?在1x =处连续，则0)1(=?是()f x 在1x =处可导的【 】

(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件.

14．设)(x f 在[0，1]上连续，且1

()(),0,()F x f x a f ax dx '=≠=?

则

【 】

（A ）).0()1(F F - （B ）).0()(F a F - （C ）)].0()([1F a F a

- （D ）)].0()([F a F a -

15．下列等式中正确的是 【 】（A ）

?+='.)2()2(C x f dx x f （B ）?+=.)2()2(C x f x df

（C ）).()(0t x f dt t x f dx

d x

-=-? （D ）).()(1

x f dt xt xf d =? 16 .

n n n

n n n 222)1()21()11(ln lim +++∞→ 等于

（A ）

2

21

ln xdx ?（B ）21

2ln xdx ?.（C ）21

2ln(1)x dx +?.（D ）2

21

ln (1)x dx +?.

17. 设

(,)f x y 为连续函数，

则1

4

(cos ,sin )d f r r rdr π

θθθ??等于【 】（A

）

0(,).x

f x y dy ??

（B

）

(,).f x y dy ?

?

（C

）

(,).y

f x y dx ?

?

（D ）

(,).f x y dx ?

?

18. 设

(,)f x y 与(,)x y ?均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值

点，下列选项正确的是【 】（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠.

（C ）若

00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.（D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.

19. 设l 为椭圆22

143

x y +=，其周长记为a , 则2

2(234)l

xy x

y ds ++=?【 】（A ）4a . （B ） 8a .（C ） 12a （D ） 16a .

20.级数

1

n n a ∞=∑收敛，级数【】

（A ）1

n n a ∞

=∑收敛.（B ）

1

(1)n

n n a ∞

=-∑收敛.（C ）11

n n n a a ∞

+=∑收敛.（D ）1

1

2n n n a a ∞

+=+∑

收敛. 三、解答题

21．极限21lim sin cos x

x x x →∞??+ ?

?

?

22．设函数()f x 在（

,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上,

2()(4)f x x x =-, 若对任意的

x 都满足()(2)f x k f x =+,

其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在

0x =处可导.

23.求通过点()1,1的直线()y f x =中，使得

()2

2

2

0x f x dx ??-???为最小的直线方程。

24． 求曲

面z 在二曲面2222,2x y y x y y +=+=之间的部分的面积。 25． 计算()3

2

2

2

AB

x c dx ydy

I x c y -+=

??

-+??

?

()0c >，其中AB 是沿着椭圆22

221x y a b

+=的正向从(),0A a 到()0,B b 的一段弧。

26．设)(x f 为可微函数，且2)0(,0)0(='=f f ，试

求222

lim t x y t +

→+≤??

。

27．设)(x f 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a b <<，证明存在),(,2

1b a ∈ξξ使

212

'()

'()()2f f a b ξξξ=

+。 28．已知曲线L 的方程为2

2

1,(0),4x t t y t t

?=+≥?

=-?（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；

（Ⅱ）过点()1,0-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及

x 轴所围成的平面图形的面积。

高等数学竞赛

一、填空题

1()141

()x f x x x a b a b ≠===?

1、设函数　，在处连续，

， 则常数，用数组，表示为（ ）

1

)x

x +

→2、极限的值是（ ） 000002

0()(())()()2()()

lim ()

()x y f x x f x y f x f x x f x f x x x ?→==+?-+-?=?3、设有连续的二阶导数且点，是曲线上的

拐点则 434()(2)()( )01)

f x x R x θ=-=<<、的三阶麦克劳林展开式的余项　式中

(

()1

2

200 () () 11x

x

dt dt F x F x t t =+=++??5、设，则 () 2 0sin 1cos x x dx x

π=+?6、

7、设曲线x y z x y z --=--=???

0222

在点(,,)110处的法平面为S ，则点(,,)022-到S 的距离是 ( ) 8、设

f x y y

x

(,)arcsin

=，则

f x '(,)21=( )

二、选择题

1ln 1

lim

1 0

x e x x e A B e C e D →---9、极限的值为（ ）

． ． ． ．

()

253,,35,,2340

.. ..5a b a b x ax bx c A B C D <+++=10、设适合则方程，则必有　无实根 有唯一实根　有三个不同的实根 有个不同的实根

()

22

20

2230

, . () . . (). R

R

R

R

R W A g R y dy B g y dy C g y R y dy D g y dy

ππππ=--????11、半径为的半球形水池正装满水。将水全部吸完需作功

()

1 11 . 1 .

2 . . 22

x ae dx a A B C D +∞

-==-

?12、若，则

13、曲线x y z x y

2222

5

+==-???在点(,,)123-处的切线方程为 ( ) A. x y z -=-=+122138 B.x y z -=--=+-122138 C.x y z -=--=

-321158

D.

x y z --=-=

+12213

8

14、设z y y x

=，则??z y

= ( ) A.

y y x y

x

-1

B.

y y y y x

y x 12+??????(ln ) C. y y y x 12+??????(ln ) D. y y y x y y x y x 1+?????

?ln

15、若()()cos 20

2

,cos ,sin a D

f x y d d f r r rdr π

θπσθθθ-=??

??

，则区域D 可以表示为 ( )

A.

2

2

2

x y a

+≤ B.

2

22,0x y a x +≤≥ C. 22,0x y ax a +≤<

D.

22,0x y ax a +≤>

16∑为z =2－(x 2+y 2)在xoy 上方部分，

()

ds ∑

=??

220

.

14r

A d r rdr

π

θ+?

?

22

20

.

14B d r rdr

π

θ+?

?

()22

220

.

214C d r r rdr

π

θ-+?

?

22

20

.

14D d r rdr

π

θ+?

?

17、若

是某二元函数的全微分，则a ,b 的关系是 ( )

A.

0a b -=

B.

0a b += C. 1a b -= D. 1a b += 18、设曲线C 是由极坐标方程

r =r (θ)(θ1≤θ≤θ2)给出，则()(),c

I f x y ds ==?

A.()

2

1

2

2cos ,sin f r r r r d θθθθθ'+? B.()2

1

2,1f x y y dx θθ'+?

C.

()2

1

cos ,sin f r r d θθ

θθθ? D.()2

1

cos ,sin f r r rd θθθθθ?

19、a 为任意正的实数，若级数∑∞

=1!n n n n n a ，∑∞

=--+2

2

2n a

n n n 都收敛，有（ ） A. e a > B. e a = C. e a <<21 D. 2

1

0≤

20、下列级数中发散的级数是 （ ）

（A ）()∑∞

=+-111n n

n ；（B ）()()∑∞

=-+-2

11n n

n

n ；（C ）()∑∞

=--211n n

n ； （D ）()()

∑∞

=-+-211n n

n

n 。

一、解答题求极限1、2

30(1)

lim

tan sin x x e x x x

→--? 2、

22cos 0() 0x x

x f x x

ae x ?-

=??≥?

， ， a 为何值时，()f x 在0x =处连续。

3、求

d 2sin cos 5

x

x x -+?。 4、设()f x 在[]a b ，上连续，且[] ()()() , x a F x x t f t dt x a b =-∈?，，试求()F x ''。 5．设f x y t t x y

x y (,)sin d =-+?2

，求'?? ??

?f x ππ44,。6． 计算二次积分

7．计算二重积

分

D

其中D ：2222224,16,4x y x y x y x +≥+≤+≥。

8．计算极限()2

2

2

1lim ln 23x y x D

e x y d t σ

+

+→++?? 其中D ：

0,0x t y t ≤≤≤≤。

二、证明题 1． 试证：

20

()ln(2cos 1)F t t t x dx π

=++?为偶函数。

2． 证明恒等式32arctan(sec tan )2x x x π-+=

在322

x ππ<<时成立。 3．设

()f x 对一切 x y ，满足

()()()y x f x y e f x e f y -+=+，且()f x 在0x =处连续，求证：()f x 在任意x 处连续。

4．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式??

?

?????????≤?????????b

a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(2

22

三、应用题 1．曲线

2

x x

e e y -+=

与直线

0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体,

其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求

()()S t V t 的值;(Ⅱ)计算极限()

lim ()

t S t F t →+∞.

高等数学竞赛

一、填空

1．设

()()2

tan ,2f x x f g x x ==-????，且()4

g x π

≤.则()g x 的定义域为 . 2求(

)()2

2

2

11131lim arctan !22311n n n n n n →∞

+?-++?-?-??

?? ??????

?= . 3．设()30sin 2lim 0x x xf x x →+=，则()202lim x f x x →+= . 4．求()()1010

02tan 2sin lim

sin x x x x

→+--= .

5．曲线221x y x =+的拐点为 . 6．函数()2cos f x x x =+在0,2π??

????

上的最大值为 . 7．求()2

23x x dx +=? . 8．求211ln 11x dx x x

+=--? .

9．求

()2

211x x

e dx e +=+?

. 10．设()

f

x 连续，则

()2

1d f x t dt dx

+=? . 11．求

2

π

=?

12．由曲线1

,2y x x x

=+=及2y =所围图形的面积S = .

13．以向量

2a m n =+和3b m n =-为边的三角形的面积为 ，其中

5,3,,6

m n m n π

∧??=== ???.

14．设()()1

,,z f xy y x y f x

??=

++具有二阶连续导数，则2z x y ?=?? . 15．函数()(),,cos f x y z xyz =在点11,,33π??

???

处函数值增加最快的方向为 .

16．求2411lim sin 22n n n i j j i n n ππ→∞===∑∑ . 17．求()

5!

lim 2n n n n n →∞= .

18．

1x d e dx x ??- ???幂级数表达式为 . 19．求三重积分2224

x

x y z e dV ++≤=??? . 20．设L 为椭圆

22

143

x y +=，其周长为C ，则()2

2234L

xy x

y ds ++=? .

19*

．设

(),f x y 是有界闭区域：(){}222,D x y x y a =

+≤ 上的连续函数，则()2

1

lim ,a D

f x y dxdy a π→=?? .

20*．把

()2

12

2

x

dx f x y dy +??

在极坐标系中进行转化：()2

1

220

x

dx f x y dy +=??

二、解答题

1求极限)()21n n →∞-.2、求极限()1

01lim

1cos x x x x e x →??+-????-.

3、求曲线?

??-=+=).cos (sin ),

sin (cos t t t a y t t t a x 上任一点的法线到原点的距离.

4、设(),f u v 具有二阶连续偏导数，且满足222

21f f u v ??+=??，又()()221,,,2g x y f xy x y ??=-????

求2222g g x y ??+??.

5、设函数)(x f 连续，且12

01(2)arctan()2

tf x t dt x -=?，1)1(=f 。求

21()f x dx ?. 6、计算二重积分{

}22

max ,x y D

e

dxdy

??，其中

(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤.

二、 证明题 1、设

()f x 在[](),0a a a ->上连续，证明：()()()0a

a

a f x dx f x f x dx -=+-??????，并计算44

11sin dx x π

π-+?.

2、设

()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足()()()()10110,1,k x

f xe f x dx k k

-=

∈?证明至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()()11.f f ξξξ-'=-

3． 证明级数111ln n n n

n ∞

=+??- ???∑收敛，并求极限11

12lim ln n n n →∞++

.

三、综合题 1

(

)(

)

2

2

42sin cos x x C

I xe y dx e y x dy +

--=-++?

，

C

+

为从点

()1,0到点()1,0-的半圆)11y x =

-≤≤.

1*

．在曲线

()20y x x =≥上某点

A 处作一切线，使之与曲线以及

x 轴所围成图形的面积为

1

12

，试求： 切点A 的坐标；过切点A 的切线方程；由上述所围平面图形绕

x 轴旋转一周所成旋转体的体积.

2．计算,I zdxdy ydzdx xdydz ∑

=++??其中∑为圆柱面22

1x y +=被0,3z z ==截的部分外侧.

2*

．在球面

22294x y z ++=

与椭球面()22217314

x y z +-+=交线上对应于1x =点处的切线方程和法线方程. 3．求常数项级数()()12!1!2!

n n n n n ∞=+++++∑的和. 3*

．求常数项级数∑∞

=--112)1(n n

n n 的和.