字母与线条：笛卡尔《几何》一书中的代数与几何
字母与线条：笛卡尔《几何》一书中的代数与几何
2010-08-23 20:23:13
【译者按：哈，估计好多人不知道什么人会写这样的文章？这是文学专业的教授，学了哲学以后，研究了笛卡尔的数学和几何，从中看到了现代性那种数学化，一步步走向抽象的思维方式。下面的文章摘译自《思想的线条》。作者从文学家喜欢研究的叙述方式入手，进入到哲学方法论者追踪的思考特征，几乎用了笛卡尔的模式，反思了笛卡尔的哲学，以及其数学贡献。当本文作者思考到最后，让我们从笛卡尔《几何》一书的叙述方式中，看到了笛卡儿开启的现代性的那种没有了肉身的线。
因为前面的博客里，我曾经讨论过“抽象”。我说的，多数的时候是绘画和建筑的抽象。现在，我要引入哲学、数学，去让同学们看看，其实，现代性，就藏匿在我们初中学习的解析几何当中。比较不建议建筑学的本科生读者读。】
Lacour, Claudia Brodsky, "Lines of Thought: Discourse, Architectonics, and the Origin of Modern Philosophy", London: Duke University Press, c.1996
Letters and Lines
第5章：字母与线条：笛卡尔《几何》一书中的代数与几何
在《几何》一书的开篇，在谈到数学方法论时，笛卡尔写到：
“任何一种几何问题都很容易被削减成为基本的单元，直到我们用有关某些直线线段长度的已知知识就足够去解答这一问题。就像算术包涵了只有四则或者五则运算那样，亦即，加减乘除，外加开方——可以被当成除法的一种——那么在几何学中，为了找到我们需要的线段，我们需要做的就是用线段加上或者减去其它线段”。
这话，写得异常清晰，笛卡尔用这样的话语预示着解决几何问题以及相关物理问题的方法革命。他将把所有具有广延量的身体都可运算化，并因此，让这些身体符合他所给出的加减乘除开方的运算公式。但是，为了达到这一目标，笛卡尔必须把有关线段的形式特征的几何命题都要当成代数问题中那种以未知数的方式书写一遍。这样，为了将几何，这样一门有关物理世界再现的问题的艺术，翻译成为数学语言，笛卡尔通过用几何和图像的形式，基于再现方法，在几何和代数的两种概念模式之间，形象地构建了数学问题，试图创造一种“数学化的物理学”。
恰恰是这种用一种认识模式去代表另外一种模式的做法（反之亦然），产生了历史上的争论，就是关于笛卡尔作为一个数学家的贡献，到底在哪里的话题：是几何学，还是代数学？一种观点是，在形成解析几何或者叫座标几何的过程中，笛卡尔是对离散数值以及它们在公式里的代数符号更感兴趣，而不是几何那种连续的
维度——笛卡尔坐标系的创立，通过它，几何曲线首次可以用两个未知数的代数公式书写出来，并不是出于他希望构建一种独立于几何形式的理想数学体系的愿望。在这种观点下，还有另外一种对立的观点，图像的表现在笛卡尔的代数里，只是“一种不可或缺的附属品”，为了统一这两者，笛卡尔事实上“几何化”了代数，拒绝把代数等式当成纯粹的抽象的公式关系。
在《几何》一书出版后，笛卡尔在写给梅森（Mersenne）的信上写到：
“我已经下决心放弃抽象几何了，也就是说，我已经放弃那种只是服务于心灵的研究：这样，我就可以拥有更多的时间去研究其它几何，其中就包括对于自然现象的解释。因为。。。。所有我的物理学研究都是几何研究”。
在发表了《谈谈方法》同时，在发展了“抽象几何”之后，笛卡尔将要告别服务于物理学的数学，更为重要地，要告别服务于形而上学的数学。但是，让我们在笛卡尔《谈谈方法》中所说的“方法试验”的那类心智练习那里逗留片刻，我们或许会用笛卡尔的方式问到，笛卡尔的几何学真就是“几何学”吗？或者说，他的几何学就应该被准确地划到“代数”之中去。对于这一问题的回答，将决定着不仅仅笛卡尔是一位数学家，还是有关他作为一位形而上学的学者身份，其中的关联可以被表述成为：“要么笛卡尔铺平了，要么笛卡尔阻止了，对于他在《几何》中排除在外的‘机械性’(现在称为超验性)曲线的思考，这些曲线“局部直，局部弯”，它们不能被用代数化等式表达”，（但是可以用导数表达，就像通过积分求积一般）——简言之，笛卡尔要么预见到了要么预先排除了通往微积分的那无限趋近的逻辑程度，或者，他铺平了或是阻碍了通往从几何的感知领域和“普遍性数学”的机械法则中解放出来的一种沉思性的形而上学的道路。我们有关笛卡尔数学的观点，有赖于我们对于笛卡尔形而上学的观点，因为《几何》一书的数学同样还是《谈谈方法》中的“一种试验”，它的话语构成中将包括“思想”。
即使在那些试图强调笛卡尔《几何》成就两面性的历史记述中，一种明显的互换或是可逆的词汇，可以标志出笛卡尔工作所继承与光大的几何或是代数的这两种数学模式的评价。这里，我们值得去大段地援引一位晚近评论者那特别清晰的点评：
“古代数学家们所拥有的，并不是对于算术特别抽象的代数化阐释，而是对于算术特别具体的几何化阐释。只有当算术和几何被组合起来，生成了比二者都更为强势和更为抽象的东西时，就是笛卡尔的贡献之后，抽象阐释才可能发生。笛
卡尔开创了（与韦达（Vieta）等人一道）我所说的，代数发展的初级阶段，也就是说，笛卡尔将数字从空间直觉那里解脱出来。这才打开了代数的第二阶段，将代数从具体的数字阐述中解放出里。。。笛卡尔的主要目的在于发展一种数学化的物理，而在笛卡尔看来，数学最终就是代数。在笛卡尔的所谓‘普遍性的数学’早期阶段之后，我们当注意到，并不只是一种有关如何应用像代数那么抽象的系统或是像真实世界那么具体和特殊的系统的事物，那么简单的事情。笛卡尔试图想证明，这两套体系都共享着一个关键性的东西：就是几何。事物唯一真实的属性就是那些可以用几何术语理解的东西，代数被当成是用纯粹几何术语，在想象中，表达出来的东西。因此，正是几何，将代数和事物联系了起来”。
上面的这段文字，其实是一次研究的结论。而那次研究的开篇是：
“没有人比笛卡尔对于代数的早期发展做出过更多的贡献。特别是，笛卡尔能够通过代数记号方式显示算术和几何的联系，将算术和几何整合到如此重要的程度。他的目的（就是对于代数来说，最为重要的笛卡尔早期著作《几何》一书的目的）是要显示给我们，如果我们能够用代数语言去思考的话，我们该怎样将这两个领域给整合起来”。
在这段有关笛卡尔贡献的小心评论中，不断地出现着毫无疑问的反复。在有关笛卡尔所做的事情的描述上，没有什么摇摆不定的（也就是说，作者是肯定了笛卡尔整合了算术和几何的资源的），但是，在有关笛卡尔是“如何”完成这一工作的，在他的第一原理或是基础的问题上，总是难以确定。作者把代数描述成为笛卡尔无人能比的贡献和兴趣（“数学，最终，对于笛卡儿来说还是代数），甚至几何也被限定成为“一种关键性的东西”，在笛卡尔看来，把代数跟他最为感兴趣的“真实的世界”联系起来。为什么？在解读笛卡尔从代数告别的时候，（“如果我们用代数语言去思考它们的时候，我们可以将这两个领域组合起来”），我们总会抵达几何呢（“代数被当成是用纯粹几何术语，在想象中，表达出来的东西。因此，正是几何，将代数和事物联系了起来”）？如果说《谈谈方法》提出的问题是，在《谈谈方法》中什么是“谈谈”，或者什么是一种“对于生命的记述”或者“对于方法的记述”的话，在《几何》一书中，所提出的问题则是，什么是“方法”。为了将代数和几何之间做出翻译，笛卡尔又做了什么呢？
不管我们是把笛卡尔的这种将两个模式重新定义的做法，是视为一种对于代数或是几何的数学程序的告别还是抵达，笛
卡尔的做法都必然关乎到了表达的新方式。同时，这些表达的新手段也让我们对于笛卡尔的数学发展特别是他的目标和喜爱的描述，很难统一，这些新手段是笛卡尔这一发展种不可获取的源泉。有了这些东西，笛卡尔就可以将数学现代化，有了这一发展，笛卡尔同样可以将非数学的推导方式现代化。因为《几何》一书所引入的方法也代表着启动了笛卡尔《谈谈方法》种的那种“现代性”：它自己 “寓言般的闲谈”犹如发生在白纸上一般，它那建筑构架般的时不时呈现出来的“思想”，还有，就是“思”的非传统源头和结构。我们对于笛卡尔创建性的数学方法的简要概括，能够帮助我们勾画出他这些的话语关键点。
在《几何》一书中，笛卡尔对于数学学科现代化的最重要最突出贡献在于他解决了从毕德哥拉斯那里下来的有关线性量值的数字上的不可通约问题。古希腊数学是有自然数或者叫做有理整数构成的。他们认为，一个单元与另一个单元的关系是一种类比的关系，就像自然世界里的空间比例关系那样。物理世界是被基于几何形式的模型去表达的，而几何中，一个正方形的边长和对角线，这种常见的线段的量值关系，在希腊人看来，则是不能用一种整数的“比”去表达的，不管测量的基本单位有多么小，都不能准确表达线段之间的比。这就跟古人相信的自然本身的数字秩序相矛盾，也是现代阶段，所谓非欧几何发展之后，所要解决的数学和哲学难题，或者说，也是在量子物理学的最初阶段，试图用方法论的悖论所要解决的问题。
当我们把一个正方形的对角线（比如根号2）当为一个有理数时，（也就是说，一个有理数应该是两个整数的比，是一个有限尺度单元里的有限数字），对角线跟边长的比值就是无理数，因为一个是奇数，一个是偶数。因为无法用整数去代表，正方形的对角线与边长的“比”，总是存在表达上的悖论：是一种在连续广延量上的不连续的数值。芝诺就曾经在有关运动的悖论中阐述过对于连续量值的不可通约的困难。芝诺的问题，也跟发现了量值不可通约性的时间差不多同时代（公元前5世纪中叶）。芝诺的悖论展示的是用运动去做空间分析时的不可通约性。就像在那些来自不可通约的线段之间的“比”那样，就是说，线段们并不共享任何测量单元，对于任何线段（或者任何点）的分割总是不能存在完整的尺度，所以这里就有一个悖论，在那个点上，总是要对线段进行无限的切分去靠近。反过来，既然在位置上的时间变化只能被一分一分地分段测量，是在面对一种无限的数量中的某些间断的点，那测量出来
的，只能是那一刻的静止：在空间中的任何一个点上，我们都找不到运动的证据。由于发现了不可通约的量值，以及芝诺的这种无限可分的悖论的绝对死胡同，在希腊数学里，线条和数字就分了家，有关无限的数字系列，被从对于线条的研究中排斥了出去。当柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus）在公元前第4世纪重新基于具有整数乘积的成对线段（或是任何其它几何属性）而不是基于线段与线段的数字测量去限定比例理论时，这个不可通约性的问题被“解决了”，因为乘积数的线段被视为是综合，而有关无理数的比值的非逻辑分析就可以被回避了。
笛卡尔提出了解决数字与几何比例关系的另外一种方法：代数等式。像我们早前所言，在《几何》一书中，代数记号体系将算术从古代那种“特别具体的几何阐释”中解放了出来。笛卡尔数学就是这样逐渐地从具体世界，以这种方式，变得抽象起来——在笛卡尔那里，这很常见，就是把从事物当中的抽象当成一种进步。但是，将这种分析的抽象方式，也当成心灵进步的方式（在所有领域里），被描述成为进步，这样的工作并不是笛卡尔完成的，而是黑格尔。据说，笛卡尔影响到了黑格尔形成其经典的Aufhebung升华/扬弃，就是对于相对对立的概念模式的一种超越性的综合：“通过对算术和几何的合并，《几何》一书生产了比二者其中之一都要更为强大和抽象的东西，这就是笛卡尔的成就”。然而，在有关笛卡尔《几何》的具体背景中，我们很有理由去之一，到底笛卡尔的成就是什么：真地在于他将不同的资源整合了起来呢？还是在于超越了二者的那种抽象性？如果是后者，那么“这一更为强大”的东西就该是代数：“最终，在笛卡尔看来，数学就是代数”。然而代数一开始就在那里：“如果我们用代数的语言去思考算术和几何的话，我们将把二者的资源整合起来”。代数在那里就是一种生产代数的这个目的的手段——但是，这后面的代数服务于什么？因为最终（或者也可以说最初？），“代数就是用纯粹几何的语言在想象中的表达方式。因此，是几何才将二者联系起来”。
于是，要看我们怎么去看笛卡尔《几何》的成就，有关他的“数学变化”所完成的辨正进步，到底谁是目的，谁是手段，才能被界定出来。当笛卡尔的“成就”仅仅以纯粹数学语言来提出的话，两个对立的对立面就是算术和几何，它们一起通过代数的方式组合出来生产了代数。当我们用一种数学化的物理学去看笛卡尔的成就的话，去看他的“主要目的”的发展的话，两个对立面就是具体的真实世界，与抽象的代数，二者是靠
几何的方式整合起来的，也就是说，通过代数记号的方式，将数字从空间认识的直觉上解放了出来。而笛卡尔想把数学跟物质世界联系起来的“主要目的”，靠的是几何的方式，靠的是诸如线段这样的代数记号的想象性或是物质化，去实现的。《几何》一书里，几何真地被超越了吗？这本书是不是该叫做《代数》呢？或者，笛卡尔从来都没有完成这“初级阶段”（用黑格尔的话说，就是扬弃）？这样的话，笛卡尔的成就就只在于组合或是合拼的行为，其更为复杂的威力来自它无法真正变成代数，完成彻底抽象。
对于笛卡尔在代数发展历程中的关键性贡献的叙述，最终，应该抵达几何在这一发展中的关键性作用，这并不代表着在概念认识上存在什么缺陷，而是在笛卡尔实用性设计的话语和方法上的缺陷。强调题为《几何》的方法试验中的代数发展中的几何的共在，看上去似乎有些夸大事实，不过，这也是笛卡尔所从事的工作，不只是喻像意义上的工作。在《第二沉思》中，笛卡尔提到如何拉伸一块蜡，以便去展示思的真实性。他把这一有关变化着的感知形式的叙述跟真知的可能联系在了一起，他的理由是：如果一块蜡不是受着它的形状约束的话，那它“就是具有着广延量、可以弯曲、不断变化的实在”。而“人类的心灵”，只有心灵，“认识这块蜡的这种方式”，则不受到对于形状的特殊感知的左右的。就像一块可以被揉捏的蜡的身体一样，通过一系列的转化，笛卡尔不只揭示了真实的存在，比如广延量，也揭示了自己的唯一积极存在，就是作为一种正在思考的存在，“彷佛他正在脱去身上的衣裳”，脱去身上感官的想象力，笛卡尔在几何的身体里体验着，直到被剥去身体，不再是具有广延量、弹性可变的存在，这时，剩下的就是有形式赤裸组成的，犹如代数一般的纯粹可思考的存在。
这种对于思想中的普遍性的赤裸的追求（以及对于事物和人类心灵的普遍性的赤裸的追求）并没有受到普遍赞同，即便当这种追求所依赖的那些比喻，被必要地修正，也就让这种比喻更加醒目，被人们用一种暧昧复杂的眯起眼睛的方式所接受之后，笛卡尔这种对于普世性的赤裸到底的追求也还是没有被人们所接受。想象一块蜡和感知蜡的心灵，用一种穿了衣服或是脱了衣服的裸体方式去想象，总是会给今天已经一直受到诟病的笛卡尔理性主义，增添小小的色情。伽桑狄（Gassendi）就是第一个拒绝笛卡尔“剥离蜡的躯体”的喻像的人，他认为，不管穿不穿衣服，是什么形象，一块蜡总还是一具躯体，“具有广延量和空间性”，也最终要被笛卡尔所
感知到。而在笛卡尔看来，那个通过让无限的非代数等式（就是笛卡尔不感兴趣）必然出现的，通过发展代数来改变数学进程的《几何》，最终还是几何。在《第二沉思》的答疑中，在对“思”的反驳中，伽桑狄（他的唯物论不要幽默）开始了一场对于笛卡尔的句读，用一种神化的呼唤，犹如一种失去身体的“灵魂”或是“心灵”，用修辞的方式，面对笛卡尔。『告诉我，我求你了，哦，灵魂，哦，心灵』而在“答复”中，笛卡尔将这种“修辞的讨巧的形象”说成是“拟人法”，比较善良地用一种指向“肉身”的方式向伽桑狄发话。【告诉我，我求你了，哦，肉身，哦，不管你是谁，哦，那美好的肌肤】。“心灵”与“肌肤”，形而上学家和享乐主义者，笛卡尔和伽桑狄，他们相遇在了这些词汇的交叉点上，用词汇，上演了伽桑狄想要的心灵和物质的交流的好戏。笛卡尔在对别人的驳斥的答辩中，卷入了一场词令的交锋与争吵。这些交换，当被出版的时候，笛卡尔曾试图阻止。我们说，笛卡尔在面对伽桑狄的对话中，笛卡尔还真就像“肉身”投了降。
但是，在《几何》一书里，就像在蜡的赤裸的身体的例子里那样，通过笛卡尔自己的设计，有关物质的陈述也注入到了有关心灵的陈述。对于笛卡尔来说，《几何》还是几何，因为它不是基于可延展性，而是基于广延量，就是线段。《几何》第一书的开篇写到：
“所以，在几何中，要想发现我们所希望寻找的线段，我们所做的就是去用另外的线段去加，或是减；或者，我们拿一个我们称为基本单元的线段，将之尽可能地跟数字联系起来，一般而言，可以被称之为武断的联系，这样，有了另外两条线，我们就可以发现第四条线，作为已知线段之一，作为另外一种基本单元（就像在乘法中所做的那样）；或者，可以发现第四条线，作为另外一种已知线的单元（就像在除法中那样）；或者，最终，在单元和某些其它线段之间，去找到，一二或是几种平均的比例（就像对于已知线做开方一样）。我会毫不犹豫地把这些算术术语引入到几何中，为的是让我的话更好懂”。
笛卡尔将会对已知线段进行算术处理，加减乘除，彷佛它们都是数字一般。古希腊人把自然数字当成某些具体几何图形中的具体的线段长度，有些词汇，我们至今还在使用：任何一条线“平方”了，意味着一个正方的建构；任何一条线的立方意味着一个立方体的构建。我们现在可以说一个数字（或是变量）的二次、三次、四次、五次方（以至于n次方），因为笛卡尔把线段仅仅视为纯粹的线条，视“幂”仅仅为不跟具体图形
发生关联的量值之间的纯粹比例“关系”（既，1比x, 等于x比x2， 等于x2比x3，等等）。在《几何》一书中，这种新的记号体系使用了字母去代表线段，使用了数字去代表字母的方次，使用了幂去代表关系，或是乘数本身。一条线段包涵着：【通常并不需要在纸上画出线条，用一个字母去代替一条线就足矣。这样，对于线段BD 和线段GH的相加，我用a＋b去表示；还有aa, 或a2，就是a线段乘以自己；a3代表着a的平方乘以a。等等】当线段可以被字母所代表，而不需要被画出来时，幂就是对于一条被代表的量值本身的不断成比例的关联的次数。这里， 比例被剥离了它们的形象内容；与其套用到某个二维或是三维的图形的边们，这些量值可以被视为是一维上的广延量，单一的线段，它与自身的关联肯定是可通约的，这第一个比例关系的系列里的第一个幂就是1。这样，笛卡尔的记号体系，用字母代替了线段，而且用线段取代了原本在欧几里得空间里的有限表现形式下的比例关系。
笛卡尔关键性引入了一种“武断选择出来的”线的“单元”。这一单元也成为了这一比例性的新基础，通过告别另外一种方式，就用一种固定的测量单位的线段去作为基础的方式，笛卡尔的新单元会在两种等式之间制造一种联系。就是，在一个单元和一个已知条件之间让它们的比例，成为另一对比例中的已知条件和未知者的关系，“这样，不需在已知和未知线段之间做区别，我们就可以根据显示着这些线段之间最为天然的联系的方式，去切入问题，研究问题，直到我们发现，有那么一个数值，会满足公式的两边。这时，我们才把它叫做等式”。这种用人为的手段，建造起比例术语关系的做法，作为解题的方法——在一种已知比例关系中的任何一条线段，都可以用作标准单元，去求出第四条线段来——这种解题法，在笛卡尔死后，给建筑理论带来了一种根本上的挑战。因为在这一思路中，它虽然首先肯定了比例关系的重要性，同时，它也质疑了在建筑比例中人们常以人体尺度作为基本衡量单元的做法。同时，因为笛卡尔提出，可以让线段所代表的任何一个武断的已知数（“单元体”），而不是让数字去通约一个未知数，这就使得笛卡尔可以通过y去思考x，这样一来，他就能够以x和y两个未知数的等式方式，去描绘出线或是轨迹来。从他开始提出一种武断的线性单元的概念来，笛卡尔不只解开了Pappus的难题，这也是他最初关注的难题，他还发展了座标系的工作要素。X与y轴的构成，作为描绘多项等式的蓝图的底子，现在，已经被以笛卡尔的名字来命名。不过，笛卡尔坐标系
，对于他把数字翻译成为线段的工作来说，还只是一种媒介而已。
通过把“平方”和“立方”这些东西不再理解成为真实的两维或是三维的图形，而是理解成为一条线自身跟自身的乘积，笛卡尔打破了自然界里将多项式仅仅限制在三维里的那种束缚。因为被理解成为一维上的延展量，“级”可以是任何值，而一维去理解多级，则将其它维度解放出来，去代表等式里的其它东西，就是变量。如果说笛卡尔一直对作为维度和量度的物理空间保持兴趣的话，笛卡尔有关“级”作为“量值”的写作赋予维度的图像资源，以新的方式。将等式里的级视为延展的新认识，不仅制造出来比三维还多出来一个级别的多项等式，还可能创造混合级的类型。简言之，笛卡尔的几何可以描绘出比古代几何远为丰富的等式关系，就像它可以把几何图形，无需考虑线的不通约性的问题，毫无限制地转化成为等式那样。之所以这样，是因为有了一种记号体系上的技术变化，而这一变化还基于一种在数字和空间之间关系的变化了的感知。
说到建构性，也就是从几何形式到话语和代数记号体系，笛卡尔已经将这两种概念模式都推向了它们的之前极限之外。在这一方面，《几何》中的现代数学，在话语和《谈谈方法》所提出的方法之间，重新建立的一种联系。因为通过将古人的级所代表的东西进行改造，笛卡尔可以在两维上自由地画出此前不可表达的图形，通过使用二元未知数的等式，笛卡尔发明了一套新的技术，去讲述这些图形，他可以把这些代数记号完成的抽象话语，说成是了解物理世界的一种方法。笛卡尔将概念转化和技术转化组合了起来，增强了数学的能力，使之可以描述他所感知的外部世界——亦即，他可以用直尺和圆规一起画出的形状，在给出任何一个确定的数值之后（线段单元），有两个未知数，笛卡尔仍然可以在坐标系里描绘这些变量的性情——这个坐标系，也是笛卡尔的规则世界。笛卡尔考虑的不包括那些有限方程里的小数或者难以确定的数值。他所考虑的对象，正是那些代数抽象和闭合几何图形之间，必须每时每刻，存在着类比关系的对象。但是，在维系这一体系的实用目的之外，在增强数学对于数学之外的自然现象的指代能力之外，笛卡尔将代数和几何协调起来的做法，实际上，强化了人们思想的能力：笛卡尔记号体系为大脑节约了时间。
第6章：书写与直觉（略）
【读者马上会看到，为什么笛卡尔对于欧洲现代建筑体系的诞生，在思想和模式上，也是一位关键性的人物。】
第7章：“我思”与建筑的形式The Cogito and Architectural
Form（略）
第8章：作为迷宫的楼梯：有关方法的出走（略）
第9章：笛卡尔身后的建筑理论
笛卡尔做梦也没有想到，他在《谈谈方法》一书中所表述方法的线性呈现、自我检查思维的再现方法，就是一个想象中的建筑师在幻想中画出格子的那种座标空间的话语，也对建筑理论的实践和话语，带来了一场根本性的焦虑。像《几何》一书中用线段表示比例关系那样，笛卡尔的建筑“设计”所展示的“比例优美”的线条并没有招来争议。同样，线条“本身”也不是话题：真正导致建筑理论去质疑自身前提条件的话题，是那些比例关系的基础或是源头。在笛卡尔看来，就像《几何》一书中发现了“我思”同等重要，如果从已知图形中把想象力给解放出来，建筑师就能够让思想给自由地呈现出来。这些自由想象中的图形的源头和受体，分别是，一个除掉了虚假感知的心灵，与一片“空旷的平板”。这两个东西都强调“空白”，再加上一个第三或是形象的维度来设计，那就是文学和艺术的阐释学概念都需要的想象力。传统意义的阐释学理论主要是阐释有解读圣经所新近提出的阐释难题——亦即，耶稣是怎样作为那个Word体现在文本上下文的事件。这样的阐释学也是理解世俗想象力的诞生的模型。作为一种从历史的平面或是地平线浮现出来的一个个形象，这些想象中的形式被理解成为具有推动真实变化，通过对于它们的接纳，它们有着既可以跟它们所代表的过去发生关联，又可以把当下带向未来的功能。在笛卡尔的《谈谈方法》中，当生产和接纳的场地被平整或是挖掘之后，在《几何》一书中，当思想已经从符号语言的形象维度解放出来之后，这二者都扫平了过去，笛卡尔脑中的建筑师只能把自己的思想当成模特，让建筑进入一种自我沉思的状态：“我被思考，所以，我才存在”。
在这样一种思辨中的建构场地里，第一道被消除的有关思想的衬景，就是对于感觉的支撑：在“我思”过程中被质疑过的感觉的理性价值问题，同样出现在了建筑理论当中，感觉被当成认识上的如果不是存在意义上的欺骗，因为感觉的自然属性会导致人们相信建筑的“存在”。既然思想只能在独立了感觉直接印象之后才能了解自身，建筑，同理，就得要剥离自然的那些物体之后，才能了解建筑的自身。比例，因此就不再是对自然界的模仿，而是源自心灵的因此也是【像笛卡尔代数向量那样可变的】武断的东西。但是，这就意味着比例法则将不再可能在世界那里找到依据，建筑身上的那些柱式，跟笛卡尔的话语方式一样，也就全部成了人类自己的发明。美，作
为建筑（以及其它感知物体）身上比例所带来的愉悦效应，同理，也不能从自然那里寻找因由，否则，就是误解。
这就是维特鲁威《建筑十书》的法语翻译人，生理学家，佩劳（Claude Perrault）所持有的观点。他有关建筑理论中的比例的文章收录在《古今论丛》里，那场讨论发生在佩劳的弟弟夏尔跟Boileau著名的论战之间，二人争论的是话语类艺术的古典模型的必要性问题。克劳德.佩劳是法国科学院成员，法国皇家建筑学院的成员，也是Colbert遴选出来提交卢浮宫东立面方案的三大建筑师（另外两个是le Vau和le Brun）之一，Colbert还受命佩劳去翻译维特鲁威的《十书》。不过，佩劳本人做得建筑并不多。如今，人们多以为卢浮的外廊是他的手笔，也就把卢浮当成他的建筑，也就是他的唯一建成建筑；此人的主要职业是他授课20年的生理解剖以及力学工程。追随在von Haller, Buffon, La Mettrie, Malne de Biran, Leibniz, Huygens之后，佩劳的生理学调查是通过建筑构造的方式去描述有机形式的，他呼吁人们对于经验科学中理性角色的重视。这位公开的笛卡儿式的“自然”科学家质疑那些源自感觉的知识：“我们总是有必要把观察给理性的推理联系起来。。。然而，通常，人们是看到事物，却不知道看懂事物，还有，虽然我们没有直接看到事物，我们仍然有可能了解事物的存在”。
在某种意义上讲，笛卡尔的叙述已经事先给自己做了一个了断，他把我们在体验中对于真理的寻找，不是再现成为一种真理的显现，而是解读成为“虚构的寓言”，这样一来，我们如今去阅读《谈谈方法》不像在读一则“故事”，而像在观看一种已经存在局限的再现，在读一幅图画。然而，把自传性的叙述解读和表现成为一幅图画，跟构建一种具有图画属性的方法论，正好对立。对于那些依靠主观产生的再现，笛卡尔不再赋予新的真理价值，这样，笛卡尔就怀疑它们，也邀请我们去跟着怀疑他那白纸一张上写出来的“寓言”。对他的“寓言”的阐释（以及再现的再现）成了他话语领域里的事物，是介质的事物，不关乎他的目的，不关乎他的隐含的话语意向或是“设计”。
然而，笛卡尔的“设计”——他的“谈谈”方法的那种方法——还包涵着剥离了话语背景的非自传性再现，就是建筑制图的“思想”。笛卡尔想象着一个工程师或是建筑师能够躲在知识性和物质性的角落，根据知性的自由力量，在那里画着线条。而这样的想象场景，跟他“寓言”里所宣称的世界性体验和书本知识学习的虚假连续性，都是分开的。在《谈谈方法》中存在着这样一种颇具爆发力的“思想”。基于这
样的“思想”，笛卡尔不仅批判了他自己的故事，也批判了世界史，包括所有犯罪、敌视、散论驱动下的有关法律地位、宗教和知识的那些中介性的依靠条件形成的东西。笛卡尔那种像一个建筑师似的“思想”一直在延续着：
“于是，我想象着，过去曾是很野蛮、只是一点一点变得开化的人们，制定了只能够对付限制犯罪和争吵麻烦的法律，他们不会从聚在一起的一开始，就非常具有秩序，就明白某些睿智的立法者所缔造的宪法。不用说，由上帝独自缔造法规的真实的宗教状态，则应该比其它秩序都要好上许多。。。这样，我想，书本上的科学，起码那些依靠书本才会可能的主张，可能没有证明过程，才一点点地被不同人书写和扩大的。这么说来，书本科学不会像一个感觉很好的人，在面对眼前事物时，能够自然做出的理性推断那么直接地贴近真理”。
人类向往秩序本身、在社会中生存、去了解世界的历史，就是随着时间发展一点点由好多人局部努力积累起来的东西，就像一个古老建筑，其身上可能已经复合了好多不同建筑师的努力那样，它们从来都不像由一个人的思考，用一种自我约束的推理方式，像一个建筑师描绘蓝图那样，完成的工作。最后，出现在机制的时间历程中的错误，也跟发生在任何一个个体生命历程中的错误很相似；世界史只不过是每一个个体自传的加长版：“这样，我会说，既然我们在长成为成人之前都曾有过童年，既然我们在相当长的时间里，就听命于我们的食欲和老师，那，我们的判断力，不可能像理想的那样，一生下来就具有完美的理性，因而纯粹而坚实，我们不会只受理性的引导”。
但是，佩劳本的维特鲁威《十书》的前言和注释以及他后来的有关建筑五柱式的专著，其中，体现了佩劳将自己的理性观点引入到美学的特殊感知领域的做法，都很难给他赢得建筑理论家的名声。佩劳认为，跟传统的认识相同，我们在建筑建造中所拥有的美感很大程度上源自比例关系的在场。但是，在佩劳看来，这就跟传统的建筑和美学理论很是不同，美和比例关系都是一些“任意”的创造：没有自然法则，没有对于自然的模仿，没有自然的权威性去决定着什么能够愉悦眼睛。美和比例，都是随着时间变化而可以接受创新和模仿的，在佩劳看来，美和比例仅仅基于“幻想”，这就是笛卡尔在谈到将秩序的描绘从心灵那里解脱出来时所使用的词汇：
“美的基础不是人们以为的那样在比例当中看到了对自然的模仿，或是理性，或是常识。。。因为那些首先发明了这些比例的人除了他们的自由想象力，没有别的法则
，在某种程度上，这一幻想一旦发生变化，人们就会引入新的比例，这些新比例，同样会让人们感到愉悦”。
这种使比例具有美感的“幻想”规则的观点，一方面，保持着笛卡尔方法的范畴，同时，又从笛卡尔的形而上学领地转移了出来。一方面，任何感官感知所提供的愉悦都不具有普遍性成因，或者，甚至不具备常识的支持；而另一方面，建构的美却并不会以感官感觉的直接，天然地愉悦人。统治着建筑美学的不是理性，也不是自然秩序——习惯上，人们一直认为是音乐乐律的和谐，在统治着建筑的美感——理性和自然秩序，都不会给人带来愉悦的比例的秩序原型。就像笛卡儿，通过将数学秩序同固定的几何形式拆解开来，从而把比例关系推向任意，而且，通过这些从怀念着比例的心灵身上解放出来的这些比例关系和符号，笛卡尔创造了解开之前解不开的难题的方法，在佩劳看来，建筑师必须基于自由想象力、获得的知识和偶然性的“任意”活动，建立他们所使用的比例。那种跟自然形构类比的不变比例关系的假说，只能是掩盖决定着建构形式的真正基础。已知美，或者叫“实证美”——比如，音乐和弦以及其它自然界里的不变“事物”——并不会为有赖于“幻想”、“有赖于我们”的美学，提供任何实用的或是认识上的参照模式：
“建筑局部的比例并不具有自然事物才有的那种实证基础，建筑局部的比例，并不具有类似音乐和弦那样根本不受自由想象限制的某些确定和不变比例的美感。
在古代建筑的遗存身上，还是在书写过柱式比例的伟大建筑师身上，我们都不会发现，会有两栋建筑或是两位作者享有并遵从相同的法则。
这就证明，我们没有太过充分的理由去相信，建筑身上所拥有的比例必须是确定和不变的事物，就像乐律的美感和愉悦那样，那么地不依赖于我们，而是只属于自然，并用不变的精确建立起来的，那么地能够震撼哪怕是最不敏感的耳朵”。
在佩劳看来，对于耳朵而言，准确无误的“实证美”也在建筑特征上有着它们的视觉对应，就是那些“诸如材料之丰富、建筑之宏伟、施工之妥帖与精致、匀称，在法语里，意味着产生了一种可见的、明显的美感的直接显现出来的那些比例，这类容易被识别的价值和优点”。但是跟耳朵能够直接作用于精神的直接影响不同，或者跟生成了“自然且自动地以运动物体的机械方式”的比例不同，眼睛在多数的时候只是间接地愉悦精神，通过“知识”的中介愉悦精神，“这就使得，那些我们已经了解的比例，很能制造愉悦”，并在那些眼睛“了解”的比例当中会发现“愉悦
”。
眼睛所“了解”的，与眼睛所“看到”的，这二者的区别在于，前者并不是想眼睛学会识别的模式那样一类的感官证据，那是一种早前心灵展现的成果。这就是佩劳称之为“任意性”的人为的美的基础，并且，佩劳出了名的，是比“实证美”【天然美】——类似自然效果那般的建筑的直接美感——更为看中“任意美”【习惯美】。因为这种对于“任意美”的承认需要“品味”的构建，也就是说，需要一种类似笛卡尔试图通过“设计”寻找的科学“方法”的美学判断的秩序，“实证美”就是能够被任何“具有好品味”的人都可以感知的东西，而好品味，则是在《谈谈方法》开篇中被认为是属于任何人都具有的品质。
佩劳坚持了笛卡尔式的对于常识或是优识与受到秩序调节并用于美学反思的知识之间的区别。佩劳认为，“任意美”在辨别不只真理本身还包括“真正的建筑师”的问题上是重要的工具：“对于任意美的了解对于我们所言的品味的形成，是最为适合的。正是这样的知识，才能让真正的建筑师同那些不是真正建筑师区别出来；因为为了了解最实证的美感，只要拥有常识就足够了”。虽然克劳德.佩劳所描述的建筑将提供给夏尔.佩劳一种区别是诗歌中两种类型美感的模型，然而，是克劳德佩劳一个人，提出了在识别任意美——属于品味形成的美感——以及对象的知识之间的唯一联系。
一旦从自然相似和良好品味的虚假实证主义那里解脱出来，美学理论就可以描述任意美是怎样变成一种被人获得的快感的机制。佩劳用建筑形式界定出两根快感的轴线，一根是习惯的，另一根是偶然性的。在前者，快感是通过随着世界的重复而强化的，而在后者，快感是通过空间联想传递的：“精神”让两种不同的事物发生了关联，将已知的“价值”跟它背后的东西连在一起。这种双重转喻的快感的原理，用熟悉性的麻木事实跟条件的盲目行动混合起来，在佩劳的理论中，并不能用对其它非自然或是非偶然性的要素的追求去平衡，诸如几何形式之前以为的那种象征性。佩劳对于其激进的现代性根本就不道歉，甚至不评价，他把这一美学快感基础的彻底异端的认识，仅仅称之为，“就是因为物体在那里陪伴了我们，所以我们爱上了它们”。
然而，这又是一个什么样的“现代人”呢，在其翻译建筑规范中最为权威的维特鲁威的《十书》的过程中，竟然开始宣称比例和美感的任意性呢？用一种奇特的方式，佩劳以跟论辨双方都不同的历史逻辑，恰恰地解释的就是这个原因，既然确定比例和品味的基础是任意的，那么，对于品味和比例的确
定部分地就是由“权威”形成的：“我所视为任意性的基础，就是那种依赖于权威和习惯而形成的美感”。然而，对于Boileau来说，权威加上习俗根本说服不了他。佩劳也预感到对于这一悖论人们的反应，他又进了一步，将人们对于古人的“盲目崇拜”说成是一种有意图的神话化，一种捍卫权威本身的圈套：
“我很清楚，即使有了我的这些理由，对于其他人来说，仍然很难接受这一看法，这种观点将被很多反对者们当成悖论，在这些反对者当中，也一定有好多诚实的人，他们仍然笃信他们所热爱的古代荣耀的一部分，就来自某种不可侵犯、无与伦比、永远不败的东西，或许，那是因为他们还没有好好地想过；而反对者当中的另外一些人则头脑清楚，他们就是在用对于古代作品盲目崇拜去遮盖他们的愿望，那就是让他们专业领域里的事物显得什么起来，只有他们才是阐释者”。
维特鲁威的权威对于佩劳来说不再具有神秘性，他的译文、前言和评语都试图在让读者变成自己的阐释者。维特鲁威的权威地位源自他自己的学识，不只是对于希腊建筑典范那类建筑的学识，而是“对能从各类书籍和艺术中学习到的学识”。类似于品味，维特鲁威的权威性是习得的，是由形成一种“理解”的习惯获得的：“从生下来，就习惯于理解最为困难的事情，他的精神就获得了一种能力，一种简单匠人无法穿透像建筑这么宽阔和困难的艺术的最深秘密和所有困难的能力”。理解的练习滋养了理解力。就像建筑师们彼此模仿对方的作品，并不假定在他们之前的那些比例就具有“一种实证和必然美”一样，所以权威没有自然源头，不会提供实证的模式。另一方面，对于古人的盲目崇拜，只能是阻碍理解力的发展，固化一个人祭司般的造作，看不到诸如佩劳所提供的那类理由。当Blondel作为皇家学院的主任出来演讲时，他把佩劳的理论斥责为“太过形而上学”，佩劳则意识到这种对于古人的敬仰所带来的有意回避，乃是利用私人的威望作为盾牌，否定别人理性思想能力的反智行动。在他看来：
“那些伟人值得尊敬的作品以及他们留给我们的古训，也都是一些基于理性的东西。。。然而，现在，我看到，不是这样。这不是一个有关研究古人所言一切是否有理无理的时代，而是盲从的时代。当我说，应该滋养和完善建筑这么一门需要极大精神、判断离和理性的艺术时，我倒不是想用刺激的思想去招有学识者的谩骂。。。我不认为建筑的建筑师没有能力进行理性的思考，就像Blondel让我们相信的那样，当他说，我用以支持我观点的理由太过形而上学的时候”。
【未完待续】
66人推荐
2010-08-23 22:41:25: Shudoku (居里户外小刺猬) 老师……弱弱地问一句，笛卡尔的原文是什么语言的？
2010-08-24 00:56:05: 养蜂人 (apiarist) m
2010-08-24 05:22:23: 城市笔记人 (笔记城市) Rene Descartes, French
2010-08-24 07:09:43: dqu ”笛卡尔将数字从空间直觉那里解脱出来。这才打开了代数的第二阶段，将代数从具体的数字阐述中解放出里“
其中”笛卡尔将数字从空间直觉那里解脱出来“是什么意思？是否应该是”笛卡尔将几何从空间直觉那里解脱出来“？
2010-08-24 07:18:39: dqu 与文章内容相应的个背景是：几何自古希腊起在西方就被认为是世界的本质，而且这个传统事实上延续至今。不仅在牛顿时代，几何是物理学要探索的最根本问题，甚至今天也是，广义相对论从根本上是揭示物质与几何的关系，揭示所谓物理空间的本质。
文中提到”《几何》中排除在外的‘机械性’(现在称为超验性)曲线的思考，这些曲线“局部直，局部弯”，它们不能被用代数化等式表达”，（但是可以用导数表达，就像通过积分求积一般）“。事实上，到了牛顿时代，虽然牛顿本人已经发明了微积分，但是在推导万有引力定律的时候，他并没有使用微积分，而是用纯粹的传统几何的方法（甚至不是笛卡尔的解析几何）。他这样做的原因是，他认为微积分是不严格的。而这背后的事实是，在牛顿的哲学观念中，世界的本质是几何的。
2010-08-24 07:22:44: 城市笔记人 (笔记城市) 这位评论者持有这么一个观点，代数的第一步，是不需要在空间里指定具体数字了，所以，第一阶段，应用用了x，所以，将数字从空间直觉的感知中解放了出来；第二步，代数如果不再只关于实用数学的计算，那代数就发展到第二阶段了，它也不需要跟空间测量有关了。
也就是说，上述的话，都是在“代数史的发展”中，去衡量笛卡尔的贡献的。至于代数是不是如今可以抽象到跟数字运算全无关联，嘿，不知道了。
2010-08-24 07:24:08: 城市笔记人 (笔记城市) 估计那天您给我讲的什么函数的函数，大概应该算代数都走到了更为抽象的一种境界的代表吧
2010-08-24 07:28:32: 城市笔记人 (笔记城市) dqu，discrete number翻译成为什么比较准确，我是明白这个词的意思，不知道数学里到底该翻译成为什么？
2010-08-24 07:47:49: dqu 也许翻译成离散数吧。反正有离散数学。
我没有明白的是，当他说不需要“在空间里”指定具体数字，从而将数字从空间“直觉的感知中解放出来的时候
，这个”空间“是什么意思？这里”空间“的这种相当广义的意思听起来非常近代，而笛卡尔时代人提到空间的时候，指的只能是狭义的几何空间。不管是具体数字还是xyz，怎么可能存在于几何空间里呢？更没有人有这样的直觉了。
2010-08-24 07:52:09: 城市笔记人 (笔记城市) 原文应该有着如下的构想。
既，第一个阶段，数字跟我们自然的世界直接相关，数字是关于空间测量的结果；而到了笛卡尔的代数，具体的数字被诸如x的变量所取代，这时，那些1，2，3，4，就从我们的空间测量和认识中被解放出来；而到了代数的更高级阶段，代数整体，都可以跟空间测量不发生关系。
2010-08-24 07:53:33: 城市笔记人 (笔记城市) 哦，那位评论者，并不是本文的作者，但是也是当下的人，是站在现代的数学的角度去评价笛卡尔的代数的。
2010-08-24 07:54:32: dqu 我觉得这是不对的。代数更早就已经不和空间测量直接相关了。方程本身就是无关几何的，倒是笛卡尔把它们重新联系起来了。
2010-08-24 07:56:06: dqu 事实上，我总觉得那位评论者本人也不是那个意思，因为从他其它的话来看都是极为上路的，就只有这一句话令人无法理解。总之空间这个词出现在这里很蹊跷。
2010-08-24 08:23:58: 城市笔记人 (笔记城市) "what the mathematicians of antiquity has was not an especially abstract algebaric interpretation of arithmetic but an especially concrete geometric interpretation. The abstract interpretation comes only when the resources of arithmetic and geometry are combined to produce something far more powerful and abstract than either them, and it is Descartes' achievment. He inaugurates (with Vieta and others) what I have identified as the first stage in the development of algebra, namely the freeing of number from spatial intuitions. This opened the way to the second stage, the freedom of algebra itself from an exclusively numerical interpretation....His chief aim was to develop a mathematical physicas and mathematics is, utimately, algebra for Descartes".
en, this is the original. I will do some editing and proof reading after the section on architectural theory..
2010-08-24 09:14:36: dqu 翻译是准确的，但是我就是不理解。:)
我不理解的是，在笛卡尔之前，已经有了代数。费尔马的数论和几何无关吧？文中提到的Vieta，早出笛卡尔半个世纪，已经发展了方程和代数，也与几何无关。”He（Decartes） inaugurates (with Vieta and others) what I have identified as the first stage in the development of algebra“容易引起误解，（比如翻译成”与韦达一道“容易令人误以为他俩是同时代的人），本来应该说笛卡尔最终
完成了由Vieta开创还有好几个人参与建构的现代代数的框架，但是显然这个现代代数的框架并非由笛卡尔开创，代数抽象（xyz代表数）更是Vieta而不是笛卡尔的发明。还有著名的寻找三次方程求根公式的问题，也是纯粹代数而与几何（从而与空间）毫无关系。无论怎么说，我实在看不出怎么能够说由于笛卡尔将已经发展出来的代数跟几何联系起来，于是笛卡尔反而是解放了将数字与空间捆绑的状态。因为最晚到方程的出现和抽象代数的出现，代数（数学）就无论如何不再处于诸如丈量土地的一米两米这种与几何的捆绑状态了。应该说，代数在笛卡尔出生的时候已经从这种状态中解放出来了，而笛卡尔反过来倒是将已经分离开的数与形重新又联系起来。
我知道那个论者是专家，我也不相信他会犯这样简单的错，如果他能亲自来给我解释一下就好了。:)
2010-08-24 10:34:02: 城市笔记人 (笔记城市) 查了下，那个人和那本书是，Gaukroger， “Nature of Abastract Reasoning", pp.112-112。估计您那儿能借到。彻底不了解此人，到底是什么方面的专家，有可能是哲学的，就是说，未必真地清楚数学史本身的细节。
2010-08-24 15:57:54: mengdesign 说到数学，想问刘老师有关建筑模数的问题，就是如何用模数把建筑做的精细，譬如材料对缝问题，以及装修厚度不一时怎么协调模数关系……我查过一些资料，但总找不到具体可操作的发法，据说国内在这方面做得好的例子很少，但又不知道国外（贝老的完成面模数控制法稍有了解）是怎么操作的
2010-08-24 16:11:49: 城市笔记人 (笔记城市) 您这问的是两个问题吧。如果要基本参照数据，有本很老的，Architects' Data ， https://www.360docs.net/doc/6c9512481.html,/Architects-Data-3rd-Ernst-Neufert/dp/0632057718/ref=sr_1_19?s=books&ie=UTF8&qid=1282637058&sr=1-19， neufert
如果是建成建筑的控制比例，效果的，柯布不是写了两本？Le Modulor and Modulor 2 , https://www.360docs.net/doc/6c9512481.html,/Modulor-2-ENGLISH/dp/3764361883/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1282637205&sr=1-1
如果您问的是，具体建筑师怎么控制最后建成效果的施工精度？我的理解是，不同建筑师要和不同的施工方，有着自己的策略的。斯卡帕培养了自己的工程队，他们有自己的精度要求；国内，你找一家深圳的厂家，深圳的施工队，和找一家河北的，精度肯定是不一样的。你是想找一个如何控制河北施工队给您施工出来精确接缝的资料吗？这个，很少会在书上读到。
即便是有资料，多是事务所自己的手册。
2010-08-26 20:54:59: mengdesign 感觉柯布的模数可能更多地倾向于比例了，我想了解
的是如何在初步设计阶段时就在设计方法上或是制图上就能体现对施工精度的控制，而且这个控制很有逻辑或者有经验值支持。比如贝老常以某面砖的尺寸作为完成面控制的基本模数，然后使其它砖、墙、洞、窗的尺寸位置都以这个基本模数依据。但我对此种方法还了解甚少，很多问题不知如何解决，如墙厚不等产生不符合模数的尺寸，砖是定做的还是现成的（因为看到苏州博物馆的标砖是675*450的怪尺寸，而且还有分模数225，为什么要选这个尺寸呢），国外事务所对此是怎么运作的呢……
2010-08-26 20:58:21: mengdesign “某施工队”的精确接缝的资料，那些途径可以了解到呢
2010-08-27 07:27:56: 城市笔记人 (笔记城市) to mengdesign：不清楚您现在是在学校里还是在设计院里？其实，对于每个设计项目，如今，您要是参与施工的话，甲方都需要您联合厂家。比如，幕墙安装。您得替甲方去参与决策，去遴选一些可能的厂家以及施工队。如果是生产幕墙的厂家，他们会向您事先给出各类“参数”的，包括可以保证的幕墙生产精度。施工队，如果做过幕墙，也有自己一套的办法。
这个，不用教科书教。您找到厂家就知道了。
对于海外的建筑事务所来说，他们也都有自己的一堆老搭档。谁都知道，如果外墙线到线是600，意味着什么，那意味着每块砖的宽度，不能是200。如今的精度要求越来越高，很多人会画得非常仔细。另外，有些人会把这类工作，直接教给师傅去处理。斯卡帕在做贴砖大样时，只是画一个局部，讲解一下原理，但是，他是知道，手下的工具，能够精确到什么程度的。他也会给匠人示范，标准区域的精度，到底怎么靠手中的工具去实现。比如，精密切割，如何可能。
你要是想了解这类知识。都是施工技术的知识。那就多下工地就好了。要想找教科书，估计，没有。
2010-09-05 14:33:52: 不落地的瓶盖 (用口念经，用心散步) 老长，学习了。但是为何是字母和线条？而不是点与线条之类的？线也可用点来描述，若点为0维，线就为1维，面就是2维，因为在我们的计算机制图表达里，存储最基本的是点，再之上建立其各种图形的拓扑关系和进行各种拓扑运算。并且在分析里，通过各种维度的切换，更易发觉几何中的联系。