数值分析习题
习题1
1． 填空题
(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的 运算； (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避免
误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ； (4) 有效数字越多,相对误差越 ； 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.
3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.
4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.
95123450304051104000003346087510., ., , ., .x x x x x -==?===?
5. 证明1.2.3之定理1.1.
6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。（假定钢珠为标准的球形）
7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.
8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.
9. 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有
r r xf x f x k x k f x εε'≈=
()
(())(),()
其中 并求出157f x x x ==()tan ,.时的k 值，从而说明f x x =()tan 在2
x π
≈时是病态问题．
11. 定义多元函数运算
1
1
1,,(),n n
i i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中
求出S ε()的表达式，并说明i c 全为正数时，计算是稳定的，i c 有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：
111 11212 11-cos23 14 00x
y x x x
y x x
y x x y p p q p q -=
-++===
>>(),()()()
(),()
(),
(,,)
习题2
1. 填空题
(1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;. 主元素
的绝对值太小会发生 ;
(2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 . 平方
根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ;
(3) 直接LU 分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 , 追赶法解对角占优
的三对角方程组时的计算量以乘除法计为 ; (4) ,???
?
??=2011A =1A , =2A , =)(A ρ ; (5) 1100>???
?
??=t t A , )(A ρ , 2cond ()A = ; (6) 0>>>???
?
?
??=a b c c b a A , )(A ρ , 2cond ()A = ; 2．用Gauss 消元法求解下列方程组b Ax =
?????
??=???
?
? ??---=101,
112221111)1(b A , ??
??
?
?
?
??--=???????
??=1111,4321343223431234
)2(b A 3．用列主元消元法解下列方程组b Ax =．
?????
??=???
?
?
??---=674,
5150710623)1(b A ?
?????
?
??--=??????? ??---=6720,5616103423221020)2(b A 4. 用Gauss －Jordan 消元法求：
1
01101
2111-???
?
? ??-- 5．用直接LU 分解方法求1题中两个矩阵的LU 分解，并求解此二方程组．
6．用平方根法解方程组b Ax =
321422131116,A b ???? ? ?== ? ? ? ?????
7． 用追赶法解三对角方程组b Ax =
???????
? ??=???????? ??--------=00001,2100012100012100012100012b A
8．证明：
(1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵．
(2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵．
9．由1
11211----=n L L L L ，(见(2.18)式)，证明:
?????????
?
??=
-11
1111
,32
1323121n n n n n l l l l
l l l L
10．证明向量范数有下列等价性质：
∞
∞
∞∞≤≤≤≤≤≤x
n x x
x
n x x x n x x 212
12)
3()2()1(
11．求下列矩阵的()12,,,A A A A ρ∞．
()
()
5131312110212326;
.A A ??
??
?
== ? ?-??
???
12．求()2cond A
()()10099129998cos sin ;
.sin cos A A θ
θθθ-??
??
== ?
???
??
13．证明：
(1)若A 是正交矩阵，即T A A I =, 则()2cond 1A =;
(2)若A 是对称正定阵， 1λ是A 的最大特征值， n λ是最小特征值，则
()1
2cond n
A λλ=
. 习题3
1. 填空题:
(1) 当A 具有严格对角线优势或具有对角优势且 时，线性方程组Ax =b 用
Jacobi 迭代法和Gauss －Seidel 迭代法均收敛;
(2) 当线性方程组的系数矩阵A 对称正定时, 迭代法收敛.
(3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 小于1; SOR 法收敛
的必要条件是 ;
(4) 用迭代法求解线性方程组,若q = ρ (B ), q 时不收敛, q 接近 时收敛较
快, q 接近 时收敛较慢; (5)
1112,A ??= ???
J B = ;S B = ; ()J B ρ= ; ()S B ρ= ．
2．用Jacobi 迭代法和Gauss －Seidel 迭代法求解方程组
(1) ???
?? ??-=????? ??????? ??453210*********x x x ； (2)
????
? ??=????? ??????? ??---716141115111
8321x x x 各分量第三位稳定即可停止．
3．用SOR 法解方程组，取0.9ω=，与取1ω= (即Gauss-Seidel 法)作比较．
1233215573132573x x x -?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?-??????
． 4．下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收敛
性
(1)?
???
? ??211231125； (2)???? ??2321；
(3)212121212??
?
? ?-??； (4)??????? ??----210012*********
2； (5)??????
?
?
?------------101111511111011115 ； (6)11
22112
21122111?? ? ? ???． 5．方程组
0,0,2211212122211211≠≠???
?
??=???? ?????? ??a a b b x x a a a a
证明用Jacobi 迭代法收敛的充要条件是：
122
1121
12<=
a a a a r ． 6．设
为实数；a a a a a a a A ,111???
?
? ??=
(1)若A 正定，a 的取值范围；
(2)若Jacobi 迭代法收敛，a 的取值范围．
习题4
1. 填空题：
(1) 幂法主要用于求一般矩阵的 特征值，Jacobi 旋转法用于求对称矩阵
的 特征值；
(2) 古典的Jacobi 法是选择 的一对 元素将其消为零;
(3) QR 方法用于求 矩阵的全部特征值，反幂法加上原点平移用于一个近似
特征值的 和求出对应的 ． 2．用幂法求矩阵．
⑴?
??
?
? ??111132126， ⑵?????
??---20101350144
按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位．
3．已知： ???
?
?
??---=13212911
11111A
取t =15，作原点平移的幂法，求按模最大特征值．
4． ???
?
? ??=10141101414A
用反幂法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次．
5．若A 的特征值为t n ,,,,21λλλ 是一实数，证明：t i -λ是tI A -的特征值，且特征向量不变．
6．已知()321,,T
x =求平面反射阵H 使()00,*,T
y Hx ==，即使x 的1，3两个分量化零．
7． ???
?
? ??=612133231A
试用Jacobi 旋转法求作一次旋转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出θ角和结果．
8．设 ()()()()???
?
??=????222322333100T T T 已知λ是1T 的特征值，相应的特征向量为()T
a a a 321,,，证明λ也是T 的特征值，相应的特
征向量为()T
a a a 0,0,,,321．
9． 证明定理4.5．
10． 证明(4．21)中的s A 和1+s A 相似．
习题5
1．填空题
(1) 用二分法求方程3
10x x +-=在[0,1]内的根，迭代一次后,根的存在区间
为 ，迭代两次后根的存在区间为 ；
(2) 设()f x 可微，则求方程()x f x =根的Newton 迭代格式为 ；
(3) 2
()(5)x x C x ?=+-，若要使迭代格式1()k k x x ?+=
局部收敛到α=
C 取
值范围为 ；
(4) 用迭代格式1()k k k k x x f x λ+=-求解方程3
2
()10f x x x x =---=的根，要使迭
代序列{}k x 是二阶收敛，则k λ= ；
(5) 迭代格式1221
3k k k
x x x +=
+收敛于根α= ，此迭代格式是 阶收敛的．
2．证明Newton 迭代格式(5.10)满足
12()
lim
2()k k k
f f εαεα+→∞''=-'
3. 方程3
2
91860, [0,)x x x x -+-=∈+∞的根全正实根，试用逐次扫描法(h =1)，找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01．
4．用二分法求下列方程的根，精度0.001ε=．
(1) 3
40 [2,1]x x x -+=∈-- (2) 1020 [0,1]x e x x +-=∈
5．用迭代法求3
250x x --=的正根，简略判断以下三种迭代格式：
(1) 3152
k k x x +-=； (2) 125
2k k x x +=- ； (3)
1k x +=
在02x =附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根．精度4
10ε-=．
6. 方程x e x
-=
(1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根； (2) 证明 ,,,101==-+k e
x k
x k ，在(0,1)区间内收敛；
(3) 用Newton 迭代法求出此根,精确到5位有效数字． 7．对方程3
310x x --=，分别用
(1) Newton 法0(2)x =；(2) 割线法01(2, 1.9)x x ==求其根．精度4
10ε-=．
8．用迭代法求下列方程的最小正根
(1) 5
420x x --=； (2) 2tan 0x x -=； (3) 2sin x x = 9．设有方程 2
30x
x e -=
(1) 以1h =，找出根的全部存在区间；
(2) 验证在区间[0,1]上Newton 法的区间收敛定理条件不成立； (3) 验证取00.21x =, 用Newton 法不收敛；
(4) 用Newton 下山法，取00.21x =求出根的近似值，精度4
10ε-=．
10．分别用Jacobi 法，Gauss —Seidel 法求解非线性方程组
2
2
230250
x y x y +-=??
+-=?
在(1.5,0.7)附近的根,精确到4
10-．
11．分别用Newton 法，简化Newton 法求解非线性方程组
sin cos 0
1
x y x y +=??
+=?
在(0,1)附近的根,精确到4
10-．
习题6
1．填空题
(1) 设5
3
()1f x x x x =+++，则[0,1]f ，[0,1,2]f = ，
[0,1,2,3,4,5]f = ；[0,1,2,3,4,5,6]f = ．
(2) 设01(),(),
,()n l x l x l x 是以节点0,1,2,…,n 的Lagrange 插值基函数，则
()n
j
j jl x ==∑ ；0
()n
j
j jl k ==∑ ．
(3) 设(0)0,(1)16,(2)46,[0,1]f f f f ====则 ，[0,1,2]f = ，
()f x 的二次Newton 插值多项式为 ．
2．已知函数2
)(x e
x f -=的数据如下
试用二次，三次插值计算=0.35，=0.55的近似函数值，使其精度尽量地高． 3．利用x sin 在3
,
4,6,0π
ππ=x 及
2
π
处的值，求5sin π的近似值，并估计误差．
4
计算积分?
=
x
dt t
t
x f 0
sin )(, 当)(x f =0.45时的x 的取值． 5．试用Newton 插值求经过点(-3,-1),(0,2),(3,-2),(6,10)的三次插值多项式．
6．求满足)()(),()(1100x f x P x f x P ==及)()(00x f x P '='的次数不超过2次的插值多项式)(x P ，并给出其误差表达式．
7．设i x 是互异节点，)(x l j 是Lagrange 插值基函数(n j ,,2,1,0 =)，证明
(1)
1)(0≡∑=n
j j
x l
；
(2)
k n
j j
k j x x l x
≡∑=0)( (n k ,,2,1,0 =)；
(3)
0)()(0
≡-∑=n
j j k j
x l x x
(n k ,,2,1,0 =)．
8．设有如下数据
试计算此表中函数的差分表，并分别利用Newton 向前，向后插值公式求出它的插值多项式． 9．试构造一个三次Hermite 插值多项式使其满足
5.0)1( ,2)1( ,5.0)0( ,1)0(='=='=f f f f
10．已知函数)(x f 的数据表
分别用x =0.75的近似值． 11．对函数()sin f x x =进行分段线性插值，要求误差不超过5
105.0-?，问步长h 应如何选取．
12
用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数
(1) 0000.1)25.0(='S ，6868.0)53.0(='S (2) 2)25.0(-=''S ， 6479.0)53.0(=''S 13. 证明定理6.6.
习题8
1．填空题
(1) 1n +个点的插值型数值积分公式
()()n
b
j j a
j f x dx A f x =≈∑?
的代数精度至少
是 ，最高不超过 ．
(2) 梯形公式有 次代数精度，Simpson 公式有 次代数精度． (3) 求积公式
20
()[(0)()][(0)()]2
h
h
f x dx f f h h f f h α''≈++-?
中的参数α＝
时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 ．
2．确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度． (1) )2()()0()(21020h f A h f A f A dx x f h
++≈? (2)
)](3)(2)1([)(211
1
x f x f f A dx x f ++-≈?
-
(3)
1
1231
11()(1)33f x dx A f A f A f -??
??=-+-+ ? ???
??
? (4) )1()0()()(32111
1f A f A x f A dx x f ++≈?- (5)
)()()(212
x f x f dx x f +≈?
3．分别利用复化梯形公式，复化Simpson 公式，复化Cotes 公式计算下列积分 (1) ?+1
024dx x x
(n =8)
(2) ?
1
0dx x (n =10)
(3) ?-1
2
dx e
x (n =10)
(4) (n =6)
(5)
?
20
sin πdx x
x
(n =8) 4．用Romberg 公式计算积分
(1)
?
-1
2
2
dx e x π
(精度要求510-=ε)
(2)
?
+4
4cos 1dx x (精度要求510ε-=)
5．分别取节点数为2，3，4利用Gauss －Legendre 求积公式计算积分
(1) ?-+4
42
11
dx x ， (2)
?
-1
dx e x
， (3)
3
1
1dx x
?
6．利用Gauss 型求积公式，分别取节点数2，3，4计算积分
(1)
?
+∞
-0
dx x e x ， (2)
?
+∞
∞
--+dx x e x
212
7．用节点数为4的Gauss －Laguerre 求积公式和Gauss －Hermite 求积公式计算积分
?+∞
-=0
2
dx e I x
的近似值，并与准确值2
π
=
I 作比较．
8．分别用两点公式与三点公式求2
)
1(1
)(x x f +=
在x =1.0，x =1.2的导数值，并估计误差，其中)(x f 的数据由下表给出
9．已知)(x f x
e
-=的数据如下
取=0.1，=0.2，分别用二点、三点公式计算=2.7处的一阶和二阶导数值．
习题9
1．填空题
(1) 解初值问题的Euler 法是 阶方法，梯形方法是 阶方法，标准R －K 方法是 阶方法．
(2) 解初值问题()20(),(0)1y x x y y '=-=时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R －K 方法，步长0h << ．采用Euler 方法，步长h 的取值范围为 ，若采用Euler 梯形方法，步长h 的取值范围为 若采用Adams 外推法，步长h 的范围为 ，若采用Adams 内插法，步长h 的取值范围为 ．
(3) 求解初值问题Euler 方法的局部截断误差为 Euler 梯形方法的局部截断误差为 ， Adams 外推法的局部截断误差为 Adams 内插法的局部截断误差为 . 2．对初值问题
??
???=≤≤-+='0)0(1
0211
22y x y x
y
试用Euler 法取步长h =0.1和h =0.2计算其近似解，并与准确解2
1x
y x
=
+进行比较． 3．利用Euler 预测－校正法和四阶经典R －K 方法，取步长h =0.1，求解方程
?????=≤≤+='1
)0(1
0y x y x y
并与准确解x
e x x y 21)(+--=进行比较． 4．用待定系数法推导二步法公式 )85(12
111-++-++
=i i i i i f f f h
y y 并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差． 5．用Adams 预测－校正法求解
??
??
?
=≤≤-='1)0(1
02y x y y
并与准确解1
()1y x x
=
+进行比较． 6．用Euler 中点公式计算 0 2.5
(0)1
y y x y '?=-≤≤?
=?
取步长h =0.25，与准确解x
e
y -=比较，并说明中点公式是不稳定的．
7．写出用经典的R －K 方法及Adams 预测－校正法解初值问题
??
???==+='+-='0)0(,1)0(782
z y yz x z z y y
的计算公式．
8．写出用Euler 方法及Euler 预测－校正法解二阶常微分方程初值问题 ??
?='==+''0
)0(,1)0(0
sin y y y y
的计算公式． 9．证明用单步法
1,(,)22i i i i i i h h y y hf x y f x y +??=++
+ ???
解方程ax y 2-='的初值问题，可以给出准确解．
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
数值分析典型例题
第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
数值分析试卷及其答案
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。
插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() ()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又
数值分析典型习题资料
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析试卷及其答案2
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
华南理工大学数值分析试题-14年下-C
华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。
（1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
（1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。
数值分析试题及答案
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
数值分析典型例题
第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3
X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
数值分析整理版试题及答案
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为
[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有
数值分析典型例题
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( 习题一 1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限 )1.0ln(,121,101 1,1014321== = = x x x x 1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位 数。 3 * 5* 4* 3* 2* 1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0?=====x x x x x 1.3 为了使 3 1的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字? 1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确? (1) x x sin )sin(-+ε,其中ε充分小 (2) ? ++1 2 1N N x dx ,其中N 是充分大的正数 (3) x x sin cos 1-,其中x 充分小 (4) o 1cos 1- (5) 1001.0-e (6) )11010ln(84-- 1.5 求方程01562=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。 习题二 2.1 证明方程043 =-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对 分多少次？(不必求根) 2.2 用二分法求方程0134 =+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求2 10 2 1-?= ε。 2.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求2 10 -=ε。 (1) 02 =--x x ； (2) 06cos 2 =-++-x e x x ； (3) 01tan =--x x ； (4) 0sin 2=--x e x 。 2.4 考虑方程032 =-x e x ，将其改写为3 x e x ± =，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附 近的两个根(取精度要求3 10-=ε)。 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案 数值分析试卷1 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________； 3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________； =]4,3,2,1,0[f ________； 4. 已知??? ? ??-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ； 5. 求解线性方程组?????=+=+045 11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________； 二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。已知 ?????? ? ??------=2100121001210012A ，求L ，U 。 (2)设A 为66?矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。 三、给定数据表如下 x 0.20.40.60.81 1.2f(x)212523202124 （1） 用三次插值多项式计算f ( 0.7 ) 的近似值； （2） 用二次插值多项式计算f ( 0.95 ) 的近似值： （3） 用分段二次插值计算 f ( x ) )2.12.0(≤≤x 的近似值能保证有几位有 数值分析教案 土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 1. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使面积误差不超过1cm 2? 2. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ，宽d 的值为80=*d m ，已知 2.0≤-*l l m, 1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限. 3.为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 4.设x的相对误差界为δ，求n x的相对误差界. 5.设有3个近似数a=2.31，b=1.93，c=2.24，它们都有3位有效数字，试计算 p=a+bc的误差界和相对误差界，并问p的计算结果能有几位有效数字？ 6. 已知33348 7.034.0sin ,314567.032.0sin ==，请用线性插值计算3367.0sin 的值，并估计截断误差. 7. 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差. 8. 已知 1 6243sin ,sin π ππ== =请用抛物插值求sin50的值,并估计误差 9. . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x 10. 已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f ， 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插 值多项式 . 11. 设x x f =)(，并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ， 试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值，并讨论其误差 12. 设],[)(b a x f 在上有四阶连续导数，试求满足条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及 )()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式. 13. 给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944?? ???? ，上的三次埃尔米特数值分析习题
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