高中数学6.4.3余弦定理正弦定理第4课时三角形中的几何计算学案新人教A版必修第二册
第4课时 三角形中的几何计算
问题导学
预习教材P53 T10和P54 T18两个题目，思考以下问题： 如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？
三角形的面积公式
(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝1
2c ·h c (h a ，h b ，h c 分别表示边a ，b ，c 上的高)．
(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2
ac sin B .
(3)S ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (r 为△ABC 内切圆的半径)．
■名师点拨
三角形的面积公式S ＝12ab sin C 与原来的面积公式S ＝1
2a ·h (h 为a 边上的高)的关系为h
＝b sin C ，实质上b sin C 就是△ABC 中a 边上的高．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×
在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.1
2 B.32
C. 3
D ．2 3
解析：选B.S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×1×2×32＝3
2.
已知△ABC 的面积为3
2，且b ＝2，c ＝3，则A ＝( )
A ．30°
B ．60°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
解析：选D.由S △ABC ＝12bc sin A ＝3
2，
得3sin A ＝32，sin A ＝3
2
，
由0° 在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________． 解析：由BC sin A ＝AB sin C ，知sin C ＝1，则C ＝90°， 所以B ＝60°， 从而S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝3 2. 答案： 32 与三角形面积有关的计算问题 (1)(2019·湖南娄底重点中学期末)在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( ) A ．9 B ．18 C ．9 3 D ．18 3 (2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π 3，且S △ABC ＝3， 则a ＝________，b ＝________． 【解析】 (1)在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝ BC sin A ，所以AC ＝ BC ·sin B sin A ＝ 6×sin 120° sin 30° ＝6 3. 又因为C ＝180°－120°－30°＝30°， 所以S △ABC ＝12×63×6×1 2 ＝9 3. (2)由余弦定理，得a 2＋b 2 －ab ＝4，又△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4， 联立方程组? ????a 2 ＋b 2 －ab ＝4 ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2. 【答案】 (1)C (2)2 2 三角形面积计算的解题思路 对于此类问题，一般用公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1 2ac sin B 进行求解，可分为以下 两种情况： (1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积． (2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解． 1．(2019·黑龙江大庆中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则△ABC 的面积等于( ) A ．12 B ．21 2 C ．28 D ．6 3 解析：选D.在△ABC 中，由余弦定理可得 64＝49＋9－2×7×3cos C ， 所以cos C ＝－17，所以sin C ＝43 7， 所以S △ABC ＝1 2 ab sin C ＝63，故选D. 2．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( ) A ． 3 B ．5 3 C ．6 3 D ．7 3 解析：选B.连接BD ，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120° 2 ＝30°，所以∠ABD ＝90°.在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，知BD 2＝22＋22 －2×2×2cos 120°＝12，所以BD ＝23，所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋1 2×2×2×sin 120°＝ 5 3. 3．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为________． 解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝12c sin 60°＝3，得c ＝4，因为a 2＝b 2＋c 2 －2bc cos A ＝1＋ 16－8cos 60°＝13，所以a ＝13. 答案：13 三角形中的线段长度和角度的计算 已知四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ； (2)求四边形ABCD 的面积． 【解】 (1)连接BD ，则由题设及余弦定理得， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．② 由①②得cos C ＝1 2， 故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝1 2AB ·DA sin A ＋12 BC ·CD sin C ＝? ????12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 三角形中几何计算问题的解题思路 (1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决． (2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件． 已知四边形ABCD 满足∠BAD ＝90°，∠BCD ＝150°，∠DAC ＝60°，AC ＝2，AD ＝3＋1.求CD 的长和△ABC 的面积． 解：在△ACD 中，由余弦定理得CD 2 ＝AD 2 ＋AC 2 －2AD ·AC cos ∠CAD ＝6，所以CD ＝ 6. 在△ACD 中，由正弦定理得 CD sin ∠CAD ＝ AC sin ∠ADC ， 则sin ∠ADC ＝ 2 2 ，又0°<∠ADC <120°， 所以∠ADC ＝45°，从而有∠ACD ＝75°， 由∠BCD ＝150°，得∠ACB ＝75°，又∠BAC ＝30°， 所以△ABC 为等腰三角形，即AB ＝AC ＝2， 故S △ABC ＝1. 三角形中的综合问题 (2019·郑州一中期末检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－ B )． (1)求角B 的大小； (2)若b ＝4，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长． 【解】 (1)因为b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )， 所以b cos A ＝(2c ＋a )(－cos B )． 由正弦定理可得，sin B cos A ＝(－2sin C －sin A )cos B ， 即sin(A ＋B )＝－2sin C cos B ＝sin C . 又角C 为△ABC 的内角，所以sin C >0，所以cos B ＝－12.又B ∈(0，π)，所以B ＝2π3. (2)由S △ABC ＝1 2ac sin B ＝3，得ac ＝4. 又b 2 ＝a 2 ＋c 2 ＋ac ＝(a ＋c )2 －ac ＝16. 所以a ＋c ＝25，所以△ABC 的周长为4＋2 5. [变条件、变问法]在本例(2)中，去掉条件“△ABC 的面积为3”，求 (1)△ABC 周长的取值范围； (2)△ABC 面积的最大值． 解：(1)由余弦定理得b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos B ， 即b 2 ＝a 2 ＋c 2 ＋ac . 又b ＝4， 所以16＝a 2 ＋c 2 ＋ac ＝(a ＋c )2 －ac ≥(a ＋c )2 －? ?? ? ?a ＋c 22 . 所以34(a ＋c )2≤16，所以(a ＋c )2 ≤643 . 即4 3. (2)由余弦定理得b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos B ， 即b 2 ＝a 2 ＋c 2 ＋ac ，又b ＝4， 所以16＝a 2＋c 2 ＋ac ≥2ac ＋ac ＝3ac ，即ac ≤163. 所以S △ABC ＝12ac sin B ≤12×163×32＝43 3. 即△ABC 面积的最大值为43 3. 解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解． (2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ? ????π4＋C －c sin ? ????π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π 2 ； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)证明：由b sin ? ????π4＋C －c sin ? ????π4＋B ＝a 及正弦定理，得sin B sin ? ????π4＋C －sin C sin ? ?? ??π 4 ＋B ＝sin A ， 即sin B ? ????22sin C ＋22cos C －sin C ? ?? ?? 22sin B ＋22cos B ＝2 2 ， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1. 由于0 2. (2)因为B ＋C ＝π－A ＝3π4，B －C ＝π 2 ， 所以B ＝5π8，C ＝π 8 . 由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π 8， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝1 2 . 1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝3 2 ，则边BC 的长为( ) A ． 3 B ．3 C ．7 D ．7 解析：选A.因为S △ABC ＝1 2AB ·AC sin A ， 所以12×2·AC sin 60°＝32. 所以AC ＝1. 又BC 2 ＝AB 2 ＋AC 2 －2AB ·AC ·cos A ＝4＋1－2×2cos 60°＝3. 所以BC ＝ 3. 2．已知△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .b ＝2，∠B ＝π6，∠C ＝π4， 则△ABC 的面积为( ) A ．2＋2 3 B ．3＋1 C ．23－2 D ．3－1 解析：选B .由正弦定理，得 c sin π4＝2sin π6 ，解得c ＝2 2.又∠A ＝π－π6－π4＝7π 12，则△ABC 的面积S ＝12bc sin 7π 12 ＝3＋1. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，b ＝1，C ＝120°. (1)求B 的大小； (2)求△ABC 的面积S . 解：(1)由正弦定理b sin B ＝c sin C ， 得sin B ＝ b sin C c ＝1 2 ， 因为在△ABC 中，b 所以A ＝180°－120°－30°＝30°， 所以S ＝12bc sin A ＝3 4 . [A 基础达标] 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a ＝4，b ＝3，C ＝60°，则△ABC 的面积为( ) A ．3 B ．3 3 C ．6 D ．6 3 解析：选B.△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×4×3×3 2 ＝3 3. 2．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( ) A ．1 2 B ．14 C ．1 D ．2 解析：选A.由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2 A ＝sin A ，解得sin A ＝12或sin A ＝－1(舍 去)，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×12＝1 2 . 3．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2 ＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A ． 152 B ．15 C ．2 D ．3 解析：选A.因为b 2 －bc －2c 2 ＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c . 由a 2＝b 2＋c 2 －2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4， 因为cos A ＝78，所以sin A ＝15 8， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝15 2 . 4．已知△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 边的长为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解析：选C.由题设a ＋b ＋c ＝20，1 2bc sin 60°＝103， 所以bc ＝40. a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－120. 所以a ＝7.即BC 边的长为7. 5．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A ． 3 B ．2 C ．2 3 D ．4 解析：选B.因为S ＝1 2bc sin A ， 所以3＝1 2×2c sin 120°，所以c ＝2， 所以a ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos A ＝ 4＋4－2×2×2×? ?? ??－12＝23， 设△ABC 外接圆的半径为R ， 所以2R ＝a sin A ＝23 3 2 ＝4，所以R ＝2. 6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1 3，则△ABC 的面积为________． 解析：因为cos C ＝1 3，0 所以sin C ＝22 3， 所以S △ABC ＝1 2 ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3. 答案：4 3 7．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 解析：由2B ＝A ＋C ，及A ＋B ＋C ＝π知， B ＝π3 . 在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝BC 2＝2， 所以AD 2＝AB 2＋BD 2 －2AB ·BD cos π3＝3. 因此AD ＝ 3. 答案： 3 8．在△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________． 解析：设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0，所以S △ABC ＝1 2 AB ·AC sin A ＝103k 2＝103，所以k ＝1， AB ＝8，AC ＝5，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝82＋52－2×8×5×12 ＝49，所以BC ＝7，所以△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝20. 答案：20 9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos B ＝4 5，b ＝2. (1)当A ＝π 6 时，求a 的值； (2)若△ABC 的面积为3，求a ＋c 的值． 解：(1)因为cos B ＝45>0，所以B ∈? ????0，π2， 所以sin B ＝3 5 . 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得 a sin π6 ＝103，解得a ＝53. (2)由△ABC 的面积S ＝12ac sin B ，得12ac ×3 5 ＝3，得ac ＝10. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2 ＝20， 所以(a ＋c )2 －2ac ＝20，即(a ＋c )2 ＝40， 所以a ＋c ＝210. 10．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C 2 ＝b sin A . (1)求B ； (2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得 sin A sin A ＋C 2 ＝sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin A ＋C 2 ＝sin B . 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2 ， 故cos B 2＝2sin B 2cos B 2 . 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝1 2 ，因此B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝3 4 a . 由正弦定理得a ＝ c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋1 2 . 由于△ABC 为锐角三角形，故0° 所以30° 2. 因此，△ABC 面积的取值范围是? ????3 8 ，32. [B 能力提升] 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝2，C ＝π 3，且a ＋b ＝3，则 △ABC 的面积为( ) A.133 12 B. 53 4 C.512 D. 53 12 解析：选D.由余弦定理得c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos C ， 所以22＝a 2＋b 2 －2ab cos π3， 即4＝(a ＋b )2 －3ab ， 又a ＋b ＝3，所以ab ＝5 3 ， 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝53 12 ，故选D. 12．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ， B ＝π3 ，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理得b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos B ， 又因为b ＝6，a ＝2c ，B ＝π 3， 所以36＝4c 2＋c 2－2×2c 2 ×12 所以c ＝23，a ＝43， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×3 2＝6 3. 答案：6 3 13．(2019·株洲二中期末)如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ＝3 2 BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值是________． 解析：设AB ＝x ，则AD ＝x ，BD ＝233x ，BC ＝43 3 x .在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝ x 2＋x 2－43 x 2 2x 2 ＝13，则sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理，得x sin C ＝BC sin A ＝43 3x 22 3 ，解得sin C ＝ 66 . 答案： 66 14.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠CAD ＝π4，AC ＝7 2，cos ∠ADB ＝－ 2 10 . (1)求sin C 的值； (2)若BD ＝5，求△ABD 的面积． 解：(1)因为 cos ∠ADB ＝－2 10 ， 所以sin ∠ADB ＝ 72 10， 又因为∠CAD ＝π 4 ， 所以∠C ＝∠ADB －π 4， 所以 sin C ＝sin ? ????∠ADB －π4 ＝sin ∠ADB ·cos π4－cos ∠ADB ·sin π 4 ＝ 7210×22＋210×22＝4 5 . (2)在△ACD 中，由AD sin C ＝AC sin ∠ADC ，得 AD ＝AC ·sin C sin ∠ADC ＝72× 4572 10＝2 2. 所以S △ABD ＝1 2AD ·BD ·sin ∠ADB ＝12×22×5×7210 ＝7. [C 拓展探究] 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝3 4 (a 2 ＋b 2 －c 2 )． (1)求角C 的大小； (2)求sin A ＋sin B 的最大值． 解：(1)由题意可知12ab sin C ＝3 4×2ab cos C . 所以tan C ＝3， 因为0 3 . (2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ? ????π－A －π3 ＝sin A ＋sin ? ?? ? ?2π3－A ＝sin A ＋ 32cos A ＋1 2 sin A ＝3sin ? ????A ＋π6≤ 3?