子式和代数余子式

3.4 子式和代数余子式 行列开的依行依列展开

教学目的：

1. 掌握计算行列 式的能力

2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧 教学内容:

1. 子式和余子式: 定义1 在一

n 阶行列式D 中任意取定k 行k 列.位于这些行列相交处的元素所构成的k

阶行列式叫做行列式D 的一个k 阶子式. 例1 在四阶行列式

D=

44

43

42

41

343332312423222114131211

a a a a a a a a a a a a a a a a

中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D 的一个二阶子式

M=

34

31

2421a a a a

定义2 n(n>1)阶行列式

D=

nn

nj

n in ij i n j a a a a a a a a a ?

?

?????????????????????

????1

11111 的某一元素ij a 余子式ij

M

指的是在D 中划去ij a 所在的行和列后所余下的n-1阶子式.

例2 例子的四阶行列式的元素

23

M = 44

42

41

3432311412

11a a a a a a a a a

定义 3 n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij

M 附以符号j

i +-)

1(后,叫做元素ij a 的代数余子

式.

元素ij a 的代数余子式用符号ij A 来表示:

ij A =j i +-)1(ij

M

.

例3 例1中的四阶行列式D 的元素23a 的余子式是

23

M

=23

3

2)

1(M

+-=-23

M

=- 44

42

41

343231

141211

a a a a a a a a a

现在先看一个特殊的情形，就是一个n 阶行列式的某一行（列）的元素最多有一个不是零的情形。

定理3.4.1若在一个n 阶行列式

D= nn

nj

n in ij i n

j a a a a a a a a a ?

?

???????????????????

???1

1

1111

中，第I 行（或第j 列）的元素除a ij 外都是零，那么这个行列式等于a ij 与它代数余子式A ij

的乘积：

D= a ij A ij

证 我们只对行来证明这个定理。 1）

先假定D 的第一行的元素除a ij 外都是零。这时

D=

nn

n n n a a a a a a a ?

???????

???2

1

222211100

我们要证明， D=a 11A 11= a 11（-1）1

1+M 11= a 11M 11，

也就是说，

D= a 11

nn

n n n n a a a a a a a a a ?

???????

???3

2

3333222322

（1）

子式M 11的每一项都可以写作

a 22j a 33j ……a n nj ，

此处j 2，j 3，…，j n 是2，3，…n 这n-1个数码的一个排列。我们看项（1）与元素a 11的乘积

a 11 a 22j a 33j ……a n nj ，

这一乘积的元素位在D 的不同的行与不同的列上，因此它是D 的一项。反过来，由于行列式D 的每一项都含有第一列的一 个元素，而第一行的元素除a 11外都零，因此D 的每一项都可以写成（2）的形式，这就是说，D 的每一项都是a 11与它的子式M 11的某一项的乘积，因此D 与a 11M 11有相同的项，

乘积（2）在D 的符号是

（-1）

21j （πn

j ?）

=（-1）

2j （πn

j ?）

另一方面，乘积（2）在a 11M 11中的符号就是（1）在M 11中的符号。乘积（1）的元素既然位在D 的第2，3，…，n 行与第j 2，j 3，…j n 列，因此它位在M 11的第1，2，…，n-1行与j 2-1，j 3-1，…，j n -1列，所以（1）在M 11中的符号应该是（-1）

)1(2-j （π)1(-?n

j ）

。

显然，л（j 2…j n ）=л（（j 2-1）…（j n -1））。这样，乘积这（2）在a 11M 11中的符号与D 中的符号一致。所以

D= a 11M 11

现在我们来看一般的情形。设

D=

nn

j n nj

j n n j n j j j a a a a a a a a a a a ?

?

?????????????

??????????????????+-+-1

,1

,1

111,111,1110000

我们变动行列式D 的行列，使a ij 位于第一行与第一列，并且保持a ij 的余子式不变。

为了达到这一目的，我们把D 的第I 行依次与第I-1，I-2，…2，1行变换，这样，一共经过了I-1次交换两行步骤，我们就把D 的第I 行换到第一行的位置。然后在把第j 列依次与j-1，j-2，…，2，1列交换，一共经过j-1次交换两列的步骤，a ij 就被换到第一行与第一列的位置上，这时，D 变为下面形式的行列式：

D 1=

nn

j n j n n nj

r i j i j i i j i n i j i j i i j i n j j j ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ...

...

..........................................

............................................................0...00 (01)

,1

,1

,11,11,11,1,1,11,11,11,1,111,11,1111+-+++-+++-+-----++

1

D 是由D 经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而得到的.由命题3.3.3,交换行列式的两行或两列,

行列式改变符号.因此 D=)

1()1()

1(-+--j i 1D =

j

i +-)1(1

D .

在1

D 中,

ij

a 位在第一行与第一列,并且第一行的其余元素都是零;由1),

D=ij a nn

j n j n n n i j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a ?

?

???????????

???????????????????+-+++-++-+----+-1

,1

,1

,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111 =ij a ij

M

因此

D=

j

i +-)

1(1D =

j

i +-)1(ij a ij

M

=

ij a j i +-)1(ij

M

=

ij a ij

A .

这样,定理得到证明.

定理 3.4.2 行列式D 等于它任意一行(列)的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的和.

换句话说,行列式有依行或依列的展开式:

D=in

in i i i i A a A a A a ?++2211(I=1,2,…，n)， （ 3） D=

?++j j j j A a A a 2211nj

nj A a (j=1,2,…，n)。 （4）

在证明这一定理这前，我们先注意以下事实： 设

1D = nn

n n in i i n a a a a a a a a a ?

???????

???????????2

12111211 ，

2D = nn

n n in i i n a a a b b b a a a ?

???????

???????????2

1

2111211

是两个N 阶行列式，在这两个行列式中除去第I 行外，其余的相应行都不得相同。那么，1

D 的第I 行的对应元素有相同的代数余子式。事实上，ij

a 的子式是划去

1D 的第I 行第J 列后所

得的N-1阶行列式。由于

1D 与2D 只有第I 行不同，所以划去这两个行列式的第I 行和第J

列，我们得到同一的行列式。因此ij

a 与

ij

b 的子式相同，而它们的代数余子式也相同。

显然对列来说，也有同样的事实。

现在我们来证明定理3.4.2.我们只对行来证明,换句话说,只证明公式(3).公式(4)的证明是完全类似的.

先把行列式D 写成以下形式:

D= nn

n n in

i i n a a a a a a a a a ??

??

??

??

?++?+?+?++++?++?????

????212111211000

000

也就是说,D 的第I 行的每一元素写成N 项的和.根据命题3.3.9,D 等于个行列式的和:

D=

nn

n n i n a a a a a a a ?

???????

??????????2

1

11121100 +

nn

n n i n a a a a a a a ?

??????????????????2

1

21121100

+…+ nn

n n in n a a a a a a a ?

???????

???????????2

1

1121100 .

在这N 个行列式的每一个中,除了第I 行外,其余的行都不得与D

的相应行相同。因此，每一行列式的第i 行的元素代数余子式与D 的第i 行的对应元素的代数余子式相同。这样，由定理3.4.1，

in i i i i A

a A a A a D +++= 2211 以下定理在某种意义下和定理3.4.2平行。

定理3.4.3 行列式

nn

n n jn j j in i i n a a a a a a a a a a a a D

212121

11211=

的某一行（列）的元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。

换句话说：

),

(0

2211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ （5）

).

(0

2211t s A a A a A a nt ns t s t

s ≠=+++ （6）

证 我们只证明等式（5）。看行列式

)(.)(212121

11211j i a a a a a a a a a a a a D nn

n n jn j j in i i n

= 1D 的第i 行与第j 行完全相同，所以01=D 。另一方面，1D 与D 仅有第j 行不同，因此1

D 的第

j 行的元素的代数余子式与D 的第j 行的对应元素的代数余子式相同。把1D 依第j 行展开，得

jn

in j i j i A a A a A a D +++= 22111 因而

2211=+++jn in j i j i A a A a A a

例4 计算四阶行列式

3

3511

1

2

43152113------=

D

在这个行列式里，第三行已有一个元素是零。由第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第

四列上，得

3

5

5

0100131111115-----=

D

根据定理3.4.1

551

1

11

115

)

1(13

3-----?=+D 把所得三阶行列式的第一行加到第二行，得

.

405

5

26)1(10

5

5

026

1

153

1=----?=---+

所以D=40。

例5 计算阶行列式

1

2

321

100000000010

0001a x a a a a x x x x n n n n +---=

?---

按第一列展开，得

()

1

00000100011100000000010

00011

1

2

3

2

1

----++---=?+---x

x x

a a x a a a a x x x x x

n n n n n n

这里的第一个1-n 阶行列式和n ?有相同的形式，把它记作1-?

n ；第二个1-n 阶行列式等于

()11--n 。所以

.

1n n n a x +?=?-

这个式子对于任何

)

2(≥n 都成立。因此有

n

n n a x +?=?-1

n

n n a a x x ++?=--)(12

n

n n a x a x ++?=--122

=

.

12211n n n n a x a x a x ++++?=--- 但。所以

例6 计算行列式

1

21

22

1

21

2

2

22

121

111---=

n n

n n n n n a a a a a a a a a D

这个行列式叫做一个阶范得蒙（Vandermonde ）行列式。 由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以

1a ，得

)

()

()

(0

)

()

()

(0

111112

132

3

122

2

11331221

1312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n

n n n n n n ---------=---

根据定理3.4.1

)()()()

()

()

(12

132

3

122

2

11331221131

2a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n

n n n n n n ---------=

---

提出每一列的公因子后，得

2

2

3

2

2

2

2

32

2

32

11312111)())((------=n n

n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a D

最后的因子是一个1-n 阶的范得蒙行列式，我们用1-n D

代表它： 111312)())((----=n n n D a a a a a a D

同样得

2

224231)())((-----=n n n D a a a a a a D

此处是一个阶的范得蒙行列式。如此继续下去，最后得

).

()()()())((122311312--??--?---=n n n n n a a a a a a a a a a a a D