指数式与对数式的互化式

指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

指数性质： (1)1、1p p

a a

-=

； （2）、01a =（0a ≠） ； (3)、()m n m n a a =

(4)、(0,,)r

s

r s

a a a a r s Q +?=>∈ ； (5)

、m

n a =

；

指数函数：

(1)、 (1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数；

（2）、 (01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质：

(1)、 log log log ()a a a M N M N += ；（2）、 log log log a a a M M N N

-= ；

(3)、 log log m a a b m b =? ；(4)、 log log m

n

a a n

b b m

=

? ； (5)、 log 10a =

(6)、 log 1a a = ； (7)、 l o g a

b a b =

对数函数：

(1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；

（2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）

(3)、 l o g 0,(0,1),

(1,

a

x a x a x >?∈

∈+∞或 (4)、log 0(0,1)(1,)a x a x

对数的换底公式 :log log log m a m N N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

对数恒等式：log a N

a

N =(0a >,且1a ≠, 0N >). 推论 log log m

n

a a n

b b m

=

(0a >,且1a ≠, 0N >).

对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a M N M N =+; (2) log log log a a a M M N N

=-; (3)log log ()n

a a M

n M n R =∈; (4) log log (,)m n

a a n N

N n m R m

=∈。

和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;

tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=

.

sin cos a b αα+

)α?+

(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a

?= ).

二倍角公式及降幂公式

sin 2sin cos ααα=2

2tan 1tan αα

=

+.

2222

cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

2

2

1cos 21cos 2sin ,cos 2

2

α

α

αα-+=

=

三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2||

T πω=；

函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||

T πω=

.

三角函数的图像：

正弦定理 ：

2sin sin sin a b c

R A B C

=

=

=（R 为A B C ?外接圆的半径）.

2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C ?=

余弦定理：

2

2

2

2cos a b c bc A =+-;2

2

2

2cos b c a ca B =+-;2

2

2

2cos c a b ab C =+-.

（2）111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===.

a 与

b 的数量积(或内积)：a ·b =|a

||b |cos θ。

平面向量的坐标运算：

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b

=1212(,)x x y y ++.

(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b

=1212(,)x x y y --.

(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--

.

(4)设a =(,),x y R λ

∈，则λa

=(,)x y λλ.

(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a

·b =1212()x x y y +. 两向量的夹角公式：

cos ||||a b

a b

θ?==?

a

=11(,)x y ,b =22(,)x y ).

平面两点间的距离公式：

,A B d =||AB =

=

(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ). 向量的平行与垂直 ：设a

=11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则：

a ||

b ?b =λa

12210x y x y ?-=.（交叉相乘差为零）

a ⊥

b (a ≠

0 )? a

·b =012120x x y y ?+=.（对应相乘和为零）

常用不等式：

（1）,a b R ∈?22

2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +

∈?

2

a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)

一元二次不等式2

0(0)ax bx c ++><或2

(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2

ax bx c ++同号，则其解集

1+r 2

r 2-r o

在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：

121212()()0()x x x x x x x x x <

121212,()()0()x x x x x x x x x x <>?--><或.

含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有

22

x a x a a x a

2

2

x a x a x a >?>?>或x a <-.

斜率公式 ：

2121

y y k x x -=

-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

直线的五种方程：

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式

112121

y y x x y y x x --=

--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)).

两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----=（无任何限制条件！）

(4)截距式

1x

y

a b

+

=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、)

（5

）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

点到直线的距离 ：d =

点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). 点与圆的位置关系：点00(,)P x y

与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：

若d =

d r >?点P 在圆外;

d r =?点P 在圆上; d r

直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r

b y a x =-+-的位置关系有三种

(2

2

B

A C

Bb Aa d +++=

):

0相离r d ;0=???=相切r d ;0>???<相交r d .

两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，则：

条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ;

函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线

方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数：

(1) 0='C （C 为常数）.(2) 1

()()n

n x nx n Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.

(4) x x sin )(cos -='. (5) x

x 1)(ln =

'；1(log )log a a x e x

'=

.

(6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则：

（1）'

'

'

()u v u v ±=±.（2）'

'

'

()uv u v uv =+.（3）''

'

2

()(0)u

u v uv v v

v

-=

≠.

判别)(0x f 是极大（小）值的方法：

当函数)(x f 在点0x 处连续时，

（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.