【免费下载】指数式与对数式的互化 练习题难题
指数式与对数式的互化（三）
1．若log x=z，则（ ）
A．y7=x z B．y=x7z C．y=7?x z D．x=z7y
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】先把对数化为指数，再两边乘方，即可得出结论．
【解答】解：∵log x=z，
∴x z =，
两边7次方，得x7z=y，
即y=x7z．
故选：B．
【点评】本题考查了把对数化为指数的运算问题，是基础题目．
2．（2014?渝中区校级三模）已知实数a、b满足等式2a=3b，下列五个关系式：
①0＜b＜a
②a＜b＜0
③0＜a＜b
④b＜a＜0
⑤a=b=0，
其中有可能成立的关系式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】画出指数函数y=2x，y=3x，的图象，利用单调性即可得出．
【解答】解：如图所示：画出函数y=2x，y=3x，的图象．
由图象可知：
（1）当x＞0时，若2a=3b，则a＞b；
（2）当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；
（3）当x＜0时，若2a=3b，则a＜b．
综上可知：有可能成立的关系式是①②⑤．
故选C．
【点评】熟练画出指数函数的图象并掌握其单调性是解题的关键．
3．（2013春?浦东新区期中）将a2b=N（a＞0，a≠1）转化为对数形式，其中错误的是（ ）
A
．B
．C
．D
．
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】规律型．
【分析】根据指数式和对数式之间的关系，以及对数的运算法则分别进行判断．
【解答】解：根据指数式和对数式之间的关系可得，若a2b=N，则2b=log a N ，即，∴A正确．
若a2b=N，则（a2）b=N ，则，∴B正确．
若a2b=N，则（a b）2=N ，则，∴C正确．
∴D错误．
故选D．
【点评】本题主要考查指数式和对数式之间互化，要牢记转化公式：a b=N?b=log?a N．
4．（2013秋?金台区期中）一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于（ ）
A．
lg B．
lg C
．D ．
【考点】指数式与对数式的互化；指数函数的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】设这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t，可以得出一个方程，得两边取对数，再用换底公式变形，求出t；
【解答】解：a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为t，
a（1﹣8%）t
=，两边取对数，
lg0.92t=lg0.5，即tlg0.92=lg0.5，
∴
t=
故选C；
【点评】本题以实际问题为载体，考查指数函数模型的构建，考查解指数方程，属于基础题．
5．（2014秋?大兴区期中）已知，则有（ ）
A．a2b=cB．a2c=bC．b c=2a D．c2a=b
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用指数式与对数式的互化即可得出．
【解答】解：∵，∴（a2）c=b，∴a2c=b．
故选B．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
6．（2013秋?武侯区校级期末）若a=b2（b＞0且b≠1）则有（ ）
A．log2a=b B．log2b=a C．log b a=2D．log a b=2
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想．
【分析】由a=b2（b＞0且b≠1）?log b a=2，可知正确答案．
【解答】解：∵a=b2（b＞0且b≠1），
∴log b a=2．
故选C．
【点评】本题考查指数式与对数式的相互转化，比较简单，解题时要细心计算．
高中数学,指数式与对数式的运算考点题型总结
第八节指数式、对数式的运算 ?基础知识 1.指数与指数运算 (1)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使 n a有意义)． ②当n是奇数时，n a n＝a； 当n是偶数时，n a n＝|a|＝ ?? ? ??a，a≥0， －a，a<0. (2)分数指数幂的意义 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键． ①a m n＝ n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②a - m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (3)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)； ②a r a s＝a r－s(a>0，r，s∈Q)； ③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)． (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 2．对数的概念及运算性质 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b. 指数、对数之间的关系
(1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)． ? 常用结论 1．换底公式的变形 (1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝ 1 log b a (a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝n m log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)； (3)log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)． 2．换底公式的推广 log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式 a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)． 考点一 指数幂的化简与求值 [典例] 化简下列各式：
指数式和对数式比较大小
指数式和对数式比较大 小 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-
指数式和对数式比较大小五法 方法一：利用函数单调性 同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读： 1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x y a =的单调性. 2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性. 3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性. 例1：比较下列各组数的大小 （1）0.30.3,30.3 （2）2log 0.8,2log 8.8 （3）0.30.3,0.33 [解]（1）利用函数0.3x y =的单调性. 因为函数0.3x y =在R 上单调递减,<3,所以0.30.3>30.3. （2）利用函数2log y x =的单调性. 因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,<,所以2log 0.8<2log 8.8. （3）利用函数0.3y x =的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,<3,所以0.30.3<0.33. 方法二：中间桥梁法 既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小. （1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =) （2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题. 例2：比较下列各组数的大小 （1）0.41.9, 2.40.9 （2）124()5,139()10 [解]（1）取中间值1. 因为0.4 01.9 1.91>=, 2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>. （2）取中间值1 29()10 . 利用函数910 x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>1 24()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）
高中数学《对数的概念与运算性质》精品公开课教案设计
《对数与对数运算》（第一课时） 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性. 三、学生学情分析
指数对数概念及运算公式
指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值
（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b
指数式、对数式的运算
预习 1.化简下列各式： (1)0.027－13－????17－2＋????27912－(2－1)0； (2)????56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)1 2·ab . (3)g 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (4)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． (5)a ·1a ＋(5a )5－6a 6 (6) 4a 23·b －13÷? ????－23a －1 3b 23 2．计算：－????32－2＋????－278－23＋(0.002) －1 2＝____________． 课堂讲解 1．计算2log 63＋log 64的结果是_____________. 2．若x log 23＝1，则3x ＋3－ x ＝_____________. 3．计算log 5????412log 2 10－（33）23－7log 72＝____________． 4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________． 5.a 3 a ·5a 4(a >0)的值是____________． 6．已知2x ＝3，log 483 ＝y ，则x ＋2y 的值为____________． 7.（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64 ＝____________．
2 / 2 课后练习1． ()2a 23b 12()－6a 12b 13÷()－3a 16b 56 =_________________. 2．如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么P Q 的值为_________________. 3．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于_________________. 4．已知函数f (x )＝? ????log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ????log 312的值是_________________. 5．定义a ·b ＝? ????a ·b ，a ·b ≥0，a b ，a ·b <0，设函数f (x )＝ln x ·x ，则f (2)＋f ????12＝_________________. 6．化简：（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5 ＝____________． 7．若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝____________． 8．若67x ＝27，603y ＝81，则3x －4y ＝____________． 9．化简下列各式： (1)????2790.5＋0.1－2＋????21027－23－3π0＋3748 ； (2) 3 a 72·a －3÷ 3a －3·a － 1； (3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27 .
第10讲 指数与对数的运算
第10讲 指数与对数的运算 回归教材 【基础自测】 1． (必修1P 63习题3．1(1)第2题改编) 3（－8）3＋4 （3－2）4－3（2－3）3＝____________． 1． －9＋3 【解析】 原式＝－8＋1＋3－2＝－9＋3． 2．(必修1P 63习题3．1(1)第5题改编) 化简3 4b a （a >0，b>0）的结果是 ___________． 2． a b 【解析】 原式=154132 233 3 2 1127 23333 [()]()a b ab a b a b ab a b a b -==． 3． (必修1P 78练习第3题改编) log 2716 log 34 的值为________． 3． 2 3 【解析】 原式＝lg 16 lg 27lg 4lg 3 ＝lg 16·lg 3lg 27·lg 4＝2lg 4·lg 33lg 3·lg 4＝23 ． 4．(必修1P 76练习第4题改编) 已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=________(用,a b 表 示)． 4． 2a b a +- 【解析】5 1836185log ,log 45b s b =?=∴=181818218log 45log 5log 918log 36 log18 9 += 181818log 5log 92log 9 += -=2a b a +-． ４．(3，3) 【分析】 由a 0＝1知，当x －3＝0，即x ＝3时，f (3)＝3，即图象必过定 点(3，3)． 5． (2016·浙江高考) 已知a >b >1．若log a b ＋log b a ＝5 2 ，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________． 5． 4，2 【解析】 令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0 指数式与对数式的运算 指数与指数幂的运算 教学目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 知识点回顾： 1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，记为n a ，其中n >1，且n N *∈.（n 叫做根指数，a 叫做被开方数）n 次方根具有如下性质： （1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零. （2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式： ()n n a a =；,||,n n a n a a n ?=?? 为奇数为偶数；np n mp m a a =，（a ≥0）. 2.规定正数的分数指数幂：m n m n a a = （0,,,1a m n N n *>∈>且）； 注意口诀：（根指 数化为分母，幂指数化为分子）， 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．0的负分数指数幂没有意义。 3.指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 范例解析 例1求下列各式的值： （1）3n n π-（）（*1,n n N >∈且）； （2）2()x y -. 解：（1）当n 为奇数时，33n n ππ-=-（）； 当n 为偶数时，3|3|3n n πππ-=-=-（）. （2）2()||x y x y -=-. 当x y ≥时，2()x y x y -=-；当x y <时，2()x y y x -=-. 例2已知221n a =+，求33n n n n a a a a --++的值. 解：332222()(1)1121122121 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=+-+=-+++. 例3化简：（1）2 115113366 22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）3322 114 4 23 ()a b ab b a b a ?（a ＞0，b ＞0）； （3）24 3 819?. 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 14 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但 y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210，，的图象的 认识。 图象特征与函数性质： 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ? ? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的 示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求lo g .032524?? ? ? ? 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ，再改写为指数式就比较好办。 解：设log .032524?? ? ? ?=x 教案12：指数式与对数式（2） 一、课前检测 1.已知log 2,log 3a a m n ==，则2m n a += 答案：12 2. 已知532log [log (log )]0x =，那么12 x -等于（ ） A. 13 B. C. 4 D. 答案：C 3. 式子 82log 9log 3的值为 ( ) A.2 3 B.32 C.2 D.3 答案：A 二、知识梳理 灵活运用指数式和对数式解决问题 1．重视指数式与对数式的互化； 2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算； 3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． 三、典型例题分析 例1．计算：（1 ）1 2 0.50.75163(12427162(8)--+-+-； （2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+； （3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+． 解：（1 ）原式121 33(1)246324(113 228?-?-??=+-+-? 2 1 3332113222118811?=++-?=+-=． （2）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=． （3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24 =?=． 小结与拓展： 例2．已知35a b c ==，且112a b +=，求c 的值． 解：由3a c =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a =； 同理可得1log 5c b =，∴由112a b += 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴215c =，∵0c >，∴c =． 例3 设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >． 由2log 2log 30x y y x -+=得2230t t -+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1log 2 x y =，∴12y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-． 例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=． （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b +-+ ++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3 a b c +-=，求a 、b 、c 的值． 证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=? 22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====； 解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b c a ++=，∴30a b c -++=……………① 由82log ()3 a b c +-=得2384a b c +-==………… ……………② 指数式与对数式的互化（三） 1．若log x=z，则（ ） A．y7=x z B．y=x7z C．y=7?x z D．x=z7y 【考点】指数式与对数式的互化． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】先把对数化为指数，再两边乘方，即可得出结论． 【解答】解：∵log x=z， ∴x z =， 两边7次方，得x7z=y， 即y=x7z． 故选：B． 【点评】本题考查了把对数化为指数的运算问题，是基础题目． 2．（2014?渝中区校级三模）已知实数a、b满足等式2a=3b，下列五个关系式： ①0＜b＜a ②a＜b＜0 ③0＜a＜b ④b＜a＜0 ⑤a=b=0， 其中有可能成立的关系式有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个 【考点】指数式与对数式的互化． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】画出指数函数y=2x，y=3x，的图象，利用单调性即可得出． 【解答】解：如图所示：画出函数y=2x，y=3x，的图象． 由图象可知： （1）当x＞0时，若2a=3b，则a＞b； （2）当x=0时，若2a=3b，则a=b=0； （3）当x＜0时，若2a=3b，则a＜b． 综上可知：有可能成立的关系式是①②⑤． 故选C． 【点评】熟练画出指数函数的图象并掌握其单调性是解题的关键． 3．（2013春?浦东新区期中）将a2b=N（a＞0，a≠1）转化为对数形式，其中错误的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【考点】指数式与对数式的互化． 【专题】规律型． 【分析】根据指数式和对数式之间的关系，以及对数的运算法则分别进行判断． 【解答】解：根据指数式和对数式之间的关系可得，若a2b=N，则2b=log a N ，即，∴A正确． 若a2b=N，则（a2）b=N ，则，∴B正确． 若a2b=N，则（a b）2=N ，则，∴C正确． ∴D错误． 故选D． 【点评】本题主要考查指数式和对数式之间互化，要牢记转化公式：a b=N?b=log?a N． 4．（2013秋?金台区期中）一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于（ ） A． lg B． lg C ．D ． 【考点】指数式与对数式的互化；指数函数的实际应用． 【专题】计算题． 【分析】设这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t，可以得出一个方程，得两边取对数，再用换底公式变形，求出t； 【解答】解：a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为t， a（1﹣8%）t =，两边取对数， lg0.92t=lg0.5，即tlg0.92=lg0.5， 对数及对数运算 【学习目标】 1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化； 2．了解常用对数与自然对数的意义； 3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算； 4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用． 【要点梳理】 要点一、对数概念 1．对数的概念 如果??01b aNaa???，且，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log a N=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 要点诠释： 对数式log a N=b中各字母的取值范围是：a>0 且a?1， N>0， b?R． 2．对数??log0a Na??，且a1具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即0N?； （2）1的对数为0，即log10a?； （3）底的对数等于1，即log1a a?． 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，NNlglog10简记作．以e（e是一个无理数，2.7182e????）为底的对数叫做自然对数，logln e NN简记作． 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转 化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知??loglog010aa MNaaMN???，且，、 （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ??logloglog aaa MNMN?? 推广：????121212loglogloglog0akaaakk NNNNNNNNN???? ?、、、 （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； logloglog aaa MMNN?? （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； loglog aa MM??? 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2． （-3）与log2（-5）是不存在的． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： log a（M?N）=log a M?log a N， log a（M·N）=log a M·log a N， log a NMNM aa loglog?． 要点三、对数公式 1．对数恒等式： log log a bNa aNaNNb??????? 2．换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有: （1）)(loglogRnMM naa n?? 令 log a M=b，则有a b=M，（a b）n=M n，即nbn Ma?)(，即na Mb n log?， 即:naa MM n loglog?． （2）)1,0(logloglog???ccaMM cca，令log a M=b，则有a b=M，则有)1,0(loglog???ccMa cbc 即Mab cc loglog??，即aMb cc loglog?， 即)1,0(logloglog???ccaMM cca 1．指数、对数的运算法则； 2．指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?=． 指数式与对数式的底a 取值范围为(0,1)∪(1，+∞). 在底确定的前提下，指数运算与对数运算互为逆运算. 1．重视指数式与对数式的互化； 2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算； 3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． （三）例题分析： 例1．计算：（1）12131 6 32 4 (1243)27162(8)--+-+-； （2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+； （3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+． 解：（1）原式12 1 33(1)246 3 2 4 (113 2 28 ? -?-?? =+-+-? 2133 3 2 113222 118811? =++-?=+-=． （2）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=． （3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3 ( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2 =+?+=+?+ 3lg 25lg 35 2lg 36lg 24 =?=． 例2．已知112 2 3x x - +=，求 22332 2 23 x x x x --+-+-的值． 解：∵112 2 3x x -+=，∴112 2 2()9x x - +=，∴129x x -++=，∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=， 又∵331112 2 2 2 ()(1)3(71)18x x x x x x -- -+=+?-+=?-=， ∴22332 22472 3183 3 x x x x -- +--= =-+-． 例3．已知35a b c ==，且11 2a b +=，求c 的值． 解：由3a c =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a =； 同理可得 1log 5c b =，∴由11 2a b += 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴215c =，∵0c > ，∴c =． 例4．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >． 由2log 2log 30x y y x -+=得2 230t t -+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1 log 2 x y =，∴1 2y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-． 高中数学指数、对数的运算一．选择题（共28小题） 1．（2014?济南二模）log2+log2cos的值为（） A．﹣2B．﹣1C．2D．1 2．（2014?成都一模）计算log5+所得的结果为（） A．1B．C．D．4 3．若a＞2，b＞2，且log2（a+b）+log2=log2+log2，则log2（a﹣2）+log2（b﹣2）=（）A．0B．C．1D．2 4．（2014?泸州二模）式子log2（log216）+8×（）﹣5=（） A．4B．6C．8D．10 5．（2014?泸州一模）的值为（） A．1B．2C．3D．4 6．（2015?成都模拟）计算21og63+log64的结果是（） A．l og 2B．2C．l og63D．3 6 7．（2014?浙江模拟）log212﹣log23=（） A．2B．0C．D．﹣2 8．（2014?浙江模拟）下列算式正确的是（） A．l g8+lg2=lg10B．l g8+lg2=lg6C．l g8+lg2=lg16D．l g8+lg2=lg4 9．（2014?和平区二模）已知3x=5y=a，且+=2，则a的值为（） A．B．15C．±D．225 10．（2013?枣庄二模）已知函数，则的值是（）A．9B．﹣9C．D． 11．（2013?婺城区模拟）已知函数f（x）=log2，若f（a）=，则f（﹣a）=（） A．2B．﹣2C．D． ﹣ 12．（2013?泸州一模）log2100+的值是（） A．0B．1C．2D．3 13．（2013?东莞一模）已知函数f（x）=，则f（2+log32）的值为（）A． B．C．D．﹣54 ﹣ 14．（2013?东城区二模）f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4 15．（2012?安徽）（log29）?（log34）=（） A．B．C．2D．4 16．（2012?北京模拟）函数y=是（） B．区间（﹣∞，0）上的减函数 A．区间（﹣∞，0） 上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数 C．区间（0，+∞） 上的增函数 17．（2012?杭州一模）已知函数则=（）A．B．e C．D．﹣e 18．（2012?北京模拟）log225?log34?log59的值为（） A．6B．8C．15D．30 19．（2012?北京模拟）实数﹣?+lg4+2lg5的值为（）A．2B．5C．10D．20 指数不等式与对数不等式的解法 主标题：指数不等式与对数不等式的解法 副标题：为学生详细的分析指数不等式与对数不等式的解法的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：不等式，指数不等式与对数不等式的解法，知识总结 难度：3 重要程度：5 考点剖析：1.利用指数函数的定义域和单调性将指数不等式转化为一元二次不等式； 2.利用对数函数的定义域和单调性将对数不等式转化为一元二次不等式； 3.利用换元法将含指数或对数的不等式进行合理转化. 命题方向： 考查指数不等式或对数不等式，往往考查其定义域与单调性，将其合理转化为一元一次不等式或一元二次不等式进行求解. 规律总结： 1.? ? ?<<<>>?>10),()(1 ),()()()(a x g x f a x g x f a a x g x f , 2.?>)(log )(log x g x f a a ???<<<<>>>1 0),()(01 ,0)()(a x g x f a x g x f 3.对于02>++C Ba Aa x x ，令t a x =，可转化为02>++C Bt At 来解（但要注意 0>=x a t ），再利用t x a log =求解; 4.对于0log )(log 2>++C x B x A a a ,令x t a log =，可转化为02 >++C Bt At ，再利用 t a x =求解 知识点总结： 1.指数函数的图象与性质 a >1 00时，1)(>x f ；当 x <0时，1)(0< 指数式与对数式的互化同步练习 一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） 1. 溶液酸碱度是通过pH 值刻画的，pH 的计算公式是pH =?lg [H +]，其中[H +]表示该溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升．若某种纯净水中氢离子的浓度为[H +]=10?6摩尔／升，则该纯净水的pH 为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2. 下列计算正确的是( ) A.√2×√23×2 ?56=32 B.2log 23=8 C.log 64+log 69=2 D.2x =10时x =lg 2 3. 若2x =3y =12z >1，则z + 4x+8y xy 的取值范围是( ) A.[1,4] B.[1,+∞) C.(2√2,+∞) D.[4,+∞) 4. 已知2x =3y =k ，且1x +1y =1，则k 的值为( ) A.6 B.√6 C.2 D.3 5. 设(19 )a =16，则a =( ) A.144 B.log 916 C.log 1619 D.?log 34 6. 已知2a =32，3b =32，4c =23，则( ) A.a >b >c B.b >a >c C.a >c >b D.c >a >b 7. 设2a =5b =m ，1a +1b =2，则m =( ) A.√10 B.?√10 C.√10或?√10 D.10 8. 已知2a =5b =10，则下列选项中不正确的是( ) A.a +b >4 B.a +b =ab C.(a ?1)2+(b ?1)2<2 D.a 2+b 2>8 9. 设(12)a =5b =m ，且1a ?1b =2，则m =( ) A.110 B.10 C.√10 D.√1010 10. 若2a =5b =M ，且1a +2b =2，则M =( ) A.50 B.10 C.5√2 D.±5√2 二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ， ） 11. 设2x =3y =72，则3x +2y =________. 指数式、对数式的运算 一、基础知识 1.指数与指数运算 (1)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使 n a有意义)． ②当n是奇数时，n a n＝a； 当n是偶数时，n a n＝|a|＝ ?? ? ??a，a≥0， －a，a<0. (2)分数指数幂的意义 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键． ①a m n＝ n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②a - m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (3)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)； ②a r a s＝a r－s(a>0，r，s∈Q)； ③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)． (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 2．对数的概念及运算性质 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b. 指数、对数之间的关系 (1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)． 二、常用结论 1．换底公式的变形 (1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝ 1 log b a (a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝n m log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)； (3)log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)． 2．换底公式的推广 log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式 a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)． 考点一 指数幂的化简与求值 [典例] 化简下列各式： (1)????2 350＋2－2·??? ?2 14-1 2－(0.01)0.5； (2)56 a 1 3·b －2·????－3a -12b －1÷(4a 2 3·b －3)1 2. [解] (1)原式＝1＋14×????4912－????11001 2＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615 . 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 指数性质： (1)1、1p p a a -= ； （2）、01a =（0a ≠） ； (3)、()m n m n a a = (4)、(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ； (5) 、m n a = ； 指数函数： (1)、 (1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数； （2）、 (01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质： (1)、 log log log ()a a a M N M N += ；（2）、 log log log a a a M M N N -= ； (3)、 log log m a a b m b =? ；(4)、 log log m n a a n b b m = ? ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 l o g a b a b = 对数函数： (1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数； （2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、 l o g 0,(0,1), (1, a x a x a x >?∈ ∈+∞或 (4)、log 0(0,1)(1,)a x a x ,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 对数恒等式：log a N a N =(0a >,且1a ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m = (0a >,且1a ≠, 0N >). 对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a M N M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m n a a n N N n m R m =∈。 和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= . sin cos a b αα+ )α?+ (辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?= ). 二倍角公式及降幂公式指数式与对数式的运算
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