《数学分析》第五章 导数与微分

第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时)

§1 导数的概念 ( 2 时)

一． 导数的背景与定义：

1． 背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2.

导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法.

有限增量公式: .0 ),( )(0→??+?'=?x x x x f y 例1 ,)(2x x f = 求). 1 (f '

例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .)

3()(lim

000

h

h x f x f h --→

3. 单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.

例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况.

例4 设??

?<≥-=.

0,

,

0,

cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数. 二. 导数的几何意义:

可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2

)(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程.

三. 可导与连续的关系:

Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续.

例6 证明函数)()(2

x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数.

四 导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.

.)

()(lim

)(0x

x f x x f x f x ?-?+='→? (注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x )

例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(n

x x f = ⑵x x f sin )(=， ⑶x x f a log )(=.

五 导函数的介值性:

1 极值的定义

例8 证明: 若,0)(0>'+

x f 则),(,000δδ+∈??>?x x x ,有)()(0x f x f <. 2 取极值的必要条件:

Th2 (Fermat 定理)

3 导函数的介值性:

引理 (导函数的介值性)若函数f 在闭区间],[b a 上可导, 且,0)()(<''-+

b f a f 则 .0)( ),,( ='?∈?ξξf b a ( 证 )

Th3 (Darboux 定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上可导且)()(b f a f '≠'. 若k 为介于

)(a f '与)(b f '之间的任一实数, 则.)( ),,(k f b a ='?∈?ξξ

(设),()(a f k b f '<<'对辅助函数kx x f x F -=)()(,应用系4的结果.) ( 证 ) Ex [1]P 94—95 1—9

§2 求 导 法 则( 4时)

一 导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式. (只证“?”和“÷”)

例1 .95)(2

3π+-+=x x x x f 求).(x f '

例2 .ln cos x x y = 求.|π='x y ( ). 1

π

-

例3 .122

x x y +-=

求

.dx dy

例4 证明: . ,) (1

+---∈-='Z n nx x n n

( 用商的求导公式证明 ).

例5 证明: .csc ) ( ,sec ) (2

2

x ctgx x tgx -='=' 例6 证明:

.sec sec xtgx x dx

d

=. 二 反函数的导数: 推导公式并指出几何意义.

例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) Ex [1]P 102 1，2.

三 复合函数的导数：推导复合函数的求导公式.

例9 设,sin 2x y =求y '.

例10 设α为实数，求幂函数)0( ≥=x x y α的导数. 解 (

).1ln ln -=?

=?

='='αααααα

α

x x

x x

e

e

y x

x

例11 ,1)(2+=

x x f 求 )0(f '和). 1 (f ' 例12 ),1ln(2++=x x y 求 .y '

例13 ,1

2

x

tg

y = 求 .y ' 四 取对数求导法:

例14 设2

15312

)

4()2()4()5(++-+=

x x x x y , 求 .y '

例15 ().s i n ln x

x y = 求 .y '

例16 设)

()

(x v x u y =, 其中0)(>x u ,且)(x u 和)(x v 均可导, 求 .y '

五 基本求导法则与公式:

1 基本求导法则.

2基本初等函数导数公式. 公式表: [1]P 101.

Ex [1]P 102 3，4.

§3 参变量函数的导数

1 设曲线C 的参变量方程为??

?≤≤==)().

(),

(βαψ?t t y t x ,设函数)

( ),(t y t x ψ?==可导且

,0)(?≠'t ?.)

()(t t dx dy ?ψ''=

证:(证法一) 用定义证明.

（证法二） 由 ,0)(?≠'t ?恒有0)(>'t ?或.0)(<'t ?)( t ??严格单调. ( 这些事实的证明将在下一章给出. ) 因此, )(t ?有反函数, 设反函数为x t (1-=?), 有

()

,)()(1x t y -==?ψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有

.)()(t t dt

dt dy

dx dt dt dy dx dy ?ψ''==?=

例1 .sin ,cos t b y t a x == 求

.dx

dy 2 若曲线C 由极坐标)(θρρ=表示,则可转化为以极角θ为参数的参数方程:

??

?====.sin )(sin ,cos )(cos θθρθρθθρθρy x 则.tan )()()

(tan )(θ

θρθρθρθθρ-'+'=dx dy 例2 证明:对数螺线2θ

ρe =上所有点的切线与向径的夹角?为常量. Ex [1]P 105 1，2，3.

§4 高 阶 导 数

一 高阶导数:

定义: .)

()(l i m

)(000

0x

x f x x f x f x ?'-?+'=''→?

()()

.)()( ,)()()1()('='

'=''-x f x f x f x f n n 注意区分符号)(0x f ''和().)(0''x f

高阶导数的记法.

二 几个特殊函数的高阶导数:

1. 多项式: 多项式的高阶导数. 例1 求幂函数n

x y =(n 为正整数)的各阶导数. 例2. 正弦和余弦函数: 计算()

)

(sin n x 、()

)

(cos n x 、()

)

(sin n kx 、()

)

(cos n kx 的公式.

例3． x e 和kx

e 的高阶导数： 例4．

x

1

的高阶导数： 例5

)

)((1

b x a x ++的高阶导数：

例6 分段函数在分段点的高阶导数：以函数?????<-≥=.

0 ,,

0 ,)(2

2x x x x x f 求)(x f ''为例. 三 高阶导数的运算性质: 设函数)(x u 和)(x v 均n 阶可导. 则

1． ()).()()()(x ku x ku n n =

2．

()).()()()()()()(x v x u x v x u n n n ±=±

3． 乘积高阶导数的Leibniz 公式： 约定 ).()()

0(x u x u =

()

∑=-=n

k k k n k n n x v x u C x v x u 0

)()

()

().()()()( （ 介绍证法.） 例7 ,cos x e y x

= 求 .)

5(y

解 ?====== .10 ,5 ,13

52545155505C C C C C C

).cos (sin 4)sin cos 5sin 10cos 10sin 5(cos )

5(x x e x x x x x x e y

x x -=-++--=

例8 ),(arctgx f y = 其中)(x f 二阶可导. 求

.2

2dx y

d 例9 验证函数x y arcsin =满足微分方程 ) 3 ( .0)12()1()(2)1()

2(2

≥=-+--++n y n xy n y x n n n

并依此求 ).0()

(n y 解 .11 ,11

22

='--=

'y x x

y 两端求导,011 2

2=-'-

''-?x

y x y x 即

.0)1(2='-''-y x y x 对此式两端求n 阶导数, 利用Leibniz 公式, 有

=---+-+-+++)

(1)1()(2)1(1)2(2)2()2()1(n n n n n n n n y C xy y C y x C y x

.0)12()1()(2)1()2(2=-+--=++n n n y n xy n y x

可见函数x y arcsin =满足所指方程. 在上式中令,0=x 得递推公式).(2)2( n n y n y =+

注意到 0)0(=''y 和 1)0(='y , 就有

k n 2=时, ;0)0()(=n y

12+=k n 时, )0(13)32()12()0(2222)(f k k y n '??--= [].!)!12(2-=k

四. 参数方程所确定函数的高阶导数:

=''???? ??''=

???

??=)()()(22

t t t dt

dx dx dy dt d dx y d ??ψ().)()()()()(3t t t t t ??ψ?ψ''''-'''

例6 .sin ,cos t b y t a x == 求 .22dx y

d 解 .c t g t a b dx dy -= .s i n 3222t

a b dx y d -== Ex [1]P 109 1—6.

§5 微 分

一 微分概念:

1. 微分问题的提出: 从求正方形面积增量的近似值入手，引出微分问题.

2. 微分的定义:

Th1 ( 可微与可导的关系 ).

3. 微分的几何意义:

二 微分运算法则:

一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商.

例1 已知,cos ln 22x x x y += 求dy 和 .y '

例2 已知,)sin(b ax e y += 求dy 和 .y '

三 高阶微分：

高阶微分的定义： ()()=?'='==dx x f d dx

x f d dy d y d )()()(2

.)())(()(22dx x f dx x f dx dx x f ''=''=?''=

n 阶微分定义为1-n 阶微分的微分， 即

()

.)()

(1n n n n dx x f

y d d y d ===-

（注意区分符号 )( ),0( ,)(2222x d x d dx dx ==的意义.） 例3 已知.)( ,sin )(2x x u u u f y ====? 求 .2y d 以例3为例, 说明高阶微分不具有形式不变性:

在例7中, 倘若以u y sin =求二阶微分, 然后代入2

x u =, 就有

;s i n 4)2(s i n )(s i n )()(s i n 2

2222222dx x x xdx x du u du u y d -=-=-=''= 倘若先把2

x u =代入u y sin =, 再求二阶微分, 得到

.sin 4cos 2)sin 4cos 2(sin 222222222222dx x x dx x dx x x x x d y d -=-==

可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微 分不具有形式不变性.

四 微分的应用:

1. 建立近似公式: 原理: ,dy y ≈? 即 ).)(()()(000x x x f x f x f -'+≈ 特别当00=x 时, 有近似公式 .)0()0()(x f f x f '+≈ 具体的近似公式如:

x e x n

x x x x n +≈+≈+≈1 ,1

11 ,s i n

等. 2. 作近似计算: 原理: .)()()(00.

0x x f x f x x f ?'+=?+ 例4 求

97.0 和 3127的近似值.

例5 求

29sin 的近似值. ( 参阅[1]P 138 E4 ) 3．估计误差：

绝对误差估计： ,)(0x x f y ?'≈?

相对误差估计： ),(ln ln ),0( )(?=>=x f y x f y

.)(ln x f d y

dy

y y =≈? 例6（ [1]P 138 E5 ）设已测得一根圆轴的直径为cm 43，并知在测量中绝对误差不超过

cm 2.0. 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差. 4. 求速度: 原理: .)(

,)( ),(dt

dx x f dt dy dx x f dy x f y '='== 例7 球半径R 以sec 2.0cm 的速度匀速增大.求cm R 4=时,球体积增大的速度. [4]P 124 E53 ⅰ)

Ex [1]P 116 1—5.