医科高等数学知识点
1.极限存在条件
A x f x f A x f x x ==?=+
-→)()()(lim 000
2. 法则1(夹逼法则) 若在同一极限过程中,三个函数)(1x f 、)(2x f 及)(x f 有如下关系:
)()()(21x f x f x f ≤≤且A x f x f ==)(lim )(lim 21 则A x f =)(lim
3.
法则2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限
4.无穷小定理0])(lim[)(lim =-?=A x f A x f 以~-A 为无穷小，则以A 为极限。 性质1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小 性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.
性质3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 5.高阶同低阶无穷小，假设.0,,≠αβα且个无穷小是同一变化过程中的两
)(,,0lim
)1(αβαβα
β
o ==记作较高阶的无穷小是比就说如果 ;
,,lim
)2( 较高阶的无穷小是比或者说
较低阶的无穷小是比就说如果βααβα
β
∞= ;),0(lim
)3(是同阶的无穷小与就说如果αβα
β
≠=C C C=1时，为等价无穷小。 无穷小
阶的
的是就说如果k k C C k
αβαβ
),0,0(lim )4( >≠= 6. 则有若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==
)
0()(lim )(lim )()(lim )3()()(lim )]()(lim[)2()(lim )(lim )]()(lim[)1(≠==?=?=?±=±=±B B
A x g x f x g x f B
A x g x f x g x f
B A x g x f x g x f
推论 则为常数而存在若,,)(lim c x f )(lim )(lim x f c x cf =
则为正整数而存在若,,)(lim n x f n n x f x f )]([lim )](lim[=
例题11lim 22--→x x x 11
lim 2
2--→x x x 1lim 1lim lim 22
22--=→→→x x x x x 3
1= 7. 为非负整数时有和所以当n m b a ,0,000≠≠
????
?????<∞>==++++++--∞→,
,,,0,,lim 0
110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当 8.例题)2(lim 2x x x x -+∞
→求 )2(l i m 2
x x x x -+∞
→x
x x x x x x x ++++-+=∞
→2)
2)(2(lim
2
22
x
x x x ++=∞
→22lim
21212
lim
2++=∞
→x
x =1 9.两个重要的极限
例题nx mx x sin sin lim 0→求 nx mx x sin sin lim 0→nx
nx
mx mx n m x sin sin lim 0??=→
n m nx nx mx mx n m x x =?=
→→sin lim sin lim 00
x x x 1sin lim ∞→求 所以时则当令.0,,1→∞→=t x x t x x x 1s i n l i m ∞→1s i n lim 0==→t t
t
例题x x x 3)21(lim -∞→求 x x x 3)21(lim -∞→)3)(2(2]
)21[(lim x x x x x --∞→-=66
2])21[(lim ---∞→=-=e x
x
x 例题2 x x x x )11(lim -+∞→求 x x x x )11(lim -+∞→x x x )121(lim -+=∞→???
?
??-+-+=-∞→)121(])121[(lim 221
x x x x
221e e =?=
解法2 x x x x x )1()11(lim -+=∞→211])1[(lim )11(lim e e
e x
x x x x
x ==-+=---∞→∞→
10.函数在一点连续的充分必要条件是
;)()1(0处有定义在点x x f ;)(lim )2(0
存在x f x x →).()(lim )3(00
x f x f x x =→
11.
.
)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数x x f x x f ?
12.
满足下列三个条件之一的点0x 为函数)(x f 的间断点.
;)()1(0没有定义在点x x f ;)(lim )2(0
不存在x f x x →).()(lim ,)(lim )3(00
x f x f x f x x x x ≠→→但存在
跳跃间断点
.
)(),(lim )(lim ,
,)(000
断点的跳跃间为函数则称点但右极限都存在处左在点如果x f x x f x f x x f x x x x +-→→≠
可去间断点
.
)(,)(),()(lim ,
)(00000
的可去间断点为函数称点则处无定义在点或但处的极限存在在点如果x f x x x f x f A x f x x f x x ≠=→
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点为 左右极限都存在 第二类间断点 左右极限至少有一个是不存在的
第二类间断点中包括 无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷） 震荡间断点（x
x 1sin
lim 0
→） 13.例题.)
1ln(lim
0x
x x +→求 x x x 1
0)1l n (l i m +=→原式e ln ==1
14.（最值定理）若函数)(x f y = 闭区间],[b a 上连续，则)(x f y =在闭区间],[b a 上必有最大值和最小值．
（有界性定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则其在闭区间上必有界
（介值定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则对介于)(a f 和)(b f 之间的任何数C ，至少存在一个),(b a ∈ξ，使得c f =)(ξ 根的存在定理 两侧异号 至少有一根。 15.函数在一点可导的充分必要条件为：)()(0'0'x f x f -+= 16.可导的函数一定是连续的 连续不一定可导
. .0)(常数的导数是零='C .)(1-='n n nx x cos )(sin x x =' sin )(cos x x -='
a x x a ln 1)(log =
' x
x 1)(l n =' .c s c )(c o t 2x x -=' .s e c )(t a n 2
x x =' x x x tan sec )(sec =' .c o t c s c )(c s c x x x -=' a a a x x ln )(=' x x e e =')( )(arcsin 'x .112
x -=
.11)(a r c c o s 2
x x --
=' ;11
)(a r c t a n
2
x x +='
.11
)(cot 2
x x +-
=' 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 )
0)(()
()
()()()(])()([
)3();()()()(])()([)2();
()(])()([)1(2≠'-'=''+'='?'±'='±x v x v x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u
n n u u u u u u '±???±'±'='±???±±21
21)()1( u C Cu '=')()2( n n n u u u u u u u u u 2121
21)()3('+'='???n u u u '???++21 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则)
)()()(x v u f y ψ?'''='
隐函数求导法则 两边对X 求导 例题 已知函数y 是由椭圆方程122
22=+b
y a x 所确定的 求y '
方程两边分别关于x 求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有
02222='+y b
y
a x 解得y
a x
b y 22-=' 例题2 e xy e y += y x y y e y '+=' x e y y y
-=' 对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. 例
题
3
)
4)(3()
2)(1(+-+-=x x x x y
)]4ln()3ln()2ln()1[ln(3
1
ln +---++-=x x x x y
)4
1312111(311+---++-='x x x x y y
)4
1
312111()4)(3()2)(1(313----++-+-+-=
'x x x x x x x x y 高阶导数x y sin = )2sin()
(π?+=n x y
n )2
c o s ()(c o s )(π
?+=n x x n
18.
).
(,)()(000x f A x x f x x f '=且可导处
在点数可微的充要条件是函在点函数
即).(.0x f A '=?可微可导
19.
dx x x arc d dx x x d 2
2
11
)cot (1)(arctan +-
=+=
xdx
x x d xdx x x d xdx
x d xdx
x d xdx x d xdx x d dx x x d C d cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan sin )(cos cos )(sin )(0)(2
2
1-==-==-====-ααα
dx
x
x d dx
x
x d dx
x x d dx
a
x x d dx
e e d adx
a a d a x x x x 2
2
11)(arccos 11
)(arcsin 1
)(ln ln 1
)(log )(ln )(--
=-=====
20.
函数和、差、积、商的微分法则
2
)()()()(v udv vdu v u d udv
vdu uv d Cdu Cu d dv du v u d -=+==±=± 例题.,cos 31dy x e y x 求设-= )(c o s )(c o s 3131x d e e d x dy x x ?+?=--
x x e e x x sin )(cos 3)(3131-='-='-- dx x e dx e x dy x x )sin ()3(cos 3131-?+-?=∴-- dx x x e x )sin cos 3(31+-=-
微分形式不变性 微分形式始终为dx x f dy )('= 21.
Lagrange 中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 上可导,则
在),(b a 内至少存在一点 ,使下面等式成立 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ 推论 则有如果对于任意,0)(),,('=∈x f b a x c x f =)()(为常数c
则有如果对于任意),()(),,('x g x f b a x '=∈c x g x f +=)()()(为常数c 例题 证明2
arccos arcsin π
=
+x x x x x f a r c c o s a r c s i n )(+=设
0)11(11)(2
2
=--
+-='x
x
x f C x f ≡∴)( 0a r c c o s 0
a r c s i n )0(+=f 又 2
0π
+
=2π
=
2
π
=
C 即 2
a r c c o s a r c s i n π
=+∴x x
22. 洛必达法则型未定式解法型及:00∞
∞
如果函数)(x f 与)(x g 满足下列三个条件 0／0 ∞／∞，导数都存在且0)(≠'x g ，
)
()
(lim
x g x f ''存在或者无穷大 则当0x x →或∞→x 则有 )
()
(lim
)()(lim
x g x f x g x f ''=
∞?∞?
∞?10.0100??∞?或 0101-?∞-∞0
00
0?-? ?????∞
??∞???→??????∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞?? 例题x x x 1)(lim +∞→求 x x
x x x e x ln 1
1lim lim +∞
→+∞→=
01
1
lim ln lim ln 1lim ===+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x 1)(lim 0ln 1
lim 1===∴+∞→+∞→e e x x x x x x
洛必达法则不是万能的.lim x x
x
x x e e e e --+∞→+-求 洛必达不能求解 111lim lim 22=+-=+---+∞→--+∞→x x x x x x x x e
e e e e e (两边同乘以x e -) 23.可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点.（驻点为可导但是导数值为0的点） 函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 判断是否为极值点要计算驻点两侧倒数的符号是否不同
求驻点处的二阶导数 若二阶导数为正值 则为极小值 负值 则为极大值 为零则不能判断 24.二阶导数为正值则为凹的 负值则为凸的 分界点为拐点 在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在
函数作图
求定义域 函数的奇偶性和周期性 求一阶和二阶导数 讨论极值点和拐点 渐近线 25.
?=dx x kf )(?dx x f k )( ?=±dx x g x f )](
)([??±dx x g dx x f )()(
);1(1
)1(1
-≠++=+?αααα
C x dx x ?+=C x x dx
ln )
2( 3
=?dx a x
C a a x
+ln
4
=?dx e x C e x
+ ?=x d x c o s )
5(C x +s i n ?=x d x s i n )6(C x +-c o s
=?x 2
sec
)7(C x +tan =?x 2
c s c )
8(C x +-c o t
=+?dx x 211
)
9(C x arc C x +-=+cot arctan
=-?
dx x
2
11 )10(C x C x +-=+arccos arcsin
26.第一类换元法(凑微分法) 可导具有原函数设)(),()(x u u F u f ?=则有
?='dx x x f )()]([??C x F du u f x u +=?=)]([]
)([)
(??
?xdx sec C x x ++=)tan ln(sec C x x x d x +-=?)c o t l n (c s c c s c
?
?+=+++1)()()(.1111
n x d x f dx x x
f n n n
n ??=)()(2)
(.2x d x f dx x
x f
??=)(ln )(ln )(ln .3x d x f dx x x f ??-=)1()1()
1
(.42
x d x f dx x
x f 、 ??=)(sin )(sin cos )(sin .5x d x f xdx x f ??=x x x x de e f dx e e f )()(.6 ??=x d x f xdx x f tan )(tan sec )(tan .72 ??
=+)(a r c t a n )(a r c t a n 1)
(a r c t a n .82
x d x f dx x x f
27.第二类换元积分法
dt t t f dx x f )(])([)(ψψ'=??（根式代换）
例题 求
.
)
1(13dx x x ?
+ 令6t x =dt t dx 5
6=? dx x x ?
+)
1(13
?+=dt t t t )1(6235
?+=dt t t 2216dt t t ?+=2216dt t
t ?+-+=2211
16dt t dt ??+-=21166C t t +-=)arctan (6 C x x +-=)arctan (666
三角代换的形式 22)
1(x a - ;s i n t a x = 22)2(x a + ;t a n
t a x = 22)
3(a x - .s e c
t a x = 倒数代换u
x 1
=也为常用的形式
28.使用时应注意的问题
要容易求得；）（v 1??
.2容易积出要比）（udv vdu 例题.arctan ?xdx x 令,arctan x u =dv x d xdx ==2
2
?xdx x arctan )(arctan 2arctan 222x d x x x ?-=dx x x x x 22211
2arctan 2
+?-=?
x x arctan 22=dx x )111(212+-?-?C x x x x +--=)arctan (2
1
arctan 22
例题2
.ln ?dx x x
x u = udu dx 2= ??=udu dx x x
ln 2ln ?-=)ln (2du u u
C u u +-=)1(ln 2C x x +-=)1(ln 2
29.有理函数的积分 待定系数法 分母中若有因式k a x )(-，则分解后为a
x A a x A a x A k k k -+
+-+-- 12
1)()( k A A A ,,,21 待定的常数
分母中有k q px x )(2++分解后为
q
px x N x M q px x N x M q px x N x M k k k k ++++++++++++-2
122
2211)()( 其中042
<-q p i i N M ,待定的常数 例题
.1362
22dx x x x ?+++ 分母实数范围内不能因式分解 则用凑分法
dx x x x dx x x x ??++-+=+++1364621362222??++-++++=22222)3(4136)136(x dx
dx x x x x d C x x x ++-++=2
3
arctan
2)136ln(2 30.定积分
i i n
i b
a
x f dx x f ?=∑?
=→)(lim )(1
ξλ
相关性质
?
?=b
a
b a
dx x f k dx x kf )()( k 为常数
?±b
a dx x g x f )]()([?
=b a
dx x f )(?±b
a
dx x g )(
?
b
a
dx x f )(??+=b
c
c a
dx
x f dx x f )()(.
],[b a 上)()(x g x f ≤
dx x f b a
?)(dx x g b
a
?≤)(
设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则
)()()(a b M dx x f a b m b
a
-≤≤-?
定积分中值定理
dx x f b
a
?
)())((a b f -=ξ)(b a ≤≤ξ
积分上限函数?
=x
a
dt t f x G )()(],[b a x ∈ 有)(])([)(x f dt t f x G x
a
='='?)(b x a ≤≤
例题dt t t y x ?+-=1
3321
求导数 先化为积分上限函数dt t
t y x ?+--=31321
视为dt t
t y u
?
+--
=1
3213x u =的复合函数)()21(3
13'?+--=?=?x dt t t du d dx du du dy dx dy u x
x x +-=2)
1(332
例题2 ][
3
22
'?-dt e x x
t ][][][3
2
22
3
22
'+'='???---dt e dt e dt e x a
t a
x
t x x
t ][][3
2
2
2
'+'-=??--dt e dt e x a
t
x a
t )()(32
64
'+'-=--x e x e
x x 6
4232x x e x xe --+-=
微积分基本定理
)()()()(a F b F a b
x F dx x f b
a -==?
dt t t f dx x f b
a
?'=β
α??)()]([)(
例题
?
+1
32)1(dx x x 设t x =+12 0=x ;1=?t 1=x 2=?t
所以有
??
++=
+102
321
32)1()1(21)1(x d x dx x x 8
151281214213===?t dt t 不换新变量 就不要改变积分上下限
??
++=+102321
3
2
)1()1(21)1(x d x dx x x 81501)1(8
1
42=+=x
例题2
.11
22?
-dx x x 设tdt dx t x cos ,sin ==
0=x ;0=?t 1=x 2
π
=
?t
?
-1
2
2
1dx x x
t d t t t c o s s i n 1s i n
20
2
2?-=π
dt t tdt t ??==20222
22sin 41cos sin ππ
02)4sin 41
(81)4cos 1(8120ππ
t t dt
t -=-=?16
π=
?-=b a
b a
vdu a b uv udv 例题.1
0?dx xe x
???-==101
01
001dx e xe xde dx xe x x
x
x
1)1(0
1=--=-=e e e e x
???-=e e
dx x
x e x x xdx 1111ln ln 11=-=e x e
31.用定积分求面积 和 旋转体的体积 旋转体的体积dx y dx x f V b
a
b
a
2
2
)]([??==ππ（绕x 轴形成的）
?
=
d
c
V πdy y 2)]([?dx x d c
2?=π(绕y 轴形成的)
例题4
2
x y = 0=x 1=y 绕y 轴形成的体积
用公式dy x b
a
?
2π
dy x V ?=102πdy y ?=104πππ20
1
22==y
32.无穷区间的广义积分
?
+∞
a
dx x f )(?+∞→=b
a b dx x f )(lim
极限存在 则为广义积分存在或收敛 极限不存在 则为广义积分不存在或发散 相应的有形式
?
∞
-b
dx x f )(?-∞→=b
a a dx x f )(lim
?
∞
-b
dx x f )(?-∞→=b
a
a dx x f )(lim
牛顿公式
a
x F a F b F dx x f b a
∞
+=-=+∞
→∞
+?
)
()()(lim )( 0
)
(0)()(∞
+-∞-=?
∞
+∞
-x F x F dx x f ∞
-=-=-∞→∞
-?
b
x F a F b F dx x f a b
)
()(lim )()( 例题.1)
3(2
?
+∞
∞
-+x
dx
?
+∞
∞
-+21x dx ?∞-+=021x dx π=++?+∞021x
dx （原函数为正切函数） 无界函数的广义积分
?
b
a
dx x f )(?
+→+=b
a dx x f ε
ε)(lim 0
?
b
a
dx x f )(?=c
a
dx x f )(?+b c
dx x f )(?
?
+→-→+++=b
c c a
dx x f dx x f 2
211)(lim )(lim 0
εεεε
)0,0(21>>εε 若∞=→)(lim x f c
x 只有当上式右端两个极限都存在时 则称?b a
dx x f )(收敛
否则为发散。 例题 求
.11
2
?
-x
dx +∞=--
→2
1
11lim x
x 1=∴x 是无穷间断点
?
-1
2
1x dx ?
-→-=+ε
ε10
2
1lim x dx 0
1arcsin lim 0
εε-=+
→x []20)1arcsin(lim 0π
εε=--=+
→ 计算
.1
1
2?
-x
dx
？ 33.平面的一般方程0=+++D Cz By Ax 圆柱面2
2
2
R y x =+
椭圆抛物面2
2
y x z += 双曲抛物面)0,0(
22
22>>-=b a b
y a x z
圆锥面222y x z +=（二元函数的图像通常为一张曲面） 34.二元函数的相关定义及性质同一元函数相近 35.偏导数同全微分x
y x f y x x f y x f x x ?-?+='→?)
,(),(lim
),(00000
00
y
y x f y y x f y x f y y ?-?+='→?)
,(),(lim
),(00000
00
二阶偏导数),(22y x f x z x z x xx ''=??=??? ?????? ),(22y x f y z
y z y yy ''=??=???? ?????? ),,(2y x f y x z x z y xy ''=???=??? ?????? ),(2y x f x y z
y z x yx
''=???=???
? ??????（混合偏导数） 混合偏导数并不都是都相等的.
如果),(y x f z =得两个二阶混合偏导数y x z ???2x
y z ???2在区域D 内连续，那么有该区域
内这两个二阶混合偏导数必相等。 全微分y B x A dz ?+?=
如果函数),(y x f z =在点),(y x P
处可微分，则该函数在该点处的偏导数必存在。且函数在
该点处的全微分为y y
z
x x z dz ???+???=
一元函数在某点的导数存=微分存在 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在
偏导数在某点连续 则在该点处可微(可微的充分条件)
若函数在某点可微分 则在该点偏导数必定存在(可微的必要条件) 例题x y z arctan
=的全微分 22y x y x z +-=?? 22y x x y z +=?? 2
2y x xdy
ydx dz ++-=
36. ),(y x u ?=),(y x v ψ=),(y x 点偏导数存在，),(v u f z =在对应点),(v u 可微，则复合函数在),(y x 存在对x y 的偏导数。
x v v z x u u z x z ????+????=?? y
v
v z y u u z y z ????+????=?? 例题v u z ln 2
= y
x
u =
y x v 23-=求x z ?? y z ??
=??x z ???u z x u ?????+v z x v ??31ln 22?+?=v u y v u )
23(3)23ln(222
2y x y x y x y x -+-=
=??y z ???u z y u ?????+v z y v ??)2()(ln 222-?+-?=v u y x v u )
23(2)23ln(22
2
22y x y x y x y x ----=
),,(y x u f z =),(y x u ?=即],),,([y x y x u f z =则有
,x
f
x u u f x z ??+?????=?? .y
f
y u u f y z ??+?????=?? 例题y x u xy u z +=+=2,32求x z ??
y z ?? y u x
f
x u u f x z 322+?=??+?????=??y x y y x 783)2(4+=++= x u y
f y u u f y z 312+?=??+?????=??y x x y x 273)2(2+=++=
设),(v u f z =可微且有)(,)(x v v x u u == 有)](),([x v x u f z =为x 的一元函数
有
dx
dv v z dx du u z dx dz ??+
??= 例题v
u e z 2-= x u sin = 3x v = 求dx dz 有
dx
dv
v z dx du u z dx dz ??+
??=22232cos x e x e v u v u ?-?=--)6(cos 22sin 3x x e x x -=-
一元隐函数求导 设0),(=y x F 确定的一元隐函数为)(x f y =则有0)](,[ ≡x f x F
则有
0=???+??dx dy y F x F 若0≠??y F 则有z x F F dx dy
'
'-= 例题0=+-x xe y y
所确定的函数)(x y y =的导数
.dx
dy
则有0),(=+-=x xe y y x F y
,1+-=??y e x F 01≠-=??y xe y
F
所以有y
y y y xe e xe e dx dy --=-+--=11
11
0),,(=z y x F 所确定的函数为),(y x f z =（二元隐函数）0)],(,,[ ≡y x z y x F
两侧分别求导
0,0=?????+??=?????+??y z z F y F x z z F x F 若0≠??y
F
则有
z x F F x z
''-=?? z y F F y z '
'-=?? 例题0=-xyz e z 所确定的函数的偏导数 x y z e z y x F z -=),,(
0,,≠-='-='-='xy e F xz F yz F z z y x 所以有
xy e yz F F x z z z x -=''-=?? xy
e xz
F F y z z
z y -=''-=?? 38.设函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极值且在改点处两个一阶偏导数都存在 则必有
,0),(00='y x f x 0),(00='y x f y （极值点也可能不是驻点.）
设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某临域内连续且有一阶及二阶连续偏导数。又有
0),(00='y x f x 0),(00='y x f y 令A y x f xx
=''),(00B y x f xy =''),(00C y x f yy =''),(00 当02
<-AC B 时 该点为极值点（A<0则为极大值点 A>0则为极小值点） 02
>-AC B 时 不为极值点 02
=-AC B 时 不能确定 39.条件极值
求()y x f z ,=在约束条件()0,=y x g 下的极值
构造辅助函数(lagrange 函数) ()()()y x g y x f y x F ,,,,λλ+=（λ为常数）
求()()()()()0
,0,,0
,,=='='+'='='+'='???
y x g F y x g y x f F y x g y x f F y y y x x x λλλ 解方程组 若),,(000λy x 为一解 则),(00y x 是可能的条件极值点（用题中所给条件判定） 40.二重积分
????=D
D
dxdy y x f d y x f ),(),(σ
二重积分的相关性质
????=D
D
d y x f k d y x kf σ
σ),(),(
??±D
d y x g y x f σ)],(),([????±=D
D
d y x g d y x f σσ),(),(
??????+=2
1
),(),(),(D D D
d y x f d y x f d y x f σσσ（区域可加性）
σσσ==?????D
D
d d 1(σ为D 的面积)
若D 上有),,(),(y x g y x f ≤则有
.),(),(????≤D
D
d y x g d y x f σσ
??≤≤D
M d y x f m σσσ),(（Mm 分别为最大值和最小值，σ为D 的面积)
σηξσ?=??),(),(f d y x f
（至少存在一点满足此式）
dy y f(x dx b
a
(x)
(x)
),21????
dx y f(x dy d
c
(y)
(y)
),21?
?
ψψ(x-型先y 后x ，y-型先x 后y)
例题
??
+D
dxdy y x )(2
2 2x y = 2y x =为区域 求面积 )1,1(,)0,0(2
2
????==y
x x y （求两曲线的交点） X-型?
??≤≤≤≤x y x x 210
??+D
dxdy y x
)(2
2
dx dy y x x
x
])([10
2
2
2
??+=dx y y x x
x 21
032
)3
(?+=
dx x x x x x
?--+=1
64
32
)3
3)((107525
27)21515272(x x x x --+=356= 积分区域是圆域或圆域的一部分时 通常用极坐标积分
????=D
D
d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(
例题
dxdy e D
y x
??--2
2
区域D ,222a y x ≤+.0,0≥≥y x
有2
0π
θ≤
≤，a ≤≤ρ0所以有
dxdy e
D
y x ??--2
2??-=a
d e d 0
2
2
ρρθρπ?-?=
a
d e 0
2
2
ρρπ
ρ
20
)(4
2
ρπ
ρ-?-
=?-d e a
)1(4
2
a e --=
π
41.微分方程 例题 一曲线经过)2,1(，该曲线上任意一点的切线的斜率为x 2，求该曲线方程。 设曲线为)(x f y =
x dx
dy
2=（根据导数的几何意义）即xdx dy 2= 两边积分?
?=xdx dy 2 得C x y +=2（C 为任意常数）根据点有12
+=x y
一阶微分方程),(y x F y ='或
).,(y x F dx
dy
=高阶微分方程),,,()1()(-???'=n n y y y x F y 微分方程的实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 42.可分离变量的微分方程)()(y g x f dx
dy
=（等式右端的函数可分解成x 的函数与y 的函数相乘的形式.）
)()(x Q y x P dx
dy
=+ ,0)(≡x Q 当为其次的。不衡为零时，为非其次的。 （线性指为微分方程仅有y 得一阶导数，且y 和y ’都是一次幂
0)(=+y x P dx
dy
的通解为?=-dx x P Ce y )( )()(x Q y x P dx
dy
=+的通解为?+?=-?dx x P dx x P e C dx e x Q y )()(])([ dx e x Q e Ce dx
x P dx x P dx x P ???+?=?--)()()()(
例题 求微分方程x e x y y sin cos -=+'的通解
,cos )(x x P =x e x Q sin )(-= ?
?
? ??+???=?--C dx e e e y xdx x xdx cos sin cos ()
?+?=--C dx e e e x x x sin sin sin ()C x e x +=-sin x x Ce xe sin sin --+=
)(x f y ='' 连续两次积分 例题x e y x cos 2-='' 积分一次12sin 2
1C x e y x
+-=
' 积分两次212cos 4
1C x C x e y x
+++=
()y x f y '='', (),x p y ='设p dx
dp
y '==''则则原方程为()p x f p ,=' 一阶微分方程求解 例题01='-''y x y 求通解 (),x p y ='设p dx dp y '==
''则 原方程化为x
p
p =' 分离变量
x
dx p dp = 两边积分x C p C x p 12ln ln ln =+=或)2(1C C = x C y p y 12 ='='代入得将 所以原方程的通解为221C x C y += ()y y f y '='', ),(y p y ='设dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==
''则 ()p y f dy
dp
,p =原方程化为 ()1,C y p y ?=='设其通解为 分离变量并积分，便得原方程的通解为()
?
+=21,C x C y dy
?
例题.2的通解求方程y y y '='' ),(y p y ='设dy dp p y =''则 代入原方程y
p dy dp P 2
=
0≠p 若上式化为
y
dy
p dp = 得1ln ln ln C y p += y C 1p =即y C dx dy y 1=='∴ 分离变量并积分21ln ln C x C y +=即x
C e C y 12= C y p ==:,0则立即可得若
所以解为x
C e
C y 12=
43.二阶常系数线性微分方程)(x f Cy y B y A =+'+''
二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''Cy y B y A
定理 若函数)(1x y )(2x y 是方程0=+'+''Cy y B y A 的两个解 则有)()(2211x y C x y C y +=也为一解（1C 2C 为任意常数）
若)(1x y )(2x y 是方程0=+'+''Cy y B y A 的两个线性无关的特解)()(2211x y C x y C y +=为通解（1C 2C 为任意常数）线性无关指
≠)
()
(12x y x y 常数
,x e y λ=设代入原方程0)(2=++x e C B A λλλ,0≠x e λ
所以有02
=++C B A λλ（特征方程）特征根A
AC
B B 2422,1-±-=λ
讨论042
>-AC B 有两个相异的特征根（前者为﹣后者为﹢） 所以通解为x x
e C e
C y 2121λλ+=
042=-AC B 方程有两个相等的实根 特征根为,221A
B -
==λλ 通解为x
e
x C C y 1)(21λ+=
042<-AC B 方程有一对共轭复根 特征根为,1βαλi +=βαλi -=2
通解为).sin cos (21x C x C e y x
ββα+=
例题 求054=-'-''y y y 满足初始条件1)0(=y 2)0(='y 的特解
特征方程为0542
=--λλ 两个实数根5,121=-=λλ 通解为x
x e C e C y 521+=-
求导x x
e C e C y 5215+-='- 根据条件有21,2121==C C 所以特解为x x e e y 52
1
21+=-
高等数学基本知识点大全
高等数学基本知识点
一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1
高等数学知识点总结 (1)
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
同济六版高等数学(下)知识点整理
第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））
高等数学基本知识
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
高数知识点总结
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
大学全册高等数学知识点(全)
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
同济六版高等数学(下)知识点整理
第八章 1、 向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、 两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、 二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222； （旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转） ）
专升本高等数学知识点汇总
专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数
定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
高等数学知识点归纳
第一讲: 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *010 2()(), ()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 0()(),x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞ ; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ±→) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()m a x (,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x + →=, l i m 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=,
高等数学(下)知识点总结
主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
高数下册知识点
高等数学（下）知识点 高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ， ),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两 点 间 的 距 离 公式： 212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 γβα,, 4） 方 向 余 弦 ： r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα
高等数学（下）知识点 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θ cos b a b a =? 1）2a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规 则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面：
高等数学基础知识点归纳
第一讲函数，极限，连续性 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能 构成集合，因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A 。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作U。 ⑷、补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U
考研高等数学知识点总结
高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π
《高等数学》-各章知识点总结——第1章
第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 (１）数列极限的定义 给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正整数N ， 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x ｎ-ａ ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →ａ (ｎ→∞)． (2)函数极限的定义 设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时） 恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε , 那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限， 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x ）→A (当x →ｘ０).（ 或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== ２、极限的性质 (１）唯一性 若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = (２)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤
专题13 定积分与微积分基本定理知识点
考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0 ()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . （2）在 ()d b a f x x ? 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??； （3） ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 高数知识点总结（上册） 函数： 绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a-b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法： （1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数： 定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单 值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小） ， 总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的 极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： （1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)( 一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y L L 间的距离： ||PQ 邻域: 设0P 是n R 的一个点， 是某一正数， 与点0P 距离小于 的点P 的全体称为点0P 的 邻域，记为),(0 P U ，即00(,){R |||}n U P P PP 空心邻域: 0P 的 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的 空心邻域,记为 0(,)U P o =0{0||}P PP 。 内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),( P U ，使得E P U ),( ，则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界． 聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E R , 如果E 的补集 n E R 是开集，则称E 为闭集。 区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域． 有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0 M ，使得(,)E U O M ，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域． 有界闭区域的直径：设D 是n R 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P D d D PP 为D 的直径。 高等数学知识点总结 空间解析几何与向量代数 一、重点与难点 1、重点 ①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；（填空选择题中考察） ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；（重积分求体积时画图需要） ④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；（一般必考） ⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）， 两直线的夹角、直线与平面的夹角；（一般必考） 空间解析几何和向量代数： 。 代表平行六面体的体积为锐角时， 向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面： 同号） （、抛物面：、椭球面：二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 30 2),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y m t x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz - =??-=??=? -?? -??=-==??+??=??+??= ==??? ??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??= ， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ： 多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22 高等数学 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。高数知识点总结(上册)
高等数学 各章知识点总结——第9章
高等数学知识点(重点)
高等数学基本知识大全