(完整word版)八年级几何辅助线专题训练.doc

常见的辅助线的作法

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的

两边作垂线，（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角

的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4.垂直平分线联结线段两端：在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条

线段的长，

6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形 .

7.角度数为 30 度、 60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成

30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样

可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创

造边、角之间的相等条件。

8.面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到

原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、等腰三角形“三线合一”法

1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证： CE= BD.

中考连接：

（ 2014?扬州，第7 题， 3 分）如图，已知∠AOB=60°，点 P 在边 OA 上，

OP=12，点 M， N 在边 OB 上， PM=PN，若 MN=2，则 OM=（）

A ． 3

B ．4C． 5 D ． 6

A

二、倍长中线（线段）造全等

例 1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中， AB=5，AC=3，

则中线 AD的取值范围是 _________.

B D C

例 2、如图，△ABC中，E、F 分别在 AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较

BE+CF

与EF的大小 .

A

E

F

B

D C

例3、如图，△ ABC中， BD=DC=AC，E 是 DC的中点，求证： AD平分∠ BAE.

A

B D E C

中考连接：

（09 崇文）以的两边

、

AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABC 和等腰 Rt

ACE

，AB

BAD CAE 90 , ，、、

的中点．探究： AM 与 DE 连接 DE M N 分别是 BC DE

的关系．（ 1）如图①当ABC 为直角三角形时，

AM 与 DE 的位置关系

是，线段 AM 与 DE 的数量关系是；

（ 2）将图①中的等腰 Rt ABD

绕点 A 沿逆时针方向旋转(0< <90)后，如图

②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

三、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ ABC中，∠ B=60°，△ ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求

证： OE=OD

A

E

O

2、如图，已知点 C 是∠ MAN 的平分线上一点， CE ⊥AB 于 E ， B 、D 分别在 AM 、AN 上，且 AE= （AD+AB ）.问：∠ 1 和∠ 2 有何关系？

中考连接：

(2012 年北京 )如图①， OP 是∠ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所

在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法， 解答下列问题：

（ 1）如图②，在△ ABC 中，∠ ACB 是直角，∠ B=60°， AD 、CE 分别是∠

BAC 、∠ BCA 的平分线， AD 、CE 相交于点 F 。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；

（ 2）如图③，在△ ABC 中，如果∠ ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立， 请证明；若不成立，

B

请说明理由。

M

B

E

E

F

D

F

D

O

P

A

C

C

图①

N

A

图③

图②

四,垂直平分线联结线段两端

1.（ 2014?广西贺州，第 17 题 3 分）如图，等腰△ ABC 中， AB=AC，∠

DBC=15°， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D ，

则∠ A 的度数是．

2、如图，△ ABC中， AD平分∠ BAC，DG⊥ BC且平分 BC，DE⊥ AB于 E，DF⊥ AC 于F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a， AC=b ，求 AE、BE的长 .

A

E

G

C

B

F

D

中考连接：

（ 2014 年广东汕尾，第19 题 7 分）如图，在Rt△ ABC 中，∠ B=90°，分别以点A、 C 为圆心，大于AC 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N，连接 MN ，与 AC、 BC 分别交于点D、E，连接 AE．

（1）求∠ ADE ；（直接写出结果）

（2）当 AB=3， AC=5 时，求△ ABE 的周长．

补充：尺规作图

过直线外一点做已知直线的垂线

五、截长补短

1、如图，ABC 中， AB=2AC， AD平分BAC ，且 AD=BD，求证： CD⊥ AC

A

C

B

D

2、如图， AD∥ BC，EA,EB分别平分∠ DAB,∠CBA， CD过点 E，求证 ;AB＝AD+BC。A

D

E

B

C

3、如图，已知在△ABC 内，

BAC 60 0

C 40

，，分别在，上，，

P Q BC CA

并且 AP， BQ分别

是BAC ，ABC 的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP A

B

Q

P

4、如图，C

ABC ，在四边形 ABCD中， BC＞BA,AD＝CD，BD平

分

求证：AC 180 0 A

D

- 6 -

5.如图，已知正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上任意一点， AF 平分∠ DAE ．求证：AE －BE＝DF．

6.如图，△ABC 中，∠ ABC=60°，AD 、 CE 分别平分∠ BAC ，∠ACB ，判断AC 的长与 AE+CD 的大小关系并证明 .

7.如图， Rt△ABC 中，∠ ACB=90°，CD⊥AB 于 D，AF 平分∠ CAB 交 CD 于E，交 CB 于 F，且 EG∥AB 交 CB 于 G，判断 CF 与 GB 的大小关系并证明。

六、综合

1、正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF，求∠ EAF

A D的度数.

F

B E C

2、如图， ABC 为等边三角形，点M , N分别在BC, AC上，且 BM CN ，AM 与 BN 交于Q点。求AQN 的度数。

3、已知四边形 ABCD 中， AB AD ， BC CD ， AB BC ，∠ABC 120o，∠ MBN 60o，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC （或它们的延长线）于 E，F ．

当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF ．

当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结

论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF ， EF 又有怎样的

数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

A A A

B E M B E M B

C F

D C F D F C D

N N N E

（图 1）（图 2）

M （图 3）

4、D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点， DM⊥DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。

B（1）当MDN 绕点 D转动时，求证 DE=DF。

（ 2）若 AB=2，求四边形 DECF的面积。

A

E

M

C

A

F

N

5、在等边ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N，D 为 VABC 外一点，且MDN60 ,BDC 120 ,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC 上移动时， BM 、NC 、MN 之间的数量关系及 AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系．

图 1图2图 3 （I）如图 1，当点 M 、N 边 AB 、AC 上，且 DM=DN 时， BM 、NC、MN

之间的数量关系是；此时

Q

；

L

（II）如图 2，点 M 、N 边 AB 、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III ）如图 3，当 M 、N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，

若 AN= x，则 Q=（用x、L表示）．

中考连接：（ 2014?抚顺第25题（12分））

已知：Rt△A ′BC′≌Rt△ABC ，∠ A ′C′B=∠ACB=90°，∠A ′BC′=∠ ABC=60°， Rt△A ′BC′可绕点 B 旋转，设旋转过程中直线 CC′和 AA ′相交于点 D．

（1）如图 1 所示，当点 C′在 AB 边上时，判断线段 AD 和线段 A ′D 之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）将 Rt△A ′ BC′由图 1 的位置旋转到图 2 的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）将 Rt△A ′BC′由图 1 的位置按顺时针方向旋转α角（ 0°≤α≤）120，当° A 、C′、 A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．

参考答案与提示

一、倍长中线（线段）造全等

例 1、（“希望杯” 试题）已知，如图△ ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD的取值范围是 _________.

解：延长AD至 E 使 AE＝2AD，连 BE，由三角形性质知

A AB-BE <2AD

B D

C 例 2、如图，△ ABC中， E、 F 分别在 AB、 AC上， DE⊥ DF，

D 是中点，试比

较BE+CF与 EF的

大小 . A

解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG＝2EF，连 BG， EG,

E

显然 BG＝ FC，

F

在△ EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝ EF B C

D

在△ BEG中，由三角形性质知

EG

故： EF

例3、如图，△ ABC中， BD=DC=AC， E 是 DC的中点，求证： AD平分∠ BAE.

A

B D E C

解：延长AE至 G使 AG＝2AE，连 BG， DG,

显然 DG＝ AC，∠ GDC=∠ACD

由于 DC=AC，故∠ ADC=∠ DAC

在△ ADB与△ ADG中，

BD＝ AC=DG， AD＝ AD，

∠ADB=∠ ADC+∠ACD=∠ ADC+∠ GDC＝∠ ADG

故△ ADB≌△ ADG，故有∠ BAD=∠ DAG，即 AD平分∠ BAE

应用：

1、（09崇文二模）以的两边AB 、AC为腰分别向外作等腰ABC Rt ABD 和等腰

Rt ACE ，BAD

CAE

90 ,

连接 DE， M、 N分别是 BC、 DE 的中点．探究：AM 与

DE 的位置关系及数量关系．

（ 1）如图① 当ABC 为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，

线段 AM与 DE 的数量关系是；

（ 2）将图①中的等腰 Rt ABD绕点 A 沿逆时针方向旋转(0< <90) 后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

解：（ 1）ED 2 AM ， AM ED ；

证明：延长 AM 到 G，使MG AM ，连BG，则ABGC是平行四边形

∴ AC BG ，ABGBAC 180

又∵DAE BAC 180

D

N ∴ABG DAE H

E 再证：DAE ABG

∴ DE 2AM ，BAG EDA A

延长 MN 交 DE 于 H

∵BAG DAH 90 B C

∴HDA DAH 90

M

∴ AM ED

G

（ 2）结论仍然成立．

证明：如图，延长CA 至 F，使AC FA ，FA交DE于点P，并连接BF

∵ DA BA ， EA AF F

∴ BAF 90 DAFEAD D

∵在FAB 和EAD 中

FA AE

BAF EAD

BA DA

∴FAB EAD （SAS）

∴ BF DE ，F AEN

∴FPD F APE AEN 90

∴FB DE

又∵ CA AF ， CM MB

∴ AM // FB ，且AM 1 FB

2

∴ AM DE ，AM 1 DE

2

二、截长补短

1、如图，ABC中， AB=2AC， AD平分BAC，且 AD=BD，求证： CD⊥ AC

解：（截长法）在 AB上取中点 F，连 FD

△ ADB是等腰三角形， F 是底 AB中点，由三线合一知

DF⊥ AB，故∠ AFD＝ 90°

△ADF≌△ ADC（SAS）

∠ACD＝∠ AFD＝90°即： CD⊥ AC

2、如图， AD∥ BC， EA,EB 分别平分∠ DAB,∠CBA， CD过点 E，求证 ;AB ＝AD+BC

解：（截长法）在AB上取点 F，使 AF＝ AD，连 FE △ADE≌△ AFE（SAS）

∠ ADE＝∠ AFE，

∠ ADE+∠ BCE＝ 180°

∠AFE+∠ BFE＝ 180°

故∠ ECB＝∠ EFB A

D

E

B

C

△FBE≌△ CBE（AAS）故有 BF＝ BC

从而 ;AB＝ AD+BC

3、如图，已知在△ ABC内，BAC

0 400，P，Q分别在BC，CA上，并且

AP，

60 ， C

BQ分别是BAC ， ABC 的角平分线。求证：

A BQ+AQ=AB+BP

解：（补短法 , 计算数值法）延长 AB至 D，使 BD＝ BP，连 DP

在等腰△ BPD中，可得∠ BDP＝ 40°

从而∠ BDP＝ 40°＝∠ ACP

△ADP≌△ ACP（ASA）

故 AD＝ AC

又∠ QBC＝ 40°＝∠ QCB故BQ＝QC

BD＝ BP

从而 BQ+AQ=AB+BP B

Q

P

C

4、如图，在四边形ABCD中， BC＞ BA,AD＝ CD， BD平分

求证：A C 1800

解：（补短法）延长BA 至 F，使 BF＝ BC，连 FD

△BDF≌△ BDC（SAS）

故∠ DFB＝∠ DCB ， FD＝DC

又AD＝ CD

故在等腰△ BFD中

∠DFB＝∠ DAF ABC ，

A

D B

C

5、如图在△ ABC中， AB＞AC，∠ 1＝∠ 2， P 为 AD上任意一点，求证;AB-AC＞ PB-PC

A

1 2

P

B C

D

解：（补短法）延长AC至 F，使 AF＝ AB，连 PD

△ABP≌△ AFP

（SAS）故 BP＝ PF

由三角形性质知

PB－ PC＝ PF－ PC < CF＝ AF－ AC＝AB－ AC

应用：

分析：此题连接 AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等

边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。

解：有 BC AD AE

连接 AC，过 E 作EF // BC并 AC 于 F 点

D

A 则可证AEF 为等边三角形

即 AE EF ， AEFAFE 60

∴ CFE 120

又∵ AD // BC ， B 60

∴BAD 120

又∵DEC 60

A D

∴AED FEC

在ADE 与 FCE 中

EAD CFE ， AE EF ， AEDFEC

E ∴ ADE FCE

∴ AD FC

B C

∴ BC AD AE

点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等

三角形的性质解决。

三、

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠ B=60°，△ ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，

DC+AE =AC

证明 (角平分线在三种添辅助线 , 计算数值法 )∠ B=60 度,则

∠ BAC+ ∠BCA=120 度 ;

AD,CE 均为角平分线 ,

则∠ OAC+ ∠ OCA=60 度=∠AOE= ∠COD; ∠AOC=120 度 .

在AC 上截取线段 AF=AE, 连接 OF.

又AO=AO; ∠OAE= ∠ OAF

.则⊿ OAE ≌Δ OAF(SAS),

A

E

O

OE=OF;AE=AF;

∠AOF= ∠AOE=60 度 .

则∠ COF= ∠AOC- ∠AOF=60 度 =∠ COD;

又CO=CO; ∠OCD= ∠ OCF.

故⊿ OCD ≌ΔOCF(SAS),

OD=OF;CD=CF.

OE=OD

B C D

2、如图，△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， DG ⊥ BC 且平分 BC ， DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F.

（ 1）说明 BE=CF 的理由；（ 2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE 、 BE 的长 .

解： ( 垂直平分线联结线段两端 ) 连接 BD ， DC

DG 垂直平分 BC ，故 BD ＝DC

A

由于 AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F ，故有

E

ED ＝ DF

B

G

C

F

故 RT △ DBE ≌ RT △ DFC （ HL ）

D

故有 BE ＝CF 。

AB+AC ＝2AE

AE ＝（ a+b ） /2

BE=(a-b)/2

应用：

1、如图①， OP 是∠ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全

等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（ 1）如图②， 在△ ABC 中，∠ ACB 是直角， ∠ B=60 °，AD 、CE 分别是∠ BAC 、∠BCA

的平分线， AD 、 CE 相交于点 F 。请你判断并写出

FE 与 FD 之间的数量关系；

（ 2）如图③，在△ ABC 中，如果∠ ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，

你在 (1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B M

B

E

E

D

P F D

F

O

A

C

A

C

图①

N

图②

图③

(第 23 题图 )

解：（ 1） FE 与 FD 之间的数量关系为 FE FD （ 2）答：（ 1）中的结论 FE FD 仍然成立。

∵ 1 2 ， AF 为公共边，∴AEF AGF

∴AFE AFG ， FE FG

∵ B 60 ，AD 、CE 分别是BAC 、BCA的平分线

∴23 60

∴AFE CFD AFG 60

B

∴CFG 60E

F

D

∵ 3 4 及FC为公共边

∴ CFGCFD

∴FG FD

∴FE FD

证法二：如图 2，过点 F 分别作FG AB 于点G， FH

∵ B 60 ，AD、CE分别是BAC 、BCA的平分

线

∴可得 2 3 60 ，F是ABC 的内心∴GEF 60 1， FH FG

又∵HDF B 1

∴GEF HDF

∴可证EGF DHF

∴ FE FD

1

4

2

3

A G C

图 1

BC 于点H

B

G D

E

H

F

1 4

2 3

A C

图 2

五、旋转

例1 正方形 ABCD中，E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF，求∠ EAF的度数 .

证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形A

D

ABG

F 则 GE=GB+BE=DF+BE=EF

又 AE=AE ，AF=AG ，

所以三角形 AEF 全等于 AEG

所以∠ EAF= ∠ GAE= ∠BAE+ ∠GAB= ∠BAE+ ∠

DAF 又∠ EAF+ ∠BAE+ ∠DAF=90 所以∠ EAF=45 度

例2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM⊥ DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F 。

(1)当 MDN 绕点D转动时，求证DE=DF。

(2)若 AB=2，求四边形 DECF的面积。

解： ( 计算数值法 ) （1）连接 DC，

D为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，故有 CD⊥ AB， CD＝ DA

CD平分∠ BCA ＝ 90°，∠ ECD ＝∠ DCA ＝45°

由于 DM⊥ DN，有∠ EDN＝90°

由于 CD⊥ AB，有∠ CDA ＝ 90°

从而∠ CDE＝∠ FDA ＝

故有△ CDE≌△ ADF（ ASA）

故有 DE=DF

（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1

例 3 如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC 1200，

以 D 为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点 M，交 AC于点 N，连接 MN，

则AMN

的周长为；