高二数学上学期开学考试试题 (2)

红兴隆管理局第一高级中学2016－2017学年度第一学期开学考试

高二数学学科试卷

注：卷面分值150分； 时间：120分钟

一、选择题（本大题共12小题 , 每小题5分, 共60分） 1．平行线34-90x y +=和620x my ++=的距离是( )

A ．

58 B ．2 C ．511 D ．5

7

2. 若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，

下列命题中，正确的是（ ） A ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ B ．若m α⊥，n α⊥，则//m n C ．若//m α，//n α，则//m n D ．若//m α，//m β，则//αβ

3. 已知数列{}n a 的通项公式是478n a n =-+，{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 达到最大值时,n 的值是（ ）

A ．17

B ．18

C ．19

D ．20

4.若0,0a

b c d

,则一定有( )

.

.

.

.

a b a b a b a b A B C D c d

c d

d c

d c

5．若变量y x ,满足约束条件1020220x y x y x y -+≥??

-≤??+-≤?

，则z x y =+的最大值为（ ）

35.1

...3

2

4

A B C D -

6. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱BC 、

1CC 的中点，则异面直线MN 与AC 所成的角为（ ）

A ．30

B ．45

C ．60

D ．90

M

C 1B 1

1

D 1

C

D

7.直线()1:13l ax a y +-=与()2:(1)232l a x a y -++=互相垂直，则实数a 的值为( )

3.3.1.0-

.1-3

2

A B C D 或或

8．在△ABC 中，

2,a =A 45=，若此三角形有两解，则b 的取值范围是( )．

1.(2,22)

.(2,)

.(,2)

.(

,2)

2

A B C D +∞-∞

9. 当3x 时，不等式1

1

x a x +

≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) (][)

77.,3.3,.,.,22A B C D ???

?-∞+∞+∞-∞? ??

??

?

?

10. 数列}{n a 中，),()

1(2

,211*+∈++==N n n n a a a n n 则=10a

A. 3.4

B. 3.6

C. 3.8

D. 4

11. 若cos ,sin c a B b a C ==,则△ABC 是

A.等腰三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形

D.等边三角形

12．若函数()2

101x y a a

a -=+≠且的图象经过定点(),,P m n 且过点()1Q m n -，的直

线l

被圆Ｃ：22

2270x y x y ++--=截得的弦长为32则直线l 的斜率为( )

44.-1-7.-7.0.0-1

3

3

A B C D 或或

或

或

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

E

A

D

P

13．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是______________． 14.在数列}{n a 中，

112,2,n n n

a a a S +==为数列}{

n a 的前n 项和.若

S 126n =，则

n =______________．

15.在△ABC 中，4,5,6,a b c ===则

sin 2sin C

A

=______________．

16．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝1＋4－x 2

}，B ＝{(x ，y )|y ＝k (x －2)＋4}．当集合A ∩B 有4 个子集时，实数k 的取值集合为_______________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）

已知点A (3,3)、B (5,2)到直线的距离相等，且直线l 经过两直线1l ：3x －y －1＝0和

2l 2x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．

18.（本小题满分12分）

设△ABC 的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2a cosC=2b c -．

(1)求角Ａ的大小；

(2)若1a =，求b c +的取值集合．

19.（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，AB BC ⊥，1AB BC ==，

2PA AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.

（Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ;

（Ⅱ）求直线CE 与平面PAD 所成角的大小.

20．（本小题满分12分） 已知圆2

2:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆

C 截得的弦长为 求（1）a 的值； （2）求过点(3,5)并与圆C 相切的切线方程.

21.（本小题满分12分）

已知数列}{n a 的前n 项和为S ,n 且()S 43.

n n a n N +=-∈

（1）证明：数列

}{n

a 为等比数列.

(2)若数列{}n b 满足()1

,n n n b a b n N ++=+∈且12,b =求数列{}n b 的通项公式．

22.（本小题满分12分）

已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2

(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．

(1)求圆C 的方程；

(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ ·MQ 的最小值；

红兴隆管理局第一高级中学2016—2017学年度第一学期

开学考试

高二 数 学 答案

一、选择题(本大题共12小题 , 每小题5分, 共60分)。 题号 1 2 3

4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

B

B

C

D

B

C

D

A

D

C

B

A

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.(x －2)2＋(y ＋1)2

＝252. 14. 6 15. 1 16.{k |512＜k ≤34}

三、解答题(共6小题，共70分)

17.（本小题满分10分）

已知点A (3,3)、B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和

l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．

解：解方程组???

??

3x －y －1＝0，

x ＋y －3＝0，

得交点P (1,2)．

(1)若点A 、B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－1

2

，

由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－1

2(x －1)，

即x ＋2y －5＝0；

(2)若点A 、B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，5

2)，

由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52

－2

4－1，

即x －6y ＋11＝0.

综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.

18.设△ABC 的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2a c osC=2b c -． (1)（6分）求角Ａ的大小；60

(2)（6分）若1a =，求b c +的取值集合．

(]601,2

C

D

C

D

19.（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，AB BC ⊥，1AB BC ==，

2PA AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.

（Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ;

（Ⅱ）求直线CE 与平面PAD 所成角的大小.

.

19. 解：（1）证明:

取PA 的中点为F ，连接EF 、BF ， 因为E 为PD 中点， 所以//EF AD ，1

2

EF AD =

， 又因为//BC AD ，12

BC AD =

，所以//BC EF =， 所以四边形BCEF 为平行四边形，

所以//CE BF , 又因为CE ?平面PAB ，BF ?平面PAB ，

所以//CE 平面PAB . ………………6分 （2）取AD 的中点为M ，连接CM 、EM .

则//BC AM =，所以四边形ABCM 是平行四边形，

//AB CM ，CM AD ⊥,

又因为PA ⊥平面ABCD ，CM ?平面ABCD ，所以PA CM ⊥, 又因为AM

PA A =,CM ⊥平面PAB ，

CM EM ⊥,

又因为2PA =，E 、M 分别为PD 、AD 的中点， 所以1CM EM ==，所以45

ECM ∠=,

. 所以直线CE 与平面PAD 所成角为45 ………………12分

20．（本小题满分12分）

已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得的弦长为

22时， 求（1）a 的值； （2）求过点(3,5)并与圆C 相切的切线方程.

20.（1）1=a ；（2）045125=+-y x 或3=x

x

y

f x () = x + 3

–1

–2

–3

–4

12345

–1–2–3–4

1

23456O

（1）依题意可得圆心2),2,(=r a C 半径，则圆心到直线:30l x y -+=的距离

2

1)1(1322

2+=

-++-=

a a d ，由勾股定理可知22

2)2

22(

r d =+，代入化简得21=+a ，解得31-==a a 或，又0>a ，所以1=a ；-------5分

（2）由（1）知圆4)2()1(:2

2

=-+-y x C ， 又)5,3(在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为)3(5-=-x k y ，由圆心到切线的距离2==r d 可解得12

5

=

k ，∴切线方程为045125=+-y x ……9分，②当过)5,3(斜率不存在，易知直线3=x 与圆相切，综合①②可知切线方程为045125=+-y x 或3=x .--------12分 21.已知数列}{

n a 的前n 项和为S ,n 且()S 43.n n a n N +=-∈

（1）证明：数列

}{n

a 为等比数列.---------6分

(2)若数列{}n b 满足()1,n n n b a b n N ++=+∈且12,b =求数列{}n b 的通项公式．

2

441

3n n b -??

=?- ?

??

------------12分

22．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2

(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．

(1)求圆C 的方程；

(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ ·MQ 的最小值；

解：(1)设圆心C (a ，b )，则?????

a －22＋

b －22＋2＝0，

b ＋2

a ＋2＝1，

解得?

??

??

a ＝0，

b ＝0.

则圆C 的方程为x 2

＋y 2

＝r 2

. 将点P 的坐标代入得r 2

＝2， 故圆C 的方程为x 2

＋y 2＝2.-----6分 (2)设Q (x ，y )，则x 2

＋y 2

＝2，

且PQ ·MQ ＝(x －1，y －1)(x ＋2，y ＋2)＝x 2

＋y 2

＋x ＋y －4＝x ＋y －2， 所以PQ ·MQ 的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．-------12分