《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第六章
习题六
1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值
之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100
~(0,1)
Z N =
即 60
~(0,1)15/10
X Z N -=
(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<
2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=
2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？ 【解】
~(0,1)
Z N =
(2.2 6.2)P X P Z <<=<<
210.95,=Φ-=
则，故即n >24.01，所以n 至少应取25
3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样
本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，
只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=1002
1000
~(8)
100/3X t t -=
=
10621000
(1062)()( 1.86)0.05100/3
P X P t P t ->=>
=>=
4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】~(0,1)
Z N =，由P (|X -μ|>4)=0.02得
P |Z |>4(σ/n )=0.02,
故210.02??-Φ=??
??????
,
即0.99.Φ=?? 查表得
2.33,=
所以
5.43.σ=
= 5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，
S 2为其样本方差，且P （S 2＞a ）=0.1，求a 之值.
【解】22
22299~(9),()0.1.1616S a P S a P χχχ?
?=>=>= ??
?
查表得
914.684,16
a
= 所以 14.68416
26.105.9
a ?=
= 6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量
Y =
∑∑==-n
i i
i i X
X n 6
25
1
2)15(，n ＞5
服从何种分布？ 【解】25
2
2
2
2
221
1
~(5),~(5)i n
i
i i i X
X X n χχχ===
=-∑∑
且12χ与22
χ相互独立. 所以
2122/5~(5,5)/5
X Y F n X n =--
7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于
0.3的概率. 【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则X ~N (20,310),
Y ~N (20,
3
15
)，且X 与Y 相互独立. 则33~0,
(0,0.5),1015X Y N N ??
-+= ???
那么~(0,1),Z N = 所以
(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ?
->=>=- ?
2(10.6628)0.6744.=-=
8.设总体X ~N （0，σ2
）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =()
15
12112
10
22212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 . 【解】
~(0,1),i
X N σ
i =1,2, (15)
那么122
2
10
15
2222
111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==????== ? ?????
∑∑
且12χ与22
χ相互独立,
所以
22
2110122
211152/10~(10,5)2()/5
X X X Y F X X X ++==++ 所以Y ~F 分布，参数为（10,5）.
9.设总体X ~N （μ1,σ2）,总体Y ~N (μ2,σ2),X 1,X 2,…,1n X 和Y 1，Y 2，…，2n X 分别来自总体X 和
Y 的简单随机样本，则
????
?
?
??????-+-+-∑∑==2)()(21121
22
1
n n Y Y X X E n j j n i i = . 【解】令 122
22
1
211
1211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑ 则
1
2
2
2
22
11
221
1
()(1),()(1),n n i
j i j X
X n S y y n S ==-=--=-∑∑
又2
2
22
221122
1
12
22
2
(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=
-
那么
1
2
22112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==??-+-??
??=+??+-+-????
∑∑
2
22
12122
2
1212[()()]
2
[(1)(1)]2
E E n n n n n n σχχσ
σ=
++-=
-+-=+-
10.设总体X ~N （μ,σ2
），X 1，X 2，…，X 2n （n ≥2）是总体X 的一个样本，∑==n
i i X n X 21
21，令
Y =
∑=+-+n
i i n i
X X X
1
2)2(，求EY .
【解】令Z i =X i +X n +i , i =1,2,…,n .则
Z i ~N (2μ,2σ2)(1≤i ≤n ),且Z 1,Z 2,…,Z n 相互独立.
令 22
11
, ()/1,n
n
i i i i Z Z S Z Z n n ====--∑∑
则 21111
,222n
n i i
i i X X Z Z n
n =====∑∑ 故 2Z X = 那么
2
221
1
(2)()(1),n n
i n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑
所以
22()(1)2(1).E Y n ES n σ=-=-
11. 设总体X 的概率密度为f (x )=x
-e 2
1 (-∞ 本，其样本方差为S 2，求E (S 2). 解： 由题意，得 1e , 0,2 ()1e ,0,2 x x x f x x -? 于是 22222220()()()() 1()()d e d 021()()d e d e d 2, 2x x x E S D X E X E X E X xf x x x x E X x f x x x x x x +∞+∞--∞-∞+∞+∞+∞---∞-∞ ==-=======????? 所以 2()2E S =. 12-13上学期原题 一.填空题：1*5分 1.轰炸机使用特殊材料，使得无线电波大量衰减，这种无源干扰属于__干扰 2.卫星轨道分为顺行与逆行轨道，静止轨道属于__轨道 3.依据目标反射或者自发辐射的制导方式是__ 4.用激光来引导导弹飞行、侦测、跟踪并命中目标的系统是__ 5.利用目标反射微光或者自身热辐射的夜视方式属于__ 二.判断题：1*5分 1.“嫦娥二号”在地月转移轨道飞向月球途中，始终依靠发动机推动； 2.无线电通信侦察包含侦听与识别、测向与定位、跟踪与监视等任务，反过来说，无线电通信反侦察就包含了防止敌方对我方采取上述行为的任务； 3.顺行轨道的人造卫星一般向东发射，以利用部分地球自转的速度来节省燃料； 4.1960年苏联SA-2导弹击落美国U-2侦察机，开创了世界历史上用地空导弹击落敌方飞机的先例； 5.用第一代微光夜视仪观察另一方精心伪装的坦克与装甲车辆。 三.选择题：3*10分 1.可以在驱逐舰上发射的导弹有： 防空导弹；机载导弹；反舰导弹；面空导弹；反辐射导弹；空舰导弹；地地导弹 2.导弹发射后不听制导站指挥的制导方式有： 遥控制导；寻的制导；惯性制导；半主动制导；被动制导；自主式制导 3.我军侦察机投放干扰箔条属于什么干扰手段？ 瞄准式干扰；无源干扰；有源干扰；消极干扰；反射式干扰；吸收式干扰；积极干扰4.世界上目前为止完成过载人太空飞行的国家有： 法国；英国；中国；美国；俄罗斯（前苏联） 5.激光雷达具有哪些特性： 大规模搜索与监视效果好；可以进行超低空探测；跟踪、测速、测距等精度高；可以识别高压电线；可以穿透大雾、雨雪来精确测出距离与位置；占据空间小 6.用于侦收敌方设备的电磁辐射信号，被称为“太空耳朵”的卫星是：海洋监视卫星；导弹预警卫星；电子侦察卫星；导航卫星；测地卫星 7.我军在暴风雪天气下，使用什么夜视技术可以不受暴风雪影响，发现与监视对方军队？ 主动式红外夜视仪；微光夜视仪；微光电视；红外热像仪 8.如果使两束激光相互叠加与反相抵消会产生明显的强弱效应，这体现了激光的什么特点？ 单色性好；相干性好；方向性好；亮度高； 9.下列关于通信卫星的描述正确的有： 轨道倾角多为0度；多在大椭圆轨道上运行；基本上遵从天体力学规律绕地球运行；运行周期多为地球自转一周的时间 10.在倾盆大雨的一天里，我军发现敌人侦察机在东南沿海一带搜寻情报，要使用什么制导方式的命中精度最低？ 半主动寻的制导；无线指令制导；惯性制导；半主动激光寻的制导；主动雷达寻的制导 《博弈论》期末习题 专业：经济学学号：2 ；姓名：王兆丽 一、试写出掷硬币博弈的局中人及其策略与得益函数，并写出双变量得 益矩阵。 答：局中人：盖硬币者和猜硬币者。 策略：有正面和反面两种可选择策略，若猜对，猜者得１盖者－１.否则猜者－１盖者１.由于每一方都不会让对方在选择之前知道自己的决策，所以可以看做是同时做决策的。 双变量得益矩阵； 猜硬币方 二、试举生活中的一例，说明囚徒困境是如何产生的？并试分析可能走 出囚徒困境的途径。 答：例子：中国移动和中国联通之间的价格战。 产生原因：囚徒困境是在个体之间存在行为和利益相互制约的博弈结构中，以个体理性和个体选择为基础的分散决策方式，无法有效地协调各方面的利益，并实现整体、个体利益共同的最优。简单的说，囚徒困境问题都是个体理性与集体理性的矛盾引起的。 可能走出的囚徒困境途径：(1)惩罚。如果政府对实行价格战以获利的企业实行惩罚，那么就会制止这种现象发生。（2）忠诚文化。有时候，建立一种相互忠诚的文化也可以帮助走出囚徒困境。在很多组织中，团体产生所面临的囚徒困境问题的轻重程度是不同的，这种差异的根本来源就是各个组织有自己的文化。（3）长期关系和重复博弈。建立长期关系使得囚徒困境博弈可以多次重复，如果这个“多次”足够长，那么人们就有可能为了长远的将来利益而牺牲眼前的一笔横财，合作也是可以达成的。 三、用逆向归纳法求解下面的博弈的子博弈完美纳什均衡。 答：1、该博弈共包括四个子博弈：（1）从博弈方1选择R 以后博弈方2的第二 阶段选择开始的三阶段动态博弈；（2）从博弈方2第二阶段选择R 以后博弈方1 的开始选择的两个阶段动态博弈；（3）第三阶段博弈方1选择A 以后博弈方2 的单人博弈；（4）第三阶段博弈方1选择B 以后博弈方2的单人博弈 2、根据逆推归纳法先讨论博弈方2在第四阶段的选择。由于选择C 、D 个中 任何一个的得益都相同，因此在这阶段随意选择一个都可以。倒退回第三阶段， 博弈方1选择ＡＢ中任何一个都可以。再推回第二阶段，博弈方２选择Ｌ将得到 ３选择Ｒ得到２，因此选择Ｌ；最后回到第一阶段，博弈方１选择Ｌ得到２选择 Ｒ得到３,。所以该博弈的子博弈完美纳什均衡为：博弈方１第一阶段选择Ｒ， 博弈方２第二阶段选择Ｌ，即（３,１）是该博弈的完美纳什均衡。 四、两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是 q c aq p ++--=21)(π，企业2的利润函数是p b q +--=22)(π，其中p 是企业1 的价格，q 是企业2的价格。求： 1．两个企业同时决策的纯战略纳什均衡； 两个企业同时定价。根据两个企业的得益函数，很容易导出它们各自的反应 函数：απ1 /αp = -2(p-aq+c)=0 ____ p=aq-c απ2/αq = -2(q-b)=0 ______ q=b 4习题四 1.设随机变量X 的分布律为 求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111 ()(1)012;82842 E X =-? +?+?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =? +?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[( )]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432. =-?+-?++-?= 3.设随机变量且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-= ……②, 2222 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+= ……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？ 【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则 (){|}{}N k P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式 1{}{} 1().N N k k k P X k kP X k N N n E X N N ===== ===∑∑ 5.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2, 10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 【解】1 2 2 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ = =+-? ?? 2 1 3 32011 1.33x x x ?? ??=+-=??????? ? 1 2 2 2 3 20 1 7 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 故 2 2 1()()[()].6 D X E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X . 【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=?+?+= (2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X - 因独立 1184568.=?-?= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ）， D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3. E X Y E X E Y -=-=?-?= (2) 2 2 (23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ; x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥?? ≠? 即 40x x ≤?? ≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U . (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010x x x +≥?? -≠??->? 即 301x x x ≥-?? ≠?? 中国梦强军梦我的梦 中文系汉语言文学1班 马莉论文摘要：中国梦是需要我们每一个人都为之努力，中国梦的实现必然要依靠国防、经济以及外交三者相互协助而完成的，。在高速发展的现今世界中，一个国家想要在世界立足，想要在国际中拥有较高的国际地位，想要国内社会稳定就必须要依靠这三点。国防安全是保证经济持续快速的发展的必然前提，而稳健的外交是国与国之间军事、经济健康发展的有力保证，经济是保障军事与外交发展的重要因素。中国梦需要三者和谐相处。 关键词：国防安全外交政策经济发展 中国梦是是由我们每个人的梦想组成的，中国梦的实现要靠稳定的社会环境和和谐的人际关系才可以实现。稳定的社会环境需要国家的维护，就是国防力量；同时，中国梦也需要强大的国家来支持，那就是强有力的外交；中国梦的实现还有一个不可或缺的要素就是经济的发展。这三点不可缺少，他们是相互依存的关系。一个强大的国家需要强有力的军事、强硬的外交态度，更需要稳定的经济发展环境。 从古至今，没有哪一个国家没有国防而能够安然无恙地存在下去。国防，是国家为了防备和抵抗侵略，制止武装颠覆，保卫国家主权统一、领土完整和国家安全所进行的军事活动，以及与军事有关的政治、经济、外交、科技、教育等方面的活动。维护国家安全利益是国防的根本职能；捍卫国家主权、领土完整和防止外来侵略、颠覆，是国防的主要任务。 国防是一个国家最为重要的力量。目前，我国的国防实力正在快速发展中，我国的军事力量在国际中的地位也在提高中。国庆中的阅兵典礼向我国人民展示了国家的强大，也同时向那些想要窥探我国领土以及对我国有不良企图的国家宣告我国有足够的军事装备和信心保卫我国领土不被侵犯。国防关系着社会的稳定，一个国家只有拥有强大的国防力量才能保为我国经济持续健康的发展。 每一个公民都有国防的权利和义务，据我国的《国防法》规定；居民有国防建设建议权、制止危害国防行为权和损失补偿权这三个权利和维护国家统一和安全的义务、履行兵役的义务、支持国防建设的义务、接受国防教育的义务、支前参战的义务、保护国防设施的义务和保守国防秘密的义务这七个义务。公民只有了解和支持国防，我国才会社会稳定，经济才会健康稳定的发展，国防很重要。 外交,一个国家在国际关系方面的活动，如参加国际组织和会议，跟别的国家互派使节、进行谈判、签订条约和协定等。国家要和平手段对外行使主权的活动。通常指由国家元首、政府首脑、外交部长和外交机关代表国家进行的对外交往活动。 我国奉行独立自主的和平外交政策，坚持和平共处五项原则。中国人一直以温文儒雅的谦谦君子对待外国，我们一直希望能够与世界的其他国家保持和谐友好的关系，能够和谐相处，共同发展。在面对外国一些企图危害我国社会稳定的组织，我国并非只是一味的忍让，我们采取了一些必要的手段来对付这些企图不良的人。只有强有力的外交才能保持我国的良好的社会环境。 中国梦的实现需要良好的外交来实现，我们正处于一个全球化的时代，全球的政治、经济等都是密切联系的，良好的外交往往可以起到事半功倍的作用。经济对于一个国家至关重要，一个国家只有经济实力够强大才会在世界上有发言权，有影响力。经济实力对于一个人的国家的作用愈来愈大，国家想要社会稳定，想要人民安居乐业，就必须要保证人们的基本 第七章习题 一、判断下列表述是否正确，并作简单分析 （1）海萨尼转换可以把不完全信息静态博弈转换为不完美信息博弈，说明有了海萨尼转换，不完全信息静态博弈和一般的不完美信息动态博弈是等同的，不需要另外发展分析不完全信息静态博弈的专门分析方法和均衡概念。 答：错误。即使海萨尼转换把不完全信息静态博弈转换为不完美信息动态博弈，也是一种特殊的有两个阶段同时选择的不完美信息动态博弈，对这种博弈的分析进行专门讨论和定义专门均衡的概念有利于提高分析的效率。 （2）完全信息静态博弈中的混合策略可以被解释成不完全信息博弈的纯策略贝叶斯纳什均衡。 答：正确。完全信息静态博弈中的混合策略博弈几乎总是可以解释成一个有少量不完全信息的近似博弈的一个纯策略Bayes—Nash均衡。夫妻之争的混合策略Nash均衡可以用不完全信息夫妻之争博弈的Bayes—Nash均衡表示就是一个例证。 （3）证券交易所中的集合竞价交易方式本质上就是一种双方报价拍卖。 答：正确。我国证券交易中运用的集合竞价确定开盘价的方式就是一种双方报价拍卖。与一般双方报价拍卖的区别只是交易对象，标的不是一件而是有许多件。 （4）静态贝叶斯博弈中之所以博弈方需要针对自己的所有可能类型，都设定行为选择，而不是只针对实际类型设定行为选择，是因为能够迷惑其他博弈方，从而可以获得对自己更有利的均衡。 答：错误。不是因为能够迷惑其他博弈方，而是其他博弈方必然会考虑这些行为选择并作为他们行为选择的依据。因为只根据实际类型考虑行为选择就无法判断其他博弈方的策略，从而也就无法找出自己的最优策略。其实，在这种博弈中一个博弈方即使自己不设定针对自己所有类型的行为选择，其他博弈方也会替他考虑。因为设定自己所有类型下的行为，实际上是要弄清楚其他博弈方对自己策略的判断。 （5）“鼓励—响应”的直接机制能保证博弈方都按他们的真实类型行为并获得理想的结果。 答：错误。“鼓励—响应”机制也就是说真话的直接机制，实际上只保证博弈方揭示，也就是说出自己的真实类型。 博弈方不直接选择行为，也不保证根据真实类型行为，更谈不上一定能实现最理想的结果。因为直接机制的结果常常是带有随机选择机制的，并不一定理想。实际上对所有博弈方都理想的结果在静态贝叶斯博弈中本身不一定存在。 二、双寡头古诺模型，倒转的需求函数为 ()P Q a Q =-， 其中12Q q q =+为市场总需求，但a 有h a 和l a 两种可能的情况，并且厂商1知道a 究竟是h a 还是l a ， 而厂商2只知道h a a =的概率是θ， l a a =的概率是1θ-，这种信息不对称情况双方都是了解的。双方的总成本仍然是i i i c q cq =。如果两厂商同时选择产量，问双方的策略空间是什么？本博弈的贝叶斯纳什均衡是什么？ 解：设厂商1已知h a a =时的产量为11()h q a q =，已知l a a =时的产量是11()l q a q =；再假设厂商2的产量是 2q ，这两个函数关系就是两个厂商的策略空间。 11211()h h h h h a q q q cq π=--- 复旦大学本科期末考试考 卷规范 Final revision by standardization team on December 10, 2020. 复旦大学本科期末考试试卷规范 （试行） 一、命题 1、各院系所有课程考试的命题，都要求必须同时提供其覆盖面、难易度、题目量、水平相当的A和B两套试卷和标准答案，两套试卷中内容相同的题目不得超过5%，三年之内同一门课程的试卷内容重复率不得超过10％（从2005春季学期开始执行）。命题教师须于考试前一周，把出好的试卷交院系主管教学的领导审定后，由主管教学的院长或系主任任选一套为期末考试用卷，另一套由院系封存留作补考用。 2、为规范全校期末考试试卷的制作格式和归档管理的严肃性，现教务处拟定试卷的统一抬头（见附件3），请各院系遵照制作。为便于统一要求，各院系原则上不要自行设计试卷抬头，该试卷格式可从教务处网页上下载。 试卷一定要电脑打印，经校对无错误后，印刷、装订、封存。试卷使用后，对多余的空白试卷必须及时销毁，不准向外发放。 3、各院系用于期末考试的A、B试卷和批阅过的试卷都必须妥善保存，试卷将作为上级部门对学校、院系教学质量检查和评估的重要资料。 4、公共政治课、公共外语课、高等数学、法律基础、军事理论课程实行统一命题。注意做好试题的保密工作。 二、阅卷、成绩评定、成绩登录以及试卷分析要求 1、一门课程的成绩评定应该呈正态分布。其中，优秀率（A和A-）不超过30%，如果优秀率需超过30%，任课教师必须写出本课程详尽的学习状态分析报告，交教学院长（系主任）审批，优秀率上限最高不得超过40%，学习状态的分析报告必须作为教学资料至少保存三年。任课教师应该按照评分标准，公正、公平、科学地评阅试卷，所评定的成绩应能客观地、真实地反映学生对该课程学习的情况。 2、凡是未参加期末考试的学生，任课教师必须在“成绩登分表”上注明“缺考”、“缓考”。 试卷必须用红笔批阅。每一题都须有批阅记录，每一题的扣分记录在试题的右侧；得分记录在试题的左侧，最后将各题得分记入试卷首页的“得分栏目”内，并计算总分。考核方式如是论文形式，教师需对论文认真批阅，提出批阅意见，并附评分依据。 囚徒困境说明个人的理性选择不一定是集体的理性选择。（√） 子博弈精炼纳什均衡不是一个纳什均衡。（×） 若一个博弈出现了皆大欢喜的结局，说明该博弈是一个合作的正和博弈。（ ) 博弈中知道越多的一方越有利。( ×） 纳什均衡一定是上策均衡。(×） 上策均衡一定是纳什均衡。（√） 在一个博弈中只可能存在一个纳什均衡。（×) 在一个博弈中博弈方可以有很多个。(√） 在一个博弈中如果存在多个纳什均衡则不存在上策均衡。 (√ ) 在博弈中纳什均衡是博弈双方能获得的最好结果。(×) 在博弈中如果某博弈方改变策略后得益增加则另一博弈方得益减少。（×）上策均衡是帕累托最优的均衡。 (×） 因为零和博弈中博弈方之间关系都是竞争性的、对立的，因此零和博弈就是非合作博弈。 （×) 在动态博弈中，因为后行动的博弈方可以先观察对方行为后再选择行为，因此总是有利的。（×） 在博弈中存在着先动优势和后动优势，所以后行动的人不一定总有利，例如:在斯塔克伯格模型中，企业就可能具有先动优势。 囚徒的困境博弈中两个囚徒之所以会处于困境，无法得到较理想的结果,是因为两囚徒都不在乎坐牢时间长短本身,只在乎不能比对方坐牢的时间更长。 (×) 纳什均衡即任一博弈方单独改变策略都只能得到更小利益的策略组合。（√ ) 不存在纯战略纳什均衡和存在惟一的纯战略纳什均衡,作为原博弈构成的有限次重复博弈，共同特点是重复博弈本质上不过是原博弈的简单重复,重复博弈的子博弈完美纳什均衡就是每次重复采用原博弈的纳什均衡。(√ ) 多个纯战略纳什均衡博弈的有限次重复博弈子博弈完美纳什均衡路径：两阶段都采用原博弈同一个纯战略纳什均衡,或者轮流采用不同纯战略纳什均衡，或者两次都采用混合战略纳什均衡，或者混合战略和纯战略轮流采用。（√) 如果阶段博弈G={Ａ1, A2,…,An; u1, ｕ2,…,un)具有多重Nash均衡，那么可能(但不必)存在重复博弈Ｇ(T)的子博弈完美均衡结局，其中对于任意的t 概率论与数理统计习题二答案 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】X 的可能取值为3,4,5，其取不同值的概率为 以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)1 33{},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】X 的可能取值为0,1,2，其取不同值的概率为 （2） 当0x <时，{}()0F x P X x =≤= 当01x ≤<时，{}{}22()035 F x P X x P X =≤=== 当12x ≤<时，{}{}{}34()0135 F x P X x P X P X =≤==+== 当2x ≥时，{}{}{}{}()0121F x P X x P X P X P X =≤==+=+== 故X 的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示3次射击中击中目标的次数.则X 的可能取值为0，1，2，3，显然~(3,0.8)X b 其取不同值的概率为 分布函数 3次射击中至少击中2次的概率为 4.（1） 设随机变量X 的分布律为 {}! k P x k a k λ==， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 {}a P x k N == ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】设X 、Y 分别表示甲、乙投中次数，则~(3,0.6)X b ,~(3,0.7)Y b (1) {}{}{}{}{}0,01,12,23,3P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+== 33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++222233 33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+ (2) {}{}{}{}1,02,03,0P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+== 312322 33(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3++=0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则~(200,0.02)X b ，设机场需配备N 条跑 道，根据题意有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松定理近似计算 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 13 p = 所以 4 451210 (4)C () 33243 P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34 复旦大学2015-2016学年第一学期学生选课须知 选课 1、选课方式： 选课网址： 本次选课采用分阶段上网选课方式进行：第一次选课时间段内系统对选入课程的人数不设限定，学生只需在规定的时间段内选课，系统关闭后将对学生的选课申请进行随机筛选。所有选课信息是在选课系统关闭后一次性处理, 不分先后顺序。随机筛选的原则为：保证该课程修读的条件限制，以及学生的个人课表时间不冲突，如选课人数超出排课人数则随机删除超出的人数。 2、选课共分三个时间段进行： ●第一次选课时间段： 2015年06月29日08：00时-2015年07月02日8：00时 2012、2013、2014级； 2015年09月01日08：00时-2015年09月03日8: 00时 2015级。 ●第二次选课时间段： 2015年07月06日13：00时-2015年08月30日8：00时 2011、2012、2013、2014级； 2015年09月04日08：00时-2015年09月07日8：00时 2015级； 选课系统第二次开放。选课系统继续为专业必修及选修课程设置专业保护，学生可以寻找选修人数有余量的课程，继续选课。 ●第三次选课时间段： 2015年09月07日13：00时-2015年9月21日8：00时；2011、2012、2013、2014、2015级； 选课系统完全开放，学生经过对课程的试听，在规定的时间内对选课进行调整，并最终确定2014-2015学年第一学期的选修课程。 2015年09月19日(周六)上午8：00时，选课系统退课功能关闭。请试听周五晚上课程的学生尽快决定是否退课。 2015年09月18日（周五）下午17：00时，选课事务处理关闭,复旦学院不再受理任何选课申请事宜。 2015年09月19日（周六）上午8：00时-2014年09月21日（周一）上午8：00时，学生可以继续选课，但该时间段的任何课程一经选上，不能退课，请学生慎重对待。 2015年09月21日（周一）上午8：00时，选课系统选课功能关闭。 选课系统关闭后，本学期的选课结果及上学期各课成绩请学生登录“URP系统”进行查询。 概率论 习题四 答案 1.设随机变量X 的分布律为 X -1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111 ()(1)012;8 2842 E X =-?+? +?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. X 0 1 2 3 4 5 P 5905100 C 0.583C = 14 1090 5 100 C C 0.340C = 231090 5 100 C C 0.070C = 321090 5 100 C C 0.007C = 4110905100 C C 0C = 510 5 100 C 0C = 故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =?+?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[()]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432. =-?+-?++-?=L 3.设随机变量X -1 0 1 P p 1 p 2 p 3 且已知E （X ）=0.1,E (X 2)=0.9,求123,,p p p . 【解】因1231p p p ++=……①, 又12331()(1)010.1E X p p p p p =-++=-=g g ……②, 222212313()(1)010.9E X p p p p p =-++=+=g g g ……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.p p p === 习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】 故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函数并作图； (3) . 【解】 故X的分布律为 X 0 1 2 P （2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0 当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)= 当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)= 当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3. 故X的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数 4.（1）设随机变量X的分布律为 P{X=k}= ， 其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a. （2）设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N， 试确定常数a. 【解】（1）由分布律的性质知 故 (2) 由分布律的性质知 即 . 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1) + (2) =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有 即 利用泊松近似 查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001） 复旦大学本科期末考试 考卷规范 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 复旦大学本科期末考试试卷规范 （试行） 一、命题 1、各院系所有课程考试的命题，都要求必须同时提供其覆盖面、难易度、题目量、水平相当的A和B两套试卷和标准答案，两套试卷中内容相同的题目不得超过5%，三年之内同一门课程的试卷内容重复率不得超过10％（从2005春季学期开始执行）。命题教师须于考试前一周，把出好的试卷交院系主管教学的领导审定后，由主管教学的院长或系主任任选一套为期末考试用卷，另一套由院系封存留作补考用。 2、为规范全校期末考试试卷的制作格式和归档管理的严肃性，现教务处拟定试卷的统一抬头（见附件3），请各院系遵照制作。为便于统一要求，各院系原则上不要自行设计试卷抬头，该试卷格式可从教务处网页上下载。 试卷一定要电脑打印，经校对无错误后，印刷、装订、封存。试卷使用后，对多余的空白试卷必须及时销毁，不准向外发放。 3、各院系用于期末考试的A、B试卷和批阅过的试卷都必须妥善保存，试卷将作为上级部门对学校、院系教学质量检查和评估的重要资料。 4、公共政治课、公共外语课、高等数学、法律基础、军事理论课程实行统一命题。注意做好试题的保密工作。 二、阅卷、成绩评定、成绩登录以及试卷分析要求 1、一门课程的成绩评定应该呈正态分布。其中，优秀率（A和A-）不超过30%，如果优秀率需超过30%，任课教师必须写出本课程详尽的学习状态分析报告，交教学院长（系主任）审批，优秀率上限最高不得超过40%，学习状态的分 析报告必须作为教学资料至少保存三年。任课教师应该按照评分标准，公正、公平、科学地评阅试卷，所评定的成绩应能客观地、真实地反映学生对该课程学习的情况。 2、凡是未参加期末考试的学生，任课教师必须在“成绩登分表”上注明“缺考”、“缓考”。 试卷必须用红笔批阅。每一题都须有批阅记录，每一题的扣分记录在试题的右侧；得分记录在试题的左侧，最后将各题得分记入试卷首页的“得分栏目”内，并计算总分。考核方式如是论文形式，教师需对论文认真批阅，提出批阅意见，并附评分依据。 如果期末考试的卷面成绩只占本课程成绩的一部分，任课教师务必在“成绩登分表”上注明。 3、任课教师应该在本门课程考试结束后的5天内，将成绩评定完毕并交教务员及时登录。各院系都应在1月30日前，将全部成绩登录完毕，并寄给学生家长。 4、各院系教务办公室要严格保管好原始试卷和成绩单，不宜公开张贴学生的考试成绩。任何人未经许可不得随意涂改试卷成绩，不准遗失也不准随意查阅试卷。学生若对考试成绩有异议的，可于下一学期开学二周内，书面向本院系教务办公室申请，经院系主管领导批准后，由任课教师和教务员两人以上核查成绩，但不可查阅试卷。跨院系选修的课程，学生可持学生证和书面申请到开课院系教务办公室办理。超过规定的时间不再受理核查成绩事宜。 5、对试卷分析，可以使任课教师及时掌握学生的学习状况，更好地了解命题的难易度、知识的覆盖面以及区分度，使命题内容更加符合教学大纲的要求。 (1)失火了，你往哪个门跑 失火了，你往哪个门跑——这就是博弈论 一天晚上，你参加一个派对，屋里有很多人，你玩得很开心。这时候，屋里突然失火，火势很大，无法扑灭。此时你想逃生。你的面前有两个门，左门和右门，你必须在它们之间选择。但问题是，其他人也要争抢这两个门出逃。如果你选择的门是很多人选择的，那么你将因人多拥挤、冲不出去而烧死；相反，如果你选择的是较少人选择的，那么你将逃生。这里我们不考虑道德因素，你将如何选择？这就是博弈论！ 你的选择必须考虑其他人的选择，而其他人的选择也考虑你的选择。你的结果——博弈论称之为支付，不仅取决于你的行动选择——博弈论称之为策略选择，同时取决于他人的策略选择。你和这群人构成一个博弈（game）。 上述博弈是一个叫张翼成的中国人在1997年提出的一个博弈论模型，被称之为少数者博弈或少数派博弈（Minority Game）。当然，原来的博弈形式不是这么简单，这里我把它简化了，我们在第三部分论述归纳推理时还要谈这个博弈模型。现在很多学者在研究这个问题。 生活中博弈的案例很多，你会见到很多例子。只要涉及到人群的互动，就有博弈。 什么叫博弈？博弈的英文为game，我们一般将它翻译成“游戏”。而在西方，game的意义不同于汉语中的游戏。在英语中，game即是 人们遵循一定规则下的活动，进行活动的人的目的是使自己“赢”。奥林匹克运动会叫Olympic Games。在英文中，game有竞赛的意思，进行game的人是很认真的，不同于汉语中游戏的概念。在汉语中，游戏有儿戏的味道。因此将关于game的理论，即game theory翻译成博弈论或者对策论，是恰当的。本书下面统称game theory为博弈论。 博弈论的出现只有50多年的历史。博弈论的开创者为诺意曼与摩根斯坦，他们1944年出版了《博弈论与经济行为》。诺意曼是着名的数学家，他同时对计算机的发明作出了巨大贡献，他去世时博弈论还未对经济学产生广泛影响，否则经济学的诺贝尔奖肯定有他的名字，因为诺贝尔奖有规定，只颁发给在世的学者。谈到博弈论，不能忽略博弈论天才纳什（John Nash）。纳什的开创性论文《n人博弈的均衡点》（1950）、《非合作博弈》（1951）等等，给出了纳什均衡的概念和均衡存在定理。今天博弈论已发展成一个较完善的学科。 博弈论对于社会科学有着重要的意义，它正成为社会科学研究范式中的一种核心工具，以至于我们可称博弈论是“社会科学的数学”，或者说是关于社会的数学。从理论上讲，博弈论是研究理性的行动者（agents）相互作用的形式理论，而实际上它正深入到经济学、政治学、社会学等等，被各门社会科学所应用。甚至有学者声称要用博弈论重新改写经济学。1994年经济学诺贝尔奖颁发给三位博弈论专家：纳什、塞尔屯、哈桑尼（），而像1985年获得诺贝尔奖的公共选择学派的领导者布坎南，1995年获得诺贝尔奖的理性主义学派的领袖卢 Unit 1 5. Fill in the blanks with the words given below. Change the forms where n ecessary. 1. forbade 2. mourning 3. charge 4. accumulate 5. begged 6. declared 7. n arrow 8. penniless 9. unioading 10. stolen 11. absenee 12. faithfully 6. Fill in the blanks with the expressions given below. Change the forms where n ecessary. 1. a good deal of 2. speak of 3. lea ning on 4. stood on his feet 5. at (the) most 6. both …and 7. counted out 8. with the help of 9. heard of 10. be blessed with 10. Tran slate the followi ng sen ten ces into En glish. 1. Driven by a strong will, he eventually fulfilled the task he had undertaken. 2. He promised to write to me as soon as he got there, but nothing has bee n heard of him so far. 3. The boss has n ever bee n so pleased with any employee before. The young man is a real find. 4. With the help of the doctors and nurses, the patient was able to stand on his feet once more and soon resumed work ing. 5. The old man? _s wrinkled face spoke of the hardships he had endured in his life. 6. When she recovered somewhat, she leaned on the window watching the children play on the lawn. Unit 2 5. Fill in the blanks with the words given below. Change the forms where n ecessary. 1. statistics 2. versions 3. legal 4. adventurous 5. fate 6. indeed 7. chatting 8. online 9. owed 10. I nternet 11.Hopefully 12. expe nses 6. Fill in the blanks with the expressions given below. Change the forms where necessary. I. insisted on 2. gave …notice 3. base ???on 4. from the beginning 5. in the middle of军理历年考题
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