“定边”对“定角”问题
课题：《“定边”“定角”问题》教学设计
教师王芳玲年级九年级授课时间 2017.5.23
一、背景分析
本节课是中考专题复习课，学生对相关基础知识和基本方法已经熟悉，但是对综合题的思路分析和完整解答有待提高.
二、教学目标
复习圆周角定理及推论，探究解决“定边”“定角”问题的方法，体会数学知识之间的逻辑关系和转化的数学思想.
三、教学重、难点
重点：圆周角定理及推论.
难点：探究解决“定边”“定角”问题的方法.
四、教学方法：引导发现法、讨论法
五、教具、学具
教具：多媒体课件；学具：三角板、量角器、圆规
六、教学媒体：电子白板、GGB动态数学软件
七、教学过程：
（一）情景引入：以陕西铜川为背景的图片，引入本课探究的主题和方向.
（二）方法探究
活动一：已知线段AB=2,借助手头工具画△ABP,使∠APB=90°.并思考以下问题
（1）你能画出满足条件的三角形吗？
（2）这样的三角形能画多少个？
（3）满足条件的P点有什么特点？
（4）你能画出所有满足条件的P点吗？
（在独立探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法.）
活动二：若将∠APB=90°改为60°或45°？
关注：学生能否类比90°的方式解决问题得出正确的结论。
学生分组讨论后进行交流
（三）引申思考，培养创新
师：通过前面的讨论，你能发现解决此类问题的一般方法吗？
探究方法心得：“定边”“定角”圆上找
（四）实际应用
例2:问题探究：
（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．
（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：
（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP′D=60°．请你在图③中画出符合要求的点和P和P′，并求出△APB的面积（结果保留根号）．
例3、问题探究
（1）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点.
当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
(2)有一山庄，它的平面图为如图?的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安监控装置，用来监视边AB.现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳.已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m,ED=285m，CD=340m.问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合
2021年成都市中考专题3—几何模型之定边对定角讲义
2 41 【模型讲解】 2021年成都市中考专题3—几何模型之定边对定角 ∠P 保持不变，∠P 所对的边长为d 保持不变，则∠P 的顶点P 的轨迹为圆弧.（简称：定边对定角）【例题分析】 例1.在正方形ABCD 中，AD＝2，E，F 分别为边DC，CB 上的点，且始终保持DE＝CF，连接AE 和DF 交于点P，则线段CP 的最小值为. 例 2.如图，在边长为2 的等边△ABC中，点 E 为AC 上一点，AE=CD，连接 BE、AD 相交于点 P，则CP 的最小值为。 例3.如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝4 ，∠ACB＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE＝CP，则AD 的最小值为（） A．1 B．2 C．D． 4 3 2 2
2 【巩固训练】 1. 如图 1，O 的半径为 2，弦 AB =2，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线 PB 于点 C ，则△ABC 的最大面积是 . 图 1 图 2 图 3 2. 如图 2，半径为 2cm ，圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上有一运动的点 P 从点 P 向半径 OA 引垂线 PH 交 OA 于点 H ，设△OPH 的内心为 I ，当点 P 在弧 AB 上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为 . 3. 如图 3,以 G (0,1)为圆心,半径为 2 的圆与 x 轴交于 A 、B 两点,与 y 轴交于 C 、D 两点,点 E 为 OG 上一动点,CF ⊥AE 于 F ,当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为 . 4. 如图 4,以正方形 ABCD 的边 BC 为一边向内部做一等腰△BCE ，CE =CB ，过 E 做 EH ⊥BC ，点 P 是△BEC 的内心，连接 AP ，若 AB =2，则 AP 的最小值为 . 图 4 图 5 图 6 5. 如图 5,Rt △ABC 中,AB ⊥BC ,AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB =∠PBC ,则线段 CP 长的最小值为 . 6. 如图 6，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =10，BC =12，点 D 为线段 BC 上一动点.以 CD 为⊙O 直径， 作 AD 交⊙O 于点 E ，连 BE ，则 BE 的最小值为 . 7. 如图 7,在等腰 Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,BC = 4 ,点 D 是 AC 边上一动点,连接 BD ，以 AD 为直径的圆交 BD 于点 E ,则线段 CE 长度的最小值为 . 图 7
最值宝典第第七讲：定角对定边类问题
第七讲：定角对定边类问题 【定边定角模型】如图：∠A =θ(定角)，角固定不变，BC =a （定值），则点A 在△ABC 的外接圆上运动. 【模型原理】 ① 定边定角定三角形外接圆 O ;由正弦定理： 2sin sin a a R A θ ==（初中可推导） 可见，当BC 和∠A 确定时，△ABC 的外接圆O 的半径R 也是确定的，即△ABC 外接 圆唯一. ② 同圆等圆中同弧所对的圆周角相等；如果将BC 视为BC 所夹的一条弦，满足∠A =θ的所有圆周角都在△ABC 的外接圆上，故点A 在△ABC 的外接圆上运动； 【一般结论】：当点A 位于BAC 中点时，△ABC 的面积最大，此时△ABC 的高 h OA OE =+，() 11 ()(22 ABC MAX S BC OA OE a r =?+=??+弦心距） 【核心提炼】 ① 定边对定角，三点确定外接圆 ②确定圆心位置，计算外接圆半径。 ② 求出外接圆圆心至定弦的距离（弦心距） ④计算最值 【基本模型】定边定角的探究 已知线段AB =6，平面内一点C ，满足90ACB ∠= 问题一：根据以上信息，如何确定点C 的运动轨迹？ 问题二：求C 点的运动路径长？ 问题三：求△ABC 面积的最大值？ 【分析】问题一：点C 的运动轨迹是一个圆 问题二：点C 的运动路径长为△ABC 外接圆的周长：6π 问题三：当点C 运动到ACB 中点时，△ABC 面积的最大值，最大面积为9． a O A C 说理：∵OA+OE≥AE , h≤AE ， ∴h≤OA+OE （仅当A,O,E 三点共线时取等号） C A B a h a h O E (D ) D O E A C C B
轨迹问题之定角对定边(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 （2016·安徽）如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP 长的最小值为（ ） ∠P 保持不变，∠P 所对的边长为d 保持不变，则∠P 的顶点P 的轨迹为圆弧.
【解析】由AE=CD，∠ACD=∠BAE=60°，AC=BC，可得△ （2013·宜兴模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交
OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运
等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH 的最小值为．
答案：2-5 2（点H在以BC为直径的圆上） 2、直线y＝x＋4分别与x轴、y轴相交与点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是． 答案：2-2 2（点P在以MN为直径的圆上） 答案：（点H在以AB为直径的圆上）
（2016·省锡中二模）如图，O的半径为2，弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（） A. 1 B. 2 C. 33 2 D. 3 答案：D（点C在以AB为弦的圆上） （2016·外国语模拟）如图，以正方形ABCD的边BC为一边向内部做一等腰△BCE，BE=BC，过E做EH⊥BC，点P是Rt△BEH 的内心，连接AP，若AB=2，则AP的最小值为________. 答案： 2 2π（点P在以BC为弦的圆上） （2013·江阴期中）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为________．
2020中考数学专题3——几何模型之定边对定角-含答案
2020 中考专题 3 ——几何模型之定边对定角 班级 姓名 模 型讲解】 ∠P 保持不变，∠ P 所对的边长为 d 保持不变，则∠ P 的顶点 P 的轨迹为圆弧 . （简称：定边对定角 ） 【例题分析】 例 1.在正方形 ABCD 中， AD ＝2，E ，F 分别为边 DC ，CB 上的点，且始终保持 DE ＝CF ，连 接 AE 和 DF 交于点 P ，则线段 CP 的最小值为 . 圆，直线 BD 交⊙O 于P 点，交 BC 于 E 点，弧 AE ＝ CP ，则 AD 的最小值为（ 例 2. 如图，在边长为 2 3 的等边△ ABC 中，点 E 为 AC 上一点， AE=CD ，连接 BE 、AD 相交于点 P ， BC ＝4 2 ，∠ ACB ＝45°， D 为△ABC 内一动点， ⊙O 为△ACD 的外接 C ． 2 D ． 41 4 2 则 CP 的最小值 为 A ．1 B ．2
【巩固训练】 1. 如图 1，O 的半径为 2，弦AB=2，点P 为优弧 AB 上一动点， AC ⊥AP 交直线 PB 于点 C ，则△ABC 的最大面积是 . 2. 如图 2，半径为 2cm ，圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上有一运动的点 P 从点 P 向半径 OA 引 垂线 PH 交 OA 于点 H ，设△OPH 的内心为 I ，当点 P 在弧 AB 上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为 . 3. 如图 3,以G(0,1)为圆心,半径为 2 的圆与 x 轴交于 A 、B 两点,与 y 轴交于 C 、D 两点,点E 为OG 上 一动点 ,CF ⊥AE 于 F,当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点F 所经过的路径长为 4. 如图 4,以正方形 ABCD 的边 BC 为一边向内部做一等腰 是△BEC 的内心，连接 AP ，若 AB=2，则 AP 的最小 值为 5. 如图 5,Rt △ABC 中,AB ⊥BC,AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个 动点，且满足∠ PAB=∠PBC,则 线段 CP 长的最小值为 . 6. 如图 6，在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，AC=10，BC=12，点 D 为线段 BC 上一动点 .以 CD 为⊙ O 直径， 作 AD 交⊙ O 于点 E ，连 BE ，则 BE 的最小值为 . 7. 如图 7,在等腰 Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,BC= 4 2,点D 是AC 边上一动点 ,连接 BD ，以 AD 为直径的圆交 BD 于点 E,则线段 CE 长度的最小值为 . △BCE ，CE=CB ，过 E 做 EH ⊥BC ，点 P 图4 图7
轨迹问题之定角对定边修订稿
轨迹问题之定角对定边 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
（2016·安徽）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ） A ．23 B ．2 C ．13138 D ．13 1312 故选B. ∠P 保持不变，∠P 所对 的边长为d 保持不变，则∠P 的顶点P 的轨迹 为圆弧.
点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上
等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于H ，连接AH ，则AH 的最小值为 ． 答案：2-52（点H 在以BC 为直径的圆上） 2、直线y ＝x ＋4分别与x 轴、y 轴相交与点M 、N ，边长为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P ，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点（0，2）长度的最小值是 ．
_________. A. 1 B. 2 C. 3 32 D. 3 答案：D （点C 在以AB 为弦的圆上） （2016·外国语模拟）如图，以正方形ABCD 的边BC 为一边向内部做一等腰△BCE ，BE=BC ，过E 做EH ⊥BC ，点P 是Rt △BEH 的内心，连接AP ，若AB=2，则AP 的最小值为________. 答案：2 2π（点P 在以BC 为弦的圆上）
定角对定长线段隐定圆问题
定角、定线段与定圆问题 主要是体现在题目中出现了固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为隐圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角，借助隐圆来分析问题极其方便，关键是要先发现隐含着的特殊度数的角。举例如下： 例1: 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AH⊥BC于H（H在边BC上），若BH＝1，CH ＝2，则AH＝． 例2：如图,扇形AOD中, ∠AOD=90o,OA=6,点P为弧AD上任意一点(不与点A和D重合),PQ ⊥OD于点Q,点I为△OPQ的内心,过O,I和D三点的圆的半径为r.则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（） A.0＜r＜3 B.r=3 C.3＜r＜32 D. r=32 1.如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D，若⊙O的半径为1，则OC的长不可能为（） A. 2－3 B. 3－1 C.2 D. 3＋1 2.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是( )． 3. 如图，在Rt⊿ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，BC=42，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于E，连接CE，则线段CE长的最小值为( )
4.如图，△ABC 中，AC=3，BC=42，∠ACB=45o，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△ABC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.2 D.2441 ☆.如图，直径AB 、CD 的夹角为60 o，P 为⊙O 一的个动点（不与点A 、B 、C 、D 重 合）。PM ，PN 分别垂直于CD ，AB ，垂足分别为M ，N 。若⊙O 的半径长为2，则MN 的长 ( ) A. 随P 点运动而变化，最大值为3 B. 等于3 C. 随P 点运动而变化，最小值为3 D. 随P 点运动而变化，没有最值。 ★如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，以AB 为直径作⊙M ，点C 是优弧AB 上的一个动点，连结AC 、BC 分别交⊙M 于点D 、E ，则线段CD 的最大值为 。 A 3 B 2 C 23－2 D 4－23
“定边”对“定角”问题
课题：《“定边”“定角”问题》教学设计 教师王芳玲年级九年级授课时间 2017.5.23 一、背景分析 本节课是中考专题复习课，学生对相关基础知识和基本方法已经熟悉，但是对综合题的思路分析和完整解答有待提高. 二、教学目标 复习圆周角定理及推论，探究解决“定边”“定角”问题的方法，体会数学知识之间的逻辑关系和转化的数学思想. 三、教学重、难点 重点：圆周角定理及推论. 难点：探究解决“定边”“定角”问题的方法. 四、教学方法：引导发现法、讨论法 五、教具、学具 教具：多媒体课件；学具：三角板、量角器、圆规 六、教学媒体：电子白板、GGB动态数学软件 七、教学过程： （一）情景引入：以陕西铜川为背景的图片，引入本课探究的主题和方向. （二）方法探究 活动一：已知线段AB=2,借助手头工具画△ABP,使∠APB=90°.并思考以下问题 （1）你能画出满足条件的三角形吗？ （2）这样的三角形能画多少个？ （3）满足条件的P点有什么特点？ （4）你能画出所有满足条件的P点吗？ （在独立探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法.） 活动二：若将∠APB=90°改为60°或45°？ 关注：学生能否类比90°的方式解决问题得出正确的结论。 学生分组讨论后进行交流 （三）引申思考，培养创新 师：通过前面的讨论，你能发现解决此类问题的一般方法吗？ 探究方法心得：“定边”“定角”圆上找
（四）实际应用 例2:问题探究： （1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．问题解决： （3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP′D=60°．请你在图③中画出符合要求的点和P和P′，并求出△APB的面积（结果保留根号）． 例3、问题探究 （1）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点. 当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
轨迹问题之定角对定边
（2016·安徽）如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP 长的最小值为（ ） A ．23 B ．2 C ．13138 D ．131312 【解析】∵∠PAB=∠PBC ，∴∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90° ∴∠P=90°保持不变，同时∠P 所对边AB 保持不变，所以点P 在以AB 为直径的圆上运动 如下图，∴当点P 在CO 连线段上时，CP 最短 AO=OP=OB=3，CO=54322 ，∴CP 最小值为5-3=2. 故选B. ∠P 保持不变，∠P 所对 的边长为d 保持不变，则 ∠P 的顶点P 的轨迹为圆 弧.
2的等边△ABC中，AE=CD，连接BE、AD 如图，在边长为3 相交于点P，则CP的最小值为___________. 【解析】由AE=CD，∠ACD=∠BAE=60°，AC=BC，可得△BAE≌△ACD，∴∠DAC=∠ABE， ∵∠APB=∠DAC+∠BEA=∠ABE+∠BEA=180°-60°=120°，∴∠APB=120°保持不变，∠APB 所对边AB也保持不变，所以点P在如图所示的圆上运动. ∵∠APB=120°，∴∠AQB=60°，∴∠AOB=120°，OA=OB，∴∠OBA=30°，点O、C均在AB 垂直平分线上，∴OC⊥AB，∴∠BOC=60°，∴∠OBC=90°，∵BC=2根号3，∴半径r=OB=2，OC=4，∴最小值CP=OC—OP=4-2=2. （2013·宜兴模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A 运动到点B时，内心I所经过的路径长为．
定角对定长线段隐定圆问题讲解学习
定角对定长线段隐定 圆问题
定角、定线段与定圆问题 主要是体现在题目中出现了固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为隐圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角，借助隐圆来分析问题极其方便，关键是要先发现隐含着的特殊度数的角。举例如下： 例1: 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AH⊥BC于H（H在边BC上），若BH＝1，CH＝2，则AH＝． 例2：如图,扇形AOD中, ∠AOD=90o,OA=6,点P为弧AD上任意一点(不与点A 和D重合),PQ⊥OD于点Q,点I为△OPQ的内心,过O,I和D三点的圆的半径为r.则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（） A.0＜r＜3 B.r=3 C.3＜r＜32 D. r=32 1.如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D，若⊙O的半径为1，则OC的长不可能为 （） A. 2－3 B. 3－1 C.2 D. 3＋1 2.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交 BD于G， 连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是( )．
3. 如图，在Rt ⊿ABC 中，∠BAC=90o，AB=AC ，BC=42，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于E ，连接CE ，则线段CE 长的最小值为( ) 4.如图，△ABC 中，AC=3，BC=42，∠ACB=45o，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△ABC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.2 D.2441 ☆.如图，直径AB 、CD 的夹角为60 o，P 为⊙O 一的个动点（不与点A 、B 、 C 、 D 重 合）。PM ，PN 分别垂直于CD ，AB ，垂足分别为M ，N 。若⊙O 的半径长为2，则MN 的长 ( ) A. 随P 点运动而变化，最大值为3 B. 等于3 C. 随P 点运动而变化，最小值为3 D. 随P 点运动而变化，没有最值。 ★如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，以AB 为直径作⊙M ，点C 是优弧AB 上的一个动点，连结AC 、BC 分别交⊙M 于点D 、E ，则线段CD 的最大值为 。 A 3 B 2 C 23－2 D 4－23
轨迹问题之定角对定边 定弦定角最值问题(含答案) (PDF版)
定弦定角最值问题----20190828 【定弦定角题型的识别】 有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。【题目类型】 图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题 【解题原理】 同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。 （线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。） 【一般解题步骤】 ①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。 ②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等） ③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。 ④确定圆心位置，计算隐形圆半径。 ⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。 ⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。
【例1】(2019·模拟)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E 点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（） A．1 B．2 C．2D．2 41- 4 解：∵∠CDP＝∠ACB＝45° ∴∠BDC＝135°（定弦定角最值） 如图，当AD过O′时，AD有最小值 ∵∠BDC＝135° ∴∠BO′C＝90° ∴△BO′C为等腰直角三角形 ∴∠ACO′＝45°＋45°＝90° ∴AO′＝5 又O′B＝O′C＝4 ∴AD＝5－4＝1 【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为 16 （）A．2 13-B．2 13+C．5 D． 9 解：连接AE ∵AD为⊙O的直径 ∴∠AEB＝∠AED＝90° ∴E点在以AB为直径的圆上运动 当CE过圆心O′时，CE有最小值为2 13-
定长对定角问题
定长对定角问题 （2016·安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（） A．B．2 C．D． 【解析】∵∠PAB=∠PBC，∴∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90° ∴∠P=90°保持不变，同时∠P所对边AB保持不变，所以点P在以AB为直径的圆上运动 如下图，∴当点P在CO连线段上时，CP最短 AO=OP=OB=3，CO=，∴CP最小值为5-3=2. 故选B. 如图，在边长为的等边△ABC中，AE=CD，连接BE、AD 相交于点P，则CP的最小值为___________.
【解析】由AE=CD，∠ACD=∠BAE=60°，AC=BC，可得△BAE≌△ACD，∴∠DAC=∠ABE， ∵∠APB=∠DAC+∠BEA=∠ABE+∠BEA=180°-60°=120°，∴∠APB=120°保持不变，∠APB所对边AB也保持不变，所以点P在如图所示的圆上运动. ∵∠APB=120°，∴∠AQB=60°，∴∠AOB=120°，OA=OB，∴∠OBA=30°，点O、C 均在AB垂直平分线上，∴OC⊥AB，∴∠BOC=60°，∴∠OBC=90°，∵BC=2根号3，∴半径=OB=2，OC=4，∴最小值CP=OC—OP=4-2=2. （2013·宜兴模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P 从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到
【解析】 如图，连接OI，PI，AI，∵I为△OPH内心，∴∠IOP=∠IOA， ∠IPO=∠IPH，∴∠PIO=90°+∠PHO=90°+45°=135°，由 OI=OI，∠IOP=∠IOA，OA=OP可知，△AOI≌△POI，∴∠AIO =∠PIO=135°，∴∠AIO保持不变，∠AIO所对边AO也保持不变，∴点I在如图所示的圆上运动。画出点P在点A与点B时I的位置， 可知I的轨迹路径长为劣弧AO的弧长。 ∠AIO=135°，∴∠APO=45°，∴∠=90°，∴△为等腰直角三角形，由AO=2可得，半径==， ∴弧长为
力学2(辅助圆法解决定角对定边问题)—2021届高三物理一轮复习讲义
力学2（辅助圆法解决定角对定边问题） 1 .辅助圆法、圆周角定理在动态平衡问题中的应用， ①定边问题：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不定，另一个力大小方向均不确定 （1）先受力分析，画矢量三角形； （2）以大小不变的力为半径画圆，注意观察那个力不变； （3）转动，观察边长度的关系 ②定角问题：一个力恒定，另两个力大小方向不确定、但夹角恒定； （4）先受力分析，画矢量三角形； （5）画圆，将矢量三角形放入圆中； （6）转动，注意直角对于的边为半径 注意：也可以用正交分解法、拉密定理（正弦定律）解决；核心思想，力学问题几何化。
高分冲刺-力学2（辅助圆法解决定角对定边问题）习题 1.在共点力的合成实验中,如图,用A. B两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置O,这时两绳套AO、BO的夹角小于90°,现在保持弹簧秤A的示数不变而改变其拉力方向使α角变小,那么要使结点仍在位置O,就应该调整弹簧秤B的拉力的大小及β角,则下列调整方法中可行的是( ) A. 增大B的拉力，增大β角 B. 增大B的拉力，β角不变 C. 增大B的拉力，减小β角 D. B的拉力大小不变，增大β角 2.如图所示,一质量为M、倾角为θ的斜面体置于水平地面上,质量为m的小木块(可视为质点)放在斜面上。现用一平行于斜面、大小恒定的拉力F作用于小木块上,拉力在以斜面所在的平面内绕小木块旋转一周的过程中,斜面体和小木块始终保持静止状态,下列说法中正确的是( ) A. 小木块受到斜面的最大摩擦力为 ()2 2mgsin Fθ + B. 小木块受到斜面的最大摩擦力为F-mgsinθ C. 斜面体受到水平地面的最大摩擦力为F D. 斜面体受到水平地面的最大摩擦力为Fcosθ 3.如图所示的装置,用两根细绳拉住一个小球,两细绳间的夹角为θ,细绳AC呈水平状态.现将整个装置在纸面内顺时针缓慢转动,共转过90°.在转动的过程中,CA绳中的拉
轨迹问题之定角对定边
∠P 保持不变，∠P 所对的边长为d 保持不变，则∠P 的顶点P 的轨迹为圆 弧. （2016·安徽）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ） A ．23 B ．2 C ．13138 D ．13 1312 故选B.
（2013·宜兴模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为．
等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于H ，连接AH ，则AH 的最小值为． 答案：2-52（点H 在以BC 为直径的圆上） 2、直线y ＝x ＋4分别与x 轴、y 轴相交与点M 、N ，边长为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P ，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点（0，2）长度的最小值是．
A. 1 B. 2 C. 332 D. 3 答案：D （点C 在以AB 为弦的圆上） （2016·外国语模拟）如图，以正方形ABCD 的边BC 为一边向内部做一等腰△BCE ， BE=BC ，过E 做EH ⊥BC ，点P 是Rt △BEH 的内心，连接AP ，若AB=2，则AP 的最小值为________. 答案：2 2π（点P 在以BC 为弦的圆上） （2013·江阴期中）如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF ⊥AE 于F ，当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为________．
2020中考专题3——几何模型之定边对定角(1)_20200320
【模型讲解】 2020 中考专题 3——几何模型之定边对定角 班级姓名 . ∠P 保持不变，∠P 所对的边长为d 保持不变，则∠P 的顶点P 的轨迹为圆弧.（简称：定边对定角）【例题分析】 例1.在正方形ABCD 中，AD＝2，E，F 分别为边DC，CB 上的点，且始终保持DE＝CF，连接AE 和DF 交于点P，则线段CP 的最小值为. 例 2.如图，在边长为2 的等边△ABC中，点 E 为AC 上一点，AE=CD，连接 BE、AD 相交于点 P，则CP 的最小值为。 例3.如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝4 ，∠ACB＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE＝CP，则AD 的最小值为（） A．1 B．2 C．D． 4
【巩固训练】 1.如图1，O 的半径为2，弦AB=2，点P 为优弧AB 上一动点，AC⊥AP 交直线PB 于点C，则△ABC 的最大面积是. 图1 图2 图3 2.如图2，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上有一运动的点P 从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H，设△OPH 的内心为I，当点P 在弧AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为. 3.如图3,以G(0,1)为圆心,半径为2 的圆与x 轴交于A、B 两点,与y 轴交于C、D 两点,点E 为OG 上一动点,CF⊥AE 于F,当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为. 4.如图4,以正方形ABCD 的边BC 为一边向内部做一等腰△BCE，CE=CB，过E 做EH⊥BC，点P 是△BEC 的内心，连接AP，若AB=2，则AP 的最小值为. 图4 图5 图6 5.如图5,Rt△ABC 中,AB⊥BC,AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP 长的最小值为. 6.如图6，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=12，点D 为线段BC 上一动点.以CD 为⊙O 直径，作AD 交⊙O 于点E，连BE，则BE 的最小值为. 7.如图7,在等腰Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,BC= 4 ,点D 是AC 边上一动点,连接BD，以AD 为直径的圆交BD 于点E,则线段CE 长度的最小值为. 图7
1_轨迹问题之定角对定边 整理 带答案解析
定弦定 角 1.（安徽）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ） A ．23 B ．2 C ．1313 8D ．13 13 12 故选B.
3.（宜兴模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A 运动到点B时，内心I所经过的路径长为．
4.等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段 AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于H ，连接 AH ，则AH 的最小值为．答案：2-52（点H 在以BC 为直径的圆上） 5.直线y ＝x ＋4分别与x 轴、y 轴相交与点M 、N ，边长 为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直 线AN 与MC 相交与点P ，若正方形绕着点O 旋转一周， 则点P 到点（0，2）长度的最小值是． A.1 B.2 C.33 2 D.3 答案：D （点C 在以AB 为弦的圆上）
8.（外国语模拟）如图，以正方形ABCD 的边BC 为一边向内部做一等腰△BCE ，BE=BC ，过E 做EH ⊥BC ，点P 是Rt △BEH 的内心，连接AP ，若AB=2，则AP 的最小值为________. 答案：2 2π（点P 在以BC 为弦的圆上）9.（江阴期中）如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF ⊥AE 于F ，当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为________． 答案：π3 3（点F 在以AC 为直径的圆上） 10.（南长区二模）如图，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(7，3)，点E 在边 AB 上，且AE=1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP ， 过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H ，在点P 从点 F(0，254 )运动到原点O 的过程中，点H 的运动路径长为________．答案：π4 25（点H 在以OE 为直径的圆上）
定角对定弦
培优3 定角对定弦 1.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_________. 第1题第2题 2. 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝42，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为 3. 如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________ 第3题第4题 4. 如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB 的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________ 5. 如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为__________. 第5题
6. 如图，O的半径为2，弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是________. 第6题第7题 7. 如图，⊙O的半径为4，Rt△ABC的顶点A、B都在⊙O上，点C在⊙O内，且∠A=45° ，当点A在圆上运动时，OC的最小值为 8. 设a为实数（常数），已知直线l：2 - - =a ax y，过点P（-1，0）做直线l的垂线，垂足为M.点O（0，0）为坐标原点，则线段OM长度的最小值为 9．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为?BC中点，P为?AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连接CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________ 10. 如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为____________. O C B P D 第9题第10题
轨迹问题之定角对定边
（2016 ·安徽）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ） A ．23 B ．2 C ．13138 D ．13 1312 【解析】∵∠PAB=∠PBC ，∴∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90° ∴∠P=90°保持不变，同时∠P 所对边AB 保持不变，所以点P 在以AB 为直径的圆上运动 如下图，∴当点P 在CO 连线段上时，CP 最短 AO=OP=OB=3，CO=5432 2=+，∴CP 最小值为5-3=2. 故选B. ∠P 保持不变，∠P 所对 的边长为d 保持不变，则 ∠P 的顶点P 的轨迹为圆 弧.
2的等边△ABC中，AE=CD，连接BE、AD 如图，在边长为3 相交于点P，则CP的最小值为___________. 【解析】由AE=CD，∠ACD=∠BAE=60°，AC=BC，可得△BAE≌△ACD，∴ ∠DAC=∠ABE， ∵∠APB=∠DAC+∠BEA=∠ABE+∠BEA=180°-60°=120°，∴∠APB=120°保持不变，∠APB所对边AB也保持不变，所以点P在如图所示的圆上运动. ∵∠APB=120°，∴∠AQB=60°，∴∠AOB=120°，OA=OB，∴∠OBA=30°，点O、C 均在AB垂直平分线上，∴OC⊥AB，∴∠BOC=60°，∴∠OBC=90°，∵BC=2根号3，∴半径r=OB=2，OC=4，∴最小值CP=OC—OP=4-2=2. （2013·宜兴模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为．
定长对定角问题
定长对定角问题 (2016·安徽)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P就是△ABC内部得一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长得最小值为( ) A.B.2 C.D. 【解析】∵∠PAB=∠PBC,∴∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90° ∴∠P=90°保持不变,同时∠P所对边AB保持不变,所以点P在以AB为直径得圆上运动 如下图,∴当点P在CO连线段上时,CP最短 AO=OP=OB=3,CO=,∴CP最小值为5-3=2、 故选B、 如图,在边长为得等边△ABC中,AE=CD,连接BE、AD 相交于点P,则CP得最小值为___________、 【解析】由AE=CD,∠ACD=∠BAE=60°,AC=BC,可得△BAE≌△ACD,∴∠DAC=∠ABE, ∵∠APB=∠DAC+∠BEA=∠ABE+∠BEA=180°-60°=120°,∴∠APB=120°保持不变, ∠APB所对边AB也保持不变,所以点P在如图所示得圆上运动、 ∵∠APB=120°,∴∠AQB=60°,∴∠AOB=120°,OA=OB,∴∠OBA=30°,点O、C均在AB垂直平分线上,∴OC⊥AB,∴∠BOC=60°,∴∠OBC=90°,∵BC=2根号3,∴半径 =OB=2,OC=4,∴最小值CP=OC—OP=4-2=2、 (2013·宜兴模拟)如图,半径为2cm,圆心角为90°得扇形OAB得弧AB上有一运动得点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H,设△OPH得内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时, 【解析】 如图,连接OI,PI,AI,∵I为△OPH内心,∴∠IOP=∠IOA, ∠IPO=∠IPH,∴∠PIO=90°+∠PHO=90°+45°=135°,由 OI=OI,∠IOP=∠IOA,OA=OP可知,△AOI≌△POI,∴∠AIO =∠PIO=135°,∴∠AIO保持不变,∠AIO所对边AO也保持不变, ∴点I在如图所示得圆上运动。画出点P在点A与点B时I得位置, 可知I得轨迹路径长为劣弧AO得弧长。 ∠AIO=135°,∴∠APO=45°,∴∠=90°,∴△为等 腰直角三角形,由AO=2可得,半径==, ∴弧长为
2020中考数学压轴专题3——几何模型之定边对定角
41 【模型讲解】 2020 中考专题 3——几何模型之定边对定角 班级姓名. ∠P 保持不变，∠P 所对的边长为d 保持不变，则∠P 的顶点P 的轨迹为圆弧.（简称：定边对定角）【例题分析】 例1.在正方形ABCD 中，AD＝2，E，F 分别为边DC，CB 上的点，且始终保持DE＝CF，连接AE 和DF 交于点P，则线段CP 的最小值为. 例 2.如图，在边长为2 的等边△ABC中，点 E 为AC 上一点，AE=CD，连接 BE、AD 相交于点 P，则CP 的最小值为。 例3.如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝4 ，∠ACB＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE＝CP，则AD 的最小值为（） A．1 B．2 C．D． 4
【巩固训练】 1. 如图1，O 的半径为2，弦AB=2，点P 为优弧AB 上一动点，AC⊥AP 交直线PB 于点C，则△ABC 的最大面积是. 图1 图2 图3 2.如图2，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上有一运动的点P 从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H，设△OPH 的内心为I，当点P 在弧AB 上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为. 3.如图3,以G(0,1)为圆心,半径为2 的圆与x 轴交于A、B 两点,与y 轴交于C、D 两点,点E 为OG 上一动点,CF⊥AE 于F,当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为. 4.如图4,以正方形ABCD 的边BC 为一边向内部做一等腰△BCE，CE=CB，过E 做EH⊥BC，点P 是△BEC 的内心，连接AP，若AB=2，则AP 的最小值为. 图4 图5 图6 5.如图5,Rt△ABC 中,AB⊥BC,AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP 长的最小值为. 6.如图6，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=12，点D 为线段BC 上一动点.以CD 为⊙O 直径，作AD 交⊙O 于点E，连BE，则BE 的最小值为. 7.如图7,在等腰Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,BC= 4 ,点D 是AC 边上一动点,连接BD，以AD 为直径的圆交BD 于点E,则线段CE 长度的最小值为. 图7