三次样条插值的拟合误差
三次样条插值是一种常用的数据拟合方法，它通过在相邻数据点处拟合三次多项式，并满足一定的边界条件，从而得到一条光滑的曲线。拟合误差是指拟合曲线与原始数据点之间的差异。一般来说，拟合误差可以通过计算拟合曲线在各个数据点处与实际数据的差值来评估。
具体来说，对于三次样条插值，可以通过以下步骤来计算拟合误差：
1. 首先，利用三次样条插值方法拟合出曲线。
2. 然后，在每个原始数据点处，计算拟合曲线与实际数据的差值，即拟合误差。
3. 最后，可以计算拟合误差的均方根误差（RMSE）或其他指标来评估拟合的精度。
需要注意的是，拟合误差的大小并不是唯一衡量拟合质量的标准，还需要结合实际应用场景和对拟合曲线的要求来综合评估拟合效果。
如果你有具体的数据和想要进行三次样条插值拟合误差计算的问题，也可以提供更详细的信息，我可以帮你进行具体的计算和分析。
三次样条插值与多项式拟合的关系
三次样条插值与多项式拟合的关系 《三次样条插值与多项式拟合的关系》 一、简介 在数学建模和数据分析中，插值和拟合是非常重要的方法。三次样条 插值和多项式拟合是其中常见且有效的技术。它们之间有着密切的关系，对于理解它们的原理、特点和应用是很有帮助的。 二、三次样条插值的原理与方法 三次样条插值是一种通过对给定的一组点进行插值，得到一个分段三 次插值多项式的方法。它的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，每个小区间内都使用一个三次多项式来插值。这样可以保证整个插值 曲线在每个小区间内都是光滑的，并且两个相邻的插值多项式在连接 点处有相同的函数值和导数值。三次样条插值不仅可以实现较高的插 值精度，还可以很好地避免龙格现象和振荡问题。 三、多项式拟合的原理与方法 多项式拟合是一种通过多项式来逼近已知数据点的方法。常见的拟合
方法包括最小二乘法和最小二乘多项式拟合等。多项式拟合的原理是使用一个n次多项式函数来逼近n个数据点，使得这个多项式函数在这n个数据点处的函数值与给定数据点的函数值尽可能接近，并且可以用于对其他数据点的预测。 四、三次样条插值与多项式拟合的关系 在实际应用中，三次样条插值和多项式拟合有着密切的关系。可以将三次样条插值看作是一种特殊的分段多项式拟合，只不过它要求在每个小区间上都使用三次多项式来进行拟合。多项式拟合可以被认为是三次样条插值的一种特殊情况，当插值区间只有一个小区间时，三次样条插值就变成了普通的三次多项式拟合。可以说三次样条插值和多项式拟合是在不同层次上对数据进行逼近的方法，它们之间有着内在的联系和相互影响。 五、个人观点和理解 在实际工程和科学领域中，三次样条插值和多项式拟合都有着广泛的应用。对于一些特定的数据集，三次样条插值可以提供更加精确和光滑的插值结果，而对于一些简单的数据集，多项式拟合可能会更加高效和简便。了解它们之间的关系和特点，可以帮助我们在实际应用中选择合适的技术来处理数据，并且更好地理解其原理和局限性。
实验四 三次样条插值
实验四三次样条插值的应用 一、问题描述 The upper portion of this noble beast is to be approximated using clamped cubic spline interpolants. The curve is drawn on a grid from which the table is constructed. Use Algorithm 3.5 to construct the three clamped cubic splines. 二、模型建立 三次样条插值 给定一个列表显示的函数 yi=y(xi),i=0,1,2,...,N-1。特别注意在xj和xj+1之间的一个特殊的区间。该区间的线性插值公式为：
(3.3.1)式和(3.3.2)式是拉格朗日插值公式(3.1.1)的特殊情况。 因为它是(分段)线性的，(3.3.1)式在每一区间内的二阶导数为零，在横坐标为xj处的二阶导数不定义或无限。三次样条插值的目的就是要得到一个内插公式，不论在区间内亦或其边界上，其一阶导数平滑，二阶导数连续。 做一个与事实相反的个假设，除yi的列表值之外，我们还有函数二阶导数y"的列表值，即一系列的yi"值，则在每个区间内，可以在(3.3.1)式的右边加上一个三次多项式，其二阶导数从左边的yj"值线性变化到右边的yj+1"值，这么做便得到了所需的连续二阶导数。如果还将三次多项式构造在xj和xj+1处为零，则不会破坏在终点xj和xj+1处与列表函数值yj和yj+1的一致性。 进行一些辅助计算便可知，仅有一种办法才能进行这种构造，即用 注意,(3.3.3)式和(3.3.4)式对自变量x的依赖，是完全通过A和B对x的线性依赖，以及C和D(通过A和B)对x的三次依赖而实现。可以很容易地验证，y"事实上是该插值多项式的二阶导数。使用ABCD的定义对x求(3.3.3)式的导数，计算dA/dx dB/dx dC/dx dD/dx,结果为一阶导数
分段低次插值及三次样条函数插值MATLAB实验报告
分段低次插值及三次样条函数插值MATLAB实验报告 一、实验目的 本实验旨在通过使用MATLAB软件，在给定一组离散数据点的情况下，使用分段低次插值和三次样条函数插值方法来拟合数据，并比较两种方法 的优缺点。 二、实验原理 1.分段低次插值方法： 2.三次样条函数插值方法： 三次样条函数插值是一种相对复杂的插值方法，通过使用一些特定的 函数来拟合数据，函数在每个区间内都是三次多项式。三次样条函数包括 一些额外的条件，如函数在离散数据点处的一阶和二阶导数相等。 三、实验过程 1.分段低次插值： （1）导入数据：首先将带有噪声的离散数据点导入MATLAB软件中， 使用plot函数绘制散点图以观察数据分布情况。 （2）计算插值多项式：使用polyfit函数对每个数据点的邻近区间 进行插值计算，得到一组低次多项式。 （3）绘制插值曲线：通过在每个区间内使用polyval函数计算多项 式的值，得到分段低次插值曲线。使用plot函数绘制插值曲线，并与原 始数据点进行比较。 2.三次样条函数插值：
（1）导入数据：同样地，将带有噪声的离散数据点导入MATLAB软件中，使用plot函数绘制散点图以观察数据分布情况。 （2）计算插值：使用spline函数进行三次样条函数拟合，得到一组三次样条函数。 （3）绘制插值曲线：通过在每个区间内使用ppval函数计算样条函数的值，得到三次样条函数插值曲线。使用plot函数绘制插值曲线，并与原始数据点进行比较。 四、实验结果及分析 通过分段低次插值方法和三次样条函数插值方法得到的拟合曲线，可以看出三次样条函数插值方法更加平滑，更好地拟合了原始数据点。而分段低次插值方法在每个区间内使用的是一个低次多项式，可能会导致曲线在区间之间出现明显的偏差，不能很好地拟合数据。 此外，三次样条函数插值方法在计算过程中需要解线性方程组，计算和存储量相对较大，运行速度较慢。而分段低次插值方法计算简单、效率高。 五、实验总结 本实验通过使用MATLAB软件，实现了分段低次插值和三次样条函数插值两种方法的拟合效果，并对比分析了两种方法的优缺点。分段低次插值方法计算简单、效率高，但拟合效果较差；而三次样条函数插值方法拟合效果更好，但计算和存储量较大，运行速度较慢。因此，在具体应用中需要根据实际情况选择合适的插值方法。
matlab牛顿插值法三次样条插值法
(){}2 1 ()(11),5,10,20: 1252 1()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)()()2 35,20:1100 (i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x n x y i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+ =L L 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。 已知对作、计算函数在点处的值； 、求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max ()n k n k n k n k n k n k k k N x S x k E N y N x E S y S x ==-=-L 和； 、计算，； 解释你所得到的结果。 算法组织: 本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式 )(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。如此，则第三、四问则迎刃而解。计算两 种插值多项式的算法如下： 一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下： Newton 插值多项式的表达式如下： )())(()()(110010--⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N 其中每一项的系数c i 的表达式如下： 1102110) ,,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅=- 根据i c 以上公式，计算的步骤如下： ⎪⎪ ⎪⎩⎪ ⎪⎪ ⎨⎧⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----) ,,,,(1) ,,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算
多项式插值和三次样条插值
已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量,用多项式插值和三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线的图形, 试计算并比较在不同方法下的2005 思想算法：多项式插值采用牛顿多项式插值法，该算法可以克服多项式插值和拉格朗日插值法的缺点，即：当用已知的n+1个数据点求出插值多项式后，又获得了新的数据点，要用它连同原有的n+1个数据点一起求出插值多项式，从原已计算出的n次插值多项式计算出新的n+1次插值多项式是很困难的，必须全部重新计算。而牛顿插值法可以克服这一缺点。 三次样条插值不仅在节点增多使子区间减少时，误差随之减少，也使曲线具有足够的光滑性。 Matlab程序如下 程序一：牛顿插值法 源程序名称Newton.m clear all; x=0:10:110; y=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.50 5,251.525,291.854,325.433]; n=length(x);syms t; for k=2:n for i=n:-1:k y(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-k+1)); end; end; N=y(1); for i=2:n W=1; for j=1:(i-1) W=W*(t-x(j));
end; N=N+y(i)*W; end; N=expand(N); ezplot(N,[0,120]); hold on; format short; Q=[]; for i=0:120 Q(i+1)=subs(N,t,i); end; T=0:120; plot(T,Q,'^'); title('产量随时间变化曲线'); xlabel('T/时间'); ylabel('Q/产量'); N105=subs(N,t,105); N115=subs(N,t,115); 程序二：三次样条插值 源程序名称SPLINEM.m clear all; x=0:10:110; y=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.50 5,251.525,291.854,325.433]; n=length(x);syms t; for i=1:n p(i)=y(i); end; for k=2:3 for i=n:-1:k p(i)=(p(i)-p(i-1))/(x(i)-x(i+1-k)); end; end; h(2)=x(2)-x(1); for i=2:(n-1) h(i+1)=x(i+1)-x(i); c(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1)); a(i)=1-c(i); b(i)=2; p(i)=6*p(i+1); end; p(1)=0;p(n)=0;c(1)=0;b(1)=2;b(n)=2;a(n)=0;
利用三次样条插值提高自准直仪的准确度(学院 专业 学号)剖析
利用三次样条插值提高自准直仪的准确度 摘要：为了提高自准直仪的准确度，利用三次样条插值法对CCD 像元进行细分，并利用直线边缘拟合法检测图像边缘．实验采取独立的测量手段，将自准直仪的实际转角和算法计算得到的角度值进行比较，分析其准确度．实验结果表明，该方法能明显提高自准直仪的准确度，准确度达到0.1角秒． 关键词：CCD 细分；边缘定位准确度；三次样条插值；直线边缘拟合；自准直仪 0. 引言 自准直仪是一种精密角度测量仪器，在实现小角度的多维、非接触测量中具有独特的优点，广泛应用于导轨平台的直线度、精密平台的平面度等测量领域．电荷耦合器件CCD 的出现，为自准直仪的发展开辟了新的方向，CCD 光电自准直仪把CCD 作为光电标尺，利用分划板的刻线在CCD 像面上的位置变化进行测量．摆脱了原有自准直仪跟踪零位的方法，无需机械或伺服跟踪，降低了人为读数误差，具有传统光学自准直仪无法比拟的优势．本文利用三次样条插值法对CcD 像元进行细分，并利用直线边缘拟合法检测图像边缘，从而提高CCD 光电自准直仪的测量准确度. 1. CCD 光电自准直仪原理 一个位于准直透镜后部焦平面上被照亮的目标被投射到无穷远，并由反射镜反射，反射回来的光波由一个光感接收器接收，见图1．自准直仪光轴与反射镜角度之间的微小变化会引起一个偏差，此偏差能被仪器非常精确的测定．假设此偏差为△y ，准直透镜的焦距为f ，根据光路计算可得，反射镜转过小角度的计算公式为 f Y a 2arctan ∆= (1) 由式(1)可以看出，所求角度的分辨率和线阵CCD 上测得的偏差△y 和焦距有关．为了使光学系统成像质量较高，仪器小型化，使用携带方便等原因，一般焦距选择在300～500 mm 之间．在不考虑焦距影响的情况下(认为实验时对焦准确，物镜成像质量好)，CCD 的分辨率成了影响角度分辨率的关键因素，由于CCD 像元
关于三次样条插值函数的学习报告
关于三次样条插值函数的学习报告 三次样条插值函数是一种常用的插值方法，它利用多项式函数的特性 来逼近一组数据点，并且具有较高的精度和平滑性。本学习报告将对三次 样条插值函数进行详细介绍，并探讨其在实际应用中的优缺点。 首先，三次样条插值函数的数学表达式可以表示为： S(x) = \sum_{i=0}^n {a_i(x-x_i)^3 + b_i(x-x_i)^2 + c_i(x-x_i) + d_i} 其中，n是数据点的数量，a_i、b_i、c_i、d_i是通过求解一系列方 程得到的系数。这些方程的目标是使得插值函数在每个数据点之间的一阶 和二阶导数连续。 对于每个区间[x_i,x_{i+1}]，我们可以得到一个关于未知系数a_i、b_i、c_i、d_i的线性方程组。通过求解这些方程组，我们可以确定插值 函数在每个区间的系数。最终，我们得到一个全局的三次插值函数，它在 整个插值区域内都具有较高的拟合精度。 三次样条插值函数的优点之一是它可以通过调整插值区间的数量来灵 活控制插值的精度。当插值区间数量增加时，插值函数与原始数据点之间 的误差会减小，从而获得更精确的插值结果。另外，三次样条插值函数还 具有较好的平滑性，能够克服其他插值方法中可能出现的震荡现象，使得 插值函数更加平滑。 然而，三次样条插值函数也存在一些缺点。首先，它对于数据点分布 较为密集的情况下，有时会出现振荡现象，导致插值函数不够平滑。其次，三次样条插值函数在插值区间的两个端点附近可能无法很好地逼近原始数据。这是因为在每个区间的端点处，插值函数需要满足特定的边界条件，
通常是一阶或二阶导数为零。这种约束可能导致插值函数在端点处的拟合程度较低。 为了解决上述问题，可以使用更高阶的样条插值函数，如五次样条插值函数。五次样条插值函数通过增加插值函数的阶数，以获取更高的拟合精度和平滑性。此外，还可以尝试使用其他插值方法，如非均匀插值、基函数插值等，以应对不同的插值需求。 总结来说，三次样条插值函数是一种精度较高且平滑的插值方法，具有较好的数学属性。然而，它也存在一些问题，如在数据点分布较密集和端点处的拟合效果较差。在实际应用中，我们应根据具体需求选择合适的插值方法，并结合数据分析和实验结果进行评估和优化。
基于三次样条插值的车辆行驶数据分析
基于三次样条插值的车辆行驶数据分析 在实际的道路行驶中，不同的车辆会产生不同的行驶数据。借助于现代计算机技术，我们可以对这些数据进行分析，以便更好地了解车辆的行驶特点和性能状况。在车辆行驶数据分析中，三次样条插值是一种常用的分析方法。 三次样条插值是指利用多项式曲线来拟合一组数据点，并且保证曲线处处光滑，整个过程需要满足以下条件： 1. 曲线经过所有给定的数据点。 2. 曲线在相邻数据点间呈现连续性。 3. 曲线的一阶和二阶导数在数据点处呈现连续性。 三次样条插值可以对车辆行驶数据进行拟合和预测，并可以用于判断车辆的行驶状态和性能特点。例如，可以利用三次样条插值来分析车辆的速度、油耗、加速度等指标的变化情况，并进一步判断车辆的整体状况。 在对车辆行驶数据进行分析时，需要先将原始数据转换为数学模型。通常情况下，车辆行驶数据可以表示为一组有序的数据点，例如时间和位置、速度、燃油消耗等指标。为了进行三次样条插值，需要先将数据点离散化，并将不同组数据点之间的曲线拟合成一段三次函数。通过三次函数的求解，可以得出不同指标的变化情况，并进一步分析车辆的行驶状态。 需要注意的是，在进行三次样条插值时，需要对数据进行抽样和分段处理。这样可以确保插值的准确性和稳定性。同时，在
进行插值计算时，需要考虑到误差因素的影响并进行修正。例如，可以利用加权平均法等方法对数据进行平滑处理，从而避免干扰数据的影响。 总体而言，三次样条插值是一种非常灵活、高效的数据分析方法，可以用于对车辆行驶数据进行拟合、预测和分析。在实际应用中，还需要结合其他方法和指标进行综合评估，从而更加全面地了解车辆的行驶状况和性能特点。除了三次样条插值，还有其他的数据拟合方法可以用于车辆行驶数据分析，例如线性拟合、多项式拟合等。这些方法各有优缺点，在具体应用中需要根据实际需求和数据特点进行选择。 在应用三次样条插值进行车辆行驶数据分析时，需要考虑到不同的业务场景和需求。例如，在车辆安全性能评估中，可以利用三次样条插值对车速、加速度等指标进行拟合和预测，进一步评估车辆的稳定性和安全性。而在车辆能耗评估中，则需要对油耗、速度等指标进行分析和拟合，并结合其他因素进行加权评估，从而得出合理的能耗结果。 总之，三次样条插值是车辆行驶数据分析中非常有用的工具，可以用于拟合、预测和分析车辆的不同行驶指标。在具体应用中，需要结合实际需求和数据特点，选取合适的插值方法，从而得出准确、可靠的分析结果。同时，在进行数据分析时，还需要注意到数据处理的精度、误差修正等因素，以确保分析结果的准确性和可靠性。除了使用三次样条插值来进行车辆行驶数据分析，还可以采用其他的数据拟合方法。其中，线性拟合是一种简单但是高效的方法，它适用于数据呈现线性关系的情
第二类边界条件三次样条插值实验报告
数值计算实验—实验报告2 一、实验项目：第二类边界条件三次样条插值 二、实验目的和要求 a.通过本实验深入地理解三次样条插值多项式的基本原理 b.通过数值算例更好的领会三次样条插值多项式具有较高的准确性 三、实验内容 1.用调试好的程序解决如下问题： 点中点处的函数值，并将计算结果与sinx在相应点的数值相比较。 n=8; p1=0.4794; pn=0.9463; u=[0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8]; p=7; x=[0.5,0.7,0.9,1.1,1.3,1.5,1.7,1.9]; y=[0.4794,0.6442,0.7833,0.8912,0.9636,0.9975,0.9917,0.9463]; for i=1:n-1 h(i)=x(i+1)-x(i); end a2(1)=1; g(1)=3*(y(2)-y(1))/h(1)-p1*h(1)/2; for k=2:n-1 a1(k-1)=h(k)/(h(k)+h(k-1)); a2(k)=h(k-1)/(h(k)+h(k-1)); g(k)=3*a2(k)*(y(k+1)-y(k))/h(k)+3*a1(k-1)*(y(k)-y(k-1))/h(k-1); end a1(n-1)=1; g(n)=3*(y(n)-y(n-1))/h(n-1)+pn * h(n-1)/2; %追赶法求三转角方程 b1(1)=2;
m(1)=g(1)/2; b2(1)=a2(1)/b1(1); for i=2:n b1(i)=2-a1(i-1)*b2(i-1); if(i~=n) b2(i)=a2(i)/b1(i); end m(i)=(g(i)-a1(i-1)*m(i-1))/b1(i); end for i=n-1:-1:1 m(i)=m(i)-b2(i)*m(i+1); end for j=1:p for i=1:n if((u(j)>=x(i))&&(u(j) 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 1. 算法原理 由于在许多实际问题中，要求函数的二阶导数连续，人们便提出了三次样条插值函数，三次样条插值函数是由分段三次函数拼接而成的，在连接点处二阶导数连续。 设 S(x)在节点 i x 处的二阶导数) ,1,0()(''n i M x S i i ，⋯⋯==，其中i M 为待定参数。由S （x ） 是分段三次多项式可知， ) (''x S 是分段线性函数， ) (''x S 在子区间[] i i x x ,1 -上可以表示为 i i i i i i i i i i i i i i i i x x x M h x x M h x x M x x x x M x x x x x S ≤≤-+-=--+--= -------11 11111,)('' 其中1 --=i i i x x h ，对S （x ）两端积分两次得 ()i i i i i i i i i i i i x x x x x c x x b M h x x M h x x x S ≤≤-+-+-+-=-----111 113),(6)(6)()( 其中 i b 和 i c 为积分常数。由插值条件 ()i i i i y x S y x S ==--)(,11得 i i i i i i i i i i y h c M h y h b M h =+=+--6 ,62 112 由此解得 i i i i i i i i i i h M h y c h M h y b /6,/62 121⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-- 代入得： ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----n n n n n n d d d d M M M M 1101101111212212 λμλμ，该方程组的系数矩阵是严格三对角占优矩阵，可用追赶法求解。 （3）第三种边界条件：周期型边界条件。已知()x f y =是以0 x x a b T n -=-=为周期的周期函数，则 由周期性可知，1 1110110,,,h h M M M M y y y y n n n n n =====+++，，这时将点n x 看成是内节点，则有n n n n n n d M M M =+++-11 2λμ， 也即 n n n n n d M M M =++--1112μλ，其中 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---+=-n n n n n n h y y h y y h h d 11116，方程 组第1个方程为：1 2111 2d M M M n =++λμ，所以方程组为 ⎪⎩⎪ ⎨⎧-⋯⋯==++=++=++-+-1,3,2,22211 111 1211n i d M M M d M M M d M M M n n n n n i i i i i i n ，μλλμμλ，用矩阵表示为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----n n n n n n n n d d d d M M M M 121121112211 2222 μλλμλμμλ，显然系数矩阵为严 格对角占优矩阵，可用LU 分解法求解。 （1）用tan x 表格直接计算tan 5。 （2）用sin 5和cos 5来计算tan 5。并讨论这两个结果中误差变化的原因。 插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 1 插值方法 下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插 值、Hermite 插值和三次样条插值。 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式 用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数 ()f x 在区间[],a b 上1n +个不同点01,,,n x x x 处的函数值 ()()0,1, ,i i y f x i n ==，求一个至多n 次多项式 ()01n n n x a a x a x ϕ=++ +（1） 使其在给定点处与()f x 同值，即满足插值条件 ()()n i i i x f x y ϕ==（2） ()n i x ϕ称为插值多项式，()0,1,,i x i n =称为插值节点，简称节点，[],a b 称为插 值区间。从几何上看，n 次多项式插值就是过1n +个点()()(),0,1,,i i x f x i n =， 作一条多项式曲线()n y x ϕ=近似曲线()y f x =。 n 次多项式（1）有1n +个待定系数，由插值条件（2）恰好给出1n +个方程 01000 01111 01n n n n n n n n n a a x a x y a a x a x y a a x a x y ⎧+++=⎪ +++=⎪⎨⎪ ⎪+++=⎩（3） 记此方程组的系数矩阵为A ，则 ()0 1111det 1n n n n n x x x x A x x = 是范德蒙特(Vandermonde)行列式。当01,,,n x x x 互不相同时，此行列式值不为 零。因此方程组（3）有唯一解。这表明，只要1n +个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。 插值多项式与被插函数之间的差 ()()()n n R x f x x ϕ=- 称为截断误差，又称为插值余项。当()f x 充分光滑时， ()()()()() ()()()11,,1! n n n n f R x f x L x x a b n ξωξ++=-= ∈+ 其中()()10 n n j j x x x ω+==∏-。 1.1.2 拉格朗日插值多项式 实际上比较方便的作法不是解方程（3）求待定系数，而是先构造一组基函数 ()()()()()()()()() () 0110110,0,1,,i i n i i i i i i i n n j j i j j i x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x i n x x -+-+=≠----= -----=∏ =- ()i l x 是n 次多项式，满足 ()0 1i j j i l x j i ≠⎧=⎨ =⎩ 令 ()()000 n n n j n i i i j i i i j j i x x L x y l x y x x ===≠⎛⎫ - ⎪==∏ ⎪-⎝⎭ ∑∑（4） 上式称为n 次 Lagrange 插值多项式，由方程（3）解的唯一性，1n +个节点的n 次Lagrange 插值多项式存在唯一。 1.1.3 用Matlab 作Lagrange 插值 Matlab 中没有现成的Lagrange 插值函数，必须编写一个M 文件实现Lagrange 插值。 设n 个节点数据以数组0,0x y 输入，m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为 数值计算方法期末论文 ————同等要求下三次样条插值法与最小二值法的分析及比较。 引言 在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据.插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合程度.如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过已知的所有数据点，则称此类问题为插值问题。 当所给的数据较多时，用插值方法所得到的插值函数会很复杂，所以，通常插值方法用于数据较少的情况.但数据一般都是由观测或试验得到的，往往会带有一定的随机误差，因而，要求近似函数通过所有的数据点也是不必要的.如果不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反应数据的整体变化趋势，则解决这类问题的方法称为数据拟合. 插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。 本文由具体题目为基础，主要论述了在同等要求下三次样条插值法与最小二值法的分析及比较。 关键词：数值计算方法、三次样条插值法、最小二值法 目录 引言--------------------------------------------------- 2 第一章三次样条插值------------------------------------ 4 1.1三次样条插值函数--------------------------------- 4 1.2 分段线性插值------------------------------------ 5 1.3插值理论----------------------------------------- 6 第二章最小二乘法--------------------------------------- 7 2.1 线性最小二乘拟合法------------------------------ 7 2.2 一般线性最小二乘拟合法--------------------------- 8 2.3非线性最小二乘拟合法------------------------------ 9 第三章算法对比与实现------------------------------------ 10 3.1对比实例一---------------------------------------- 10 3.2对比实例二---------------------------------------- 11 3.3结果及分析---------------------------------------- 15 第四章总结---------------------------------------------- 16 第三章 样条插值和曲线拟合 1．x y = 有如下的函数表 8。 解 先作差商表 4 167 1210 13 9 3 42015 11008 16012 4 60 13 1611 1 10 0-⨯- -- 故：8.2)48(5 1 2)8(1=-+=p 819047619.2) 98)(48(210 1 )48(512)8(2=----+=p 844444.2)98)(48)(18(3 4201) 48)(18(601 )18(311)8(3=---⨯+----+=p 6222.2)1(4781008 1478601) 18(86 1 )08(10)8(4=-⨯⨯⨯-⨯⨯+---⨯+=p 已知 828427.28=，因此选定 )8(,16,9,42321p x x x ===最接近8。 利用Neville 方式得: xi 8-xi f(xi) 0 8 8 1 7 1 -1. 4 4 2 9 -1 3 16 -8 4 f(8)= xi 8-xi f(xi) 8 8 1 7 1 -1 1/3 3 1/3 2 2/5 4 4 2 2 13/15 2 28/45 2 4/5 2 38/45 9 -1 3 2 86/105 2 6/7 16 -8 4 已知 828427.28=，应选定)8(,16,9,4 p x x x ====最接近8. 1 11 01 20 1 01 1 12 12 1 343 43 42 121------ 因此：)())(1())(1()1(1)(21213421344-++-++++-=x x x x x x x x x p ，故：21 214)(=p 。 （2）假设采纳分段插值，那么在],0[21 上，x x f x f x L =--+--=00)(0)0()(2 1 212121，因此： )()()(21 42121 21p f L ===，结果一样。 3．解 （1）假设记L (x )为tgx 在[] 44,π π-上的分段线性插值函数，那么 ],[,8 )()(12 2+∈≤ -=i i x x x h M x L tgx x R 其中[]4max ,2=''=-∈x g t M x π π，欲使42 22102 18)()(-<≤≤-=h h M x L tgx x R ，故 014142.01022=⨯<-h （2）若是采纳分段二次插值，假设)(2x L 为tgx 在[]44,ππ-上的分段二次插值函数，那 么 ] ,[,3121 6))()((!3)()()(13312 12+++∈≤---'''≤ -=i i i i i x x x h M x x x x x x f x L tgx x R ξ其中[]16max 44,3='''=-∈x g t M x π π，欲使432103 121 616)()(-<≤-=h x L tgx x R ，应使： 解：假设对在44π π顶用等距分段Hermite 3次插值， 那么在每一个小区间1+i i 上，由第二章定理8知： 1212)4(3,)()(! 4) ()(++≤≤--= -i i i i x x x x x x f x H tgx ξξ 由于x x x x x tg 5 33)4(cos sin 24cos sin 16)(+=，因此在[]44,π π-上，三次样条插值
插值及其误差
三次样条插值法与最小二值 法的分析及比较
3样条插值与曲线拟合