(完整版)一元二次方程拓展训练试题
北京十一学校初二数学培优讲义——一元二次方程
班级____________姓名____________
一、解法综合
1．关于x 的方程02=++q px x 与02=++p qx x 有一个公共根，则()2
q p +的值是____________． 2．若方程0622=+-kx x 的两个根为素数，则=k ____________．
3．设a b c 、、为ΔABC 的三边，且两个方程：2220x ax b ++=和2220x cx b +-=有一个公共根，证明ΔABC 一定是直角三角形．
4．解方程：16252736
x x x x x x x x +++++=+++++. 5．设x a y b =??=?是方程组223515x y y mx ?+=?=?的解；x c y d =??=?是方程组223515350x y x my ?+=?-=?
的解，求证：2222d c b a +++是与m 无关的定值．
6．对于任意实数k ，方程()()2
2221240k x a k x k k b +-++++=总有一个根是1，试求实数a b ，的值及另一个根的范围．
7．解方程：()2
22160x x --=
8．解方程：((2130x x +-++= 9．解方程：()()()
2222223211x x a x b ab x --+-=+
10．解方程：()210abx a b x ---= 11．解方程：222320x bx a ab b --++=
12．02)1(3122=-+-+x x x
x 13．135322+=+--x x x x
14．23152x x ++=
151=
16．已知关于x 的方程0483222=-+--m m mx x ．
（1）求证：当2m >时，原方程总有两实数根．
（2）若原方程的两根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围．
二、判别式的应用
1．已知方程220x x m --=没有实数根（m 为实数），则关于x 的二次方程
()()
222212110x mx m x +++-+=的根的情况是（ ）
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）无实数根 （D ）无法确定
2．已知方程220x x m --=没有实数根，其中m 是实数．试判定方程()2210x mx m m +++=有无实数根．
3．已知常数a 为实数，讨论关于x 的方程()()22210a x a x a -+-++=的实数根的个数情况．
4．关于x 的一元二次方程()22104a x --+=有实根，其中a 是实数，求9999a x +的值． 5．若方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，求a b ，的值．
6．△ABC 的一边长为5，另两边长恰是方程22120x x m -+=的两个根，求m 的取值范围．
7．x y ，为实数，且满足221
x y x x =++，求y 的最大值和最小值． 8．如果关于x 的方程()22250mx m x m -+++=没有实根，那么关于x 的方程
()()25220m x m x m --++=的实根个数为 （ ）
（A ）2个 （B ）1个
（C ）0个 （D ）不确定
9．已知关于x 的方程()()2
22110m x m x m ---++=有实数根，求m 的非负整数值． 10．若关于x 的方程2230ax ax --=有实数根，求a 的取值范围．
三、根与系数的关系
1．设12x x ，是方程0322=+-m x x 的两个根且72821=-x x ，则m 为（ ）
A ．1
B ． 2
C ．-1
D ．０
2．若12x x ，是方程224(35)60x m x m ---=的两根且2123x x -
=，则m 的值为（ ） A ． m =5 B ．m =１ C ．m =1或m =5 D ．m =０
3．已知21,x x 是方程20x px q ++=的两个根，且1(5)x -，2(5)x -是方程20x qx p ++=的两个根，则p q +的值为（ ）
A ．-3
B ．-4
C ．3
D ．4
4．关于x 的方程231504x x a -
+=的解的一个根是另一个根的平方，则实数a 的值是（ ） A 、25-=a B 、23=a C 、2
325或-=a D 、0=a
5．若方程0342=-+-m x x 的一个根大于2，另一个根小于2，则m 的取值范围是（ ）
A 、1- B 、1->m C 、1 D 、1>m 6．若12x x ，是方程0352=+-x x 的两根，则以12x x +， 2122x x +为两根的新方程为_______． 7．关于x 的一元二次方程2251x x m -=-有实根a 和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m 的取值范围．（答 案22 m -<<） 8．关于x 的方程250x mx m -++=的两个实数根为α，β，()2811570x m x m -+++=的两个实数根 为α，γ，求112+βγα的值． 9．方程()2 19981997199910x x -?-=的大根为a ，方程2199819990x x +-=的小根为b ，求a b -的值． 10．设方程24230x x --=的两个根是α和β，求4α2＋2β的值． 11．已知α，β分别是方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值． 12．已知12x x 、是方程24440ax ax a -++=的两个实根． （1）是否能适当选取a 的值，使得()()122122x x x x --的值等于54？（2）求使222112 x x x x +的值为整数的a 的值（a 为整数）． 13．设12x x 、是方程230x x +-=的两根，那么3212419x x -+的值是（ ） （A ）-4 （B ）8 （C ）6 （D ）0 14．如果m n ，是两个不相等于的实数，且满足122=-m m ，122=-n n ，那么代数式 =+-+199944222n n m ． 15．已知2550p p --=，25210q q +-=其中p q ，为不相等实数，求221q p +的值． 四、关于方程的整数根 1．设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，则 m =____________． 2．已知关于x 的方程()2222 38213150a x a a x a a --+-+=（其中a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值．（答案135a =、、） 3．已知关于x 的方程()260x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．（答案016a =、） 4．已知k 为整数，且关于x 的方程() ()221331180k x k x ---+=有两个不相同的正整数根，求k 的值． 6．已知a 是实数，且关于x 的方程x2-ax+a=0有两个实根u ，v ，求证：u2+v2≥2(u+v) 例5 △ABC 的一边长为5，另两边长恰是方程 2x 2-12x+m=0 的两个根，求m 的取值范围． 一元二次方程概念与解法测试题 姓名： 得分： ⑤2 2230x x x +-=；⑥x x 322 +=；⑦231223x x -+= ；是一元二次方程的是 。 3．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A .2(2)210m x x ---= B .2530k x k ++= C 21203x --= D.22 340x x +-= 4、已知关于x 的一元二次方程5)12(2 =+--a x a x 的一个解为1，则a= 。 5．方程22(4)(2)310m x m x m -+-+-=，当m = 时，为一元一次方程； 当m 时，为一元二次方程。 6．已知关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，则m = 。 8、2 2 ___)(_____6+=++x x x ； 2 2 ____)(_____3-=+-x x x 9、方程0162 =-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ; 10、如果二次三项式16)122 ++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________. 11、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）； A 、02 =++c bx ax B 、 2112 =+x x C 、122 2-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x 12、方程()()2 4330x x x -+-=的根为（ ）； （A ）3x = （B ）125x = （C ）12123,5 x x =-= （D ）1212 3,5x x == 13、解下面方程：（1）()2 25x -=（2）2320x x --=（3）2 60x x +-=，较适当的方法分别为（ ） （A ）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B ）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法 （C ）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D ）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法 14、方程5)3)(1(=-+x x 的解是 （ ）； A. 3,121-==x x B. 2,421-==x x C. 3,121=-=x x D. 2,421=-=x x 15、方程0322 =-+x x 的两根的情况是（ ）； A 、没有实数根； B 、有两个不相等的实数根 C 、有两个相同的实数根 D 、不能确定 16、一元二次方程0624)2(2 =-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于 （ ） A. 6- B. 1 C. 6-或1 D. 2 . . . 一元二次方程测试题 考试范围：一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x（x﹣2）=3x的解为（） A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（） A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣ 1）2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12 C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17 5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（） A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（） A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210 7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（） A ．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（） A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1 9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（） A．7 B．11 C．12 D．16 一元二次方程的特殊解法举例 解一元二次方程并不是中考单独考查的重点，但它是解题的工具，许多题目都要用到它。熟练掌握解一元二次方程的方法，做到解题快速、准确，是提高成绩必不可少的。常规的公式法等这里不再赘述，只对有些特殊方程特殊解法做一些介绍。 一、当方程含未知数的项与完全平方式相近并且系数较大时，常采用配方法解这个方程。 例1 解方程x 2－12x=9964。 分析：此题常数项绝对值较大，因数较多，采用因式分解法、公式法都不简便，应考虑配方法。 解：原方程即x 2－12x ＋36=10000，(x －6)2=1002。 两边开方，得x －6=±100，即x 1=106，x 2=－94。 二、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的系数满足a ±b ＋c=0时，x=±1是方程的根，这时可先将方程左端分解出因式x=±1。 例2 解方程9406x 2－8289x －1117=0。 分析：这个方程各项系数的绝对值都比较大，用公式法解计算量很大。仔细观察原方程，发现各项系数的和为零，故方程有一根为1。因此方程左边可分解为(x －1)(9406x ＋1117)，则另一根为x=－9406 1117。 解：观察可知方程有一根为1，则。 ∴ x 1=1，x 2=－ 94061117。 三、当二次项系数比较复杂时，常将二次项系数化为1或化为完全平方数。 例3 解方程169x 2－39x －2=0。 分析：这个方程的二次项169x 2=(13x)2，一次项－39x=－3(13x)，故可将13x 整体解出。 解：原方程即 (13x)2－3·(13x)－2=0。 解得 13x=2173+或13x=2 173-。 ∴ x 1=26173+，x 2=26 173-。 例4 解方程6x 2＋19x ＋10=0。 解：将原方程两边同乘以6，得到 (6x)2＋19·(6x)＋60=0。 解得 6x=－15或6x=－4。 ∴ x 1=－25，x 2=－3 2。 四、对于广义的“一元二次方程”，可采用换元法求解。 例5 解方程x x x ++2226＋62422++x x x =3。 解：令x x x ++2226=t ，则原方程转化为t ＋t 2=3，即t 2－3t ＋2=0。解得t 1=2，t 2=1。 第六章 一元二次方程 第19讲 一元二次方程的解法 【思维入门】 1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2－3x ＋2＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．x 2＋3x ＋2＝0 2．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( ) A.? ?? ??x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.? ?? ??x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.? ?? ??x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.? ?? ??x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为____． 4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝____． 5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝____． 6. 先化简，再求值：(x －1)÷? ?? ??2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根． 【思维拓展】 7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2， 则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为 ( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1 B ．x 1＝0，x 2＝5 C ．x 1＝－3，x 2＝5 D ．x 1＝－6，x 2＝2 8．定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3 ＋5.若x ★2＝6，则实数x 的值是____． 9．关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0. (1)求出方程的根； (2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 一元二次方程测试题 （时间120分钟满分150分） 一、填空题:（每题2分共50分） 1.一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2+1 化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。 2.若m是方程x2+x－1＝0的一个根，试求代数式m3+2m2+2013的值 为。 3.方程 是关于x的一元二次方程，则m的值为。 4.关于x的一元二次方程 的一个根为0，则a的值为。 5.若代数式 与 的值互为相反数，则 的值是。 6.已知 的值为2，则 的值为。 7.若方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。 8.已知关于x的一元二次方程 的系数满足 ，则此方程必有一根为。 9.已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是。 10.设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则 = 。 11.已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是。 12.若 ，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围 是。 13.设m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则m2＋4m＋n ＝。 14.一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a= 。 15.若关于x的方程x2+（a﹣1）x+a2=0的两根互为倒数，则a= 。 16.关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与 有一个解相同，则a= 。 17.已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③ ．则正确结论的序号是．（填上你认为正确结论的所有序号） 18.a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足 +(b－2)2+|a+b+c|=0，满足条件的一元二次方程是。 19.巳知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a+b－2）+ab的值等于____． 20.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为． 21.已知分式 ，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有个． 22.设x1、x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两个实根，且 ，则a= 。 23. 方程 的较大根为r，方程 的较小根为s，则s-r的值为。 一元二次方程测试题 考试范围： 一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x （x ﹣2）=3x 的解为（ ） A ．x=5 B ．x 1=0，x 2=5 C ．x 1=2，x 2=0 D ．x 1=0，x 2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．3x 2﹣2x=3（x 2﹣2） C ．x 3﹣2x ﹣4=0 D ．（x ﹣ 1）2+1=0 3．关于x 的一元二次方程x 2+a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．1或﹣1 D ．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．12（1+x ）=17 B ．17（1﹣x ）=12 C ．12（1+x ）2=17 D ．12+12（1+x ）+12（1+x ）2=17 5．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8cm ，BC=6cm ．动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动．下列 时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm 2的是（ ） A ．2秒钟 B ．3秒钟 C ．4秒钟 D ．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（ ） A ．x （x+12）=210 B ．x （x ﹣12）=210 C ．2x+2（x+12）=210 D ．2x+2（x ﹣12）=210 7．一元二次方程x 2+bx ﹣2=0中，若b ＜0，则这个方程根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有一正根一负根且正根的绝对值大 C ．有两个负根 D ．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x 1，x 2是方程x 2+x+k=0的两个实根，若恰x 12+x 1x 2+x 22=2k 2成立，k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．或﹣1 C ． D ．﹣或1 9．一元二次方程ax 2+bx+c=0中，若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则这个方程根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有两个负根 C ．有一正根一负根且正根绝对值大 D ．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M ：ax 2+bx+c=0；N ：cx 2+bx+a=0，其中a ﹣c ≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ） A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根 B ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同 C ．如果5是方程M 的一个根，那么是方程N 的一个根 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ） A ．7 B ．11 C ．12 D ．16 1.在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当A C ⊥B D 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 4.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．． 的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果A D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 5.（2007德州）如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ） A ． B ． C ． D ．8 6.（2008潍坊）如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 232057 x +-= 9.下列方程中,常数项为零的是 ( ) D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ ＢＥ Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ A D 一元二次方程测试题 （时间 120分钟满分150分） 一、填空题:（每题2分共50分） 1.一元二次方程(1－3x )（x +3）=2x 2 +1 化为一般形式为: ，二次项系数 为： ,一次项系数为： ，常数项为： . 2.若m 是方程x 2 +x －1＝0的一个根，试求代数式m 3 +2m 2 +2013的值为 。 3.方程 ()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 4。关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 5.若代数式5242 --x x 与122 +x 的值互为相反数，则x 的值是 。 6.已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 7。若方程()112 =?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值围是 。 8。已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 9。已知关于x 的一元二次方程x 2 +bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 。 10.设x 1，x 2是方程x 2 ﹣x ﹣2013=0的两实数根，则 = . 11。已知x=﹣2是方程x 2 +mx ﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 。 12.若，且一元二次方程kx 2 +ax+b=0有两个实数根，则k 的取值围 是 . 13.设m 、n 是一元二次方程x 2 ＋3x －7＝0的两个根，则m 2 ＋4m ＋n ＝ 。 14.一元二次方程（a+1）x 2 -ax+a 2 -1=0的一个根为0，则a= 。 15.若关于x 的方程x 2 +（a ﹣1）x+a 2 =0的两根互为倒数，则a = 。 16。关于x 的两个方程x 2 ﹣x ﹣2=0与有一个解相同，则a = . 17.已知关于x 的方程x 2 ﹣（a+b ）x+ab ﹣1=0,x 1、x 2是此方程的两个实数根，现 给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③．则正确结论的序号 是 ．（填上你认为正确结论的所有序号） 一元二次方程测试 姓名学号 一、选择题(每题 3 分,共 30 分)： 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是 ( ) A.(a-3)x 2 =8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 3x2 3 x 2 0 57 2 下列方程中 , 常数项为零的是 ( ) A.x 2+x=1 B.2x 2 -x-12=12 ； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 3. 一元二次方程2x2 -3x+1=0 化为 (x+a) 2=b 的形式 , 正确的是( ) 2 2 1 ;C. 2 1 ; A. x 3 16; B. 2 x 3 x 3 2 4 16 4 16 D.以上都不对 4. 关于x的一元二次方程 a 1 x2 x a2 1 0 的一个根是 0，则 a 值为（） A、 1 B 、 1 C 、1或 1 D 、1 2 5.已知三角形两边长分别为2 和 9, 第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根 , 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2 8x 7 0 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（） A、 3 B 、3 C 、6 D 、9 7. 使分式 x 2 5x 6 的值等于零的 x 是( ) x 1 A.6 B.-1 或 6 C.-1 D.-6 8.若关于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有实根 , 则 k 的取值 范围是 ( ) A.k>- 7 B.k ≥ - 7 且 k ≠ 0 C.k ≥ - 7 D.k> 7 4 4 4 且 k≠ 0 4 9. 已知方程x2 x 2 ，则下列说中，正确的是（） （A）方程两根和是 1 （B）方程两根积是 2 （C）方程两根和是 1 （D）方程两根积比两根和大2 10.某超市一月份的营业额为200 万元, 已知第一季度的总营业 额共 1000 万元 , 如果平均每月增长率为 x, 则由题意列方程应 为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+ (1+x) 2]=1000 1 中考数学压轴题破解策略专题1《一元二次方程的特殊根》 破解策略 1．一元二次方程的有理根 关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）存在有理根的条件 为：b 2－4ac 是一个有理数的平方． 解决一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）的有理根问题时，一般 的解题策略有： （1）利用“判别式的取值范围”解题 ①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，求出判别式； ②根据已知条件得待定系数的取值范围，再求出判别式的取值范围，筛选出其中为有理数的平方的数； ③求出待定系数的可能取值，并检验． （2）利用“判别式是一个有理数的平方”解题 ①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，将方程的系数整数化，求出判别式； ②将判别式写成△＝M 2－t 的形式（M 为关于待定系数的整式，t 为整数），设M 2－t ＝ m 2（m 为非负有理数） ③可得（Ｍ＋m ）（Ｍ－ｍ）＝t ，解此不定方程； ④求出待定系数的可能取值，并检验． ２．一元二次方程的整数根 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）而言，方程的根为整数 且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件． 解决方程ax 2＋bx ＋c ＝0的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是 一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题． （1）利用“根与系数的关系”解题 ①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，利用根与系数的关系求出两根的和与积； ②将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）； ③由分式的结果一定为整数，根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值； （2）利用“因式分解”解题 ①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，将方程化为（m 1x ＋n 1）（m 2x ＋n 2）＝0的形式； ②求出方程的两根，x 1＝11m n -和x 2＝2 2m n -； ③利用分离常量的方法，将11m n -，2 2m n -变成一个常数与一个分式的和； ④根据整除的性质，得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值； ⑤将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果． 需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数． 3．分离常量 在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量，所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如： ①1 31131113112+-=+-++=+-+=+-m m m m m m m m ； 一元二次方程竞赛训练题 1．方程k k k x k x (02)13(722 =--++-是实数)有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2， 那么k 的取值范围是（ ） （A ）3＜k ＜4； （B ）－2＜k ＜－1； （C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解。 2．方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a 3．方程012=--x x 的解是（ ） （A ） 251±； （B ）251±-；（C ）251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 4．已知关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么， =+a c b 32 ． 5．若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42 -=?与平方式20)2(b ax M +=的关系是 ( ) (A)?>M (B)?=M (C)? 第二章 一元二次方程单元综合测试题 一、填空题（每题2分，共20分） 1．方程1 2 x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21 x －2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5） 12 x 2 =0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果21x －2x －8=0，则1 x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________． 7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________． / 8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形_________ 原方程的根为________． 9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________（写一个即可）． 10．代数式1 2 x 2+8x+5的最小值是_________． 二、选择题（每题3分，共18分） 11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）． A ．a=b=c B ．一根为1 C ．一根为－1 D ．以上都不对 12．若分式226 32 x x x x ---+的值为0，则x 的值为（ ）． A ．3或－2 B ．3 C ．－2 D ．－3或2 13．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）． # A ．－5或1 B ．1 C ．5 D ．5或－1 14．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为（ ）． A ．（x+2）（x+3） B ．（x －2）（x －3） C ．（x －2）（x+3） D ．（x+2）（x －3） 更多精品文档 一元二次方程测试题 考试范围： 一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x （x ﹣2）=3x 的解为（ ） A ．x=5 B ．x 1=0，x 2=5 C ．x 1=2，x 2=0 D ．x 1=0，x 2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx +c=0 B ．3x 2﹣2x=3（x 2﹣2） C ．x 3﹣2x ﹣4=0 D ．（x ﹣1）2+1=0 3．关于x 的一元二次方程x 2+a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．1或﹣1 D ．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．12（1+x ）=17 B ．17（1﹣x ）=12 C ．12（1+x ）2=17 D ．12+12（1+x ）+12（1+x ）2=17 5．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8cm ，BC=6cm ．动点P ，Q 分别从点A ， B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点 C 后停止，点P 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm 2的是（ ） A ．2秒钟 B ．3秒钟 C ．4秒钟 D ．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（ ） A ．x （x +12）=210 B ．x （x ﹣12）=210 C ．2x +2（x +12）=210 D ．2x +2（x ﹣12）=210 7．一元二次方程x 2+bx ﹣2=0中，若b ＜0，则这个方程根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有一正根一负根且正根的绝对值大 C ．有两个负根 D ．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x 1，x 2是方程x 2+x +k=0的两个实根，若恰x 12+x 1x 2+x 22=2k 2成立，k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．或﹣1 C ． D ．﹣或1 9．一元二次方程ax 2+bx +c=0中，若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则这个方程根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有两个负根 C ．有一正根一负根且正根绝对值大 D ．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M ：ax 2+bx +c=0；N ：cx 2+bx +a=0，其中a ﹣c ≠0，以下列四个结论中，错误 的是（ ） A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根 B ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同 C ．如果5是方程M 的一个根，那么是方程N 的一个根 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两实数根，则（m +2）（n +2）的最小值是（ ） A ．7 B ．11 C ．12 D ．16 12．设关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a=0，有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么实数 a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 13．若x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣5=0的两根，则代数式x 12﹣3x 1﹣x 2﹣6的值是 ． 14．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根，且x 1+x 2=﹣2，x 1?x 2=1，则b a 的值是 ． 15．已知2x |m |﹣2+3=9是关于x 的一元二次方程，则m= ． 16．已知x 2+6x=﹣1可以配成（x +p ）2=q 的形式，则q= ． 17．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣3x +1=0有两个不相等的实数根，且关于x 的不等式组 的解集是x ＜﹣1，则所有符合条件的整数m 的个数是 ． 18．关于x 的方程（m ﹣2）x 2+2x +1=0有实数根，则偶数m 的最大值为 ． 一元二次方程及其解法（一） 特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常 数项． 要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 一元二次方程试题 （时间： 90分钟，满分：120分） （班级：_____ 姓名：_____ 得分：_____） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程2x 2 －3x －4＝0的二次项系数是 （ ） A. 2 B. －3 C. 4 D. －4 2．把方程(x ＋(2x －1)2＝0化为一元二次方程的一般形式是 （ ） A ．5x 2－4x －4＝0 B ．x 2－5＝0 C ．5x 2－2x ＋1＝0 D ．5x 2－4x ＋6＝0 3．方程x 2－2x-3＝0经过配方法化为(x ＋a)2＝b 的形式，正确的是 （ ） A ．()412 =-x B ．()412=+x C ．()1612=-x D ．()1612=+x 4．方程()()121+=-+x x x 的解是 （ ） A ．2 B ．3 C ．-1,2 D ．-1,3 5．下列方程中，没有实数根的方程是 （ ） A ．212270x x -+= B ．22320x x -+= C ．223410x x +-= D ．2230x x k --=（k 为任意实数） 6．一个矩形的长比宽多2 cm ，其面积为2cm 8，则矩形的周长为 （ ） A ．12 cm B ．16 cm C ．20 cm D ．24 cm 7．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得 （ ） A.168（1+x ）2=128 B.168（1﹣x ）2 =128 C.168（1﹣2x ）=128 D.168（1﹣x 2）=128 8．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数为 （ ） A ．25 B ．36 C ．25或36 D ．－25或－36 9．从一块正方形的木板上锯掉2 m 宽的长方形木条，剩下的面积是48㎡，则原来这块木板的面积是 （ ） A ．100㎡ B ．64㎡ C ．121㎡ D ．144㎡ 10．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实 数根，则该三角形的面积是 （ ） A ．24 B ．24或 C ．48 D ． 二、填空题（每小题4分，共32分） 一元二次方程的特殊根问题 模块一 一元二次方程的公共根 1．一元二次方程公共根问题的一般解法： （1）如果公共根可以根据其中一个方程求出，则先求出公共根，代入另外一个方程，得到某一个参数的一个方程，解得参数． （2）如果公共根不能直接求出，则先设出公共根，然后代入原方程，通过恒等变形求出参数的值和所有方程的根． 模块二 一元二次方程的整数根 1．判断整系数一元二次方程是否有整数根的思路： 判断整系数一元二次方程ax bx c 2++=0是否有整数根问题的过程中，整除的性质、求根公式、判别式与根系关系起十分重要的作用． 2．解整系数一元二次方程整数根问题的常用方法 （1）直接求根法：当一元二次方程的根很容易通过分解因式求出时，我们可以直接利用整除的性质讨论当根为整数时参数的取值（能因式分解优先考虑）． （2）利用判别式法：在一元二次方程有整数根的前提下，利用判别式△必须是完全平方式，且△≥0，利用这条性质可以确定整参数的值，但需要验证这些值是否使方程的根为整数． （3）利用韦达定理：由韦达定理（根系关系）得到用待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母得出不定方程来求解，或利用“和与积必须是整数”，结合整除性分析求解．但后者必须进行检验所求的参数值要满足判别式△≥0．（一般用于实参数） 模块一 一元二次方程的公共根 例1、已知关于x 的方程x kx 2 +-2=0的一个解与方程x x x 2+7=3-1 的解相同． （1）求k 的值 （2）求方程x kx 2+-2=0的另一个解． 【解析】（1）由题意可以得到x x x 2+7=3-1 ， 即x x 2 +4+3=0，解得x 1=-1，x 2=-3， 经检验x 1=-1，x 2=-3都是方程x x x 2+7=3-1 的解． ①当两方程相同的解为x =-1时，则得k 1--2=0，解得k =-1； ②当两方程相同的解为x =-3时，则得k 9-3-2=0，解得k 7 =3 ． 综上所述k =-1或者k 7 =3 ． （2）由（1）得x =-1或者x =-3是方程x kx 2+-2=0的一个解， 由韦达定理得方程的另外一个解为x =2或x 2 =3 ， 【点评】这是一道中考题，难度偏基础，主要是把我们前面的方程综合起来的这样一道公共解的题目，还有就是考 查孩子们对于多种情况一一进行讨论的思想，也就是强调数学学习的严谨性，希望同学们学会解决这种基础题的方法． 例2、（1）求k 的值，使得关于x 的一元二次方程x kx 2+-1=0，()x x k 2++-2=0有相同的根，并求两个方程的根． （2）已知1x 为方程x kx 2+-2=0的根，x 2为方程x kx 22+7+3=0的根，且x x 12=2，求k 的值． 【解析】（1）不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有 a ka 2+-1=0 ……①， ()a a k 2++-2=0……②． 一元二次方程100道计算题练习 1、)4(5)4(2 +=+x x 2、x x 4)1(2 =+ 3、2 2 )21()3(x x -=+ 4、31022 =-x x 5、（x+5）2=16 6、2（2x －1）－x （1－2x ）=0 7、x 2 =64 8、5x 2 - 5 2 =0 9、8（3 -x ）2 –72=0 10、3x(x+2)=5(x+2) 11、（1－3y ）2+2（3y －1）=0 12、x 2 + 2x + 3=0 13、x 2 + 6x －5=0 14、x 2 －4x+ 3=0 15、x 2 －2x －1 =0 16、2x 2 +3x+1=0 17、3x 2 +2x －1 =0 18、5x 2 －3x+2 =0 19、7x 2 －4x －3 =0 20、 -x 2 -x+12 =0 21、x 2 －6x+9 =0 22、22 ( 32)(23)x x -=- 23、x 2 -2x-4=0 24、x 2 -3=4x 25、3x 2＋8 x －3＝0（配方法） 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14 27、(x+1)(x+8)=-12 28、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、（2x-1）2 +3（2x-1）+2=0 31、2x 2－9x ＋8＝0 32、3（x-5）2 =x(5-x) 33、(x ＋2) 2＝8x 34、(x －2) 2＝(2x ＋3)2 35、2720x x += 36、2 4410t t -+= 37、()()24330x x x -+-= 38、2 631350x x -+= 39、()2 231210x --= 40、2 223650x x -+= 补充练习： 一、利用因式分解法解下列方程 (x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+ x 2x+3=0 ()()0165852 =+---x x 二、利用开平方法解下列方程 11一元二次方程概念和解法测试题
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