二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数
1.(201４?北京)在平面直角坐标系xＯy中，抛物线ｙ=2x2+mx＋n经过点Ａ(0,﹣2）,Ｂ（3,４).
(1)求抛物线得表达式及对称轴;
（2)设点B关于原点得对称点为C,点D就是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A，B之间得部分为图象G（包含A，B两点).若直线CD 与图象Ｇ有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t得取值范围.
考点: 待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式;二次函数得最值.
专题: 计算题.
分析:(1)将A与Ｂ坐标代入抛物线解析式求出m与ｎ得值,确定出抛物线解析式，求出对称轴即可;
(２)由题意确定出C坐标,以及二次函数得最小值,确定出D纵坐标得最小值,求出直线BC解析式,令x=１求出ｙ得值,即可确定出t得范围.
解答:解:(1）∵抛物线y＝2x2+ｍx+n经过点A（0，﹣2),Ｂ（3,4），
代入得:,
解得:，
∴抛物线解析式为y=2x2﹣4ｘ﹣２,对称轴为直线ｘ=1;
(2)由题意得:C（﹣3，﹣4),二次函数y＝2x2﹣4x﹣2得最小值为﹣４,
由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4,
设直线BC解析式为ｙ=kx+b,
将B与C坐标代入得:,
解得:k=，ｂ＝0,
∴直线BＣ解析式为y=x,
当x=1时,y=,
则t得范围为﹣4≤ｔ≤.
点评:此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式,以及函数得最值,熟练掌握待定系数法就是解本题得关键.
2.（2011?石景山区二模)已知:抛物线与x轴交于Ａ(﹣２，0)、B(4，0)，与y轴交于C(0,4).
（1)求抛物线顶点D得坐标;
(２)设直线ＣD交ｘ轴于点Ｅ,过点Ｂ作ｘ轴得垂线,交直线CD于点Ｆ,将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段EＦ总有公共点.试探究:抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？
考点：二次函数图象与几何变换；二次函数得性质;待定系数法求二次函数解析式．
专题: 探究型.
分析:(1)先设出过A(﹣２,０)、B(4，0）两点得抛物线得解析式为y＝a(ｘ＋2)(x﹣4),再根据抛物线与y轴得交点坐标即可求出a得值,进而得出此抛物线得解析式;
(２）先用待定系数法求出直线ＣD解析式，再根据抛物线平移得法则得到(１)中抛物线向下平移m各单位所得抛物线得解析式，再将此解析式与直线CD得解析式联立,根据两函数图象有交点即可求出ｍ得取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位;同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位.
解答：解：(1）设抛物线解析式为y=a(x+2）（x﹣4),
∵C点坐标为(0,4),
∴a=﹣，（1分)
∴解析式为y=﹣ｘ2+x＋４，
顶点Ｄ坐标为（1，);（２分)
(2)直线CＤ解析式为y＝kx+b.
则，，
∴,
∴直线ＣD解析式为y=ｘ+４,(3分)
∴E（﹣８,０）,F(4,6),
若抛物线向下移ｍ个单位,其解析式y＝﹣x2＋x+4﹣m(m>0),
由消去y，得﹣x2+x﹣m＝0,
∵△＝﹣2m≥０，
∴0 ∴向下最多可平移个单位.(５分） 若抛物线向上移ｍ个单位,其解析式y=﹣x2+ｘ＋4+m(m＞０), 方法一:当ｘ=﹣8时，ｙ＝﹣3６+ｍ, 当x=４时,y＝m, 要使抛物线与EF有公共点,则﹣36+m≤0或m≤6, ∴0 方法二:当平移后得抛物线过点E(﹣8，0）时，解得m=３6， 当平移后得抛物线过点F(４,6）时,m=6, 由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度,(７分) 综上,要使抛物线与ＥＦ有公共点，向上最多可平移3６个单位,向下最多可平移个单位． 点评:本题考查得就是二次函数得图象与几何变换,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数得解析式、二次函数与一次函数得交点问题,有一定得难度． ３.(2013?丰台区一模）二次函数ｙ=x２＋bx+c得图象如图所示,其顶点坐标为Ｍ（1，﹣4)． （１)求二次函数得解析式； (2）将二次函数得图象在ｘ轴下方得部分沿ｘ轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象,请您结合新图象回答:当直线y=x＋n与这个新图象有两个公共点时,求ｎ得取值范围. 考点：待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象与几何变换. 分析:（1）确定二次函数得顶点式，即可得出二次函数得解析式. (2）求出两个边界点,继而可得出n得取值范围. 解答:解:(１)因为M(1,﹣4)就是二次函数y=(x+ｍ）2+k得顶点坐标, 所以y=(x﹣１)２﹣4=x２﹣2x﹣3, (2)令x2﹣２x﹣３=０, 解之得:x１=﹣1，x2=3, 故A,B两点得坐标分别为A(﹣１,0),Ｂ(3,0). 如图,当直线y＝x+n(ｎ＜1)， 经过A点时,可得ｎ=1， 当直线y=x＋n经过Ｂ点时, 可得n=﹣3， ∴ｎ得取值范围为﹣3 翻折后得二次函数解析式为二次函数y＝﹣x２+２x+3 当直线y＝x＋n与二次函数y=﹣x２+2x+３得图象只有一个交点时, x+n=﹣x2+2x+3， 整理得:x2﹣x+n﹣3=0, △=b２﹣4aｃ＝1﹣4(ｎ﹣3)=１3﹣4n=０， 解得:n＝, ∴n得取值范围为:n>， 由图可知,符合题意得ｎ得取值范围为:n＞或﹣3＜n＜１． 点评:本题考查了待定系数法求二次函数解析式得知识,难点在第二问,关键就是求出边界点时n得值． 4.(2009?北京)已知关于x得一元二次方程2x2＋４ｘ+k﹣1=0有实数根，k为正整数． (1)求k得值; (2)当此方程有两个非零得整数根时,将关于ｘ得二次函数y=2x２+4x+k﹣１得图象向下平移８个单位，求平移后得图象得解析式; (3)在（2)得条件下,将平移后得二次函数得图象在x轴下方得部分沿x轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答:当直线y=x+b(ｂ 考点: 二次函数综合题. 专题：综合题. 分析：(1）综合根得判别式及k得要求求出ｋ得取值; (2)对ｋ得取值进行一一验证,求出符合要求得k值,再结合抛物线平移得规律写出其平移后得解析式； （３)求出新抛物线与x轴得交点坐标,再分别求出直线y=x+b经过点Ａ、B时得b得取值，进而求出其取值范围.本题第二问就是难点，主要就是不会借助计算淘汰不合题意得ｋ值. 解答：解：(１)由题意得,△=1６﹣８(k﹣１)≥0. ∴k≤3. ∵ｋ为正整数, ∴ｋ=1,２,3; (2)设方程２x2+4x+ｋ﹣1=0得两根为x１,x２,则 x１＋ｘ２＝﹣２,ｘ１?x２=． 当ｋ＝1时,方程2ｘ２+４ｘ+k﹣１=0有一个根为零; 当k=2时,x1?x2=,方程２x２+4ｘ+k﹣１=０没有两个不同得非零整数根; 当k=３时,方程2x2+4ｘ＋k﹣1=0有两个相同得非零实数根﹣１. 综上所述,ｋ＝1与k=２不合题意,舍去,k=3符合题意. 当k=3时，二次函数为ｙ=2ｘ２+４x+2,把它得图象向下平移8个单位得到得图象得解析式为y＝2x2＋4x﹣6； (3）设二次函数y=2ｘ2＋4ｘ﹣6得图象与ｘ轴交于Ａ、B两点,则A(﹣3，0),B(１，0). 依题意翻折后得图象如图所示. 当直线y=x+ｂ经过A点时,可得b=； 当直线ｙ=x＋b经过B点时,可得b=﹣． 由图象可知,符合题意得b(b＜３)得取值范围为 （３)依图象得，要图象y=ｘ+ｂ（b小于k)与二次函数图象有两个公共点时，显然有两段. 而因式分解得y=2x2＋4x﹣６＝2(x﹣１)(x+３）, 第一段,当y=x＋b过（1,0)时,有一个交点,此时b=﹣. 当ｙ=x+ｂ过(﹣３,0)时,有三个交点，此时b=.而在此中间即为两个交点,此时﹣＜b＜. 第二段,将平移后得二次函数得图象在ｘ轴下方得部分沿ｘ轴翻折后, 开口向下得部分得函数解析式为y=﹣２（x﹣1)（x+3）．显然, 当y＝x+b与y=﹣2(x﹣1)(ｘ+3）(﹣３＜ｘ＜1)相切时，y=x＋ｂ与这个二次函数图象有三个交点,若直线再向上移,则只有两个交点. 因为b<3,而ｙ=ｘ+b(ｂ小于ｋ,k＝3),所以当ｂ＝３时,将y=ｘ+3代入二次函数y=﹣2（ｘ﹣１)（x+3)整理得, 4x2+9x﹣6=0,△>０,所以方程有两根，那么肯定不将有直线与两截结合得二次函数图象相交只有两个公共点. 这种情况故舍去. 综上,﹣<ｂ＜. 点评:考查知识点：一元二次方程根得判别式、二次函数及函数图象得平移与翻折,最后还考到了与一次函数得结合等问题.不错得题目,难度不大,综合性强,考查面广,似乎就是一个趋势或热点. 5.(2012?东城区二模）已知关于x得方程(１﹣m)x2+(4﹣m)x+3＝0. (1）若方程有两个不相等得实数根，求ｍ得取值范围; （2)若正整数m满足８﹣2m>2，设二次函数y＝(1﹣ｍ)x２+(4﹣m）x＋3得图象与x轴交于Ａ、Ｂ两点，将此图象在x轴下方得部分沿ｘ轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答:当直线y=k ｘ+3与此图象恰好有三个公共点时,求出ｋ得值（只需要求出两个满足题意得ｋ值即可). 考点：二次函数综合题. 分析:(1)根据方程有两个不相等得实数根,由一元二次方程得定义与根得判别式可求m得取值范围; (2)先求出正整数m得值,从而确定二次函数得解析式，得到解析式与x轴交点得坐标,由图象可知符合题意 得直线y=kx＋3经过点A、B.从而求出k得值． 解答:解:(1)△＝(4﹣m)2﹣12（1﹣m)=（ｍ+2)2, 由题意得,（m+2）２＞0且1﹣m≠０. 故符合题意得m得取值范围就是m≠﹣2且m≠１得一切实数. (2)∵正整数m满足8﹣2ｍ＞2, ∴m可取得值为1与2. 又∵二次函数ｙ=(1﹣m)x2+(4﹣m)ｘ+3， ∴ｍ=2.…（4分) ∴二次函数为ｙ＝﹣x2+2x+3. ∴A点、B点得坐标分别为(﹣1,0)、(３,０）. 依题意翻折后得图象如图所示. 由图象可知符合题意得直线y=kｘ＋３经过点Ａ、B. 可求出此时ｋ得值分别为3或﹣１.…(7分) 注:若学生利用直线与抛物线相切求出k＝2也就是符合题意得答案. 点评:本题考查了二次函数综合题.(1)考查了一元二次方程根得情况与判别式△得关系:△＞０?方程有两个不相 等得实数根.(2)得到符合题意得直线y=kｘ+３经过点A、B就是解题得关键. 6.在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣x2+mx＋m2﹣３m+2与ｘ轴得交点分别为原点O与点A,点B(4,n）在这条抛物线上. (1)求B点得坐标; (2）将此抛物线得图象向上平移个单位，求平移后得图象得解析式; (3)在(2)得条件下，将平移后得二次函数得图象在ｘ轴下方得部分沿x轴翻折,图象得其余部分保持不变，得到一个新得图象．请您结合这个新得图象回答:当直线y＝ｘ+b与此图象有两个公共点时,b得取值范围． 考点: 二次函数综合题. 专题：压轴题. 分析：(1）把原点坐标代入抛物线,解关于ｍ得一元二次方程得到m得值,再根据二次项系数不等于0确定出函数解析式,再把点B坐标代入函数解析式求出n得值,即可得解; (2)根据向上平移纵坐标加解答即可; （3)把直线解析式与抛物线解析式联立，消掉y得到关于x得一元二次方程,根据△=0求出ｂ得值，然后令y=０求出抛物线与ｘ轴得交点坐标,再求出直线经过抛物线与x轴左边交点得ｂ值，然后根据图形写出b得取值范围即可. 解答：解:(1)∵抛物线经过原点O, ∴m2﹣3ｍ+2=0, 解得m１＝１，m2=2, 当m=１时，﹣＝﹣＝０, ∴m=2, ∴抛物线得解析式为y＝﹣x2+３ｘ, ∵点Ｂ（4,n)在这条抛物线上， ∴n=﹣×42+3×４=﹣8+12=４, ∴点B（４，4)； （2)∵抛物线得图象向上平移个单位， ∴平移后得图象得解析式y=﹣ｘ2+3ｘ+; (3)联立， 消掉ｙ得，﹣ｘ2+３ｘ+=x+b, 整理得,x2﹣5x+2b﹣７＝0, △=（﹣５)２﹣４×1×(2ｂ﹣7)=0， 解得b=, 令ｙ=0，则﹣x２＋３ｘ＋＝0, 整理得，x2﹣６ｘ﹣７＝0, 解得x1=﹣1,x2=7, ∴抛物线与x轴左边得交点为（﹣1,０), 当直线y=x+b经过点(﹣１,0)时，×(﹣１)+ｂ=0, 解得b=, ∴当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b得取值范围为b>或ｂ<． 点评:本题就是二次函数综合题,主要利用了解一元二次方程，二次函数图象上点得坐标特征,二次函数图象与几何变换,难点在于(３）求出直线与抛物线有三个交点时得b值,作出图形更形象直观. 7.关于x得二次函数ｙ=x2＋2ｘ+ｋ﹣1得图象与ｘ轴有交点，k为正整数. （１)求k得值； (2)当关于x得二次函数y＝ｘ2＋２x+k﹣１与x轴得交点得横坐标均就是负整数时,将关于x得二次函数ｙ=ｘ2+２ｘ+k﹣１得图象向下平移4个单位,求平移后得图象得解析式; (3)在(2)得条件下，将平移后得二次函数得图象在x轴下方得部分沿x轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答:当直线y＝（ｂ<3)与此图象有两个公共点时,b得取值范围. 考点: 二次函数综合题. 分析:（１）综合根得判别式及k得要求,求出k得取值; (2)对k得取值进行一一验证，求出符合要求得k值，再结合抛物线平移得规律写出其平移后得解析式; (3)求出新抛物线与ｘ轴得交点坐标,再分别求出直线y=x+b经过点A、B时得b得取值,进而求出其取值范围. 解答：解:(1)由题意得，△=4﹣4(k﹣1)≥0． ∴k≤２. ∵ｋ为正整数, ∴k=1,2； (2）设方程x2＋2x+k﹣1=０得两根为x1,x2,则 ｘ1+x2=﹣2,x１?x２＝k﹣1． 当k＝1时,图象y=x２+２x＋k﹣1与x轴有一个交点为(0,0）,不合题意; 当k＝２时，图象y=ｘ2+2x+k﹣1与x轴有一个交点为（﹣1,0),符合题意; 综上所述,k＝２符合题意. 当k=２时,二次函数为y=x２+2ｘ+１，把它得图象向下平移4个单位得到得图象得解析式为:y=x2+2x﹣3； (3)设二次函数y＝x2+2ｘ﹣3得图象与x轴交于A、B两点，则Ａ(﹣3，０）,B(１，0)． 依题意翻折后得图象如图所示. 当直线y=x+b经过A点时,可得b＝; 当直线y=x+ｂ经过B点时,可得b=﹣. 由图象可知,符合题意得b(b＜3）得取值范围为:﹣＜b<. 点评:此题主要考查了一元二次方程根得判别式、二次函数及函数图象得平移与翻折，最后还考到了与一次函数得结合等问题．不错得题目,难度不大，综合性强． 8．（2014?东城区一模)已知:关于ｘ得一元二次方程mx２﹣(4m+1)x+3m+３=０(m>1)． （1)求证:方程有两个不相等得实数根; (2)设方程得两个实数根分别为x１,x2(其中x1>x2),若y就是关于m得函数,且y＝ｘ1﹣3x2,求这个函数得解析式; （３）将(2）中所得得函数得图象在直线ｍ=2得左侧部分沿直线m=２翻折,图象得其余部分保持不变，得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答：当关于m得函数y=2ｍ+b得图象与此图象有两个公共点时,b得取值范围． 考点: 一次函数综合题. 专题：压轴题． 分析:(1)列式表示出根得判别式△,再根据△＞０,方程有两个不相等得实数根证明; （２）利用求根公式法求出ｘ１、x2，然后代入关系式整理即可得解； (３)作出函数图象，然后求出m=2时得函数值与以及m=１时得翻折图象得对应点得坐标，再代入直线解析式求出b值,然后结合图形写出b得取值范围即可. 解答:(1)证明：△=(4m+１)2﹣4ｍ(3m＋３)＝４ｍ２﹣4m+1=(２ｍ﹣1)2, ∵m>1, ∴(2m﹣1)2>0, ∴方程有两个不等实根; (2)解：x=, ∴两根分别为=３, =1+, ∵m>1， ∴0＜<1, ∴1＜１+＜２, ∵x1＞ｘ2, ∴x１=3,x２＝1+, ∴ｙ=x1﹣3x2, =３﹣３(１+), =﹣, 所以,这个函数解析式为y=﹣（ｍ>1); (3)解:作出函数y=﹣(m＞1）得图象，并将图象在直线m=２左侧部分沿此直线翻折,所得新图形如图所示， m=2时,ｙ=﹣, ｍ=1时,y=﹣=﹣3， ∴函数图象直线m=2左侧部分翻折后得两端点坐标为(３,﹣3),(２，﹣), 当m=3时,2×3+b=﹣3, 解得b=﹣9， 当m=2时,２×2＋ｂ=﹣， 解得ｂ=﹣, 所以,此图象有两个公共点时,ｂ得取值范围﹣９＜b<﹣. 点评:本题就是一次函数综合题型,主要利用了根得判别式，求根公式法解一元二次方程,一次函数与反比例函数交点问题,难点在于(3)确定出翻折部分得两个端点得坐标以及有两个交点时得b得取值范围，作出图形更形象直观. 9.(２０13?门头沟区一模)已知关于x得一元二次方程. (１）求证:无论m取任何实数,方程都有两个实数根; （２)当m<3时，关于x得二次函数得图象与x轴交于A、B两点(点A在点B得左侧),与ｙ轴交于点Ｃ，且２ＡB=3OC，求m得值; (3)在(2)得条件下,过点C作直线ｌ∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧得部分沿直线l翻折,二次函数图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象,记为G.请您结合图象回答:当直线与图象G只有一个公共点时,b得取值范围． 考点: 二次函数综合题. 分析:(1)运用根得判别式就可以求出△得值就可以得出结论； (2)先当x=0或y=0就是分别表示出抛物线与ｘ轴与y轴得交点坐标,表示出AB、ＯＣ得值,由2AＢ=3OC建 立方程即可求出ｍ得值; （3)把(２)m得值代入抛物线得解析式就可以求出抛物线得解析式与C点得坐标,当直线经过点C时就可以求出b得值,由直线与抛物线只有一个公共点建立方程,根据△＝0就可以求出ｂ得值,再根据图象就可以得出结论. 解答：解:(1)根据题意,得 △＝(ｍ﹣2)2﹣4××(2m﹣6) =(m﹣4)2, ∵无论ｍ为任何数时,都有(m﹣4)2≥0,即△≥0. ∴无论m取任何实数,方程都有两个实数根； (２)由题意，得 当ｙ=0时,则, 解得：ｘ1=6﹣２m,ｘ２=﹣２, ∵ｍ<3，点Ａ在点B得左侧, ∴A(﹣2,０),B(﹣2m+6,0)， ∴ＯA=2,OB=﹣2m+6． 当x=０时,ｙ=2m﹣６, ∴C(０,2m﹣6), ∴OC＝﹣(2ｍ﹣6)=﹣2m+６. ∵２AB=3ＯＣ, ∴2(2﹣2m+6)=3(﹣2m+6), 解得:m＝1; (3)如图,当m=1时,抛物线得解析式为ｙ=ｘ2﹣x﹣4, 点C得坐标为(0，﹣４）. 当直线y＝x+b经过点C时，可得ｂ＝﹣4, 当直线ｙ=ｘ＋ｂ(b＜﹣4）与函数y＝x2﹣ｘ﹣4(ｘ＞０)得图象只有一个公共点时,得 x＋b═x２﹣x﹣4． 整理得:3ｘ２﹣8x﹣6b﹣24=０, ∴△＝(﹣８)２﹣4×3×（﹣6b﹣24)=0, 解得：b＝﹣. 结合图象可知,符合题意得b得取值范围为ｂ＞﹣4或ｂ<﹣. 点评:本题就是一道一次函数与二次函数得综合试题,考查了一元二次方程根得判别式得运用，二次函数与坐标轴得交点坐标得运用,轴对称得性质得运用，解答时根据函数之间得关系建立方程灵活运用根得判别式就是解答本题得关键. 《二次函数的特殊形式》专题 班级 姓名 人的心灵在不同的时期有着不同的内容。 2.用十字相乘法分解因式： ①322 --x x ②342 ++x x ③6822 ++x x 3.若一元二次方程02 =++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是 . 【自主探究】 1.根据上面第3题的结果，改写下列二次函数： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y 归纳： ⑴若二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以表 示为 的形式； ⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与 x 轴的交点坐标 是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件. 【练习】把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标. ⑴232+-=x x y ⑵232-+-=x x y ⑶4622+-=x x y 与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是： 例1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. ⑶求出该二次函数的关系式. ⑷若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 . 二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形 （2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形 特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】 例一、（2013河南）如图，抛物线2 y x bx c =-++与直线 1 2 2 y x =+交于,C D两点，其 中点C在y轴上，点D的坐标为 7 (3,) 2 。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作 PE x ⊥轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,, O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。 【解答】（1）∵直线 1 2 2 y x =+经过点C,∴(0,2) C ∵抛物线2 y x bx c =-++经过点(0,2) C，D 7 (3,) 2 ∴22727 332 2c b b c c =?? =? ?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2 7 22 y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上 ∴2 71 (,2),(,2)22 P m m m F m m -+ ++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 ① 当03m <<时，2 271 2(2)322 PF m m m m m =-+ +-+=-+ ∴2 32m m -+=，解得：121,2m m == 即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2 217 (2)(2)32 2 PF m m m m m =+--+ +=- 232m m -= ，解得：123322 m m += =（舍去） 即当132 m += 时，四边形OCFP 是平行四边形 练习1：（2013?盘锦）如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）， 与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标； 二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点 分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合， 二次函数之交点式 【课前自习】 2.用十字相乘法分解因式： ①322 --x x ②342 ++x x ③6822 ++x x 3.若一元二次方程02 =++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴 交点坐标是 . 【课堂学习】 一、探索归纳： 1.根据《课前自习》第3题的结果，改写下列二次函数： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y 坐标： 3.你发现什么？ 4.归纳： ⑴若二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以 表示为 的形式； ⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与x 轴的交点坐标是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件. 练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标. ⑴232 +-=x x y ⑵232 -+-=x x y ⑶4622 +-=x x y 与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是： 二、典型例题： 例1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑶求出该二次函数的关系式. ⑷若二次函数的图象与x ，则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 . 归纳：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴的交点坐标是（01，x ）、（02， x ）则，对称轴是 ，顶点 坐标是【拓展提升】 已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（⑴求对称轴和顶点坐标. ⑶求出该二次函数的关系式. 二次函数一般式、顶点式、交点式 这节课我们学什么 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象； 了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 3. 根据交点求解解析式． 知识点梳理 1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质 2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质 1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可； 3、一般式2y ax bx c =++的性质 对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？ 将一般式配方成顶点式： 2y ax bx c =++=2 ()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a +++- =222424b b ac a x a a -??+= ?? ? 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 1. （2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满 足下列函数关系式：61t 5h 2 +--=）（ ，则小球距离地面的最大高度是（ ） A ．1米 B ．5米 C ．6米 D ．7米 【答案】C 【思路分析】在二次函数61t 5h 2+--=）（中，顶点坐标为（1,6），∵a=-5<0，∴当t=1 时，h 取得最大值6.∴小球距离地面的最大高度是6米。 【方法规律】在二次函数顶点式2 ()y a x h k =-+中，顶点坐标为（h ，k ）。当a>0时，开口向上，当x h =时，y 取得最小值k ；当a<0时，开口向下，当x h =时，y 取得最大值k 。 【易错点分析】不能够正确的应用二次函数的顶点式，将其化成一般式，再计算，从而引起计算性的错误。 【关键词】二次函数、最大值 【推荐指数】★★☆☆☆ 【题型】常规题，好题，易错题 2. （2011株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A ．4米 B ．3米 C ．2米 D ．1米 【答案】A 【思路分析】直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为22 44(1)04444(1) ac b a -?-?-==?-. 【方法规律】在二次函数求最值的问题，一般是直接代入顶点公式计算即可． 【易错点分析】弄不清在函数解析式中a 、b 、c 的值各是什么，造成计算错误． 【关键词】二次函数的最值 【难度】★★☆☆☆ 3. （2011山东聊城，12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为 了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A ．50m B ．100m C ．160m D ．200m 二次函数小综合-二次函数与交点问题 例1(2018四调题改)抛物线y ＝x 2 －kx －k ，A (1，－2)，B (4，10)，抛物线与线段AB (包含A 、B 两点)有两个交点，那么k 的取值范围为_______． 解：线段AB 的解析式是_______(1≤x ≤4)，联立抛物线与直线解析式方程得x 2 －4x ＋6＝kx ＋k ，该方程在1≤x ≤4时有两根，此方程可以看作定抛物线_______(1≤x ≤4)，与过定点C (－1，0)的动直线_____．(填写解析式，上同)，有两个交点，画出图像如图． 根据图像回答问题： M 点的坐标为______，N 坐标为______； l 1的k 值为________；l 2的k 值为________． 所以，仅有两个交点时，k 的取值范围为_____________． y ＝4x －6,y ＝x 2 －4x ＋6,y ＝kx ＋k , (1,3),(4,6),k ＝±6, k ＝ 65,－6＋k ≤65 . 例2．直线y ＝2x ﹣5m 与抛物线y ＝x 2 ﹣mx ﹣3在0≤x ≤4范围内只有一个公共点，则m 的取值范围为 ﹣5＜m ≤或m ＝8﹣2 ． 解：联立可得：x 2 ﹣（m +2）x +5m ﹣3＝0， 令y ＝x 2 ﹣（m +2）x +5m ﹣3， ∴直线y ＝2x ﹣5m 与抛物线y ＝x 2 ﹣mx ﹣3在0≤x ≤4范围内只有一个公共点， 即y ＝x 2 ﹣（m +2）x +5m ﹣3的图象在0≤x ＜4上只有一个交点， 当△＝0时，即△＝（m +2）2 ﹣4（5m ﹣3）＝0解得：m ＝8±4， 当m ＝8+4 时，x ＝ ＝5+2 ＞4 初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2（附答案） 1．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（） A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m 2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s 3．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所 在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面40 3 m，则 水流落地点B离墙的距离OB是（） A．2m B．3m C．4m D．5m 4．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（） A．0.55米B．11 30 米C． 13 30 米D．0.4米 5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛 物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( ) A ．2.5米 B ．3米 C ．3.5米 D ．4米 6．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()2 36042 y x x x =-+≤≤，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ） A ．1米 B ．2米 C ．5米 D ．6米 7．同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A 下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且a ＝﹣ 1 18 ．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD ．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH ＝12cm ，喷嘴位置点B 距台面的距离为16cm ，且B 、D 、H 三点共线．小王在距离台面15.5cm 处接洗手液时，手心Q 到直线DH 的水平距离为3cm ，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是（ ）cm ． A ．3 B ．2 C ．3 D ．2 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( ) 孟老师初三12月7日学案 II二次函数图像于x轴有二个交点 ⑴利用交点确定不等关系 （2011?常州）已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变 A．y＞0、y＞0 B．y＜0、y＜0 C．y＜0、y＞0 D．y＞0、y＜0 12121 ⑵利用交点确定字母的值 （2010?乐山）设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一，则a的值为（） A．6或﹣1 B．﹣6或1 C．6D．﹣1 ．B．C．D． （2011?随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三A．0B．1C．2D．3 （2009?孝感）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣与x轴交于．B．C．D． （2011?大庆）二次函数：y=ax2﹣bx+b（a＞0，b＞0）图象顶点的纵坐标不大于．（1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围； （2）若该二次函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的最小值． （2012?兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．把它称为一元二次方程根与系 数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|= ===； 参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形． （1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值； （2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值． （2012?南昌）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 左边），与y轴交于点C． （1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）． ①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质； ②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由． 二：二次函数于反比例函数的交点 利用了图象上的点的坐标特征来解 二次函数中的存在性问题姓名 1.已知抛物线y=﹣x2+ x﹣3 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C．在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2.已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4 相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x 轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式； （2）在x 轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D 坐标，如果不存在，说明理由． 3.已知直线y=x﹣3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n 经过点A 和点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线CA 上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由． 4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线y=kx+1 交抛物线于点C（2，3）． （1）求直线AC 及抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+1 与抛物线的对称轴交于点E，以点E 为中心将直线y=kx+1 顺时针旋转90°得到直线l，设直线l 与y 轴的交点为P，求△APE 的面积； （3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的点F，使以B、E、F、G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴于A，B 两点（A 在B 的左侧），交y 轴于点C． （1）求直线BC 的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q 是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ 是否存在最小值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P 是直线BC 上方的一个动点，△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出点P 的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由． 龙文教育学科教师辅导讲义 （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． … 解：（1）根据题意，得 ?? ? ? ? + ? - ? = - + - ? - - ? = . 4 5 , )1 ( 4 )1 ( 2 2 c a c a …2分 解得 ? ? ? - = = .5 ,1 c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为5 4 2- - =x x y．……4分 （2）令y=0，得二次函数5 4 2- - =x x y的图象与x轴 的另一个交点坐标C（5, 0）.……………5分 由于P是对称轴2 = x上一点， 连结AB，由于26 2 2= + =OB OA AB， — 要使△ABP的周长最小，只要PB PA+最小.…………………………………6分 由于点A与点C关于对称轴2 = x对称，连结BC交对称轴于点P，则PB PA+= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PB PA+ 的最小值为BC. 因而BC与对称轴2 = x的交点P就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC的解析式为b kx y+ =，根据题意，可得 ? ? ? + = - = . 5 ,5 b k b 解得 ? ? ? - = = .5 ,1 b k 所以直线BC的解析式为5 - =x y.…………………………………………………9分 因此直线BC与对称轴2 = x的交点坐标是方程组 ? ? ? - = = 5 ,2 x y x 的解，解得 ? ? ? - = = .3 ,2 y x 所求的点P的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值 , 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。 典型例题： 1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）. ⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______； ⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求 课题:30.4二次函数应用1----抛物线形问题 时间： 姓名： 学习目标:1.能根据题意建立适当坐标系，求出二次函数解析式 2. 会运用二次函数性质及其图像的知识解决现实生活中的抛物线形问题 一、知识链接: 1.二次函数y=a(x-h)2 +k 的顶点坐标为（2,4）且过点（0，1）则其解析式为 二、新知初探： 如图，一位运动员在距篮框水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ （3）你还有其它建坐标系的方法吗？不同坐标系所对应的的解析式有何异同？得到的第（2）问答案是否相同？ 题组训练： 1.如图，在相距2m 的两棵树上栓了一根绳子做成一个简易秋千，栓绳子的地方都高出地面 2.6m ，绳子自然下垂近似呈抛物线形．当身高1.1m 的小妹距较近的那棵树0.5m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______m ． 2. 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美 丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米。 (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； (2)求出水柱的最大高度的多少? 达标测评： 1. 一座拱桥的轮廓呈抛物线形，拱高6米，跨度为20米，相邻两立柱间的距离均为5米. （1）建立适当的直角坐标系，求这条抛物线的表达式. （2）求立柱EF 的长. （3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3 米的汽车能够通过 （车顶与桥拱的距离不小于 0.3米），行车道最宽可铺设多少米？ （提升题）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30°，O 、A 两点相距83 米． （1）求出点A 的坐标；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点？ 二次函数的交点式 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax2;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。X1,X2是关于ax2+bx+c=0的两个根。 设baiy=ax2+bx+c此函数与x轴有两交点,, 即ax2+bx+c=0有两根分别du为 x1,x2, a(x2+bx/a+c/a)=0 根据韦达定理 a[x2-(x1+x2)x+x1*x2]=0 十字交叉相zhi乘： 1x -x1 1x -x2 a(x-x1)(x-x2) 就是这样推出的。 定义与表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时， 开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.） 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 抛物线与x轴 交点个数 Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 系数表达的意义 a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口；当a<0时,抛物线向下开口。 b和a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右。 c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）。 二次函数交点式练习题 一、选择 1.如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 2.二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 3.若00,△>0 B.a>0, △<0 C.a<0, △<0 D.a<0, △<0 5.若抛物线 22y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ） Ａ．1a > Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 二、填空 1、已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是 （-2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 . 2.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐 标是（1,0）、（4,0），则该抛物线的关系式是 . 3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是 （1,0）、则另一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴 是 . 4.二次函数()()43---=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，对称轴 是 . 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值 是-3.则该抛物线开口向 ，当x 时，y 随的增大而增大. 6.请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式： . /7、把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析 式为（ ）． 8.已知二次函数)1(3)1(2-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为 9.二次函数432--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 关于X 轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为 10. 二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个，交点坐标为_______。 11.已知二次函数222--=x ax y 的图象与X 轴有两个交点，则a 的取值范围是 12.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。 13.抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线_________，它 必定经过________和____ 初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题7（附答案） 1．如图，是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为21104 y x =-+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 的高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是____________米。 2．如图有一抛物线形的拱桥，拱高10米，跨度为40米，则该抛物线的表达式为 ______________. 3．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m ，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的表达式为________________，其中自变量x 的取值范围是__________. 4．如图,某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图示为它在坐标系中的示意图，则它对应的解析式为：_________________． 5．如图是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4m ，从O 、A 两处双测P 处，仰角分别为α、β，且tanα＝12 ，tanβ＝32，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系． P 点坐标为_____；若水面上升1m ，水面宽为_____m ． 6．在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝﹣13x 2，当水位上涨1m 时，水面宽CD 为26m ，则桥下的水面宽AB 为_____m ． 7．如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=﹣14 x 2，当水位线在AB 位置时，水面的宽度为12m ，这时水面离桥拱顶部的距离是_____． 8．如图，拱桥呈抛物线形，其函数的表达式为y ＝－14 x 2，当水位线在AB 位置时，水面的宽度为12米，这时拱顶距水面的高度h 是____米． 9．某涵洞的截面是抛物线型，如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为214 y x =- ，当涵洞水面宽AB 为12米时，水面到桥拱顶点O 的距离为________米． 《二次函数与坐标轴交点》专题 班级 姓名 立志没有所谓过迟。 【自主学习】 1.直线42-=x y 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 。 我们知道：①一次函数与x 轴的交点的求法 ②一次函数与y 轴的交点的求法 那么：③二次函数与x 轴的交点的求法 ④二次函数与y 轴的交点的求法 【归纳】(1)函数与x 轴y 轴交点的求法是：__________ ______________________ （2）反比例函数与坐标轴没有交点的原因是______________________________ 2.一元二次方程02 =++c bx ax ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根； 3.解下列方程 （1）0322=--x x （2）0962=+-x x （3）0322 =+-x x 5.对比第1题各方程的解，你发现什么？ ⑴一元二次方程02 =++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴 交点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2 ） 1. 二次函数232 +-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3.二次函数642+-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3． 4.如图，一元二次方程02=++c bx ax 的解为 。 5.如图，一元二次方程32 =++c bx ax 的解为 。 6. 已知抛物线922 +-=kx x y 的顶点在x 轴上，则k ＝____________． 7．已知抛物线122-+=x kx y 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_________． （4） （5） 二次函数动点问题典型例题 等腰三角形问题 1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB 交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E． （1）求抛物线的解析式； （2）填空： ①用含m的式子表示点C，D的坐标： C（，），D（，）； ②当m=时，△ACD的周长最小； （3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 面积最大 1. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 2．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形． （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标； （3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由． 3. （2015?黔西南州）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，平行 四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到 平行四边形A′B′OC′．抛物线y=﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点． （1）求A、A′、C三点的坐标； （2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积； （3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标． 最短路径 1.（2014绵阳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点 M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、 B两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标； （3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 2. （2014?泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）． （1）求二次函数的最大值； （2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程 =0的根，求a的值； （3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标． 平行四边形 1.如图，已知抛物线y=x２+bx+c的图象经过点A（l，0）,Ｂ(﹣3,０），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D,对称轴与x轴相交于点E,连接BD． （１)求抛物线的解析式. （２）若点Ｐ在直线BD上,当PE＝PC时，求点Ｐ的坐标． （3）在(2）的条件下，作ＰＦ⊥x轴于F,点M为x轴上一动点,N为直线PＦ上一动点,G为抛物线上一动点,当以点Ｆ,N,G，Ｍ四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标． 2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与ｘ轴交于点Ａ和点B,与y轴交于点C，点B坐标为(6，０),点C坐标为 (0，６）,点D是抛物线的顶点，过点Ｄ作x轴的垂线,垂足为E，连接BD. （1）求抛物线的解析式及点Ｄ的坐标； (2）点F是抛物线上的动点,当∠FＢＡ＝∠ＢDＥ时，求点Ｆ的坐标； （3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MＮ∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上，点Q在坐标平面内,以线段MＮ为对角线作正方形ＭＰNQ，请写出点Ｑ的坐标. 3.如图,已知抛物线y=ax2+bｘ﹣３过点A（﹣1,0）,B（3,０)，点M、N为抛物线上的动点，过点M作M Ｄ∥y轴,交直线BC于点D，交x轴于点Ｅ.过点N作NＦ⊥x轴,垂足为点F （1)求二次函数y=ａｘ２+bｘ﹣3的表达式; （2）若Ｍ点是抛物线上对称轴右侧的点,且四边形ＭNＦE为正方形，求该正方形的面积； (3）若M点是抛物线上对称轴左侧的点,且∠DMN=９0°，MＤ＝ＭN，请直接写出点M的横坐标． 4．（20１５贵州省毕节地区) 如图,抛物线y＝ｘ2+bx＋c与x轴交于Ａ(﹣1,０），B（3,０)两点，顶点Ｍ关于x轴的对称点是M′． （１）求抛物线的解析式； (２)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为Ｃ，求△CAＢ的面积; （３)是否存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Ｑ,使得四边形APＢＱ为正方形?若存在,求出此抛物线的解析式;若不存在，请说明理由． 二次函数交点式公式 交点式： y=a(X-x1)(X-x2) ,仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时,使用交点式较为方便.y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点,分别记为x1和x2,代入公式,再有一个经过抛物线的点的坐标,即可求出a的值. 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2),即可得到一个解析式,这是y=ax2;+bx+c因式分解得到的,将括号打开,即为一般式.X1,X2是关于ax2+bx+c=0的两个根. 如果(x1,0),(x2,0)是二次函数y=ax^2+bx+c的两个交点, 那么x1,x2必是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根, 从而ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). 我们把y=a(x-x1)(x-x2)称为二次函数的交点式. 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a ≠0). (3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2) (4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. 说明： (1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k ＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点. (2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2). 利用二次函数解决抛物线问题 第周星期班别：姓名：学号： 环节一：知识回顾 已知二次函数y=x2+2x-3 （１）求它与Y轴的交点 （２）求它与X轴的交点 （３）求它的顶点，说出它的最值 （４）当x=－１时，求y 的值 （５）当y=5时，求x的值 环节二：例题学习 例１：有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中。 ①求这条抛物线所对应的函数关系式。 ②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？ 环节三：课堂练习 １、如图，有一个抛物线的拱形立交桥，?这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它放在如图所示的直角坐标系里，①求这条抛物线所对应的函数关系式。②若要在离跨度中心点M 5m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱应取多长？ ２、如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标 原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是． ３、圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形建筑物.拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度. ４、拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的 高度为m时，水面的宽度为多少米？ 环节四、作业 １、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( ) A．4米 B．3米 C．2 米 D．1米 ２、如图，有一个抛物线型拱桥，其最大高度为16m，?跨度为?40m，? 现把它的示意图放在平面直角坐标系中??，??则此抛物线的函数关系式为__________． ３、如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处M（1，2.25），如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要m，才能使喷出的水流不至落到池外．二次函数的特殊形式专题(交点式)
二次函数与特殊四边形综合问题专题训练(有答案)
二次函数平行四边形存在性问题例题
二次函数的交点式
【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式
二次函数抛物线型问题
二次函数小综合-二次函数与交点问题
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2(附答案)
二次函数的交点
二次函数中的存在性问题(答案)(可编辑修改word版)
二次函数经典解题技巧
二次函数应用(1)抛物线形问题
二次函数的交点式
二次函数交点式练习题
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题7(附答案)
二次函数与坐标轴交点专题
二次函数动点问题典型例题
二次函数专题训练(正方形的存在性问题)含答案
二次函数交点式公式
利用二次函数解决抛物线问题