沈阳理工大学 高数重修试题
2015-2016届第二学期高数重修考试
沈阳理工大学
———祁宇 机械院12届学长回忆
1 求2x y =和2y x =相交的面积，及其绕x 轴旋转之后的体积。
2 求??
???===32t z t y t x 在（1，1，1）处的切线及法平面。
3 求???Ωzdz ，22y x
z +=，4=z 。
4 将x
f 1=表示成x-3的幂级数。 5 求幂级数 ∑∞
=-01n n nx 的和，及其收敛域。 6求有盖长方体体积v=2，用料最少的时的长·宽·高。
7求1=xy x y =2=y 所围成的面积。
8已知三点A （a ，b ，c ） B （m ，n ，q ） C （j ，k ，l ） ,求三点共面方程。
9已知)1,0,1(-=→a ，),,(q n m AB =→，求的余弦向量，及两向量夹角。
→AB
高等数学1试卷(附答案)
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3． 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5． 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +
暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分， 第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）
高等数学重修下B试题
上海应用技术学院2010—2011学年第 2 学期 《高等数学工（2）》期（末）（B ）试卷 课程代码: B122012 学分: 5.5 考试时间: 100 分钟 课程序号: 1028835 1028833 1029591 班级： 学号： 姓名: 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将 愿接受相应的处理。 试卷共 5页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。 一．填空题（每空格2分，共计30分） （1）设)ln(),(2 2 y x y x f +=，则：=),(kx x f 。 （2）设函数),(y x f z =在),(00y x 处可导，且a y x f x =),(00，b y x f y =),(00 则：=?-?+→?y y x f y y x f y ) ,(),(lim 00000 ， =??--?+→?x y x x f y x x f x ) ,(),(lim 00000 。 （3）设3 2y x e z =，则：=dz 。 （4）函数2 2 2 z y x u ++=在点)1,1,1(沿→ → → → ++=k j i l 32的方向导数 =??) 1,1,1(l u ，=)1,1,1(gradu 。 （5）二次积分 ? ? -x dy y x f dx 10 10 ),(在直角坐标系下的另一种积分次序是 ，在极坐标系下的二次积分式是 。 （6）将三重积分 ???Ω dv z y x f ),,(化成直角坐标系下的三次积分，其中Ω是平面 1=++z y x 与坐标平面所围成的位于第一挂限的立体区域。
=???Ω dv z y x f ),,( 。 （7）L 是平面上任意一条闭曲线，则：? =+L ydy x dx xy 22 。 （8）曲线?????==-012 222z b y a x 绕y 轴旋转一周所得的旋转曲面方程 。 （9）级数∑∞ =?? ? ??132n n 的和是 。 （10）正项级数 ∑∞=1 n n u ，∑∞ =1 n n v 如果满足l v u n n n =∞→lim ，（+∞< 1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 大学高数考试挂科检讨书范文精选五篇 考试是检查我们学习情况的一种方式，而我们考试成绩不理想的话就说明我们没有很好的掌握知识，那么就需要加倍努力了。下面是 ___网的收集的关于大学高数考试挂科检讨书范文，欢迎借鉴参考。 尊敬的老师： 关于此次高数考试挂科的问题，我在此递交考试挂科的检讨书，由此来深刻反省我的错误，向您做出如实保证，并且提出诚恳改正措施，最大程度地弥补错误。 回顾错误经过，我在上一阶段数学学习过程当中出现了严重的厌学问题，一度数学课几乎没有认真地听，导致多门课程的知识点没有掌握。最终导致了此次单元数学考试不及格，得到了全班最低分。 面对错误，我感到羞愧万分，此次错误充分地暴露出我思想上存在着放松、懈怠自己的诸多问题。林林总总的问题，归根结底还是我不够成熟，没有充分意识到学习数学的重要性。 特此，我向您保证： 1、我今后一定提高自己对于数学这门学科的充分认识，努力提高自身学习素质，做到不偏学不偏科，不懈怠学习。 2、我一定努力进去，认真学习数学，提高数学成绩，争取在下阶段数学考试当中取得好成绩。 3、我必须充分地以此次错误为戒，反省自己，重新定位自身，争取早日成为一名德智体美劳全面发展的好学生。 总结，我愿意接受大家的监督! 检讨人：xx 20xx年xx月xx日 尊敬的导员： 您好! 这次高数考试我考的非常差，没有及格，原因在我平时上课没有认真学习，快要考试了才知道复习，自己高数底子差，上课时不努力下课后不练习，成绩提不上去。 这次挂科让我明白了学习需要勤奋，不能在大学期间浪费时间，而且如果我补考不能过，就得重修，我可不想在花时间重新学一遍高数。过去我上高数课，不是看手机，就是看课外书籍，从来就没有一天认真学习过。高数本来就比较难，我自己还不努力。我进入大学后认为上大学不需要如同高中时那么努力。拿个文凭很简单，可是如果我连续多次考试不合格，想毕业都难。 在高中时我的成绩不错，到了大学，我就开始不重视学习，而每天都在浪费青春，浪费上课时间，学习不知道努力。如果不是这次挂科，我还沾沾自喜，可能会一直这样学习下去，这不但不能学到任何东西，反而会错过了大学提升自己的机会。高数成绩差，我会从今以后好好努力，会加油赶上，不浪费时间，也不去做其他与学习无关的东西，努力提升自己的学习成绩，在大学也争取进入全校前十。 进入大学后，总认为大学可 ___安排，但我忘记一点，那就是大学需要靠我们自己积极学习，在大学靠的的是自主学习，不会有老师逼迫你学习，我不知道珍惜时间，只因为自己不喜欢学习高数， 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 高等数学重修个人学习心得 一提起“数学”课，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近12年的数学学习生涯，那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢？我认为首先要走出心理的障碍. 我想之前学不好高数的大半原因人都应该是自己学习高数没有兴趣,感觉学习高数枯燥乏味,面对的除了x,y,z别无他物. 而且在高中时的数学就没有学懂,因此一上来就失去了自信心,自认为自己不行，学不懂高数.为什么这么说呢？因为最开始认为学习高数是很枯燥的事.尤其是在凳子上一坐两个小时,听着老师的讲解,这更像是在解读天书.所以考试成绩也一直不甚理想,其实我曾经的数学学的就不是不好,高考时就因为数学没考好落榜，当时的心情可想而知，尤其来到大学看到高数课本时，刚开始自己也觉得很恐怖，因为在数学前边又加了“高等”二字，想想自己连“低等数学”都没学好，高等数学要怎么学呢？然后和大家一样，初来大学每天去占座，然后试着去认真听老师讲课，结果听着听着渐渐的思绪又飘远了，知道这次开始重修高数，用一种新的方式，不懂直接就可以请教老师，原来的时候在班级害怕不懂就问会被同学取笑，所以不会也只能默默吃着亏，但是自从这次重修，每到不懂得问题，直接就可以去问老师，老师的态度也特别特别和蔼，总是细心的给我讲述一道又一道的问题，有时候觉得自己的问题好低级，老师依旧没有怨言一点一点的去给我分析和指导，渐渐地我发现自己对高数有了一点兴趣，觉得高数不过如此嘛，然后就越来越注重高数的学习。现在我才感觉到，之前认为对高数或者别的科目没兴趣那只是心理作怪，因此要克服学习高数的困难应该先克服自己的心理.具体应该怎样克服这种心理难关呢?我认为最重要的是要找回自己的自信心，不要以为自己就学不好高数，不要以为自己就不是学习高数的料，心里要有一股不服输的劲，为什么别人都可以，就我学不好呢，因此学好高数我认为首先就是要有自信心和专心的思考.这才是学习好高数的基础。然后要注重学习方法。不懂就要问对于高数的学习，不同的人有不同的学习方法，经过这么长时间的重修，我渐渐的感觉到自己会的题要比原来多好多，有的题也可以试着自己去独立完成了，所以现在我认为不管是对高数还是对别的学科，学习，首先就要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，突然感觉以前的不好意思显得格外幼稚，知识学到肚子里才是自己的，最可笑的人不是什么都问的人，而是不懂装懂，只能默默吃着哑巴亏，等到真正考验自己的时候才一筹莫展到处寻找方法的人，其实感觉大学数学与中学数学明显的一个差异就在于大学数学强调数学的基础理论体系，而中学数学则是注重计算与解题，所以我都会照着书本一点一点去分析，实在不会的话马上问老师，学会举一反三，比如说积分的题不懂了，那就把导数公式，微分复习一下，然后再去问老师，免得出现老师说什么完全听不懂这种，其次认真听讲：带着问题去问老师，一定要集中注意力，专心听讲，然后仔细注意老师的讲解方法和解题思路，其分析问题和解决问题的过程，记好笔记，争取尽可能多的从老师那里学来更多的知识。 通过这次重修，老师对我的教导我才真正的明白，知识只有真正的掌握人才能硬气，想走偏门始终还是不成熟的心里，当真正学会的那一刹那，觉得内心的满足感是那样强烈，对考试也不会像原来一样害怕，甚至恐惧了，因为心里有底子了，所以感觉人也自信了，总之很感谢学校给予我们的这次重修的机会，也感谢我的老师对我孜孜不倦的教诲，千恩万谢也只有用优秀的成绩来回报老师与学校了。 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为 《高等数学》试卷（同济六版上） 一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、若函数x x x f =)(，则=→)(lim 0 x f x （ ）. A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）. A 、1ln (0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4 x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）. A 、极大值点 B 、极小值点 C 、驻点 D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）. A 、必要但非充分条件 B 、充分但非必要条件 C 、充分必要条件 D 、既非充分又非必要条件 5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、?+∞0 sin xdx B 、dx e x ?+∞-0 2 C 、dx x ? +∞ 1 D 、dx x ?+∞01 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 6、当k= 时，2 , 0(), x e x f x x k x ?≤?=?+>??在0=x 处连续. 7、设x x y ln +=,则 _______________dx dy =. 8、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是 . 9、若?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x = 10、定积分dx x x x ?-+5 54231 sin =____________. 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 11、求极限 x x x 2sin 2 4lim -+→. 12、求极限 2 cos 1 2 0lim x t x e dt x -→? . 13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy . 14、设函数)(x f y =由参数方程? ??=+=t y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d . 习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 昆明理工大学《高等数学》A (2)重修试卷(2013年) 一.填空题.（每题4分，共48分） 1.设)cos sin(),(y x y x f +=，则)2,0(π x f = 1 . 注：)cos cos(),(y x y x f x += 2.设y x z =，则=dz xdy x dx yx y y ln 1+- 3.设0),,(=z y x F 可确定任一变量是其余两变量的函数，则 =??????z y y x x z ..1-. 4.曲面14222=++z y x 上点（1,2,3）处的切平面方程为 01432=-++z y x . 注：14),,(222-++=z y x z y x F ,z F y F x F z y x 2,2,2===, 2(x-1)+4(y-2)+6(y-3)=0 5.交换积分次序，则= ?? dy y x f dx x x 1 0),(dx y x f dy y y ? ? 10 2 ),(. 6.设D 为x y x 222≤+，则σd y x f D ??+)(22在极坐标下的二次积分为 ρρρθθ ππ d f d ? ?-cos 20 2 /2 /)(. 7.设L 为122=+y x 在第一象限的弧段，则ds e L y x ?+2 2=e π2 1 . 8.曲线积分? =+) 8,6() 0,0(ydy xdx 50 . 注：) 8,6()0,0(22|)(2 1y x + 9.设曲面∑为221y x z --=，则??∑ ++dS z y x )(222=π2. 10.设∑是母线平行于z 轴的柱面，则??∑ dxdy z y x f ),,(= 0 . 11.微分方程2013=+'y y x 的特解为2013=y . 12.微分方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e x +. 二..计算题.（每题8分，共24分） 1.设(,)u v Φ具有连续偏导数,(,)z z x y =由方程(,)0cx az cy bz Φ--=所确定,求 z x ??, z y ??. 解：0)()(21=??-Φ+??-Φx z b x z a c 2 11Φ+ΦΦ=???b a c x z 0)()(21=??-Φ+??-Φy z b c y z a 212Φ+ΦΦ=???b a c y z 2.求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值. 解：由?????=+-=??=-+=??0?630?9632 2 y y y z x x x z 得四个驻点 )2,1(),0,1(),2,3(),0,3(4321P P P P -- 6622+=??=x x z A ,02=???= y x z B ,6622+-=??=y y z C (1)对P2:A=-12<0,B=0,C=-6<0, AC-B2=72>0,f(-3,2)=31为极大值. (2)对P3点: A=12>0,B=0,C=6>0, AC-B2=72>0, f(1,0)=-5为极小值; (3)对P1,P4点,都有AC-B2<0,故此两点不是极值点;因此:f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极值点为: (1,0)对应极小值:f(1,0)=-5,(-3,2)对应极大值:f(-3,2)=31. 3.求曲面222y x z +=与2226y x z --=所围立体的体积. 解：222y x z +=,2226y x z --=222=+?y x 第1章 函数与极限 1.用区间表达函数)4arcsin() 3ln(-+-= x x x y 的自然定义域]5,4()4,3(?. 解：应14,03,0)3ln(≤->-≠-x x x ，得141,3,13≤-≤->≠-x x x ，得]5,4()4,3(?. 3.已知1)1(2++=+x x x e e e f ,求)(x f 的表达式. 解法1：因为1)1()1(1)1(22++-+=++=+x x x x x e e e e e f ，所以1)(2+-=x x x f . 解法2：令1+=x e u ，则)1ln(-=u x ，代入式1)1(2++=+x x x e e e f ，得 11)1()1(1)(22)1ln()1ln(2+-=+-+-=++=--u u u u e e u f u u ，即得1)(2+-=x x x f . 5.A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0 . 6.=+ →x x x 0lim 1 ,=-→x x x 0lim ―1 ,处的极限情况为 不存在 . 解：在极限x x x +→0lim 中，+ →0x ，此时0>x ，所以11lim lim lim 000===+++ →→→x x x x x x x ， 在极限x x x -→0lim 中，- →0x ，此时0 大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .同济大学高等数学1期末试题(含答案)
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