第一章 函数与极限讲解
第一章函数与极限
函数与极限——微积分中的二个重要基本概念
函数——高等数学研究的基本对象．
极限——是否采用极限的运算方法，是高等数学与初等数学的根本区别．
第一节函数
一．函数概念：
１．常量与变量：
常量：某一变化过程中保持数值不变的量.
例：同一地点的ｇ=9.8米/秒2 (初等数学研究的主要对象)变量：在某一变化过程中取不同数值的量．
例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量.
一个量是常量还是变量只是相对而言的．
２．函数的概念：
函数关系——变量之间的依赖关系
函数定义：
ｘ与ｙ是两个变量，如果对于ｘ在数集Ｘ中所取的每一个值，通过ｘ与ｙ之间的某一对应律ｆ, 都有一个(或多个)确定的y 值与之对应, 则称f 是Ｘ上的函数.
记作：y=f(x)，x X．
ｘ称为自变量，ｙ称为因变量．Ｘ称为函数的定义
３．函数的表示方法：
√
解析法(如y = f (x))
列表法
函数的表示法
图象法
其他
解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:
cosx -π≤x≤0
(分段函数)
1 0＜x＜1
1/x x ≥1
注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数．
幂函数：ｙ=x a
指数函数：ｙ= a x
对数函数：ｙ=log a x
三角函数：ｙ=sinx ，y =cosx , y=tgx , y=ctgx.
反三角函数：y =arcsinx , y =arccosx ,
y =arctgx , y =arcctgx .
二．初等函数：
1．基本初等函数：(中学学过的）
2．复合函数：形如：ｙ= f [(φ(x)] ( u =φ(x) )
定义:设变量y 是变量u 的函数, 变量u 又是变量x 的函数即y = f (u) , u =φ(x), 如果变量x的某些值通过中间变量u
可以确定变量y 的值时, 则称y 是x 的复合函数, 记作
y = f [φ(x)]
( y—因变量, u—中间变量( 既是自变量又是因变量), x—自变量)注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域.
②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如: y=f｛φ[ω(x)]｝
例：y = cos (2t+π/3)那么拆成什么形式好呢?
▲.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基函数或是它们的和,差,积,商.
将复合函数拆成简单函数：（重点）
例：.
13sin 2)13sin(2-====-x v v u a y a y u x ，，可分解为：21sin 212
2sin ,.u x y y u v v x
ωω=====可分解为：，，例：可分解为: y = cosx , x =2t+π/3.
或: y = cos2x , x =t+π/6
3．初等函数
定义：由基本初等函数经过有限次加，减，乘，除四则运算和
有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数．
（注：不用一个式子表示的函数就不是初等函数）
问：分段函数是否是初等函数？不是初等函数，但它是一个函数.例：.arcsin 11cos ln 22
2x tgx x y x x a y x y +=-+==，，都是初等函数。
第二节函数的极限
极限概念的引入:
例1 . 有一变量其变化趋势为:1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , . . .,1/n , . . .
则该变量的极限是0.(数列极限)
一.函数的极限:
对于函数y = f (x) , 我们将分别考察以下两种情况的极限:
1 . 自变量x →x0时函数的极限.
2 . 自变量x →∞时函数的极限.x→x
-0时,函数的极限
x→x
+0时,函数的极限x→-∞时,函数的极限x→+∞时,函数的极限
1 . x →x 0时函数的极限:
记作: ⑴定义: 设函数f (x) 在点x 0附近有定义(但在x 0 处可以没有定义),
当自变量x 以任何方式无限趋近于定值x 0 时, 若函数f (x)无限趋近于一个常数A ,就说当x 趋近于x 0时, 函数f (x)以
A 为极限.注: ①仅要求函数在点x 0附近有定义,但在x 0 处可以没有定义.②“自变量x 以任何方式无限趋近于定值x 0”是指左趋近和右趋近(对于一元函数).
A
x f x x =→)(lim 0
⑵. 函数的单侧极限:
左极限：右极限：x 从左侧趋近于x 0时产生的极限.
记作:
x 从右侧趋近于x 0时产生的极限.
记作:
A
x f x x =+→)(lim 00A
x f x x =-→)(lim 00
即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函数的极限存在例: 右图中的函数f(x) (分段函数)
A x f x f A x f x x x x x x ===+→-→→)(lim )(lim )(:)(lim 0
0000
当且仅当存在的充要条件极限▲.B A x x 0o A x f x x =+→)(lim 00B
x f x x =-→)(lim 00∵A≠B, 即左极限≠右极限
∴此函数f (x)在x 0处的极限不存在
2 . x →∞ 时函数的极限:
⑴函数在正无限处极限:
⑵函数在负无限处极限:
⑶函数在正负无限处极限:
o x y
A A x f x =+∞→)(lim A
x f x =-∞→)(lim A x f x =∞
→)(lim
例: 对于函数f (x) = arctgx , x→∞时极限是否存在?
解: 当x →+∞时, f (x) = arctgx →π/2 ,
∴函数极限不存在(当x→∞ 时).
)(lim )(lim x f x f x x -∞→+∞→≠O Y
π/2
π-π/2
π当x →-∞时, f (x) = arctgx →-π/2 .A x f x f A x f x
x x
===-∞→+∞→∞→)(lim )(lim )(:)(lim 当且仅当存在的充要条件极限▲.
极限不存在的几种情形式:
1 . 当x→ x 0 (x →∞) 时, f (x) →∞ , 极限不存在.
这时虽然f (x) 的极限不存在, 但也可记作:
2 . 左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等时,极限不存在.
3 . 当x→ x 0 (x →∞) 时, f (x) 的变化趋势振荡不定,此时函数极限不存在.
∞=→)(lim 0x f x x ∞=∞
→)(lim x f x
二. 无穷小和无穷大.
1 . 无穷小定义:以零为极限的变量就是无穷小量.例: 当x → +∞ 时, 1/x 的极限为零;
当x → 1时, x-1 的极限也是零.
注: ①称一个函数是无穷小量时, 必须指出其自变量的变化趋势.
②无穷小量是变量而不是常数0 , 也不是很小的数( 如10-10000)
但0可以看成是无穷小量。
2 . 无穷大定义: 在变化过程中其绝对值无限变大,
(无穷大量的变化趋势和无穷小的变化趋势相反)
例: 当x → 0 时, 1/x 的值无限增大;
当x → π/2 时, y = tgx 的绝对值│y│无限增大.
注: ①称一个函数是无穷大量时, 必须指出其自变量的变化趋势.
②无穷大量是变量, 而不是一个很大的量.
▲. 无穷大量, 无穷小量是变量, 而不是一个确定的量.
3 .无穷小与无穷大的关系: 互为倒数关系
(在同一变化过程中).
例: 当x → 0 时,
1/x 为无穷大量,
而x为无穷小量.
4 . 无穷小定理:
定理1 . 函数f (x) 以A 为极限的充分必要条件是函数f (x)与常数A
之差是一个无穷小量.
即lim f (x) =A 成立的充要条件是: lim [ f (x) -A] = 0亦即, 若函数f (x)以A 为极限, 若设f (x) -A =α,
则α为该极限过程中的无穷小量.
02
11lim 211lim :22=-?=→→）（例x x x x
第一章函数与极限复习提纲
第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？ 解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x
第一章函数、极限、连续
第一章 函数 极限 连续 1.1 数列极限的求法 一 基本概念 数列极限、数列收敛、数列发散 1. 数列极限：lim n n x a →∞ = 描述语言：当n 充分大时，数列一般项n x 无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定的常数a ，则称a 就是数列{}n x 的极限． “N ε-”语言：0ε?>，N ?，当n N >时，有n x a ε-<． 二 基本结论 1. 收敛数列性质：唯一性；有界性；保号性；子序列的收敛性． 2. 单调有界原理：单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界必有极限，单调减少有下界必有极限． 3. 夹逼法则：若n n n y x z ≤≤，n N >，且lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==，则lim n n x a →∞ =． 4. 数列极限运算法则：设lim n n x A →∞ =，lim n n y B →∞ =，那么 （1）lim()n n n x y A B →∞ ±=±； （2）lim n n n x y AB →∞ ?=； （3）lim (0)n n n x A B y B →∞ =≠． （4）lim() n y B n n x A →∞ = 5. 两个重要极限：10 lim(1)e x x x →+=；0sin lim 1x x x →=． 这两个极限公式可以推广为：当0x x →时，()0f x →，则 1() lim(1()) e f x x x f x →+=；0sin () lim 1() x x f x f x →=． 三 基本方法 数列极限的未定式（不确定型）有八种形式： 00；∞∞ ；0?∞；∞±∞；1∞；0 ∞；00；无限个无穷小的和．
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
第一章 函数与极限的练习解答
一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，） ，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？ （1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 （2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 （3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。 （4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域：
（1） 23+=x y ； 解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。 （3）211x x y --=； 解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。 （5） x y sin =； 解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ； 解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥
(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
1第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）
高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点
第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
同济大学(高等数学)_第一章_函数极限
第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}； 第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =； （2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+； （3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；
答案高等数学第一章函数与极限试题
答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数； 反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故 应选(D).
【评注】 应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换，则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .
第一章函数和极限答案
第一章 函数与极限 一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调 性、周期性和有界性）的了解。 （ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。 （ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。 （ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）有关确定函数定义域的题型 1．（4分）1 )2ln()(+-= x x x f 的定义域为 21<<-x 2．（4分）) 2ln(1 )(x x x f -+= 的定义域为 [))2,1(1,1Y - 3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2 x f []1,1-∈x （2）（6分）)2(x f (]0,∞-∈x （3）（7分）)31 ()31(-++x f x f ?? ????∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x x f cos 1)2 (sin +=，则)(x f =)1(22 x - 6．（4分）设???????>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ??? ? ???>=<-=0,10,00,1)(x x x x f 7．求下列函数的反函数 （1）（4分）31+=x y 1,13 3-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-= 11 x x y y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x
第一章函数、极限与连续习题
第一章 函数、极限与连续 一、 选择题 1、 )(x f 与)(x g 不表示同一函数的是（ ） A x x f =)(与0,00 ,{)(=≠=x x x x g B x x f =)(与2)(x x g = C x x x f -+=11)(与22 )1(1)(x x x g --= D x x f arcsin )(=与x x g arccos 2)(-= π 2、 函数51arcsin )(-=x x f 的定义域是（ ） A []6,4- B []5,5- C []1,1- D []∞+,0 3、下列函数中，奇函数是（ ） A x x y cos += B 2x x e e y -+= C x x y cos = D )1ln(2x x y += 4、 下列极限存在的有（ ） A 10lim x x e → B 01lim 21 x x →- C 01lim sin x x → D 2(1)lim x x x x →∞+ 5、若232lim 43 x x x k x →-+=-，则k =( ) A 3 B -3 C 1 D -1 6、函数()y f x =在点a 处连续是()f x 在a 点有极限的( ) A 必要条件 B 充分条件 C 必要充分条件 D 无关条件
7、 ()x f x x =在0x →时的极限是( ) A 1 B -1 C 0 D 不存在 8、极限=∞→x x x sin lim （ ） A.1 B.∞ C.不存在 D.0 9、=+∞→x x e 1lim （ ） A.∞+ B. 不存在 C.0 D.1 10、1sin y x =( ) A 当0x →时为无穷小量 B 当0x →时为无穷大量 C 在区间()01内为无界变量 D 在区间()01内为有界变量 11、 若lim ()x f x →∞ 存在，lim ()x g x →∞不存在，则以下正确的是( ) A lim(()())x f x g x →∞+与lim ()()x f x g x →∞ 都存在； B lim(()())x f x g x →∞+与lim ()()x f x g x →∞ 都不存在； C lim(()())x f x g x →∞+必不存在，lim ()()x f x g x →∞可能存在； D lim ()()x f x g x →∞ 必不存在，lim(()())x f x g x →∞+可能存在； 12、 若0 lim () 1 x x f x →=，则( ) A 0() 1 f x = B 0 () 1 f x > C 0() 1 f x < D 0()f x 可能不存在 13、当0x →时，下面四个无穷小量中，( )是比其他三个更高阶的量。 A 2x B 1cos x -1 D 2 (1)x x e - 14、设x cos 1-=α，22x =β，则当0→x ，则（ ）
第一章 函数与极限知识点
第一章函数与极限 区间 [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 x (D为非空实数集) 函数y=f(x)、y=F(x) D D为函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。 函数的奇偶性 如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数； 如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称,若奇函数定义
域中含有0，则F(0)=0。f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。 函数的周期性 对于函数，若存在一个不为零的数l ，使得关系式 对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。 注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 反函数 反函数的定义： 设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M. 如果对于每一个M y ∈，有惟一的一个D x ∈与之对应，并使)(x f y =成立，则得到一个以y 为自变量，x 为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作 )(1y f x -= 显然，)(1 y f x -=的定义域为M ，值域为D. 由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示， 所以)(x f y =的反函数可表示为 )(1x f y -= 反函数的存在定理 若在(a ，b)上严格增(减)，其值域为 R ，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减). 注：严格增(减)即是单调增(减) 反函数的性质 在同一坐标平面内， 与 )(1 x f y -=的图形是关于直线y=x 对称。 关于直线y=x 对称的。如右图所示： 复合函数的定义 若y 是u 的函数： ，而u 又是x 的函数： ，且 的函数值的全部或部分在 的定义域内，那末，y 通过u 的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数 及 复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u 叫做中间变量。 注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 分段函数：？？？？
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续 (A) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞< 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以() x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 第一章 函数、极限与连续 1 . 若」 t =t 3 1，贝 U 「t 3 1 =( D ) A. t 3 1 B. t 6 2 C. t 9 2 D. t 9 3t 6 3t 3 2 2. 设函数 f x = In 3x ? 1 ? i 5 - 2x ? arcsin x 的定义域是 ( C ) 1 5 C. -1,1 D. -1,1 3 , 2 3 3. 下列函数 f x 与 g x 相等的是 （A ） — 2 A. f x = x 2 , g x - x 4 B . fx=x , gx= x C. f X gx 「X 1 x -1 4. 下列函数中为奇函数的是 （ A ) 2 x x 八 sin x f - c 2 — 2 2 ? A. y 2 B . y - xe x C sin x D . y = x cosx xsin x x 2 5 . 若函数 fxl=x , - 2：； x ：：： 2，则 f x-1 的值域为 （B ） A. 0,2 B. 0,3 C. 0,21 D. 0,31 6 . 函数y =10x4 -2 的反函数是（D ) x C . A . y =ig B .log x 2 x—2 a X X 是有理数 7.设函数 %是无理数° A . 当 Xr J 时， f x 是无穷大 B . 当 x- 工: 时， f x 是无穷小C. 当 Xr - ■时， f x 是无穷大 D . 当 x—. - ■时， f x 是无穷小 8 . 设 f x 在R上有定义 , f x 在点X。连续的（ A . 充分条件 C.必要条件 x2 a, cos x, 函数 f x 在点X。左、右极限都存在且相等是函数 B. 充分且必要条件 D. 非充分也非必要条件 x—1在 R 上连续，则 a 的值为（D） x::: 1 C. -1 D.-2 10.若函数 f x 在某点X。极限存在，则（C ） f x 在X o的函数值必存在且等于极限值 B. f x 在X o函数值必存在，但不一定等于极限值 C. f X 在X o的函数值可以不存在 D. 如果f X o存在的话 , 11 . 数列0，3 ，2，4，是 (B ) A.以0为极限 B.以1为极限 C . 以口为极限 D . 不存在在极限 n 1 12 . lim xsin 基 本 课 题 ： 第一章 函数与极限 第一节 函数 目 的 要 求 ： 理解函数的概念；了解函数四种特性的定义及基本初等函数、 复合函数与初等函数的定义；熟悉基本初等函数的图象及性 质；理解分段函数的概念并会画其图象。 重 点 ： 函数的概念、基本初等函数的图象和性质、复合函数的概念。 难 点 ： 函数的概念、复合函数的复合过程及分段函数的图象。 教 学 方 法 ： 讲授法。 教 参 ： 《高等数学》同济大学及自考教材等 教学环节及组织： 一．介绍高等数学课程的基本情况，使学生对这门课有一个初步的认识，并 给学生提出基本要求，促使学生努力学好高数课。 二．学习新课：复习函数的概念让学生举例生活中的函数例子，复习常用的初 等函数以及性质，理解初等函数的概念。 第一节 函数 一. 函数 1.函数的概念 定义1 设x 和y 是两个变量，D 是一个非空数集，存在一个对应法则f ，对 于任意x D ∈，都有唯一确定的y 值与之对应，则称y 是定义在D 上的变量x 的 函数，记作()y f x =，称x 为自变量，y 为因变量，D 称为函数的定义域，数集 {}()f x x D ∈称为函数的值域。 定义2 设,a R δ∈，实数集合{} x x a δ-<即a x a δδ-<<+，称点a 的δ邻域，记作(),U a δ，点a 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径。把邻域中心 去掉，实数集合{} 0x x a δ<-<称点a 的去心δ邻域，也称空心邻域，记作(),U a δ，代表的区间是()(),,a a a a δδ-+。 例1 如图1-2所示，函数10sgn 010x y x x x >??== 0 =??- 第一章函数与极限 函数与极限——微积分中的二个重要基本概念 函数——高等数学研究的基本对象． 极限——是否采用极限的运算方法，是高等数学与初等数学的根本区别． 第一节函数 一．函数概念： １．常量与变量： 常量：某一变化过程中保持数值不变的量. 例：同一地点的ｇ=9.8米/秒2 (初等数学研究的主要对象)变量：在某一变化过程中取不同数值的量． 例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量. 一个量是常量还是变量只是相对而言的． ２．函数的概念： 函数关系——变量之间的依赖关系 函数定义： ｘ与ｙ是两个变量，如果对于ｘ在数集Ｘ中所取的每一个值，通过ｘ与ｙ之间的某一对应律ｆ, 都有一个(或多个)确定的y 值与之对应, 则称f 是Ｘ上的函数. 记作：y=f(x)，x X． ｘ称为自变量，ｙ称为因变量．Ｘ称为函数的定义 ３．函数的表示方法： √ 解析法(如y = f (x)) 列表法 函数的表示法 图象法 其他 解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如: cosx -π≤x≤0 (分段函数) 1 0＜x＜1 1/x x ≥1 注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数． 幂函数：ｙ=x a 指数函数：ｙ= a x 对数函数：ｙ=log a x 三角函数：ｙ=sinx ，y =cosx , y=tgx , y=ctgx. 反三角函数：y =arcsinx , y =arccosx , y =arctgx , y =arcctgx . 二．初等函数： 1．基本初等函数：(中学学过的） 2．复合函数：形如：ｙ= f [(φ(x)] ( u =φ(x) ) 定义:设变量y 是变量u 的函数, 变量u 又是变量x 的函数即y = f (u) , u =φ(x), 如果变量x的某些值通过中间变量u 可以确定变量y 的值时, 则称y 是x 的复合函数, 记作 y = f [φ(x)] ( y—因变量, u—中间变量( 既是自变量又是因变量), x—自变量)注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域. ②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如: y=f｛φ[ω(x)]｝ 高等数学第一章函数与极限考试 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x 第一篇函数、极限与连续 第一章函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A、B、C、 表示集合，用小写字母a、b、c、 表示集合的元素. a∈，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元如果a是集合A的元素，则表示为A a?，读作“a不属于A”. 素，则表示为A 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无 限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}； 第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =； （2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+； （3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=； （4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ，即 ? ?????∈∈=+ 互质与且q p N q Z p q p Q ,,； （5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R . 1.1.2 区间与邻域 在初等数学中，常见的在数集是区间.设R b a ∈,，且b a <，则 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)(lim =-+∞ →x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )11(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim -+→ =（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = . 12. lim →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x(完整版)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
第一章函数、极限与连续习题答案.doc
第一章函数极限连续
第一章 函数与极限讲解
高等数学第一章函数与极限考试
同济大学(高等数学)第一章函数极限
高等数学第一章函数与极限试题