八年级初二数学第二学期勾股定理单元 易错题难题质量专项训练

八年级初二数学第二学期勾股定理单元 易错题难题质量专项训练

一、解答题

1．已知ABC ?中，AB AC =.

（1）如图1，在ADE ?中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：

BD CE =

（2）如图2，在ADE ?中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，

CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；

（3）如图3，在BCD ?中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求

AD

AB

的值.

2．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．

（体验）（1）从特殊入手 许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持

不动，让

从重合位置开始绕点转动，在转动的

过程，观测

的大小和

的形状，并列出下表：

的大小 的形状

…

直角三角形 …

直角三角形

…

请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；

（2）猜想一般结论在中，设，，（），

①若为直角三角形，则满足；

②若为锐角三角形，则满足____________；

③若为钝角三角形，则满足_____________．

（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面

（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．

（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）

A．一定是锐角三角形

B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形

C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形

3．在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （m ，0）在坐标轴上，点C ，O 关于直线AB 对称，点D 在线段AB 上．

（1）如图1，若m ＝8，求AB 的长；

（2）如图2，若m ＝4，连接OD ，在y 轴上取一点E ，使OD ＝DE ，求证：CE ＝2DE ； （3）如图3，若m ＝43，在射线AO 上裁取AF ，使AF ＝BD ，当CD +CF 的值最小时，请在图中画出点D 的位置，并直接写出这个最小值．

4．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．

（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是 ． （2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．

5．在ABC ?中，90ACB ∠=?，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线

AB 于点H ．

（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．

6．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），

①若△DMN的边与BC平行，求t的值；

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

图1 图2 备用图

7．如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a，且点A、D、E在同一直线上，连结BE.

(1)求证: AD=BE.

(2)如图2,若a=90°，CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 试求AB的长.

(3)如图3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接写出AE的值(用a, b 的代数式表示).

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．

(1)若∠A＝35°，则∠CBD的度数为________；

(2)若AC＝8，BC＝6，求AD的长；

(3)当AB＝m(m>0)，△ABC的面积为m＋1时，求△BCD的周长．(用含m的代数式表示) 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度

沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．

（1）AE ＝ （用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是 度； （2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ； （3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；

（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．

10．如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，2BC AC =.

(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ?的面积.

(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点

M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.

11．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．

（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．

（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．

12．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=?，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在

ABD 内部，

90EAP ∠=?，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．

下列结论：

①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5； ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ??+=+；

=5

32

ABD S ?+③；

④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为

5+232-；

⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得

AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．

其中正确结论的序号是___．

13．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）． （1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值； （2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；

（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．

14．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．

（1）求证：AE ＝BD ；

（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；

（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．

15．如图，在ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ， （1）求证：ABD ACE ?； （2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，

①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； ②若3BD =，4CF =，求AD 的长，

16．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．

（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC

（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）

17．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；

（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150?，请写出p 、q 的关系式并证明；

（3）如图3，点M 的“距离坐标”为3)，且∠DOB = 30?，求OM 的长．

18．如图，已知ABC ?中，90B ∠=?，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ?边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．

（1）当2t =秒时，求PQ 的长；

（2）求出发时间为几秒时，PQB ?是等腰三角形？

（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

19．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°

（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；

②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；

（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．

20．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:

(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;

(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2

a b +的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）详见解析；（241；（33. 【分析】

（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证

1

302

FEA AED ∠=

∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB . 【详解】

(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ， 即∠EAC=∠DAB. 在△ACE 与△ABD 中，

AD AE EAC BAB AC AB =??

∠=∠??=?

， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)， ∴BD CE =； (2)连接BD

因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=， 所以ADE ?是等边三角形

因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4 因为CE AD ⊥ 所以1

302

FEA AED ∠=

∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)， 所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5

所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠= 所以BE=22225441BD DE +=+=

(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠= 所以AE=

222AB AC AC +=

因为AB AC = 所以AE 2AB = 又因为45CAB ∠= 所以90ABE ∠= 所以(

)

2

22

223BE AE AB AB AB AB =

+=

+=

因为45CBD CDB ∠=∠= 所以BC=CD, 90BCD ∠= 因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS) 所以AD=BE=3AB 所以

33AD AB

AB ==

【点睛】

考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键. 2．【体验】 （1），5；（2）②

；③

；【探索】

为锐角三

角形；道理见解析；【应用】．

【解析】

【分析】

本题从各个角度证明了勾股定理，运用图形与证明结合，依次证明即可,具体见详解.

【详解】

体验：（1）

如上图，

（2）

根据大角对大边，若为直角三角形，则满足，那么锐角、钝角如下;②；

③．

【探索】

在中，，

在中，，

在中，，

∴，

∴为锐角

同理，和都为锐角．

∴为锐角三角形．

【应用】

根据【探索】中的方法，进行探究可以发现，可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，故答案选C

【点睛】

本题考查了勾股定理的证明及应用，以及三角形的边与边的关系，能利用数形结合是解答此题的关键.

3．（1）AB＝52）见解析；（3）CD+CF的最小值为7.

【分析】

（1）根据勾股定理可求AB的长；

（2）过点D作DF⊥AO，根据等腰三角形的性质可得OF＝EF，根据轴对称的性质等腰直角

三角形的性质可得AF ＝DF ，设OF ＝EF ＝x ，AE ＝4﹣2x ，根据勾股定理用参数x 表示 DE ，CE 的长，即可证CE ＝2DE ；

（3）过点B 作BM ⊥OB ，在BM 上截取BM ＝AO ，过点C 作CN ⊥BM ，交MB 的延长线于点N ，根据锐角三角函数可得∠ABO ＝30°，根据轴对称的性质可得AC ＝AO ＝4，BO ＝BC ＝43，∠ABO ＝∠ABC ＝30°，∠OAB ＝∠CAB ＝60°，根据“SAS ”可证

△ACF ≌△BMD ，可得CF ＝DM ，则当点D 在CM 上时，CF +CD 的值最小，根据直角三角形的性质可求CN ，BN 的长，根据勾股定理可求CM 的长，即可得CF +CD 的最小值． 【详解】

（1）∵点A （0，4），B （m ，0），且m ＝8， ∴AO ＝4，BO ＝8， 在Rt △ABO 中，AB ＝

2245AO BO +=

（2）如图，过点D 作DF ⊥AO ，

∵DE ＝DO ，DF ⊥AO ， ∴EF ＝FO ， ∵m ＝4， ∴AO ＝BO ＝4，

∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°， ∵点C ，O 关于直线AB 对称，

∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，AO ＝AC ＝OB ＝BC ＝4， ∴∠CAO ＝∠CBO ＝90°， ∵DF ⊥AO ，∠BAO ＝45°， ∴∠DAF ＝∠ADF ＝45°， ∴AF ＝DF ，

设OF ＝EF ＝x ，AE ＝4﹣2x ， ∴AF ＝DF ＝4﹣x ，

在Rt △DEF 中，DE ()2

222242816EF DF x x x x +=+-=-+

在Rt △ACE 中，CE ()()

2

222164222816AC AE x x x +=+-=-+

∴CE 2DE ，

（3）如图，过点B 作BM ⊥OB ，在BM 上截取BM ＝AO ，过点C 作CN ⊥BM ，交MB 的延长线于点N ，

∵m＝43，∴OB＝43，

∴tan∠ABO＝

3

3

43

AO

BO

==，

∴∠ABO＝30°

∵点C，O关于直线AB对称，

∴AC＝AO＝4，BO＝BC＝43，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，

∴∠CAF＝120°，∠CBO＝60°

∵BM⊥OB，∠ABO＝30°，

∴∠ABM＝120°，

∴∠CAF＝∠ABM，且DB＝AF，BM＝AO＝AC＝4，

∴△ACF≌△BMD（SAS）

∴CF＝DM，

∵CF+CD＝CD+DM，

∴当点D在CM上时，CF+CD的值最小，

即CF+CD的最小值为CM的长，

∵∠CBO＝60°，BM⊥OB，

∴∠CBN＝30°，且BM⊥OB，BC＝43，

∴CN＝23，BN＝3CN＝6，

∴MN＝BM+BN＝4+6＝10，

在Rt△CMN中，CM＝2247

CN MN

+=，

∴CD+CF的最小值为47.

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．

4．（1）△AEF是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F到BC的距离为3﹣．

【解析】

【分析】

（1）连接AC，证明△ABC是等边三角形，得出AC＝AB，再证明△BAE≌△DAF，得出AE

＝AF，即可得出结论；

（2）连接AC，同（1）得：△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再证明△BAE≌△CAF，即可得出结论；

（3）同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，得出AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，证明△BAE≌△CAF，得出BE＝CF，AE＝AF，证出△AEF是等边三角形，得出∠AEF ＝60°，证出∠AEB＝45°，得出∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，作FH⊥BC于H，在△CEF 内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，则GE＝GF，∠FGH＝30°，由直角三角形的性质得出FG＝2FH，GH＝FH，CF＝2CH，FH＝CH，设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，得出EH＝4+x＝2x+3x，解得：x＝﹣1，求出FH＝x ＝3﹣即可．

【详解】

（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：

连接AC，如图1所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠D，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB，

∵点E是线段CB的中点，

∴AE⊥BC，

∴∠BAE＝30°，

∵∠EAF＝60°，

∴∠DAF＝120°﹣30°﹣60°＝30°＝∠BAE，

在△BAE和△DAF中，

，

∴△BAE≌△DAF（ASA），

∴AE＝AF，

又∵∠EAF＝60°，

∴△AEF是等边三角形；

故答案为：等边三角形；

（2）证明：连接AC，如图2所示：

同（1）得：△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，

∵∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

∵∠BCD＝∠BAD＝120°，

∴∠ACF＝60°＝∠B，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF；

（3）解：同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，

∴∠ACF＝120°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABE＝120°＝∠ACF，

∵∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF，AE＝AF，

∵∠EAF＝60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠AEF＝60°，

∵∠EAB＝15°，∠ABC＝∠AEB+∠EAB＝60°，

∴∠AEB＝45°，

∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，

作FH⊥BC于H，在△CEF内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，如图3所示：

则GE＝GF，∠FGH＝30°，

∴FG＝2FH，GH＝FH，

∵∠FCH＝∠ACF﹣∠ACB＝60°，

∴∠CFH＝30°，

∴CF ＝2CH，FH＝CH，

设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，∵BC＝AB＝4，

∴CE＝BC+BE＝4+2x，

∴EH＝4+x＝2x+3x，

解得：x＝﹣1，

∴FH＝x＝3﹣，

即点F到BC的距离为3﹣．

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

5．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为

333．理由见解析.

【分析】

（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出

CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.

（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当

ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离． 【详解】

（1）CF FH =

证明：延长DF 交AB 于点G

∵在ABC △中，90ACB ∠=?，6AC BC ==， ∴45A B ∠=∠=?

∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，

∴90EDF ∠=?，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．

∴45AGD DEF ∠=∠=?，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=?， ∴135CEF FGH ∠=∠=?，

∵点D 是AC 的中点，∴1

32

CD AD AC ===，∴CD DG =

∴CE FG =

∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=?，∴90GFH CFD ∠+∠=? ∴DCF GFH ∠=∠ ∴CEF FGH ≌ ∴CF FH =；

（2）依然成立

理由：设AH ，DF 交于点G ， 由题意可得出：DF=DE ， ∴∠DFE=∠DEF=45°， ∵AC=BC ， ∴∠A=∠CBA=45°， ∵DF ∥BC ， ∴∠CBA=∠FGB=45°， ∴∠FGH=∠CEF=45°， ∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ，

∴DG=

12BC,DC=1

2AC ， ∴DG=DC ， ∴EC=GF ，

∵∠DFC=∠FCB ， ∴∠GFH=∠FCE ， 在△FCE 和△HFG 中

CEF FGH EC GF

ECF GFH ∠=∠??

=??∠=∠?

， ∴△FCE ≌△HFG(ASA)， ∴HF=FC.

由（1）可知ABC △和CFH △均为等腰直角三角形 当他们面积相等时，6CF AC ==． ∴2233DE DF CF CD =-= ∴333CE DE DC =-= ∴点E 与点C 之间的距离为333．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.

6．（1）见详解；（2）①t值为：10

3

s或6s；②t值为：4.5或5或

49

12

．

【分析】

（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；

（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；

②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，

在Rt△ACD中，AC=5x，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，

∴S△ABC=1

2

×5x×4x=40cm2，而x＞0，

∴x=2cm，

则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由运动知，AM=10-2t，AN=t，

①当MN∥BC时，AM=AN，

即10-2t=t，

∴

10

3

t ；

当DN∥BC时，AD=AN，∴6=t，

得：t=6；

∴若△DMN的边与BC平行时，t值为10

3

s或6s．

②存在，理由：

Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；

Ⅱ、当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形

Ⅲ、当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，

∴DE=1

2

AC=5

当DE=DM，则2t-4=5，

∴t=4.5s；

当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=5s；

当MD=ME=2t-4，

如图，过点E作EF垂直AB于F，

∵ED=EA，

∴DF=AF=1

2

AD=3，

在Rt△AEF中，EF=4；

∵BM=2t，BF=BD+DF=4+3=7，

∴FM=2t-7

在Rt△EFM中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，

∴t=49 12

．

综上所述，符合要求的t值为4.5或5或49 12

．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．

7．（1）见解析；（2）26；（3）

3

3

a+3

【分析】

（1）由∠ACB=∠DCE可得出∠ACD=∠BCE，再利用SAS判定△ACD≌△BCE，即可得到AD=BE；

（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=1

2

DE，同（1）可证△ACD≌△BCE，得到

AD=BE，然后可求AE的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB的长；

（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出DE=2

3CM ，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案. 【详解】

证明：（1）∵∠ACB=∠DCE

∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE 在△ACD 和△BCE 中，

AC=BC ACD=BCE CD=CE ??

∠∠???

∴△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴AD=BE

（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ， ∴△DCE 为等腰直角三角形， ∵CM ⊥DE ，

∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点 ∴CM=

1

2

DE ， ∴DE=2CM=14， ∵∠ACB=∠DCE

∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE 在△ACD 和△BCE 中，

AC=BC ACD=BCE CD=CE ??

∠∠???

∴△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE ∴AE=AD+DE=24

如图，设AE ，BC 交于点H ，

在△ACH 和△BEH 中，

∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH ，而∠CAH=∠EBH ， ∴∠BEH=∠ACH=90°， ∴△ABE 为直角三角形