一次函数与特殊平行四边形专题

一次函数与特殊平行四边形专题

1、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，3）．点C的坐标为（0，m），其中m＜2，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，

且满足OD=2OC，连结DE，以DE，DA为边作?DEFA．

（1）图中AB= ；BE= （用m的代数式表示）．（2）若?DEFA为矩形，求m的值；

（3）是否存在m的值，使得?DEFA为菱形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明

理由．

2、在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置，已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB （含端点）或其延长线交于点F．请回答：

（1）如图1，若点E的坐标为（0，4），求点A的坐标；

（2）将矩形沿直线y=- 1 x/2+n折叠，求点A的坐标；

（3）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围．

3、如图，在平面直角坐标系中，直线y=- 3 x/4+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），四边形ABCD是正方形．

（1）填空：b= ；

（2）求点D的坐标；

（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在

另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理

由；若存在，请求出点N的坐标．

4、如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边0C上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且AF/AE=4/3．若线段OA=8，又2AB=30A．请解答下

列问题：

(1)求点B、F的坐标：

(2)求直线ED的解析式：

(3)在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动。以CP，CO为邻边构造□PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒.

（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；

（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；

（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截

取FM=2，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD的面积为S.

①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；

②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围.

5、如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，点A的坐标为（1，0）∠ABO=30°，过点B的直线y=m与x轴交于点C．

（1）求直线l的解析式及点C的坐标．

（2）点D在x轴上从点C向点A以每秒1个单位长的速度运动（0＜t＜4），

过点D分别作DE∥AB，DF∥BC，交BC、AB于点E、F，连接EF，点G为

EF的中点．

①判断四边形DEBF的形状并证明；②求出t为何值时线段DG的长最短．

（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．

6、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA=8、OB=6，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．

（1）求线段AB的长；

（2）求直线CE的解析式；

（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使

以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的

坐标；若不存在，请说明理由．

7、如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于

点H，线段BC=2，OC=4．

（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、

M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐

标；若不存在，请说明理由．

8、在直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于A，交y轴于 D

（1）以A为直角顶点作等腰直角△AMD，直接写出点M的坐标

为。

（2）以AD为边作正方形ABCD，连BD，P是线段BD上（不与B、

D重合）的一点，在BD上截取PG= ，过G作GF⊥BD，交BC

于F，连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你

的结论；

（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45°，试判断线段PD、PG、BG之间有何关系，并证明你的结论．

9、如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，

3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），

得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于

点P，连AP、AG．

（1）求证：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，

说明理由；

（3）当∠1=∠2时，一次函数y=kx+b经过点P、E，求它的解析式．

10、OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x

轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．

（1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，

记作B′点．求B′点的坐标；

（2）求折痕CM所在直线的解析式．

11、如图，已知四边形ABCD为矩形，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（8，0），点P是线段BC上一动点，已知点D是直线AE上位于第一象限的任意一点，直

线AE与x轴交于点E（-3，0）；

（1）求直线AE的关系式；

（2）连接PD，当AD=AP、∠DAP=90°时，求直线DP的函数关系式；

（3）若将直线AD向右科移6个单位后，在该直线上是否存在一点D，使

△APD成为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，

请说明理由．

12、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别

为（0，5）、（0，2）、（4，2），直线l的解析式为y=kx+5-4k（k＞0）．

（1）当直线l经过点B时，求一次函数的解析式；

（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点D；

（3）直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点，且△NBD为等腰

三角形，试探究：

①当函数y=kx+5-4k为正比例函数时，点N的个数有个；

②点M在不同位置时，k的取值会相应变化，点N的个数情况可能会改变，

请直接写出点N所有不同的个数情况以及相应的k的取值范围．

13、如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在直线

的解析式分别为y=x和y=-x+．

（1）求正方形OABC的边长；

（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，

速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k

个单位，设运动时间为2秒．当k为何值时，将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两

个三角形组成的四边形为菱形？

14、如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点

（1）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；

（2）若点P的坐标为（1，t）

①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）

②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）

（3）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出

它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．

15、如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D（0，0），B（3，4），

矩形ABCD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E，F分别在BC，AB边上且F （1，4）．

（1）求G点坐标；

（2）求直线EF解析式；（3）点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M，

N，F，G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，

说明理由．

16、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴负半轴上，S△ABC=28．点P是线段CA上一动点．

（1）求直线CB的解析式；

（2）H是直线BC上一点，在平面内是否存在一点R，使以点O，B，H，R

为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说

明理由．

17、在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E 在OA边上．

（1）如图1，当CG=OD时，直接写出点D和点G的坐标，并求直线DG的函数表达式；（2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S．

①求S与a的函数关系式；

②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由；

（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为．

18、如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝-x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝

（1）分别求出点A、B、C的坐标；

（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、

C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说

明理由．

19、如图①，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以

OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．

（1）求点A、C的坐标；

（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，

求直线CD的解析式（图②）；

（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△

ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，

请说明理由．

20、如图1，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点O是AB的中点，直线l：y=kx﹣2k+4过定点C，交x轴于点E．

（1）求正方形ABCD的边长；

（2）如图2，当k=﹣时，过点C作FC⊥CE，交AD于点F，连接EF，BD相交于点H，BD交y轴于G，求线段GH的长．

（3）如图3，在直线l上有一点N，CN=，连接AN，点M为AN的中点，连接BM，求线段BM的长度的最小值，并求出此时点N的坐标．