上海市八年级数学上册教案之正比例函数概念及图像

学科教师辅导讲义

学员日校：年级：初二课时数：2

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课题正比例函数的认识和图像

教学目标正比例函数的认识和图像

重点、难点正比例函数的认识和图像

考点及考试要求

教学内容

正比例函数

知识精要

1. 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数(这个常数不等于零)那么就说这两个变量成正比例.

2. 解析式形如y=kx(k是不等于零的常数)的函数叫做正比例函数,其中常数k叫做比例系数

3. 一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k 0)的图像是经过原点O(0,0)和点M(1,k)的一条直线.我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx

4. 正比例函数性质

(1)当k>0时,正比例函数的图像经过第一,三象限;自变量x的值逐渐增大时,y的值也随着逐渐增大.

(2)当k<0时,正比例函数的图像经过第二,四象限;自变量x的值逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小.

1. 下列各题中的两个变量是否成正比例?

(1)某复印社按复印A4纸1张收0.4元计费,变量是复印纸张数x(张)与费用y(元).

是 x 4.0y =

(2)正方形ABCD 的边长为6,P 是边BC 上一点,变量是BP 的长x 与△ABP 的面积S.

是 x 3S =

(3)圆的面积随半径变化而变化,变量是圆的面积A 与该圆半径r.

不是 2r A π=

2. 下列函数中,哪些是正比例函数?

(1)5x y -=; (2)x

5y =; (3)x -3y =; (4)2x 2y = 是 不是 不是 不是

3. 已知在函数8k 2x )3k (y --=中,当x 为何值时,它是正比例函数?

3k -=

4. 若函数)4m (x )1m 4(y -+-=是正比例函数,那么m=_____4___________

5. 已知正比例函数8x y =

,那么y 与x 之间的比例系数是_____81________

6. 如果2个变量y 与x 的比值为k

1,这里的k 为常数且不为零,那么y 与x__成___正比例.(填”成”或”不成”)

7. 已知y 与x 成正比例,当x=4时,y=6,求y 与x 的比例系数.

2

3k =

8. 已知3y 与2x 2成正比例,当5x =

时,7y =,求y 关于x 的函数解析式.

2x 5

7y =

9. 如果)1k 3(kx y -+=是正比例函数,求当y=6时,x 的值.

3

1k = x=18

10. 若点P 在直线x 2y -=上,且点P 的横坐标为1,那么点P 的坐标为__(1,2-

)___

11. 正比例函数图像上有两点A(3,1),B(a,2),则a=___32_______

12. 在同一个直角坐标平面内画出两个函数的图像:

(1)x 4y =与x 41y =

(2)x 3

1y -=与x 3y -=

图略

13. 已知mn<0,那么函数x n

m y =

的图像经过第___二,四_____象限. 14. 已知正比例函数x )4a 1(y -=,y 的值随着x 的值增大而增大,求a 的取值范围.

a<4

15. 函数kx y =(k ≠0)的图像经过点A(2

1-

,5),写出函数解析式,并说明函数图像经过哪几个象限.

16. 已知正比例函数x )1k 2(y +=的图像经过第二,四象限,那么k<2

1-______ 17. 若正比例函数x )3m (y -=,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是____m<3________

18. 已知点(11y ,x ),(22y ,x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上,当21x x >时,21y y <,那么k 的取值范围是多少?

k<2

19. 已知y 与x 的正比例函数,且当6x =时-2y =

(1)求出这个函数的解析式;

(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像;

(3)如果点P(a,4)在这个函数的图像上,求a 的值;

(4)试问,点A(6,-2)关于原点对称的点B 是否也在这个图像上?

(1) x 3

1y -=

(2) 图略

(3) 12a -=

(4) 在

20. 已知y-3与5x 成正比例关系,且当x=2时,y=8,求-4x =时y 的值.

2

x 53y =

- 7y -=

21. 已知21y y 2y -=,1y 与3x 成正比例,2y 与5)(x +成正比例,且1x =时, 12y =, 1x -=时,2y -=,求y 与x 的函数解析式

)5x (k x 3k 2y 21+-⋅=

⎩

⎨⎧+---⋅=-+-⋅=)51(k )3(k 22)51(k 3k 2122121 ⎩⎨⎧-==1k 1k 2

1 5x 7y +=

巩固练习

1. 判断题

(1) 当k ≠0时,y=(k-1)x 是正比例函数. ( × )

(2) 当k ≠1时,y=kx-x 是正比例函数. ( √ )

(3) 如果3n 2x )2n (y --=是正比例函数,那么2n ±=. ( × )

(4) 如果y 与x+2成正比例,那么y 是x 的正比例函数. ( × )

2. 正比例函数kx y =(k 为常数,k ≠0)的图像是经过_原点__和点(1,__k___)的一条直线.

3. 若正比例函数的图像经过点(-1,3),则这个正比例函数的解析式是__x 3y -=____

4. 当a=___-3____时,)9a (x )3a (y 2-+-=是正比例函数,图像经过第__二,四__象限.

5. 如果直线kx y =平分第一,三象限,那么k=____1_________

6. 正比例函数kx y =的图像经过点)5,21(-

,则图像一定经过__二,四___象限. 7. 已知点A(m,-3)在直线x 3y =上,那么m=__3-____

8. 下列函数中，是正比例函数的是 ( D )

A. 3-x y =

B. x 52y -

= C. 2x y = D. 7

x 2y -=

9. 已知y 是x 的正比例函数,且当x=2时,y=2,求y 与x 之间的比例系数,写出函数解析式,并求当y=34时,x 的值.

x 2y =

62x =

10. 已知正比例函数x )k 25(y -=的图像经过第二,四象限,求k 的取值范围.

2

5k >

11. 已知2y-3与4x+5成正比例,且当x=1时,y=15,求y 与x 的函数关系式.

9x 6y +=

12. 函数2)2k (x )2k (y --=是正比例函数,且y 的值随着x 的减小而增大,求k 的值.

k=1

13. 已知6k k x )2k (y 2-++-=为正比例函数.

(1) 求k 的值及函数解析式

(2) 当x 取什么值时,函数的值为

43

(1) 3k -= x 5y -=

(2) 20

5x -=

14. 一个正比例函数的图像经过点A(-1,3),B(-a ，-a-1),求a 的值.

x 3y -=

4

1a -=

15. 已知点P(2a,3b)且a 与b 互为相反数,过点P 作y 轴的垂线,垂足为点H,如果15S POH =∆.

求: (1)点P 的坐标;(2)直线OP 的解析式.

(1) )53,52(P -或)53,52(P -

(2) x 2

3y -=

13. 点燃的蜡烛,长度按照与时间成正比例缩短,一支长21cm 的蜡烛,点燃6分钟后,缩短3.6cm.设蜡烛点燃x 分钟后,缩短y cm,求y 的函数解析式和x 的取值范围.

x 6.0y = )35x 0(≤≤

14. 已知正比例函数图像过点(-2,5),过图像上一点A 作y 轴的垂线,垂足为B 的坐标为(0,-3);

(1) 求函数解析式;

(2) 在直角坐标平面内画出函数图像;

(3) 求A 点坐标及AOB S ∆.

(1) x 25y -

=

(2) 图略

(3) A(

,56-3) S=59

15. 已知直线y=kx 过点(2

1-,3), A 为y=kx 图像上的一点,过点A 点向x 轴引垂线,垂足为点B,12S AOB =∆ (1) 求函数解析式

(2) 在直角坐标平面内画出函数图像;

(3) 求A 点,B 点的坐标.

(1) x 6y -=

(2) 图略

(3) A(2,-12) B(2,0) 或 A(-2,12) B(-2,0)

16. 已知在正比例函数7m

22x )3m 2()x (f --=中,y 随x 的值减小而增大. (1) 求m 的值;

(2) 求)32(f ;

(3) 在直角坐标平面内画出函数图像,并根据图像说明;当x 取何值时,2y -≤

(1) 2m -=

(2) 314)32(f -

=

(3) 27x ≥