高等数学不定积分综合测试题
第四章测试题A 卷
一、填空题(每小题4分,共20分) 1、函数2x 为 的一个原函数.
2、已知一阶导数 (())f x dx '=?
,则(1)f '=
3、若()arctan xf x dx x C =+?,则
1
()
dx f x ?
= 4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续,则不定积分()xf x dx ''?
=
5、不定积分cos cos ()x xd e ?
=
二、选择题(每小题4分,共20分)
1、已知函数2
(1)x +为()f x 的一个原函数,则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ] (A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x + 2、已知
()sin x x e f x dx e x C =+?
,则()f x dx ?= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C + (C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++ 3、若函数
ln x
x 为()f x 的一个原函数,则不定积分()xf x dx '?= [ ] (A) 1ln x C x -+ (B) 1ln x C x ++
(C) 12ln x C x -+ (D) 12ln x C x
++
4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导,且恒有()f x '=0,又有(1)1f -=,则函数
()f x = [ ]
(A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x
5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ,则一阶导数()f x '= [ ]
(A)
1x (B) 21
x
- (C) ln x (D) ln x x 三、解答题 1、(7分)计算
22(1)dx
x x +?. 2、(7分)计算
1x dx e +?.
3、(7分)计算 321
x dx x +?.
4、(7分)计算 254dx
x x ++?.
5、(8分)计算
.
6、(7分)计算
2
3x
x e dx ?.
7、(8分)已知2
2
2
(sin )cos tan 01f x x x x '=+<< ,求()f x .
8、(9分)计算 cos ax I e bxdx =?
.
第四章测试题B 卷
一、填空题(20分)
1、不定积分d =?
.
2、已知()(),f x dx F x C =+?则()()F x f x dx =? .
3、若
2
1(ln ),2
f x dx x C =
+?
则()f x dx =? .
4、1)dx =?
. 5、2ln x dx =?
.
二、选择题(25分) 1、若
2(),f x dx x C =+?则2(1)xf x dx -=? [ ]
(A) 22
2(1)x C --+ (B) 22
2(1)x C -+ (C) 221(1)2x C --+ (D) 221
(1)2
x C -+ 2、设
()2
,x
f x dx x C =++?则()f x '= [ ]
(A)
2ln 22
x x
C ++ (B) 2ln 21x + (C) 22ln 2x (D) 22ln 21x + 3、
1
1dx x =-? [ ]
(A )ln 1x C -+ (B ) ln(1)x C -+ (C )ln (1)x C -++ (D )ln 1x C --+ 4、存在常数A 、B 、C ,使得
21
(1)(2)dx x x =++? [ ]
(A )2(
)12A B dx x x +++? (B ) 2()12Ax Bx
dx x x +++?
(C )2()12A Bx C dx x x ++++? (D )2()12
Ax B
dx x x +++?
5、若x
e 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ]
(A) ,0(),0x x e C x F x e C x -?+≥=?-+ (B) ,0
()2,0
x x e C x F x e C x -?+≥=?-++
(C) ,0()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+ (D) ,0
(),0x x e x F x e x -?≥=?-
三、计算题(48分) 1、(7
分)求积分
2arccos x . 2、
(7
分)求.
3、(7分)
2(1)dx x x +?. 4、(01,数二,8
分)求.
5、(8分)求积分1sin cos dx
x x
++?. 6、(06,数二,11分)求arcsin x x e dx e ?. 四、(7分)计算
2ln sin sin x
dx x ?
第四章测试题A 卷答案 一、填空题
1、2ln 2x 2 3、2411
24
x x C ++ 4、()()xf x f x C '-+ 5、cos (cos 1)x
e
x C -+
二、选择题
1、D
2、C
3、C
4、A
5、B 三、解答题 1、1arctan x C x -
-+ 2、ln(1)x x e C -++ 3、2211
ln(1)22
x x C -++
4、11ln
3
4x C x +++ 5、C 6、2221
()2
x x x e e C -+ 7、2
1()ln(1)2
f x x x C =---+ 8、2
2
(sin cos )ax e b bx a bx C a b +++
第四章测试题B 卷答案 一、填空题
1、C
2、
2()2F x C + 3、x
e C + 4、3
35222353x x x x C +--+ 5、2
ln 2x x x C -+
二、选择题
1、C
2、C
3、D
4、C
5、C 三、计算题
1、2arccos 1102ln10x
C -
+ 2
、1)C ++ 3、22
1ln .21x C x ++ 4
、C =+ 5、ln 1tan 2x C =++ 6、解: arcsin x x e dx e
?arcsin arcsin x x x x x x
e de e e e ---=-=-+??
arcsin x x
x
e
e --=-+
arcsin x
x x
e e --=-- sec x t e -=令sec tan arcsin tan x x t tdt e e t
-=--
?arcsin sec x x
e e tdt -=--? arcsin ln sec tan x
x
e e t t C -=--+
+arcsin ln x x x e e e C --=--+ 四、 2ln sin sin x
dx x ?cot lnsin cot x x x x C =-?--+.
高数不定积分例题
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
大学微积分l知识点总结 二
【第五部分】不定积分 1.书本知识(包含一些补充知识) (1)原函数:F ’(x )=f (x ),x ∈I ,则称F (x )是f (x )的一个“原函数”。 (2)若F (x )是f (x )在区间上的一个原函数,则f (x )在区间上的全体函数为F (x )+c (其中c 为常数) (3)基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1(α≠1,α为常数) (4)零函数的所有原函数都是c (5)C 代表所有的常数函数 (6)运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① (7)[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分: c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地, (9)连续函数一定有原函数,但是有原函数的函数不一定连续,没有原函数的函数一定不连续。 (10)不定积分的计算方法 ①凑微分法(第一换元法),利用复合函数的求导法则 ②变量代换法(第二换元法),利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法: 【解释:一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 (8
释义:函数 对应:y=f(u) 说明: (11)c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 (12)分段函数的积分 例题说明:{} dx x ??2,1max (13)在做不定积分问题时,若遇到求三角函数奇次方的积分,最好的方法是将其中的一 (16)隐函数求不定积分 例题说明: (17)三角有理函数积分的万能变换公式 (18)某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 (19)其他形式的不定积分 2.补充知识(课外补充) ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 (1)定义:若函数f(x)在区间I 上连续,则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数),则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c (2)一般积分方法 值得注意的问题:
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
高等数学不定积分习题
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.
2018考研高数重点复习定积分与不定积分定理总结
2018考研高数重点复习定积分与不定积 分定理总结 在暑期完成第一轮基础考点的复习之后,9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数部分的定积分与不定积分定理定义汇总。 ?不定积分 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一x ∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 ●分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说,在其定义区间上,它的原函数一定存在,但原函数不一定都是初等函数。 ?定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 ●定理设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上可积,即连续=>可积。 ●定理设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在区间[a,b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 ●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 ●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。 ●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则m(b-a)≤∫abf(x)dx ≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 ●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ,使下式成立:∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a ?定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) ●直角坐标系下(含参数与不含参数) ●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2) ●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx,其中f(x)指曲线的方程) ●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积) ●功、水压力、引力 ●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)
(完整版)定积分测试题
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
不定积分总结
不定积分
一、原函数 定义1 如果对任一I x ∈,都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。 例如:x x cos )(sin =',即x sin 是x cos 的原函数。 2 211)1ln([x x x +='++,即)1ln(2x x ++是 2 11x +的原函数。 原函数存在定理:如果函数)(x f 在区间I 上连续,则)(x f 在区间I 上一定有原函数,即存在区间I 上的可导函数)(x F ,使得对任一I x ∈,有)()(x f x F ='。 注1:如果)(x f 有一个原函数,则)(x f 就有无穷多个原函数。 设)(x F 是)(x f 的原函数,则)(])([x f C x F ='+,即C x F +)(也为)(x f 的原函数,其中C 为任意常数。 注2:如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数,则)(x F 与)(x G 之差为常数,即C x G x F =-)()((C 为常数) 注3:如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数,则C x F +)((C 为任意常数)可表达)(x f 的任意一个原函数。 二、不定积分 定义2 在区间I 上,)(x f 的带有任意常数项的原函数,成为)(x f 在区间I 上的不定积分,记为?dx x f )(。 如果)(x F 为)(x f 的一个原函数,则 C x F dx x f +=?)()(,(C 为任意常数)
x y o )(x F y = C x F y +=)( 三、不定积分的几何意义 不定积分的几何意义如图5—1所示: 图 5—1 设)(x F 是)(x f 的一个原函数,则)(x F y =在平面上表示一条曲线,称它为 )(x f 的一条积分曲线.于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线,它们是由) (x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的.显然,族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线,其斜率都等于)(x f . 在求原函数的具体问题中,往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(,再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =.从几何上讲,就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线. 四、不定积分的性质(线性性质) [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±??? ()() kf x dx k f x dx =??k ( 为非零常数)