2016数理金融之风险测度理论要点.doc

南京理工大学

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目录

第一章引言 (3)

1.1 研究背景 (3)

1.2 研究现状 (3)

1.3 本文工作 (3)

第二章一致性风险测度理论 (5)

2.1 风险 (5)

2.2 可接受集 (5)

2.3 风险测度 (6)

2.4 一致风险测度的表示定理 (7)

2.5 小结 (7)

第三章凸性风险测度 (8)

3.1凸性风险测度 (8)

3.2 可接受集合 (8)

3.3 小结 (9)

第四章 VaR方法 (10)

4.1 VaR定义 (10)

4.2 VaR的局限性 (10)

4.2.1 尾部风险测量的不充分性 (10)

4.2.2 不满足一致性公理 (11)

4.3 小结 (11)

第五章几种常见的风险测度方法 (12)

5.1基本概念 (12)

5.2 尾部条件期望（TCE） (12)

5.3 最差条件期望（WCE） (13)

5.4 条件VaR（CVaR） (13)

5.5 小结 (13)

第六章总结 (14)

第一章引言

1.1 研究背景

随着我国金融市场的不断发展，新型金融衍生工具的不断涌现，特别是金融市场即将对外全面开放，金融风险的管理与防范越来越引起人们的重视。美国经济学家Markowitz于1952年首次提出投资组合选择理论，为现代投资组合奠定了基础，开创了以数理方法研究金融问题的先河。Markowitz在论文“Portfolio Selection”中提出了均值-方差模型，把方差作为度量风险的工具。数十年来，无数学者致力于均值-方差模型的理论拓展与应用研究，极大的丰富和发展了Markowitz组合选择理论。

1.2 研究现状

1952年Markowitz发表的Portfolio Selection，首次定量得分析了投资组合中的风险与收益之间的内在联系，不幸的是，Markowitz模型现已经视为模型的解决方案，很多金融风险不能用方差来描述，随后Artzner等提出了一致性风险测度的概念，认为好的风险测度应同时满足单调、齐次、平移不变和次可加这四条公理。Rockafeller和Uryasev在1999年提出了CVaR，实质上反映了超额损失的平均水平，较之VaR更能体现整体投资组合的潜在风险。2002年，Follmer和Schied 给出了凸风险度量的概念，它是在一般的样本空间下来考虑的，是对一致性风险度量表示定理的一种推广。

1.3 本文工作

本文首先介绍了一致性风险测度的理论，以此为基础进一步研究了凸性风险测度。接下来分析了VaR方法，包括定义，性质，并主要指出了其理论上和逻辑

上的缺陷。最后介绍几种常用的风险测度方法以及之间的关联和区别。

第二章 一致性风险测度理论

2.1 风险

所谓风险，是指未来结果的不确定性或波动性给金融资产持有人带来的损失，本文要讨论的风险，只和未来的资产有关系，我们认为，风险并不依赖于你的初始资产，而是决定于市场中的一些不确定因素，这些不确定因素导致了你的资产的将来的价值，所以我们用一个与未来有联系的“数”来表示风险。

2.2 可接受集

假设期末T 时刻所有可能的状态的集合是有限集，记为Ω。用Ω上的随机变量X 表示初始头寸的未来净值，其值用证劵价格及互换率来表示。状态Ω的指示函数为{}ω1。称Ω上所有实值函数的集合为风险集合，记为X 。记X 中非负元素的集合为+L ，其相反数的集合为-L 。

本文考虑满足以下4条公理的可接受集。

公理1：可接受集A 包含+L 。

公理2：可接受集A 与--L 不相交，其中，

(){}0|<Ω∈?=--ωωX X L ，

公理3：可接受集A 是凸的。

公理4：可接受集A 是正齐次锥。

公理1,2表明，非负的最终净值不需要加入额外的资金，而严格负的最终净值则必须追加资金后才能成为可接受头寸。公理3反映了部分监管者的风险厌恶。

2.3 风险测度

为了描述风险的可接受与否，我们定义了可接受的未来净值，这样，在给定参考投资工具后，可以通过描述所持有的头寸价值与可接受头寸的距离定义风险测度。

定义2.3.1 称由X 到R 的映射为风险测度。

对于风险X 的测度ρ，当()X ρ为正时，资金()X ρ可解释为加入到风 险头寸X 中使之成为“可接受头寸”的资金的最小值；当()X ρ为负 时，资金()X ρ-可以从头寸中取出，或者作为红利返还。

定义 2.3.2 设A 是可接受集，对于给定的总收益率为r 的参考投资工具，定义

(){}

X ∈∈+?=X A X X A ，r m |m inf r ,ρ，称()X A r ,ρ为与可接受A 相 伴随的风险测度。

定义 2.3.3 设ρ为风险测度，定义(){}0|≤X ∈=X X A ρρ，称ρA 为与风险测度ρ 相伴随的可接受集。

定义2.3.4 对于一风险度量ρ，如果它满足下面的四条公理：

公理M 单调性：如果对于所有X ∈Y X ,，且Y X ≤,有()()X Y ρρ≤， 则称风险测度ρ满足单调性。

公理T 平移不变性：如果对所有的X ∈X ，及所有实数α，有：

()()αραρ-=?+X X r ，则称风险测度ρ满足平移不变性。 公理S 次可加性：如果对于所有X ∈21,X X 有：()()()2121X X X X ρρρ+≤+， 则称风险测度ρ满足次可加性。

公理PH 正齐次性：如果对于所有0≥λ，和所有X ∈X ，有()()X X λρλρ=， 则称风险测度ρ满足正齐次性。

则称风险度量ρ为一致风险度量。

其中公理T 说明，加入确定价值为α的参考工具到初始头寸中，可将风险减少α，而且保证了对任何X ，有()()0=?+r X X ρρ。公理S 说明合并并不增加新的风险。由公理T 和公理PH 可得，对任何的α有，()()ααρ=-r 。

2.4 一致风险测度的表示定理

给定参考投资工具的总收益率r ，则风险测度ρ是一致的，当且仅当存在自然状态集上的概率测度类P ，使得()[]{}P ∈-=P r X E X |/sup p ρ。

2.5 小结

这一部分，我们由风险的定义入手，介绍了一致风险测度理论。引入可接受集的概念，给出可接受集公理，描述一致风险测度的一般特性。

第三章 凸性风险测度

3.1凸性风险测度

上一章中，我们讨论了一致风险测度的有关性质，一般地，一个一致风险度量ρ是从Ω上的概率测度族Q 中生成的，然后在很多的情况下，头寸的风险会随着其规模做非线性变化。比如，该头寸被放大一个较大的倍数时，流动性风险将随之产生。这就意味着我们需要放宽正齐次性和次可加性的条件，以下的凸性就是一个较弱的条件：

凸性：()()()()()[]10,11，

∈-+≤-+λρλλρλλρY X Y X 凸性说明多样化投资不会增加风险，即多样化头寸的风险，将不大于加权平均后单个头寸的风险之和。令X 为Ω上函数的凸集，假设X ∈0且X 在加入常量后是紧的。

定义3.1.1 映射ρ：R →X 满足凸性、单调性和平移不变性，则映射ρ称为凸性风险测度。

3.2 可接受集合

令X 为给定的可能事件集Ω上函数的线性空间，假设X 包含所有常函数。任意风险测度ρ：R →X 诱导出一个可接受集，定义如下：

(){}0|≤X ∈=X X A ρρ

反过来，给定可接受头寸的集合，可通过以下集合定义与其相伴随的风险测度：

(){}A X R X A ∈+∈=m |m inf ρ

下面两个命题指出了凸风险测度与其可接受集之间的关系。

命题 3.2.1 假设ρ：R →X 是凸性风险测度，其伴随可接受集为ρA ，则ρρρ=A 且令ρA A =，它有下列性质：

1、A 是非空凸集

2、如果X Y A X ∈∈，，满足X Y ≥，则A Y ∈

3、如果X Y A X ∈∈，，则[](){}A Y X ∈-+∈λλλ1|1,0是[]1,0上的紧集。 命题3.2.2假设A 非空，是X 的凸子集，X 满足命题3.2.1的性质2，通过与A 相伴随的A ρ。如果()-∞>0A ρ，则：

1、A ρ是凸性风险测度

2、A 是A A ρ的子集，且如果A 满足命题3.2.1的性质3，则A =A A ρ。

3.3 小结

本部分在一致性风险度量的基础上根据市场实际情况的要求提出了凸性风险测度的概念，研究了相关的性质，为凸性风险测度在实践中的应用打下了理论基础。

第四章 VaR 方法

4.1 VaR 定义

考虑随机变量X ，可将它看作在固定时段内投资的随机收益或者损失。正值代表收益，负值代表损失。

定义4.1.1 （VaR ）在正常市场条件下，给定置信水平()1,0∈'α，那么在此置信水平下投资组合的VaR 值为满足损失X 超过x 的可能性不大于()α'-1的最小x 值，即

(){}αα'-≤>∈='1x inf V aR x X P R ，

这一定义与-α分位数的定义非常相似。

定义 4.1.2（分位数） 令αα'-=1，](10，

∈α，X 是概率空间()P F ,,Ω上的实值随机变量，定义inf ∞=Φ，称()[]{}αα≥≤∈=x X P R X ，x inf q 为X 的-α分位数。

显然()()X X -=ααq V aR 。

通常，α的值是非常接近于1的。由定义我们可知，()[]αα≥≥+0a X R V X P ，所以()X αV aR 可以被解释为在至少α概率下保证其偿付能力而被投资者投放的最小资金额。

4.2 VaR 的局限性

4.2.1 尾部风险测量的不充分性

命题 4.2.1 令](10，

∈α，()P F ,,Ω为概率空间。设ρ是V 上风险测度，如果满足：()()V X X R V X ∈=，αρa 。

那么，ρ具有以下性质：

1、单调性：()()Y X Y X V Y X ρρ≥?≤∈,,

2、正齐次性：()()X X V X V X ρρh h h 0h ,=?∈>∈，

3、平移不变性：()()αραραα-=+?∈+∈∈X X V X R V X ，,

4、法则不变性：对所有的[][]()()Y X Y P X P V Y X R ρρ=?≤=≤∈∈t t ,,t ， 注意到αR V a 时法则不变的，就意味着，Y X 和的分布并不要求是相同的。特定的局部分布相同，就足以推导出()()Y R V X R V ααa a =了。特别地，一个尾部概率较小的随机变量X 和一个尾部分布很厚的随机变量Y ，可能会有着相同的αR V a 值。显然这一点是不合理的。R V a 尾部风险测量的非充分性，是R V a 固有的缺点，本质上是其测量风险概念简单所付出的代价。

4.2.2 不满足一致性公理

（1）R V a 不是一致性风险度量因为它不满足次可加性。

这就意味着用R V a 来度量风险时，证券组合的风险不一定小于各证券风险之组合，这与风险分散化的市场现象相违背，从经济意义上讲是不合理的；虽然，R V a 在特殊的条件下是可以满足次可加性的，但在类似简单的情形下用方差来测度就足够了。而引入R V a 方法原本是为了对于方差所不能使用的情形来测度风险的。那么从理论上讲，引入R V a 是不成功的。

（2）R V a 只依赖于单一的损失函数，虽能以较大的概率保证不超过它，但不能表明损失一旦超过R V a 这种极端情况发生时的潜在的大小（尤其在肥尾时），并且容易通过特定的，狡诈的策略操纵和篡改要报告的R V a 值。

4.3 小结

本部分主要介绍了R V a 的定义，基本性质，着重分析了它的非一致性缺陷。

第五章 几种常见的风险测度方法

R V a 方法作为一种风险测度由于缺乏次可加性而大受批评。

为了弥补R V a 的缺陷，学者们引入了几种常见的风险测度方法，比如最差条件期望（WCE ）、尾部条件期望(TCE)、条件R V a (CVaR)等等，得到重要的结果。本部分进一步研究了这几种常见风险测度及其关系。

5.1基本概念

设X 是概率空间()P F ,,Ω上的实值随机变量，它表示资产或投资组合的风险。用[]E 表示概率P 下的期望。置信水平为()1,0∈α。此外，我们还经常用到指示函数：

()111==A A ω当A ∈ω，否则0。

定义5.1.1（分位数）

X 的下-α分位数为：()()[]{}ααα≥≤∈==x x inf q x X P R X ：；

X 的上-α分位数为：()()[]{}ααα>≤∈==x x inf q x X P R X ：；

5.2 尾部条件期望（TCE ）

假设[]∞<--X E .则

在置信水平α下X 的下TCE 为：()()[]αααx |≤-==X X E X TCE TCE ； 在置信水平α下X 的上TCE 为：()()[]

αααx |≤-==X X E X TCE TCE ； 实际上，ααTCE TCE ≥。

5.3 最差条件期望（WCE ）

假设[]

∞<--X E .则

在置信水平α下X 的WCE 为：

()[][]{}ααα>∈==A P F A A X E X WCE WCE ,:|inf ； 由定义，对于在同一个概率空间中的任意随机变量X 与Y ，有

()()()Y WCE X WCE Y X WCE ααα+≤+，即WCE 是次可加的。此外，已有文献证明。ααTCE WCE ≥因此我们容易得到：。αααR V TCE WCE a ≥≥

5.4 条件VaR （CVaR ）

假设[]∞<--X E .则

在置信水平α下X 的条件VaR （CVaR ）为：

()()[](){}

R s s X E X R CV R CV ∈--==-:/s inf a a αα。 R CV a 的计算可通过构造一个功能函数而化为一个凸函数的优化问题，在数学上容易处理，如用样本均值逼近总体均值，凸规划还可化为线性规划问题，计算更加简便易行；计算R CV a 的同时，相应的R V a 值也可同时获得，因此可对风险实行”双监管”，这比用单纯的R V a 更加保险，更不易遭受非法操纵与篡改。 正因为具有如此优良的性质，R CV a 自提出后，在金融风险度量中也得到了深入的研究和广泛的应用。

5.5 小结

这部分介绍了几种风险测度的定义，研究了它的基本性质。

第六章总结

风险测度理论发展到今天，已经比较完善了。特别是一致性风险测度理论，正在成为批判一种风险测度是否正确可行的标准。这一理论优点在于，其性质检验方便，而且，每条性质的经济意义明确，合乎市场标准。用这一理论标准批判风险测度，可以保证待测的风险测度满足基本的市场条件的约束。但其缺点就在于它对市场情况的描述仍然理想化。于是，我们考察了当流动性风险占主要地位时，合适的风险测度的性质，在一定程度上放宽了市场条件，弱化了较为苛刻的一致性条件中的正齐次性和次可加性，将它们用较弱的凸性条件代替。放宽条件的后的凸性风险测度仍是一类合适的风险测度，对于这一类测度的具体应用情况，由于构造上的复杂性，以及市场检验的过程较长，本文还欠实践分析，在今后扔需进一步进行检验。

目前国内外非常流行的一种测度市场风险的方法就是R

V a。尽管这一方法与以前的市场风险测度方法相比是一个巨大的进步，但是由于它毕竟还是一个新的方法，难免存在许多不完善的地方。它最大的优点是用一个便于理解比较的数字来测度复杂市场的风险大小。可是，随着当前市场的发展，非交易资产市场风险评估显得越来越重要，R

V a显然不适合进行这样的风险测度的。另外，R

V a是基于历史事件的事先估计，对市场价格的大幅波动非常敏感，因此，对于“极端事件”，R

V a V a的测度结果可能是不准确的，更可能与实际情况是相悖的。本文将R 纳入一致性风险测度理论的框架之下进行研究。发现R

V a并不满足次可加性这一重要的性质，指出了R

V a方法的理论缺陷。最后介绍了几种常见的风险测度方法。