2020广州市高二数学竞赛

2020年广州市高二数学竞赛试题

2020考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；

⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．在下列函数中，既是??

?

??2,

0π上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是 A ．x y 2cos = B ．x y 2sin = C ．cos y x = D ．|sin |x y =

2．已知向量(,)x y =a ，其中{1,2,4,5}x ∈，{2,4,6,8}y ∈，则满足条件的不共线的向量

共有 A ．9个 B ．12个 C ．13个 D ．16个

2

x x

A ．2-

B ．0

C ．2

D ．4

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．

5．若直线2m y =+与圆22

8x y +=相切，则m = * ．

6．已知集{}

3,112

2

-+-=a a A ，，{}11

3+--=a a a B ，，，且{}2A B =-I ，则实数a 的值等于 * ． 7．已知不等式

1

-x ax

<1的解集是{x | x <1或x >2}，那么实数a = * ． 8．已知,,a b c 为三条不同的直线, 且,,a M b N M N c ??=I 平面平面，给出如下命题： ①若a 与b 是异面直线, 则c 至少与a , b 中的一条相交； ②若a //b , 则必有a //c ；

③若a 不垂直于c , 则a 与b 一定不垂直； ④若a ⊥b , a ⊥c , 则必有M N ⊥.

其中正确的命题的是 （请填上正确命题的序号）．

9．定义运算

a b ad bc c d

=-，则符合条件

i

34i 11

z z =--（其中i 为虚数单位）的复数

z = * ．

10．将数列*

{21}()n n -∈N 依原顺序按第n 组有2n 项的要求分组，则2013在第 * 组.

三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．（本小题满分15分）

ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3cos 5A =，5sin 13

B =，

9c =．

（1）求tan B 的值； （2）求ABC ?的面积．

12．（本小题满分15分）

如图，己知△BCD 中，90BCD ∠=o

，1BC CD ==，

AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=o ，E 、F 分别是AC 、

AD 上的动点，且

(01)AE AF

AC AD

λλ==<<． （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （2）若平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的大小为60o ，求λ的值．

已知函数2

1()(21)2ln ()2

f x ax a x x a =-++∈R . （1）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间．

14．（本小题满分20分）已知()3,0R -，点x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足

0RP PM ?=u u u r u u u u r ，2u u （1）当点P 在y 的轨迹C 的方程； （2）设A B 、为轨迹，0）

，1A x >，0A y >，若存在实数λ，使AB AN λ=u u u r u u u r 的值．

设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且n a 是n S 和2的等差中项．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）当1i j n ≤≤≤（,,i j n 均为正整数）时，求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和n T ； （3）设212222*n n M n N T T T =+++∈()L ，求证：1324

M ≤<．

2013年广州市高二数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题：每小题6分，满分24分．

1．D 2．B 3．C 4．C

二、填空题：每小题6分，满分36分．

5．

52 6．1- 7．2

1

8．①② 9．17i 22-- 10．9

10．前n 组所含项数之和为2122222n n +++???+=-，2013是数列的第1008项.

由于910

510221008221022=-<<-=，所以2013在第9组.

三、解答题：满分90分．

11.（1）34

cos ,sin 55A A =

∴==Q ．……………………………………2分 ∵45

sin sin 513

A B =>=，∴B 为锐角．……………………………………………4分

12

cos 13

B ∴==．…………………………………………………………6分

12.（1）证明：因为AB ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥CD ．

在△BCD 中，90BCD ∠=o

，所以BC ⊥CD ．

因为AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC ．………………………………………………3分 在△ACD 中，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且

(01)AE AF

AC AD

λλ==<<． 所以EF ∥CD ，所以EF ⊥平面ABC ．

因为EF ?平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面ABC ．……………………………………6分 （2）解：作BQ ∥CD ，

由（1）知CD ⊥平面ABC ，所以BQ ⊥平面ABC ． 所以BQ ⊥BC ，BQ ⊥BE ．

因为BQ 与CD 、EF 共面，平面BEF ∩平面BCD ＝BQ ，

所以∠CBE 为平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的平面角为60°．………………8分 在?ABC 内作EM ⊥BC 交BC 于点M ，

由cos60°＝

1

2

BM BE =， 所以2BM ＝BE ． ① ……………………………9分 又

AE AC λ=，所以CE AC ＝1－λ． EM CE

AB AC

=＝1－λ， 在?BCD 中，∠BCD = 900，BC ＝CD ＝1，

所以BD Rt?ABD 中，∠ADB = 600，

所以AB ，所以，EM （1－λ）． ② ……………………………11分

又

BM AE

BC AC

=

＝λ，且BC ＝1，所以BM ＝λ． ③ ……………………………12分 在Rt?BME 中，由①②③得4λ2＝6（1－λ）2＋λ2．……………………………13分

即λ2

－4λ＋2＝0，解得λ＝2或λ＝2．………………………………14分

因为01λ<<，所以λ＝2……………………………………………………15分

13. 函数()f x 的定义域为()0+∞，．…………………………………………………………2分

且2

()(21)f x ax a x

'=-++(0)x >.……………………………………………………4分 （1）因为曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，

所以(1)(3)f f ''=．………………………………………………………………………6分

即()()2

212321a a a a -++=-++，

. ………………………………………………………………………………8分

. ………………………………………………10分

)+∞上()0f x '<，

，单调递减区间是(2,)+∞.………………………13分

2a 在区间(0,2)和1,a ??+∞ ???上，()0f x '>；在区间12,a ??

???

上()0f x '<，

故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1,a ??+∞ ???，单调递减区间是12,a ??

???

.…………16分

③当1

2

a =时，

因为2

(2)()02x f x x -'=

≥， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.…………………18分 ④当12a >时，1

02a <<，

在区间10,a ?? ???和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1,2a ??

???

上()0f x '<，

故()f x 的单调递增区间是10,a ?? ???和(2,)+∞，单调递减区间是1,2a ??

???

.…………20分

14.（1）设点(,)M x y ，

由23PM MQ +=0u u u u r u u u u r ，得0,2y P ??- ???，,03x Q ??

???

．……………………………………4分

由0RP PM ?=u u u r u u u u r ，得33,,022y y x ?

???-?= ? ?????

．…………………………………………6分

所以轨迹C 的方程为2

4(0)y x

x =>. ………………………………………………8分

（2）由（1）知N 为抛物线C ：2

4y x =的焦点，A B 、为过焦点N 的直线与C 的两个交

点.

①当直线AB 斜率不存在时，得()1,2A ，(1,2)B -，16

43

AB =<

.……………10分 ②当直线斜率存在且不为0时，设:(1)AB y k x =-，………………………………11分 代入2

4y x =得2

2

2

2

2(2)0k x k x k -++=.…………………………………………13分 设1122(,),(,)A x y B x y ，

则21222

2(2)416

2243

k AB x x k k +=++=+=+=，得3k =．………………15分 （或2

122414AB k x k

=+-=+）

1,0,3A A x y k >>∴=Q ． …………………………………………………………16分

此时1

3,3A B x x ==Q ．………………………………………………………………17分

由AB AN λ=u u u r u u u r

得

1343313

B A N A x x x x λ-

-==

=-．……………………………………………………………19分 所以存在实数43λ=u u u r u u u r ，且16

3

AB =．……………………………20分

15.（1）∵n a 是n S 和2的等差中项，

∴22n n S a +=， ①

当1=n 时，1122S a +=，解得21=a . 当2n ≥时，

1122n n S a --+=. ②

①－②得1122---=-n n n n a a S S ()

2,*

≥∈n N n ，

∴122--=n n n a a a ． ∴12-=n n a a ． ∴

21

=-n n

a a ()2n ≥. ∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，

∴n

n a 2=()2n ≥.

当1n =时，1

122a ==，符合上式，

所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =()

*

n ∈N ．………………………………………4分

（2）由i a 和j a 的所有可能乘积2i j i j a a +?=()n j i ≤≤≤1可构成下表： 112+，122+，132+，…，()

112n +-，12n + 222+，232+，…，()

212n +-，22n +

332+，…，()

312

n +-，32n + ………………

2n n + 构造如下n 行n 列的数表：

112+，122+，132+，…，()

112

n +-，12n + 212+，222+，232+，…，()

212n +-，22

n

+

312+，322+，332+，…，()

312

n +-，32

n

+ ………………

12n +，22n +，32n +，… ，()

12

n n +-，2

n n

+

设上表第一行的和为T ，则()

()41242112

n T -=

=--.……………………………10分

于是()()2124221222222n n n T T -=++++++++L L

………………………12分

(

)(

)

()

2

2414212141

n

n

n

-=-?-+-()()1821213n

n +=

--.

∴()()1421213n

n n T +=

-?-.…………………………………………………………14分 （3）∵()()1

421213n n n T +=-?-，

∴()()11

2323114212142121n n n n n n n T ++???==- ?---?-??

．……………………………16分 ∴212222n

n

M T T T =+++L

1223341

31111111

142121212121212121n n +??????????=

-+-+-++- ? ? ? ???--------??????????L 1311421n +??=- ?-??.………………………………………………………………………18分 ∵1

213n +-≥， ∴11313124421n +??≤-< ?-??. 即13

24M ≤<．…………………………………………………………………………20分 ………………………………6分

………………………………8分