关于交错级数的一个审敛准则
正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较
正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较 摘 要 数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。 这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。 在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。 关键词 数学分析 正项级数 推广比值审敛法 一.预备知识 1.正项级数的定义 如果级数1n n x ∞ =∑的各项都是非负实数，即0,1,2,, n x n ≥= 则称 此级数为正项级数 2..收敛定理 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。 若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到+∞ 例 级数22(1)(1) n n n n ∞ =??-+? ∑是正项级数。它的部分和数列的通项 21 12212ln ln ln 2ln ln 2(1)(1)11n n n k k k k k n s k k k k n ++==?++??=<- =-，若1 lim n n n U L U +→∞=，当 L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
正项数收敛判别方法
数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法
摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足
级数审敛法小结
级数审敛法小结 不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢. 首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法. 第一节:正项级数 (当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了) (注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，若Un的极限不为0，级数发散。) A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.): 首先,了解一个充要条件:∑∞ Un收敛?部分和数列{Sn}有界，针对 n =1 这个东西，用的地方不多后面会有介绍。 B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对 正项级数而言，不能滥用）。对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。简单一句话：我们的目的就是要
找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性） 例1：设k ，m 为正整数，.0,000 >>b a （这里主要是保证以下的 多项式恒为正）是推导出级数 ∑ ∞ =--++++++1 1 10110......n k k k m m m b n b n b a n a n a 收敛的充要条件。 解：设k k k m m m n b n b n b a n a n a u (1) 101 10+++++= --。取m k n n v -= 1，因为0 0lim b a v u n n n = ∞ →，所以 ∑∑∞ =∞ =1 1 ,n n n n v u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k-m>1， 所以所求级数的收敛的充要条件是k-m>1. （这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数 ∑ ∞ =---+1 3 2 3 5 5 23) ()12()1(n n n n n n 是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母 的是15,15-13=2>1 ,故收敛。（至于解题时，我们可以模仿本 题构造Vn 去做）2，这个例题的解法具有一般性。设0→n u ，我 们只需要找到Un 的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn ，如果Vn 的敛散性我们已经掌握，问题解决。 大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题： （1）);1tan( )3(,,)cos 1(),2(,,sin )1(13 2 2 2112-+??? ? ??-??? ??∑∑∑∞ =∞=∞ =n N n n a n n a n a n
正项级数审敛法的比较与应用
正项级数审敛法的比较与应用 1.引言 正项级数作为数学分析中重要内容之一是我们必须要掌握的知识。因其有着几百年发展的历史，正项级数理论也已经很成熟。我们在课本中已经学习了很多种判断正项级数敛散性的法方法，但在具体的解题过程时往往不知道该选用哪种判断方法较为适宜。也就是说，不同的正项级数敛散性判断方法都有其局限性，每个正项级数定理运用在不同的题目上时会有其优缺点。那么我们在解决具体正项级数敛散性题目时到底该选用哪种方法合适呢？这是本文所讨论的。 2正项级数的相关概念 2.1定义 如果级数u n的各项都是非负实数，即 x n>0,n=1,2? 则称此级数为正项级数。 1. 1.2正项级数的收敛原理 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。若正项级数的部分和数列无上届，则其必发散到+∞。 2.2正项级数收敛判定定理 2. 2.1比较判别法 2.1.1比较判别法定理 设u n和v n是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有 u n≤v n, 若级数u n收敛，则级数v n收敛 若级数u n发散，则级数v n发散 2.1.2比较判别法的应用 例1判断1 的收敛性 n2+2n+2
解因为 1 2< 1 2 而由级数的柯西准则可知1 n 中 u m+1+u m+2+?+u m+p = 1 (m+1)2 + 1 (m+2)2 +?+ 1 (m+p)2 < 1 m m+1 + 1 m+1m+2 +?+ 1 m+p?1m+p <1/m 因此，对任给正数ε，取N=[1 ε ],使当m>N及对任意正整数p,由上式有 u m+1+u m+2+?+u m+p<1 <ε 则级数1 n 是收敛的。 所以由比较法可知1 n+2n+2 是收敛的。 2.1.3小结 在运用比较判别法判断正向级数收敛时，可考虑运用p级数收敛与发散的结论来简化证 明。即1 n p ,当0 浅谈交错级数敛散性的判定 摘要：交错级数的敛散性主要用莱布尼兹定理来判别，本文给出了几个有用的结论来 判断某些特殊的交错级数的敛散性，并总结了关于交错级数敛散性判别的一些常用方法。归纳了如何使用该定理证明交错级数的敛散性,并在莱布尼兹审敛法失效时,提供了判定交错级数敛散性的方法。 关键词：交错级数 收敛 莱布尼兹审敛法 单调递减 1引言 在数学分析中,对级数敛散性的判别是一个重要的内容。级数敛散性的柯西判别准则虽然给出了判断级数收敛的充要条件,从逻辑上讲,它适应于一切级数敛散性的判断,但是通常在判别具体级数的敛散性时,使用柯西判别准则是有困难的,甚至是无法进行的,因为要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易。特别是判别一个交错级数是否收敛时使用柯西判别准则往往失效。在常用的数学分析教材中判别交错级数是否收敛方法很少,一般地只有莱布尼茨判别法。莱布尼茨判别法只针对莱布尼茨型级数有效,对于更多的非莱布尼茨型级数敛散性的判别存在困难。在用莱布尼兹审敛法证明交错级数敛散性的过程中,验证两个条件成立有一定的难度。在两个条件失效时,那么该如何判断呢？下面就来谈谈如何使用莱布尼兹审敛法验证交错级数的敛散性。 2基本概念及定理 定义1： 若级数的各项符合正负相间，即： 1 112341...(1)....(1)n n n n n u u u u u u ∞ --=-+-+-+=-∑（n>0,n=1,2,3,4……） 则称级数11 (1)n n n u ∞ -=-∑为交错级数。 定义2：若级数 1 n n u ∞ =∑通项的绝对值构成的级数1 n n u ∞=∑收敛，则称级数1 n n u ∞ =∑为绝 对收敛；若级数1 n n u ∞=∑收敛而1 n n u ∞ =∑发散，则称1 n n u ∞ =∑为条件收敛。 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,, ,N N n N p N ε+?>?∈? >?∈有12n n n p u u u ε++++++< 。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。浅谈交错级数敛散性的判定
正项级数敛散性的判别方法