立体几何平行问题专题(学生版)
高三复习——立体几何平行问题专题(学生版) ——李洪波一、基础过关 1. 定理性质梳理 2.平行关系的总结 面面平行 线面平行线线平行
二、概念理解——判断下列命题真假 (1)若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行;( ) (2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;( ) (3)若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点;( ) (4)平行于同一平面的两条直线互相平行;( ) (5)αα//,//a b b a ??; ( ) (6)b a b a ////,//?αα; ( ) (7)αα////,//a b b a ?; ( ) (8)b a b a //,//??αα; ( ) (9)已知平面 α,β 和直线 m ,若,//,m m αβ?,则 α
练习:如图13,正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一 .求证:PQ∥平面BCE. 点P、Q,且AP DQ
解法二:(简要过程) A B C D F E P Q 解法三:(简要过程) A B C D F E P Q 四、举一反三 1.(17文科1)如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( ) 2.(17文科2)如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC = 1 2 AD ,
∠BAD =∠ABC =90°.证明:直线BC∥平面PAD ; 3.(16文科3)如图,四棱锥中,平面,AD BC ,AB , 4PA BC ==,M 为线段AD 上一点,2AM MD =,N 为PC 的中点.证明MN 平面PAB .
数学竞赛之立体几何专题精讲(例题+练习)
数学竞赛中的立体几何问题 立体几何作为高中数学的重要组成部分之一,当然也是每年的全国联赛的必然考查内容.解法灵活而备受人们的青睐,竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中,考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算.解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法. 一、求角度 这类题常以多面体或旋转体为依托,考查立体几何中的异面直线所成角、直线与平面所成角或二面角的大小 解决这类题的关键是 ,根据已知条件准确地找出或作出要求的角. 立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种.其中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角,再构造一个包含该角的三角形,解三角形即可以完成;直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影,一般来讲也可以通过解直角三角形的办法得到,其角度范围是[]0,90??;二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的平面角,三种方法:①作棱的垂面和两个半平面相交;②过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线;③根据三垂线定理或逆定理.另外还可以根据面积射影定理cos S S θ'=?得到.式中S '表示射影多边形的面积,S 表示原多边形的面积,θ即为所求二面角. 例1 直线OA 和平面α斜交于一点O ,OB 是OA 在α内的射影,OC 是平面α内过O 点的任一直线,设,,.AOC AOB BOC αβγ∠=∠=∠=,求证:cos cos cos αβγ=?. 分析:如图,设射线OA 任意一点A ,过A 作 AB α⊥于点B ,又作BC OC ⊥于点C ,连 接AC .有: cos ,cos ,cos ;OC OB OC OA OA OB αβγ=== 所以,cos cos cos αβγ=?. 评注:①上述结论经常会结合以下课本例题一起使用.过平面内一个角的顶点作平面的一条斜线,如果斜线和角的两边所成的角相等,那么这条斜线在平面内的射影一定会落在这个角的角平分线上.利用全等三角形即可证明结论成立. ②从上述等式的三项可以看出cos α值最小,于是可得结论:平面的一条斜线和平面内经过斜足的所有直线所成的角中,斜线与它的射影所成的角最小. 例、(1997年全国联赛一试)如图,正四面体ABCD 中,E 在棱AB 上, α O C B A E A
高中数学专题讲义-空间几何体. 截面与距离问题
棱锥、棱台的中截面与轴截面 【例1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍,求k 的取值范围. 【例2】 正四棱锥的斜高为2,侧棱长为5,求棱锥的高与中截面(即过高线的中点且平 行于底面的截面)的面积? 【例3】 正四棱台的高为17,两底面的边长分别是4和16,求这个棱台的侧棱长和斜高. 【例4】 已知正六棱台的上,下底面的边长和侧棱长分别为a ,b ,c ,则它的高和斜高分 别为 【例5】 已知正三棱锥S ABC -的高SO h =,斜高SM l =,求经过SO 的中点且平行于底面 的截面111A B C ?的面积. M O C 1 B 1 A 1 C A 【例6】 如图所示的正四棱锥V ABCD -,它的高3VO =,侧棱长为7, ⑴ 求侧面上的斜高与底面面积. ⑵ 'O 是高VO 的中点,求过'O 点且与底面平行的截面(即中截面)的面积. 典例分析 板块二.截面与距离问题
H O'O D C B A V 【例7】 如图,已知棱锥V ABC -的底面积是264cm ,平行于底面的截面面积是24cm ,棱锥 顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ,过1O O 的三等分点作平行于底面的截面,求各截面的面积. C A 圆锥、圆台的中截面与轴截面 【例8】 把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是14∶,母线长10,求 圆锥的母线长. 【例9】 一圆锥轴截面顶角为120?,母线长为1,求轴截面的面积. 【例10】 圆台的母线长为2a ,母线和轴的夹角为30?,一个底面半径是另一个底面半径的2 倍,求圆台的高与上下两底面面积之和. 【例11】 圆台两底半径分别是2和5,母线长是,求它的轴截面的面积; 【例12】 圆台侧面的母线长为2a ,母线与轴的夹角为30?,一个底面半径是另一个底面 半径的2倍,则两底面半径为 .
立体几何证明平行的方法及专题训练
D B A 1 立体几何证明平行的方法及专题训练 罗虎胜https://www.360docs.net/doc/7410125981.html, 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法: (1) 通过“平移”。 (2) 利用三角形中位线的性质。 (3) 利用平行四边形的性质。 (4) 利用对应线段成比例。 (5) 利用面面平行的性质,等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1.如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点.求证:AF ∥平面PCE ; 分析:取PC 的中点G ,连EG.,FG ,则易证AEGF 是平行四边形 2、如图,已知直角梯形ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB =1,BC =2,CD =1+3, 过A 作AE⊥CD,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE⊥EC. (Ⅰ)求证:BC⊥面CDE ; (Ⅱ)求证:FG∥面BCD ; 分析:取DB 的中点H ,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB (第1题图)
M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证: (Ⅰ)C 1D⊥BC; (Ⅱ)C 1D∥平面B 1FM. 分析:连EA ,易证C 1EAD 是平行四边形,于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是 平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 5、如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点,求证: AM ∥平面EFG 。 分析:法一:连MD 交GF 于H ,易证EH 是△AMD 的中位线 法二:证平面EGF ∥平面ABC ,从而AM ∥平面EFG 6、如图,直三棱柱///ABC A B C -,90BAC ∠=, 2,AB AC ==AA ′=1,点M ,N 分别为/A B 和//B C 的中点。 A B C D E F G M
高中数学-空间几何体与截面三视图
高中数学-立体几何知识点与截面三视图 三.球的截面 .圆柱的截面 .圆锥的截面四.三棱锥的截面
五.正方体的截面(需补充两面截 图) 正方体的戡面图
立体几何基础知识点与考点三垂线定理(及逆定理): PA丄面,AO为P0在内射影,a 面,则 a丄OA a丄PO; a丄PO a丄AO 线面垂直: a丄b, a丄c, b, c 面面垂直: a丄面,a 面 面丄面, a丄面,b丄面 ,b c O a 丄 丄 l,a ,a 丄l a 丄a// b // 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角e, 0 ° 空间角:如图,正四棱柱ABCD —A I B I C I D I中 对角线BD i = 8, BD i与侧面B i BCC i所成的为30° ①求BD i和底面ABCD所成的角; ②求异面直线BD i和AD所成的角; ③求二面角C i—BD i—B i的大小。 (① arcsin —:② 60°:③ arcsin —6)4 3 空间距离:点与点,点与线,点与面,线与线, 线与面,面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离,构造三角形, 解三角形求线段的长(如:三垂线定理法, 或者用等积转化法)。 如:正方形ABCD —A i B i C i D i中,棱长为a,则: (1)____________________________________ 点C到面AB i C i的距离为; (2)____________________________________ 点B到面ACB i的距离为 (3)____________________________________ 直线A i D i到面AB i C i的距离为 (4)____________________________________ 面AB i C与面A i DC i的距离为
重点高中立体几何证明平行的专题
重点高中立体几何证明平行的专题
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3 F G G A B C D E C A B D E F D E B 1 A 1 C 1C A B F M 立体几何——平行的证明 【例1】如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点.求证:AF ∥平面PCE ; 分析:取PC 的中点G ,连EG .,FG ,则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图,已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB =1,BC =2,CD =1 +3,过A 作AE ⊥CD ,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE ⊥EC 。 (Ⅰ)求证:BC ⊥面CDE ; (Ⅱ)求证:FG ∥面BCD ; 分析:取DB 的中点H ,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证: (Ⅰ)C 1D ⊥BC ; (Ⅱ)C 1D ∥平面B 1FM. 分析:连EA ,易证C 1EAD 是平行四边形,于是MF//EA E F B A C D P (第1
4 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 【例5】如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点,求证:AM ∥平面EFG 。 分析:连MD 交GF 于H ,易证EH 是△AMD 的中位线 【例6】如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,E 是PC 的中点。 求证: PA ∥平面BDE 【例7】如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, D 为AC 的中点. 求证:AB 1//面BDC 1; 分析:连B 1C 交BC 1于点E ,易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M
空间立体几何图形的截面
空间立体几何图形的截面 江苏省前黄高级中学许云峰 教学背景 本课为以立体几何的截面图为核心,让学生借助《几何画板》的实际模拟和探索功能进行学习,由学生自我探究,进行知识迁移,通过类比,自己去尝试并最终解决问题。教师在此过程中进行必要的总结和在学生出现困难时进行指导,由此培养学生思维的独立和发散性,使学生真正成为学习的主体。 教学目标: 1.认知目标:整合几何体的截面情况,形成完整的认知体系。 2.能力目标:学生利用《几何画板》探索问题的能力,以培养学生知识迁移能力,发散思维和类比思维能力。 3.情感目标:培养学生探索创新能力,激发学生学习的热情和积极性。 重点与难点 重点:空间几何体的截面图的作法;空间旋转体的截面作法。 难点:空间几何图形的交点的作法;由极限思想作出空间旋转体的截面图的作法。 教学策略与教法设计 策略:教师提出问题,然后逐层展开,分步进行研究(需学生进行探索和分析),然后学生进行分组讨论和实际操作,通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的意义建构。 教法 1.演示法:把制作的课件展示给学生,便于学生对知识的深层次的把握,并从中获得启发,从而解决问题。这同时也给学生制作作品提供了模板,让学生明白作品需达到的要求。 2.谈话法:在教师指导下,由全班或小组成员围绕某一中心问题发表自己的看法,从而进行相互学习、合作学习,集思广益。 3.成果展示法:将学生制作的作品有选择的展示(以小组为单位进行制作,每个小组推荐1~2个进行演示),让学生获得成功的喜悦和认同,从而激发学生后续学习的热情。 4.讨论法:就学生探索所得成果,各小组可自由提问,或者师生共同评价,最后总结成整体观点。 教学过程设计 先期准备 在《几何画板》中建立立体几何的图形工具包,方便学生在最快的时间内作出准确的立体几何图形,以方便学生进行探究性学习,避免在作图上花费过多时间和精力;同时可以给学生以示范,让学生学会如何作出形象的立体几何直观图。 教学目标提出 探究空间几何图形上过任意三点的截面 1.分三个小组对多面体进行协作探究:第一小组:柱体;第二小组:锥体;第三小组:台体。主要探究任意三点的位置和截面的形状。 2.探究圆锥的截面。 分组探究,层层推进,把问题推向纵深 通过发挥学生自主学习的特点,并根据几何体的特征可以分类,故我们采取分组进行自我探索,相互协作,小组讨论,师生共同总结等方法进行教学。在此过程中,老师作为主导者,主要为学生提供必要的帮助和方向指引,而学习的过程主要靠学生自我完成。 学生进行分组协助学习。 每小组的探索活动都可分为三个层次进行: 以最简单的图形出发,即三棱柱、三棱锥、三棱台研究任意三点的位置的取法。 随后作出过三点的截面(作法依据:公理及其推论),并拖动三点,观察截面的变化情况,从而得出结论,并进行组内交流,形成小组统一观点。
高中立体几何证明平行的专题训练
高中立体几何证明平行的专题训练 深圳市龙岗区东升学校一一罗虎胜 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法: (1)通过“平移”。 (2)利用三角形中位线的性质。 (3)利用平行四边形的性质。 (4)利用对应线段成比例。 (5)利用面面平行,等等。 ⑴通过“平移”再利用平行四边形的性质 1. 如图,四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形,点E、F 分另为棱AB、PD的中点.求证:AF //平面PCE; P 分析:取PC的中点G,连EG.,FG,则易证AEGF是平行四边形 F E A (第1题 图) 2、如图,已知直角梯形ABCD 中,AB // CD,AB 丄BC,AB = 1,BC = 2,CD = 1 + -?. 3,过A作AE丄CD,垂足为E,G、F分别为AD、CE的中点,现将△ ADE沿AE折叠,使得DE 丄EC. (I)求证:BC 丄面CDE ; (H)求证:FG //面BCD ; 分析:取DB的中点H,连GH,HC贝惕证FGHC是平行四边形
的中点,证明:EB//平面PAD ; 分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证 ABEF 是 平行四边形 (2)利用三角形中位线的性质 5、如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD AM //平面 EFG 。 3、已知直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为 AA 1, CC 1, AB 的中点, M 为BE 的中点,AC 丄BE.求证: (i) C 1D 丄BC ; (n) C 1D //平面 B i FM. 分析:连EA ,易证C 1EAD 是平行四边形,于是 MF//EA D A A 1 4、如图所示,四棱锥P ABCD 底面是直角梯形, BA AD, CD AD ,CD=2AB, E 为 PC 分析:连 MD 交GF 于H ,易证EH 是厶AMD 的中位线 6、如图,ABCD 是正方形,0是正方形的中心, E 是PC C