桂林十八中2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试 数学(理)试题(含答案)

桂林十八中2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试

数学（理）试题

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题（本题包括12小题。每小题只有一个选项符合题意。每小题5分，共60分） 1. 已知角α的终边经过点()3,4P -，则tan α= A ．34

-

B ．

34

C ．

43

D ． 43

-

2.已知向量()1,2-=a ，()x b ,3=，若a b ⊥，则x = A. 0 B. 2

3-

C. 6

D.12-

3.已知数列{}n a 是等差数列，且31120a a +=，则7a = A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

4.43,2,,6

A. B. C. D. ABC b c C π

?===

在中，则解此三角形可得

一解两解无解解的个数不确定

5. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么

A.3,9b ac =-=

B.3,9b ac ==

C.3,9b ac ==-

D.3,9b ac =-=- 6.在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AD λμ=+，则λμ+的值为 A ．12

-

B ．

32

C ．1-

D ．1

()()()7.sin 0,0,,A B AB 25,1 A.,=

B.,=

24221 C.,= D.,=

4242f x x ω?ω?πππ

π

ω?ω?πππ

ω?ω?=+><<==

===已知为偶函数其部分图像如图所示、分别为最高点和最低点，且则

{}2148.2,.9

.27.30.36

n n n n a n S S a S n N a A B C D *++∈=已知数列的前项和为，若=5，=2，则

9.如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45?，沿倾斜角为30的 斜坡前进若干米后到达D 处，又测得山顶的仰角为75?，已知山的高度 BC 为1千米，则该登山队从A 到D 前进了 A 2千米 B 62 C ．1千米 D ．1.5千米

10.把函数()2)4

f x x π=

-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再向左平移3π

，得到函数

()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为

A ．175[,]66ππ-

- B ．57[,]66ππ- C ．24[,]33ππ- D ．719[,]66

ππ

11.已知数列{}n a 满足：12

12

5 1,6n n n a a a a n -≤?=?

-?()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得222

1212k k a a a a a a ++?+=?成立，则k =

A ．16

B ．17

C ．18

D ．19

12.已知函数()()3sin f x x ω?=+，()0,0πω?><<，若03f π??

-

= ???

，对任意x ∈R 恒有()3f x f π??

≤ ???

，在区间ππ,155?? ???上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为

A ．125

4

B ．

111

4

C ．

147

4

D ．

105

4

第II 卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本题包括4题。共20分）

13.已知向量,a b 的夹角为60,2,3a b ==,则2a b -= .

14.若3

cos 45

πα??-=

???，则sin2α=______. 15.已知函数()()sin f x x ππ=-与()()1

14

g x x =-的图象所有交点的横坐标为12,,,n x x x ，

则12n x x x ++

+=______．

16. 已知数列{}n a 中，12a =，1(1) 1n n na n a +=++，若对于任意的*n N ∈，不等式21

211

n a t n +<-+恒成立，则实数t 的取值范围为___________． 三、计算题（本题包括6题，共70分）

17.在正项等比数列{}n a 中，416a =，且2a ，3a 的等差中项为12a a +． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a n +的前n 项和为n S ．

18.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,

,a b c ， sin cos a B A =. （1）求角

A 的大小；

（2）若6,,.a b c b c =+=求

{}(){}()1221111,2,22112.n n n n n n n n n n n a a a a a a b a a b S n b b ++++===-+=-??

?

???

19.数列满足.

设,证明:数列是等差数列；求数列项和的前

20.已知ABC ?的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；

（2）若ABC ?是锐角三角形，求a

c

的取值范围.

{}{}()()211

21.1,0,N 22 1.

12 3.21n n n n n n n n n

k

k

k a a a S a n n S a a a a *==>∈=+-<-∑

已知数列满足：是数列的前项和，对任意，有求；证明:

22.已知函数()4cos sin()6f x x x ωωπ

=-（0ω>）的对称中心到对称轴距离的最小值为4

π. （1）求ω；

（2）ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2

C π

=

，

2

A

为函数()f x 的一个零点， 2b =，P 为ABC ?所在平面内一点，且满足0AP CP ?=，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时APC △的面积S .

参考答案一．选择题

二．填空题

13.14.

7

25

-15.7 16.()

,2,

?

-∞+∞

?

三．解答题

17.解（1

）设正项等比数列{}n a

的公比为(0)

q q>

，

由题意可得

3

1

2

1111

16

2()

a q

a q a q a a q

?=

?

?

+=+

??

，解得1

2

2

a

q

=

?

?

=

?

．---------3分

∴数列{}

n

a的通项公式为1

222

n n

n

a-

=?=；--------------5分（2）

()()()1

212

11

22

2122

n

n

n

n n n n

S+

-

+?+?

=+=+-

-

．-----------10分()

()

18.1sin cos

sin sin cos,2

sin0

sin tan 4

0.6

3

a B A

A B B A

ABC B

A A A

A A

π

π

=

=

?≠

∴=

∈∴=

解：，

由正弦定理得，分中，，

，即分，，分()

()

222

2

22cos8

23,6

1222cos

12363

810

6,

42

,.12

24

a b c bc A

a b c

b c bc bc A

bc

bc

b c

b b

c c

=+-

=+=

∴=+--

∴=-

∴=

+=

==

??

∴??

==

??

由余弦定理，得分

又

分

又

或分

()()(){}()()()()()21211111211122,2,2

1,1242111221,

6111118212122121n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a b a a b b b a a b b n n b b n n n n S ++++++++=-+---==-∴-==-=∴=+-?=-??

==- ?-+-+??∴=

19.解：由得又又数列是以为首项，为公差的等差数列.

分由得，分分

122334

1

111111111111111121323525722121111.1222121

n n b b b b b b b b n n n n n +++++????????=-+-+-++- ? ? ? ?-+????????

??=-= ?

++??分

20.解：（1）ABC ?中，由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-?，

22b c ac =+ 2222cos c ac a c ac B ∴+=+-?，

2

2cos a ac ac B ∴=+?，即2cos a c c B =+?，-------2分

∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+，

即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，-------4分 sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，

∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去），2B C ∴=.-------6分 （2）

2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C

++====+=+-------8分 A B C π++=，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=，

022

C π

∴<<

，04

C π

<<

.

再根据

32

C π

<，可得

6

C π

<，-------10分

6

4

C π

π

∴

<<

，(1,2)a

c

∴∈-------12分

()()(){}()2

2

11122

11111111221

1221222222101

0,42

1

12

11

=+1622

n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n S a S a a a a a a a a a a a a a a a a n a a n +++++++++?=+-??=+-??=+--∴+--=>∴-=

∴=+∴-?=

21.解：由已知得两式相减得：分

分

数列是以为首项，为公差的等差数列

分

()()

()()()11112323411231

1

1111

282122222341

12222123412222

22

12111

1

1222

2222

111421

1101212

3332223

n

n n

k k k k k

k k k n n n n n n n n n n n a k k n T n T n T n n T ===++-++++=<-+-+=+++++∴=+++++-=++++-??

??-?? ???+????=+--+=-<∴<∑∑∑分令得 分

1

31221n

k

k

k a =∴<-∑

分

())

222.1()2cos cos sin 2cos 2cos 212sin 21,

2624,,1

44f x wx

wx wx

wx wx wx wx wx wx T w w

πππππ=-=-=--?

?

=-- ???=?==∴=解：分即分

(2)由(1)知，π

()2sin(2)16f x x =--.

由题意，()02A

f =，即π1sin(2)262

A ?-=，

因为(0,π)A ∈，所以ππ5π

(,)666

A -∈-，

所以ππ66A -=，解得π

3

A =. -----6分

2

C π

=

，ABC ∴为直角三角形，

又

0AP CP ?=，PA PC ∴⊥，

P ∴点在以AC 为直径的圆上，如图，

2b =，3BC ∴=4AB =，

设O 为AC 中点，连结BO ，

则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，

此时，21(23)1131BP BO PO =-=+-=-.-----9分 设OCP α∠=，则2COP πα∠=-，

1sin 2PA PA AC α∴==，1

cos 2

PC PC AC α==， 1

2sin cos sin 22

S PA PC ααα∴=

?==， 在直角BCO 中，23239

sin sin(2)sin 21313

BC COB BO παα∠=-==

==

， ∴当BP 131时，APC △的面积S 239-----12分