原子物理学习题答案褚圣麟很详细

1．原子的基本状况

1.1解：根据卢瑟福散射公式：

2

02

22

442K Mv ctg

b b Ze Ze

αθ

πεπε== 得到：

2192

1501522

12619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)

Ze ctg ctg b K ο

θαπεπ---??===??????米

式中2

12

K Mv α=是α粒子的功能。 1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为

2202

1

21

()(1)4sin m

Ze r Mv θ

πε=+ ， 试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？ 解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min

202

1

21

()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929

619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο

--???=???+???14

3.0210-=?米

1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最

解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：

22

0min

124p Ze Mv K r πε==，故有：2min 04p Ze r K πε=

1929

13

619

79(1.6010)910 1.141010 1.6010

---??=??=???米 由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核

代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-?米。

1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为22/1005.1米公斤-?的银箔上，α粒

解：设靶厚度为't 。非垂直入射时引起α粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度't ，而是ο60sin /'t t =，如图1-1所示。

因为散射到θ与θθd +之间Ωd 立体

角内的粒子数dn 与总入射粒子数n 的比为：

dn

Ntd n

σ= (1) 而σd 为：2

sin )()41

(4

2

2

22

0θ

πεσΩ=d Mv

ze d （2）

把（2）式代入（1）式，得：

2

sin )()41(4

22220θπεΩ

=d Mv

ze Nt n dn (3)

式中立体角元0'0'220,3/260sin /,/====Ωθt t t L ds d

N 为原子密度。'Nt 为单位面上的原子数，10')/(/-==N A m Nt Ag Ag ηη，其中η是单位面积式上的质量；Ag m 是银原子的质量；Ag A 是银原子的原子量；0N 是阿佛加德罗常数。

将各量代入（3）式，得：

2

sin )

()41(324

2222

0θπεηΩ=d Mv ze A N n dn Ag

由此，得：Z=47

第二章 原子的能级和辐射

2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。

解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件，

π

φ2h

n

mvr p == 可得：频率 21

211222ma h ma nh a v πππν===赫兹151058.6?= 速度：6

1110188.2/2?===ma h a v νπ米/秒 加速度：2

22122/10046.9//秒米?===a v r v w

2.3 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？

解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：

)1

11(22n

hcR E H -= 其中6.13=H hcR 电子伏特

2.10)21

1(6.1321=-?=E 电子伏特

1.12)31

1(6.1322=-?=E 电子伏特

8.12)4

1

1(6.1323=-?=E 电子伏特

其中21E E 和小于12.5电子伏特，3E 大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到4≥n 的能级上去，所以只能出现3≤n 的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：

ο

ο

ο

λλλλλλA

R R A

R R A

R R H H H H H H 102598)3111(1

121543)2

111(1

656536/5)3121(

1

3223222212

21

==-===-===-=

91

,41111

1==+

++H Li H

He λλλλ

2.5 试问二次电离的锂离子+

+i L 从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可

能使处于基态的一次电离的氦粒子+e H 的电子电离掉？

解：++i L 由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：

+e H 的电离能量为：

Li

He He Li He Li He

He He M m M m R R hv hv hcR hcR v /1/1162716274)1

1

1(42++?

===∞-=++++

由于Li He Li He M m M m M M /1/1,+>+<所以， 从而有+++>He Li hv hv ，所以能将+e H 的电子电离掉。

2.9 Li 原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：

解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p 能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以+Li 离子电离成++Li 离子时，有电子伏特35.5)

5951.01()5951.01(2

21=+≈∞-+=

∞hc R Rhc

Rhc E ++Li 是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此+++++→Li Li 时，电离能3E 为：

电子伏特4.1221

22

23=≈=∞hc R Z Rhc Z E R

。 设+++→Li Li 的电离能为2E 。而+++→Li Li 需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有

电子伏特7.75312=--=E E E E

2.10 具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？ 答：设原子的磁矩为μ，磁场沿Z 方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为Z μ，于是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为Z B F Z ??=μ，其中Z

B

??是磁场沿Z 方向的梯度。对均匀磁场，

0=??Z

B

，原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，且对磁场

的 取向服从空间量子化规则。对于非均磁场，0≠??Z

B

原子在磁场中除做上述运动外，还受到力的作用，原子射束的路径要发生偏转。

2.11 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为

310=??Z

B

特 解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在

2L 区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域1L 后向外射出时粒子的速度为'

v ?，出射方向与

入射方向间的夹角为θ。θ与速度间的关系为：v

v tg ⊥

=

θ 粒子经过磁场1L 出射时偏离入射方向的距离S 为：

Z v

L Z B m S μ2

1)(21??=

……（1） 将上式中用已知量表示出来变可以求出Z μ

2212

2

121

12'2'/,,v L L Z B m d S d S v L L Z B m tg L S v

L Z B m v v L t Z B m m f a at v Z

Z

Z

??-=-=??==??=∴=??==

=⊥⊥μμθμμ

把S 代入（1）式中，得：

2

2

1

22122v L Z B m v L L Z B m d Z Z ??=??-μμ 整理，得：2

)2(2212

1

d

L L v L Z B m Z =

+??μ 由此得：特焦耳/1093.023-?=Z

μ

第三章 量子力学初步

3.1 波长为ο

A 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得：

动量为：12410

34

1063.610

1063.6----???=?==秒米千克λh

p 能量为：λ/hc hv E ==

焦耳151083410986.110/1031063.6---?=???=。

3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？

解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：

meV h 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--?=?=e m

把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：

ο

οο

λA A A V 1225.010000

25.1225.12==

=

对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--?=?=e m ，代入波长的表示式，得：

ο

λA 3

19

27

34

10862.210000

1060.110

67.1210626.6----?=??????=

3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来ο

λA V

25.12=的电子德

布罗意波长与加速电压的关系式应改为：

ο

λA V V

)10489.01(25.126

-?-=

其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。

证明：德布罗意波长：p h /=λ

对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：

222022c p c Km K =+ 而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =

2

2002

22

/)(22)(c eV eV m p eV

m c eV p +=+=∴

因此有：

2

002112/c m eV eV

m h p h +

?=

=λ

一般情况下，等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。所以，可以将上式的根式作泰勒展开。只取前两项，得：

)10489.01(2)41(26

02

00V eV

m h c m eV eV

m h -?-=-

=

λ 由于上式中ο

A V

eV m h 25.122/0≈

，其中V 以伏特为单位，代回原式得：

ο

λA V V

)10489.01(25.126

-?-=

由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。

第四章 碱金属原子

4.1 已知Li 原子光谱主线系最长波长ο

λA 6707=，辅线系系限波长ο

λA 3519=∞。求锂原子第一激发电势和电离电势。

解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为1V ，电离电势为∞V ，则有：

伏特。伏特375.5)11(850.111=+=

∴+===

∴=∞

∞∞

∞λλλλ

λλ

e hc V c

h

c h eV e hc

V c

h eV

4.2 Na 原子的基态3S 。已知其共振线波长为5893ο

A ，漫线系第一条的波长为8193ο

A ，基线系第一条的波长为18459ο

A ，主线系的系限波长为2413ο

A 。试求3S 、3P 、3D 、4F 各谱项的项值。

解：将上述波长依次记为

ο

ο

ο

ο

λλλλλλλλA

A A A p f d p p f d p 2413,18459,8193,5893,

,,,max max max max max max ====∞∞即

容易看出：

1

6max

3416max

331

6max

316310685.01

10227.11

10447.21

1

10144.41

~---∞-∞

∞?=-

=?=-=?=-

=

?===米米米米f D F d p D p P P P S T T T T T v T λλλλλ

4.3 K 原子共振线波长7665ο

A ，主线系的系限波长为2858ο

A 。已知K 原子的基态4S 。试求4S 、4P 谱项的量子数修正项p s ??,值各为多少？

解：由题意知：P

P s p p v T A A λλλο

ο

/1~,2858,76654max ====∞∞ 由2

4)

4(s R

T S ?-=

，得：S k T R s 4/4=?- 设R R K ≈,则有max

41

1,229.2P P P T s λλ-

=

=?∞

与上类似 764.1/44=-≈?∞P T R p

4.4 Li 原子的基态项2S 。当把Li 原子激发到3P 态后，问当3P 激发态向低能级跃迁时可能产生哪些谱线（不考虑精细结构）？

答：由于原子实的极化和轨道贯穿的影响，使碱金属原子中n 相同而l 不同的能级有很大差别，即碱金属原子价电子的能量不仅与主量子数n 有关，而且与角量子数l 有关，可以记为),(l n E E =。理论计算和实验结果都表明l 越小，能量越低于相应的氢原子的能量。当从3P 激发态向低能级跃迁时，考虑到选择定则：1±=?l ，可能产生四条光谱，分别由以下能级跃迁产生：

。S P S P P S S P 23;22;23;33→→→→

第五章 多电子原子

5.1 e H 原子的两个电子处在2p3d 电子组态。问可能组成哪几种原子态?用原子态的符号表示之。已知电子间是LS 耦合。

解：因为2

1,2,12121====s s l l ，

1

,2,3;1,0,,1,;

2121212121==∴-?-++=-+=L S l l l l l l L s s s s S ，或 所以可以有如下12个组态：

4

,3,23313,2,13

212,1,0311,1,3,0,3,1,2,0,2,1,1,0,1F S L F S L D S L D S L P S L P S L ============

5.2 已知e H 原子的两个电子被分别激发到2p 和3d 轨道，器所构成的原子态为D 3，问这两电子的轨道角动量21l l p p 与之间的夹角，自旋角动量21s s p p 与之间的夹角分别为多少？

解：（1）已知原子态为D 3，电子组态为2p3d

2,1,1,221====∴l l S L

因此，

'

212

22

12

212

22

12

222111461063

212/)(cos cos 26)1(6)1(22)1(οθθθπ

=-

=--=∴++==+==+==+=L l l l l L L L

l l l l L L l l p p p p P p p p p P L L P l l p h

l l p ηηηηη

（2）

121212S s s p p P ==∴=====Q

而

'

212

22

12

212

22

12

32703

12/)(cos cos 2οθθθ==

--=∴++=S s s s s S s s

s s s s S p p p p P p p p p P 5.3 锌原子（Z=30）的最外层电子有两个，基态时的组态是4s4s 。当其中有一个被激发，考虑两种情况：（1）那电子被激发到5s 态；（2）它被激发到4p 态。试求出LS 耦合情况下这两种电子组态分别组成的原子状态。画出相应的能级图。从（1）和（2）情况形成的激发态向低能级跃迁分别发生几种光谱跃迁？

解：（1）组态为4s5s 时 2

1

,02121====s s l l ，

1

301,1;1,001

,0,0S J S S L J S S L 三重态时单重态时，=======∴ 根据洪特定则可画出相应的能级图，有选择定则能够判断出能级间可以发生的5种跃迁：

11123131313031311014445;45;45,45S P P S P S P S P S →→→→→ 所以有5条光谱线。

（2）外层两个电子组态为4s4p 时：

2

1

,1,02121=

===s s l l ， 1

3

12,1,01,0,1

01,;1

;2,1,0,L S S J L P S J P ∴=======时，单重态时三重态

根据洪特定则可以画出能级图，根据选择定则可以看出，只能产生一种跃迁，011144S P →，因此只有一条光谱线。

5.4 试以两个价电子3221==l l 和为例说明,不论是LS 耦合还是jj 耦合都给出同样数

目的可能状态.

证明:(1)LS 耦合

L

J S L S ====;0,1,2,3,4,5;10时，

5个 L 值分别得出5个J 值,即5个单重态．

;1,,1;1-+==L L L J S 时

代入一个L 值便有一个三重态．５个L 值共有５乘３等于１５个原子态：

6,5,435,4,334,3,233,2,132,1,03

;;;;H G F D P

因此，LS 耦合时共有２０个可能的状态．

（２）jj 耦合：

2

1212121,...,2527;2325;j j j j j j J j j s l j s l j -++===-=+=或

或或

将每个21j j 、合成J 得：

1

,2,3,42

5

230,1,2,3,4,525

252

,3,4,527

231,2,3,4,5,627

252

12

12

121============

J j j J j j J j j J j j ，合成和，合成和，合成和，合成和

共２０个状态：1,2,3,40,1,2,3,4,52,3,4,51,2,3,4,5,6)2

5,23(;)2

5,25(;)2

7,23(,)2

7,25(

所以，对于相同的组态无论是LS 耦合还是jj 耦合，都会给出同样数目的可能状态．

第六章 磁场中的原子

6.1 已知钒原子的基态是2/34F 。（1）问钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为几束？（2）求基态钒原子的有效磁矩。

解：（1）原子在不均匀的磁场中将受到力的作用，力的大小与原子磁矩（因而于角动量）在磁场方向的分量成正比。钒原子基态2/34F 之角动量量子数2/3=J ，角动量在磁场方

向的分量的个数为412

3212=+?=+J ，因此，基态钒原子束在不均匀横向磁场中将分裂为4束。

（2）J J P m

e

g

2=μ h h J J P J 2

15)1(=

+= 按LS 耦合：5

2

156)1(2)1()1()1(1==++++-++

=J J S S L L J J g

B B J h m e μμμ7746.05

15

215252≈=???=

∴

6.3 Li 漫线系的一条谱线)23(2/122/32P D →在弱磁场中将分裂成多少条谱线？试作出相应的能级跃迁图。

解：在弱磁场中，不考虑核磁矩。

2/323D

能级：,2

3,21,2===j S l

5

4

)1(2)1()1()1(12

3

,21,21,232=

++++-++=-

-=j j s s l l j j g M

2

/122P 能级：,2

1

,21,2===j S l 3

2,21,211=-=g M

L v

)30

26,3022,302,302,3022,3026(~---=? 所以：在弱磁场中由2/122/3223P D →跃迁产生的光谱线分裂成六条，谱线之间间隔不等。

6.5氦原子光谱中波长为)2131(1.667811

21

P p s D d s A →ο及)2131(1.70650311P p s S s s A →ο

的两条谱

线，在磁场中发生塞曼效应时应分裂成几条？分别作出能级跃迁图。问哪一个是正常塞曼效应？哪个不是？为什么？

解：（1）1,0,1,2,2,0,22221=±±====g M J S L D 谱项：。

1,0,1,1,0,11111

=±====g M J S L P 谱项：

L v

)1,0,1(~+-=?。可以发生九种跃迁，但只有三个波长，所以ο

λA 1.6678=的光谱线分裂成三条光谱线，且裂开的两谱线与原谱线的波数差均为L ，是正常塞曼效应。

（2）对2,0,1,1,1,02213

=±====g M J S L S 能级：

00

,0,0,1,1111103======g M g M J S L P ，能级：对

L v )2,0,2(~+-=?，所以ο

λA 1.7065=的光谱线分裂成三条，裂开的两谱线与原谱线的波

数差均为2L ，所以不是正常塞曼效应。

6.7 S P Na 33→原子从跃迁的精细结构为两条，波长分别为5895.93埃和5889.96

埃。试求出原能级2/32P 在磁场中分裂后的最低能级与2/12

P 分裂后的最高能级相并合时所

需要的磁感应强度Ｂ。

2

D 3/2

2

P 1/2

-3/2 -1/2 M 3/2 106/3 1/2

1/2

σ σ π πσ σ

解：对;3

4,2

1,2

3,2

3,2

1,12/32=±±====g M j s l P 能级：

;32,21,21,21,12/12

=±===

=g M j s l P 能级：磁场引起的附加能量为：B m

he

Mg E π4=? 设,,,2/122/122/32S P P 对应的能量分别为012,,E E E ，跃迁,,2/122/122/122/32S P S P →→产生的谱线波长分别为12,λλ；那么，ο

ο

λλA A 93.5895,96.588912==。P 2

能级在磁场中发生分裂，,,2/122/32P P 的附加磁能分别记为12,E E ??；现在寻求1122E E E E ?+=?+时的B 。

B m

eh

g M g M E E E E π4)

(22112112-=?-?=- 由此得：mc eB

g M g M hc E E E E π4)

()()(22112112-=?-?-- 即：

mc

eB

g M g M πλλ4)

(1

1

22111

2

-=-

因此，有：)1

1(141

22211λλπ--=

g M g M e mc B

其中2,3

12211-==g M g M ，将它们及各量代入上式得：

B=15.8特斯拉。