10点估计的概念和无偏点估计

点估计概念和无偏估计概念

教程

一、复习统计基本概念

二、1：把总体的未知参数用某统计量的观察值来估计，该统计量称为估计量。用估计量的观察值估计未知参数叫点估计

2：不管真正参数θ

是多少，把它当作已知，如果?E θ

θθΘ

≡，则称

()1?,...,n X X θ为参数θ的无偏估计

3：例题，

（1）证明样本均值是总体期望的无偏估计 （2）证明样本修正方差()

2

2

1

11

n

i

n i s X

X n ==

--∑为总体方差2σ的无偏估计，

此时s 不可能是σ的无偏估计 三：有偏估计改良（Jackknife ）

设()T X 为未知参数θ的已知函数()g θ的估计量，()1,...,n X X X =，若

()(1/)E T g O n θθ=+，用i X -表示样本用剔除()1,...,n X X 中i X 以后的新的样本（此

时容量为n-1），定义刀切统计量()()()1

1n

J i

i n T X nT X T X n

-=-=-

∑，则

()()2

(1/)J E T X g O n θθ=+

例题：若总体~(1,)X b p ，()2

n X 为2p 的刀切统计量，验证上述结论。 四：当未知参数的无偏估计不存在是称该参数不可估 例题P305 6.1.4 五：有效性

定义：对于总体未知参数θ，若1?θ和都是无偏的，且1?()Var θθ2?()Var θθ≤对θ∈Θ都

成立且至少有一个θ的气质情况使得严格不等式成立，则称1?θ比2?θ有效。 六：相合性

总体未知参数θ，样本()1,...,n X X ，估计量()1?,...,n X X θ是θ的相合估计，指的是

()Pr

1?,...,n X X θθ??→

例题：证明，样本均值是总体期望的相合估计

定理：()1?,...,n X X θ是θ的相合估计，则()()1?,...,n g X X θ是()g θ的相合估计，如

果()g x 为Θ上的连续函数

定理：()1?,...,n X X θ是θ的估计量，若()

1

?l i m (,...,)

n

n E X X θθ→∞=且

()1?lim (,...,)0n n Var X X θ→∞

=，则()

()1?,...,n g X X θ是()g θ的相合估计

例题：证明()~0,X U a ，样本()1,...,n X X ，则()n X 为a 的相合估计 七：作业

1）：P307 7＋

2）：总体()~0,X U a ，用1?2n a

X =，2()?n a X =，计算1?a E a a -和2?a E a a -