离散数学综合练习及答案

北京科技大学远程教育学院

《离散数学》综合练习?一?参考答案

数理逻辑

一、判断下列句子是否是命题，若是命题判断真值，并将其符号化。

1、今天天气真好！

解：不是命题。

2、王华和张民是同学。

解：是命题。真值视实际情况而定。p：王华和张民是同学。

3、我一边吃饭，一边看电视。

解：是命题。真值视实际情况而定。p：我吃饭。q：我看电视。p?q

4、没有不呼吸的人。

解：是命题。真值为1。M?x?：x是人。F?x?：x呼吸。?x?M?x??F?x??二、求命题公式的真值表和成真赋值、成假赋值。

)r(p?)?r]?[(p?q解：

pp?rq r

))?r]?(p?q)?r(p?r[(p?q?pq1 0 0 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1 1

1 0 1 0 0 1 1

1 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 1 0 1

0 0 0 1 0 1 1

1

1 1 0 1 1 1

110 ，111；成假赋值100，成真赋值：000，001，010011，101，三、用真值表、等值演算两种方法判别公式类型。、1r]?[(p?q)?q解：pq r

r??q]?qp[(?q)p(?q)?pq1 0 0 0 0 1

1 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 0

1 1 1 1 0 1

1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 1 0

0 1 1 1 1 0

1

1

1

1 1 1

[(p?q)?q]?r??[(?p?q)?q]?r??(?p?q)??q?r r?]q??)q??p[(?r?)]q??q?(?)q??p[(?r?q??)q??p(?可满足式

2、)p)??p?qq??((解：)?pp?q)((A?q???

qpp??q )?pp?q)?p)?((?(?p?q A

1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 1 0

1

0 1 1

1 1

1)?p?q?q)?(?((?p?q)??p???p)q??((?p?q)?p?q??永真式

四、求命题公式的主析取范式和成真赋值、成假赋值。

)?r?(qp解：pq r

)rq?p?(1 0 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

0 0 1 1

1

1

1 1

?(0，1，2，3，4，5，7）p?(q?r)?

成真赋值：000，001，010，011，100，101，111；成假赋值110

五、解释I如下：D是实数集，特定元素a=0；特定函数f?x，y?=x?y；

特定谓词F?x，y?：x

1、)]xy)，(f(x，?x?y[?F解：

?x?y[?F(f(x，y)，x)]??x?y[?F(x?y，x)]??x?y[?((x?y)?x)]??x?y[(x?y)?x)]真值为假2、)]，zy)，f((，y)?F[fx，zxzx??y?{F(解：

)]?zy?zx?yxzyx?zyf)，([?yxFzyx???{(，)Ffxz，(，)]}???[(?)(?)(真值为真

六、．

1、求前束范式)y(x，x)??yG??xF(解：

??xF(x)??yG(x，y)??xF(x)??yG(x，y)??xF(x)??yG(t，y)??x?y[F(x)?G(t，y)]2、证明：B?x)??xA(x?x(A()?B)证明：

?x(A(x)?B)??x(?A(x)?B)??x?A(x)?B???xA(x)?B??xA(x)?B七、写出下面推理的证明，要求写出前提、结论，并注明

推理规则。

（1）如果乙不参加篮球赛，那么甲就不参加篮球赛。若乙参加篮球赛，那么甲和丙就参加篮球赛。因此，如果甲参加篮球赛，则丙就参加篮球赛。

解：

p：甲参加篮球赛。q：乙参加篮球赛。r：丙参加篮球赛。

前提：?q??p ，q ??p?r?，

结论：p ? r

证明：①?q??p 前提引入

②p?q ①置换

③q ??p?r?前提引入

④?q ??p?r?③置换

⑤??q ? p ????q ? r?④置换

⑥?q ? r ⑤化简

⑦q ? r ⑥置换

⑧p ? r ②⑦假言三段论

推理正确

（2）学会的成员都是专家。有些成员是青年人。所以，有些成员是青年专家。?个体域是人的集合?

F?x?：x 是学会成员。G?x?：x 是专家。H?x?：x 是青年人。

前提：?x? F?x?? G?x??，?x? F?x?? H?x??

结论：?x? F?x?? H?x?? G?x??

证明：①?x? F?x?? H?x??前提引入

②F?c?? H?c?①EI

③?x? F?x?? G?x??前提引入

④F?c?? G?c?③UI

⑤F?c?②化简

⑥G?c?⑤④假言推理

⑦F?c?? H?c?? G?c?②⑥合取

⑧?x? F?x?? H?x?? G?x??⑦EG

推理正确

《离散数学》综合练习?二?参考答案

集合、关系、函数

一、判断题

1、对任意集合A，都有A?A和A? A，不能同时成立。（F ）

2、R、R是A上的具有自反性的二元关系，R－R也具有自反性。（F ）2211

3、A 上恒等关系I具有自反性、对称性、反对称性、传递性。（T ）A o g是A?C的满射，则f、g都是满射。（ F

4、f：A?B，g：B?C，若f）

5、A =｛1，2，3，4｝，f是从A到A的满射，则也是从A到A的单射。（T ）

二、填空题

1、?A－B?∪AB = A 。

62个。个元素，从A到B的二元关系有2、A有2个元素，B有31o－一定具有的性质是对称性R R 。3、R是A上的二元关系，+到R 的函数。4、f?x?= lnx 是从R

111－－－o(o) =的双射，f g g。f 5、f、g都是从A到A三、集合

1、A={{a，{b}}，c，{c}，{a，b}}、B={{a，b}，c，{b}}

求A∪B、A∩B、A－B、A?B

解：

AB?{{a,{b}},c,{c},{a,b},{a,b},c,{b}} AB?{c,{a,b}} A?B?{{a,{b}},{c}}

A?B?(A?B)(B?A) ?{{a,{b}},{c}}{b} ?{{a,{b}},{c},{b}}2、A={{a，{b}}，c，?} 求

A的幂集。

解：P?A?={?，｛?｝，{{a，{b}}}，｛c｝，｛{a，{b}}，c｝，｛{a，{b}}，?｝，｛c，?｝}，A}

3、证明：A－?B∪C? = ?A－B?∩?A－C?

A?(B C)?A(B C)?ABC?ABAC?(A?B) (A?C)解：四、二元关系（共30分）

1、A＝{a，b，c，b}，R＝{，，，}

44的集合表示。R用关系矩阵求R ，写出

2、指出二元关系满足哪种性质，不满足哪种性质，说明理由。

解：满足反对称性；不满足自反性，反自反性，对称性，传递性

3、A =｛1，2，3，4，5，6｝，S =｛｛1，2｝，｛3｝，｛4，5，6｝｝

画出由S产生的等价关系的关系图。

解：

4、画出偏序集的哈斯图，并指出最大元、最小元、极大元、极小元。

｛1，2，3，…，12｝整除关系

解：

最大元：无；最小元、极小元：1；极大元：7，8，9，10，11，12

五、函数

1、确定以下各题中f是否是从A?B的函数，若是指出是否是单射、满射、双射，

如果不是说明理由。

（1）A=｛1，2，3，4，5｝、B=｛5，6，7，8，9｝

f=｛?1，8?，?3，9?，?4，10?，?2，6?，?5，9?｝

解：f 是函数，由?3，9?，?5，9? f 不是单射，也不是满射。

（2）A=｛1，2，3，4，5｝、B=｛5，6，7，8，9｝

f=｛?1，7?，?2，6?，?4，8?，?1，9?，?5，10?｝

解：由?1，7?，?1，9?，f 不是函数。

3。= xf?x?、（3）AB都是实数集，解：f 是函数，f 是单射，也是满射，f 是双射。

x?11??)(fx A、B都是正整数集，（4）?x?1x?1?解：f 是函数，f 是单射，不是满射。 ??b d?aAc gA?Ah的函数。，、，，都是，、2ga?bb?ac?dd?c，，：，a?bb?cc?bd?ch，，：，

g g g(x)h g(x)h。、中哪个有反函数？若有则求出反函数。求出复合函数、

?1g gga?bb?ac?dd?c：，是双射，有反函数，就是，自己。解：，

a?ac?c)(xg g d?db?b，，：，a?ac?a)(xh g d?db?d，：，，3、A、B都是有n个元素的集合，f：A?B的函数。

证明：f是单射? f是满射。

?x?x?Af(x)?f(x)ranf，有n 个元素，证明：?设f是单射，由于，所以2112ranf?Branf?B B也只有又n 个元素，所以，而

?x?x?Af(x)?f(x)，，不是单射，则?设f是满射，若f 2121ranf?Branf?B A矛盾。，与中只有n 个元素，所以由于

《离散数学》综合练习?三?参考答案

代数系统

一、判断题

1、｛0，?1，?2，…，?n｝对普通加法封闭。（F）

+上定义运算·，x·y = min｛x，y｝，1是运算的幺元。（T2、在非负整数集Z）

3、实数集与普通乘法构成的代数系统中每个元素都有逆元素。（F）

4、在代数系统?Z，+，0?中，0是零元。（F）+与普通加法构成的代数系统是群。

5、非负整数集Z （F）?

6、M是n阶可逆矩阵的集合，×是矩阵乘法，?M，×?是群。（T）

7、循环群的子群是循环群。（T）*，+?的子代数。8、代数系统?Z，+?是代数系统?R （F）二、填空题

n，n?N｝，对| x = 3 乘法运算封闭。1、A =｛x*，+?构成的代数系统是半群2、?R。

3、在代数系统?Z，+，0?中，0是单位元。

4、F =｛f | f：A?A｝，o为函数的复合运算，?F，o?的单位元是恒等函数。

111－－－ f ) = g。oA5、f、g都是从A到的双射，(fog

11111－－－－－b。?a ，ab?a6、在代数系统?S，?中，元素、b 都有逆元，则?a ?a== ***7、循环群有生成元，使循环群中元素都是该元素的方幂。

8、V=?S，o?，V=?S，?都有幺元，?是V到V的同态，则?把V中的单1121*212位元映射到V中的单位元。2三、解答题

+×＋?是否是半群、独异点、群？，Q 1、Q是正有理数集，×是普通乘法，?+×解：?是独异点。Q没有逆元，?，普通乘法有结合律，单位元是 1 ，但0

，ab=aba×b，×是普通乘法。上的运算、实数集2 R＋是普通加法，＋＋**

验证：?R，?只能是独异点。*解：?a，b，c? R

?ab?c = ?a＋b＋a×b? c = ?a＋b＋a×b?＋c＋?a＋b＋a×b?×c ***= a＋b＋c＋a

×b＋a×c＋b×c＋a×b×c

a?bc? = a ?b＋c＋b×c? = a+?b＋c＋b×c?+a×?b＋c＋b×c?***= a＋b＋c＋a×b

＋a×c＋b×c＋a×b×c

运算有结合律*由于运算有交换律，设 e 是单位元。?a ? R *ae = a＋e＋a ×e = a，?1+ a ?×e = 0 ，e = 0

*1111－－－－×a + a + 的逆元，a a = aa = 0

设a 是a**1－?1+ a ?a =－a ，当a ?－1时，a 有逆元。

+×无逆元，所以a = －1 是独异点。，?Q?，ab=ab ，＋是普通加法，?是普通减法。－2＋R 3、实数集上的运算**?R，?是否是群？*解：?a，b，c ? R，

?ab?c = ?a＋b－2? c = ?a＋b－2?＋c－2 = a＋b＋c－4***a?bc? = a ?c＋b－2? = a ＋?b＋c－2?－2 = a＋b＋c－4***运算有结合律*由于运算有交换律，设 e 是单位元。?a ? R *ae = a＋e－2 = a，e－2 = 0 ，e = 2

*111－－－+ a － a = 是 a 的逆元，aa2 = 2设a**1－= 4a－a

所以?R，?是群。*27｝的各阶子群。aa，…，阶循环群｛e，a，四、求8

解：一阶子群｛e｝

4｝，a 二阶子群｛e

246｝a，，aa 四阶子群｛e，27｝，…，a，aa 八阶子群｛e， 〉无单位元。B ，A ，*〉有单位元，代数系统〈五、设代数系统〈证明：这两个代数系统不同构。

〉同构，则存在同构映射?，又设e 是〈〈B ，A ，*〉证明：若〈A ，*〉， 〉无单位元矛盾。，〉中的单位元，与〈B e???是〈B ，的单位元，则

《离散数学》综合练习?四?参考答案

图论

一、判断题

1、?2，2，5，2，1，3?可以构成图的度数序列。（F ）

2、n阶无向完全图的边数为n?n－1?。（F ）

3、生成子图与母图有相同的边集。（F ）

4、最小生成树是不唯一的。（T ）

5、有向完全图是强连通图。（T ）

二、填空题．

1、顶点和边都不相同的通路，称为初级通路。

2、无向树有m个树枝，则顶点数为m +1 。

3、无向图顶点之间的连通关系具有自反性、对称性、传递性，

是等价关系。

3)3(中的元素a?2，则A是有向图D的邻接矩阵，若A 4、ij顶点v到v 长度为3 的通路有 2 条。ji2k…中元素b?0+A，则顶点v到、A是有向图D的邻接矩阵，B=A+A+ 5ikij v 可达。j

三、解答题

1、在图1中

；）求邻接矩阵A（1234；、、AA（2）计算A234；A+A+A+A B（3）求=4（4）v到v长度为2、3的通路各有多少条？21（5）v到v长度小于等于4的通路有多少条？21解：

0101????1010?? 1）（?A??1001????0001?? 011102120323????????????341001222001??????423?A?AA?）（2，，