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四点共圆的判定和性质

四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.

证明四点共圆有下述一些基本方法：

方法 1:从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．

方法 2:把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆．

方法 3:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点.

方法 4:把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补

角的内对角时，即可肯定这四点共圆．

方法 5:把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段

之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线

段之积，即可肯定这四点也共圆．

方法 6:证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．

上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．

判定与性质：

圆内接四边形的对角和为180 度,并且任何一个外角都等于它的内对角。

如四边形ABCD内接于圆O，延长 AB 至 E， AC、 BD 交于 P，则 A+C=180 度， B+D=180°

∠A BC=∠ ADC（同弧所对的圆周角相等）

∠C BE=∠ D（外角等于内对角）

△ABP∽ △ DCP（三个内角对应相等）

AP× CP=BP× DP（相交弦定理）

AB× CD+AD×CB=AC×BD（托勒密定理）

托勒密定理及证明：

如图，四边形 ABCD内接于圆 O，那么 AB*CD+AD*BC=AC*BD 证

明：作∠BAE=∠ CAD，交 BD 于点 E

∵∠ ABE=∠ ACD，∠ BAE=∠CAD

∴△ ABE∽ △ ACD

∴AB： AC=BE： CD

∴AB× CD=AC× BE

∵∠ BAC=∠ EAD，∠ACB=∠ ADE

∴△ ABC∽ △ AED

∴BC： DE=AC：AD

∴BC× AD=AC× DE

∴AB× CD+BC× AD=AC× BE+AC× DE=AC（ BE+DE） =AC× BD

拓展延伸：

利用托勒密定理证明两角和公式： sin( α-β)=sin αcos-cosβαsin

β作图设圆内接四边形 ABCD中 ,

AC 是直径 ,∠ BAC=α,∠ DAC=β,则∠ BAD=α +β

作直径 BE,连接 DE,则∠BED+∠ BAD=180°

sin α =BC/AC,sinβ =CD/AC

cos α =AB/AC,cos β =AD/AC

sin(α +β )=sin∠BED=BD/BE=BD/AC

sin α cos β +sin β cos×αAD+AB=(BC× CD)/AC=AC×BD/AC=BD/AC=sin(α +β)

由诱导公式得sin( α-β)=sin αcos-inββcos。α

相交弦定理及其证明：

定义：是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等或经过圆内一点引两条弦，

各弦被这点所分成的两线段的积相等.

几何语言：若圆内任意弦AB、弦 CD 交于点 P，则 PA·PB=PC·PD.

相关定理：相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：切割线定理、切线长定理.

证明：连结AC，BD

由圆周角定理的推论，得∠ A=∠ D，∠ C=∠ B（圆周角推论2: 同 (等 )弧所对圆周角相等）

∴△ PAC∽△ PDB

∴PA∶ PD=PC∶ PB， PA× PB=PC× PD

注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P 点若选在圆内任意一点更具一般性。其

逆定理也可用于证明四点共圆。

比较：

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一

般用于求线段长度。

当 P 点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中|OP2-R2|称为P点对圆O的幂。（R为圆O的半径）推论 :

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。