四点共圆的证明的所有方法
证明四点共圆的方法
思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。 思路二：四点到某定点（中垂线交点）的距离都相等，从而确定其共圆． 思路三：运用有关定理或结论
（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边
为圆的直径．
（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补?四点共圆。
（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，
PD BP PC AP ?=??四点共圆。
（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，
PD PC PB PA ?=??四点共圆。
（6）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD ，
BD AC BC AD CD AB ?=?+??四点共圆。
图（3） 图（4） 图（5）
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补?四点共圆。
A B C D A
B C D P A
B C D P
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，
则C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC 交圆O于C'，连结D C'，根据圆内接四
边形的性质得∠A+∠D C'B=180°，
∵∠A+∠C=180°∴∠D C'B=∠C .
故假设错误，原命题成立。
代数方法
解析几何（点代入法，利用线段乘积向量）
复数证明（辐角相等）
四点共圆练习题
作业16 1、锐角ABC ?的三条高AD 、BE 、CF 交于H ，在A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 七个点中．能组成四点共圆的组数是（ ） A 、4组 B 、5组 C 、6组 D 、7组 2、已知点)02(，A ，)53(，B ，直线l 过点B 与y 轴交于点)0(c ，C ，若 O 、A 、B 、C 四点共圆，则c 的值为（ ） A 、 522 B 、5 28 C 、17 D 、无法求出 3.如图, AB 是⊙O 的直径, 弦CD ⊥AB, P 是弧CAD 上一点(不与C 、D 重合) . (1) 求证：∠CPD ＝∠COB ； (2) 若点P 在劣弧CD 上(不与C 、D 重合), ∠CPD 与∠COB 的数量关系是否发生变化?若不变, 请画图并证明；若变化, 请写出新的关系式并画图证明. 4、如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角，且BC AE ⊥，CD AF ⊥． （1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆； （2）设线段BD 与（1 ）中的圆交于M 、N ．求证：ND BM =． 5、如图所示， I 为ABC ?的内心，求证：BIC ?的外心O 与A 、B 、C 四点共圆. B
B A 6.如图, ⊙O 的内接△ABC 的外角∠AC B 的平分线交⊙O 于E, EF ⊥BD 于F. (1) 探索EO 与AB 的位置关系, 并予以证明； (2) 当△AB C 的形状发生改变时, AC CF BF +的值是否发生改变?若不变, 请求出该值；若改变, 请求出其变化范围. 7.如图，已知AB 是⊙O 的直径，D 是弧AB 上一点，C 是弧AD 的中点，AD 、BC 相交于E ，CF ⊥AB ，F 为垂足，CF 交AD 于G ，求证：CG=EG. 8、如图，已知ABC ?中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，?=∠60B ，F 在AC 上，且AF AE =． （1）证明：B ，D ，H ，E 四点共圆； （2）证明：CE 平分DEF ∠． B
四点共圆两个判定定理的证明
四点共圆两个判定定理的证明 1，当∠A=∠C=90·时，可以在答题中仅增加两行说明A、B、C、D四点共圆 连BD，设BD的中点为O′ ∵∠A = ∠C =90· ∴AO′ = BO′ = DO′ = CO′ ∴A、B、C、D在以O′为圆心，B O′为半径的圆上。 2，当那两个角不是直角时 一、附：已知∠A + ∠C = 180·，则A、B、C、D 四点共圆 证：设△ABD 的外接圆为⊙O ①假设C 在⊙O 内 则∠C ＞∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ＞ 180·与已知矛盾 ②假设C 在⊙O 外 则∠C ＜∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ＜ 180·与已知矛盾 综合以上点C在⊙O上
上述证明可压缩为6行： 证：设△ABD 的外接圆为⊙O 假设C 在⊙O 内或外时 则∠C ≠∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ≠ 180·与已知矛盾，故假设不成立，即点C 在⊙O上∴A、B、C、D四点共圆 二、附：已知∠A = ∠C ，则A、B、C、D 四点共圆 证：设△ABD 的外接圆为⊙O ①假设C 在⊙O 内 则∠C ＞∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ＜∠C 与已知矛盾 ②假设C 在⊙O 外 则∠C ＜∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ＞∠C 与已知矛盾 综合以上点C在⊙O上 上述证明可压缩为6行： 证：设△ABD 的外接圆为⊙O 假设C 在⊙O 内或外时 则∠C ≠∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ≠∠C 与已知矛盾，故假设不成立，即点C 在⊙O上 ∴A、B、C、D四点共圆
完整版四点共圆的判定和性质.doc
四点共圆的判定和性质 四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”. 证明四点共圆有下述一些基本方法： 方法 1:从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆． 方法 2:把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆． 方法 3:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点. 方法 4:把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补 角的内对角时，即可肯定这四点共圆． 方法 5:把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段 之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线 段之积，即可肯定这四点也共圆． 方法 6:证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆． 上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明． 判定与性质： 圆内接四边形的对角和为180 度,并且任何一个外角都等于它的内对角。 如四边形ABCD内接于圆O，延长 AB 至 E， AC、 BD 交于 P，则 A+C=180 度， B+D=180° ∠A BC=∠ ADC（同弧所对的圆周角相等） ∠C BE=∠ D（外角等于内对角） △ABP∽ △ DCP（三个内角对应相等） AP× CP=BP× DP（相交弦定理） AB× CD+AD×CB=AC×BD（托勒密定理） 托勒密定理及证明： 如图，四边形 ABCD内接于圆 O，那么 AB*CD+AD*BC=AC*BD 证 明：作∠BAE=∠ CAD，交 BD 于点 E ∵∠ ABE=∠ ACD，∠ BAE=∠CAD ∴△ ABE∽ △ ACD ∴AB： AC=BE： CD ∴AB× CD=AC× BE ∵∠ BAC=∠ EAD，∠ACB=∠ ADE ∴△ ABC∽ △ AED ∴BC： DE=AC：AD ∴BC× AD=AC× DE ∴AB× CD+BC× AD=AC× BE+AC× DE=AC（ BE+DE） =AC× BD
四点共圆(一)
第二十四讲 四点共圆（一） 【知识要点】 四点共圆的判定方法： 1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。 2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。 3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5、若AB 、CD 两线段相交于P 点，且PD PC PB PA ?=?，则A 、B 、C 、D 四点共圆。 6、若AB 、CD 两线段延长后相交于P 点，且PD PC PB PA ?=?，则A 、B 、C 、D 四点共圆。 7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。 【典例精讲】 例2、如图，、 、、四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且。 （1）证明：AB CD //； （2）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EG EF =，证明：A 、B 、G 、F 四点共圆. A B
例3、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：GE DG GF AG ?=?． 例4、已知点)02(，A ，)53(，B ，直线l 过点B 与y 轴交于点)0(c ，C ，若O 、A 、B 、C 四点共圆，则c 的值为（ ） A 、522 B 、5 28 C 、17 D 、无法求出
例6、如图，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且不与顶点重合，已知m AE =，n AC =，AD ，AB 为方程0142 =+-mn x x 的两根. （1）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆； （2）若?=∠90A ，4=m ，6=n ，求C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径． A B E D 例7、如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ． （1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆；（2）证明：2 2 AB BM BF AC =?+． A B 例8、如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角，且BC AE ⊥，CD AF ⊥． （1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆； （2）设线段BD 与（1）中的圆交于M 、N ．求证：ND BM =． D
证明四点共圆方法
四点共圆 证明四点共圆有下述一些基本方法： 方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆． 方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆） 方法3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这四点共圆） 方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理) 方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆． 方法6 同斜边的两个RT三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径
判定与性质： 圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。 如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD 交于P，则A+C=π，B+D=π， 角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。 角CBE=角ADE（外角等于内对角） △ABP∽△DCP（三个内角对应相等） AP*CP=BP*DP（相交弦定理） 四点共圆的图片 EB*EA=EC*ED（割线定理） EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理） （切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理） AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）弦切角定理 四点共圆的判定定理：用反证法证明 现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后） 已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆） 证明：用反证法 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内， 若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180° ， ∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。 ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
四点共圆判定
四点共圆判定 证明四点共圆的基本方法： 方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆． 方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。） 方法3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆． 方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理） 方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆． 上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明． 判定与性质： 圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π， 角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。 角CBE=角ADE（外角等于内对角） △ABP∽△DCP（三个内角对应相等） AP*CP=BP*DP（相交弦定理） 四点共圆的图片 EB*EA=EC*ED（割线定理） EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理） （切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理） AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy） 弦切角定理 编辑本段 编辑本段 定理 判定定理 方法 1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆． （可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆） 方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一 个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯 定这四点共圆． （可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么
四点共圆基本性质及证明
四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质： （1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； （2）圆内接四边形的对角互补； （3）圆内接四边形的外角等于内对角。 以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。 定理 1 判定定理 方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。 （可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆） 方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。 （可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆） 托勒密定理 若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB DC+BCAD=AC BD。
例题：证明对于任意正整数n 都存在n 个点使得所有点间两两距离为整数。 解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n 都存在n 个点使得所有点间两两距离为整数，且这n 个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。n=1，n=2很轻松。当n=3 时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说 边长为3，4，5 的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。假设对于n 大于等于 3 成立，我们来证明n+1。假设直径为r （整数）。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC （边长a 四点共圆的判定与性质 一、四点共圆的判定 （一）判定方法 1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。 2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。 3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。 6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。 7、若AB、CD两线段延长后相交于P。且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。 8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。 （二）证明 1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。 若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。 2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。 若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。 3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。 若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。 4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。 5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。 如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。 6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。 C A D C 证明四点共圆的基本方法 证明四点共圆有下述一些基本方法： 方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆. 方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆. （若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。） 方法3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆. 方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆.（根据托勒密定理的逆定理） 方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆. 上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明. 例1如图，E、F、G H分别是菱形ABCD各边的中点.求证：E、F、G H 四点共圆. 证明菱形ABCD勺对角线AC和 BD相交于点0,连接0E OF OG OH ??? AC和BD互相垂直， ???在Rt△ AOBRt△ BOCRt△ COD Rt △ DOA中, E、F、G H,分别是AB BC CD DA的中点， .\0E = - AB, OF = -BC, OG 二丄CD, OH = -DA 2 2 2 2 VAB = BC = CD =DA, OE = OF = OG = OH. 即E、F、G H四点共圆. ⑵若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点共圆. 例2 如图，在△ ABC 中，AD丄BC, DEL AB, DF丄AC. 求证：B E、F、C四点共圆. ； 证明T DEI AB DF L AC, / \ ???/ AEDbZ AFD=180 , 即A、E、D F四点共圆, / AEF=/ ADF 又??? AD L BC, / AD阡/ CDF=90 , / CD阡/ FCD=90 , / ADF/ FCD ???/ AEF/ FCD / BEF^Z FCB=180 , 即B、E、F、C四点共圆. (3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆. 【例1】在圆内接四边形ABCD中 / A- / C=12°,且/ A：/ B=2 ： 3.求 / A、/ B、/ C、/ D 的度数. 解???四边形ABCD内接于圆，(完整版)四点共圆的判定与性质
四点共圆例题及答案