利用函数的性质求函数解析式
利用函数的性质求函数解析式
阳新县第一中学 明江平
一、简单回顾函数的常见性质：奇偶性、周期性、对称性
二、例题讲解
1、已知函数)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，42)(x x x f -=，则当),0(+∞∈x 时，)(x f = 。
[解析]当)0,(),,0(-∞∈-+∞∈x x 则，44)()(x x x x x f --=---=-∴，
又)(x f 为偶函数，),0(),()(+∞∈∴=-∴x x f x f 当时，4)(x x x f --=
[答案]4x x --
2.已知)(x f 是R 上的奇函数，对任意的x ，总有)2()(+-=x f x f ，当32≤≤x 时， 86)(2+-=x x x f ，求当65≤≤x 时，函数)(x f 的解析式。
[分析]：由)2()(+-=x f x f 可知)(x f 具有周期性，由)(x f 的周期性可把所求)(x f 的定义域区间转化到已知函数)(x f 的定义域区间，再利用代换思想可求得解析式。
[解析]：)(,4)(),()4(),()2(x f x f x f x f x f x f 为是周期函数∴=+∴-=+ 的一个周期 283,65-≤-≤-∴≤≤x x ，即382≤-≤x ，)()8()8(x f x f x f -=--=- 2410]8)8(6)8[()8()(22-+-=+----=--=∴x x x x x f x f
3.函数)10)(3(log )(≠>-=a a a x a x f 且，当点),(y x P 是函数)(x f y =图象上的点时，),2(y a x Q --是函数)(x g y =图象上的点，写出函数)(x g y =的解析式。
[解析]设)(),(00x f y y x P =是图象上的点，点),(y x Q 是)(x g y =图象上的点，则???-=-=0
02y y a x x ，)32(log ,200a a x y y y a x x a -+=-∴???-=+=∴，)(1log a x a x y a >-=∴ )(1log )(a x a
x x g a
>-=即。 三、课后巩固
1、函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈都有)1()1(-=+x f x f 成立，若当
]2,1[∈x 时，)1(log >=a x y a 。
（1）求]1,1[-∈x 时，函数)(x f 的表达式。
（2）求)](12,12[z k k k x ∈+-∈时，函数)(x f 的表达式。 答案：（1）???≤≤-<≤-+=)
10)(2(log )01)(2(log )(x x x x x f a a （2）)()122)](2(2[log )212)](2(2[log )(z k k x k k x k x k k x x f a
a ∈???+≤≤--<≤--+=
高一数学竞赛培训讲座之函数的基本性质
函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.
即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ②
函数教材分析解读
《函数》教材分析 1、哪儿发生变化，哪没变？从教材内容，（或添加、删减），内容 没变，但是呈现方式发生改变，体现的理念变化，为什么这么 变？实际上是要学有用的数学，身边的数学，应用数学，学是 为了用，设计思想，体现的理念。做数学，让学生参与。 2、新教材的重点和难点要分析出来，要将知识串起来。 3、变化的内容引起呈现方式的变化，技术所起的作用。技术的使用，引起学习方式的改变，怎么用？明确指出需要用技术的地方，形与数要结合。使用技术到非用不可，举例说明。重点！ “函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社
会中的简单问题。” 二、内容安排： 函数这章教材共分个大节：第一大节是函数的概念及函数的一般性质；第二大节是指数与指数函数；第三大节是对数与对数函数；第四大节是函数的应用举例和实习作业。 1、函数是中学数学中最重要的基本概念之一。中学的函数教学大致为三个阶段，初中初步探讨函数的概念、函数关系的表示法、函数图象，并具体学习正比例、反比例、一次函数、二次函数等，使学生获得感性知识；本章及三角函数的学习是函数教学的第二阶段，是对函数概念的再认识阶段，用集合、映射的思想理解函数的一般定义，通过指数函数、对数函数以及后续的三角函数，使学生获得较为系统的函数知识，并初步培养函数的应用意识。第三阶段在选修部分，极限、导数与微分、积分是函数及其应用的深化与提高。 高中的函数知识是在初中的基础上学习的，主要讲函数的概念、函数关系的表示法、并学习函数的一般性质。从映射的概念看，函数是集合A到集合B的映射（A、B是非空数集），映射是特殊的对应，函数是特殊的映射，反函数也是映射。 2、学生在初中的基础上学习有理指数幂及其运算法则是不困难的。指数函数及其图象和性质是这一节的重点，要通过具体实例了解指数函数模型的实际背景，通过具体函数的图象来观察、归纳函数的性质，反之，函数性质又直观反映在图象上，指导准确作出函数图象。
高中数学讲义微专题40 利用函数性质与图像解不等式
微专题40利用函数性质与图像解不等式 高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。 一、基础知识： （一）构造函数解不等式 1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则 []()()121212,,,x x a b x x f x f x ?∈ (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号） 3、导数运算法则： （1）()()() ()()()()' ' 'f x g x f x g x f x g x =+ （2）()()()()()()()' ''2 f x f x g x f x g x g x g x ??-= ??? 4、构造函数解不等式的技巧： （1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点 （2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整 （3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。那么问题便易于解决了。 （二）利用函数性质与图像解不等式： 1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。通常可作草图帮助观察。例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增。则可以作出草图
《1.3 函数的基本性质》测试题
《1.3 函数的基本性质》测试题 一、选择题 1.下列函数中，是奇函数的为( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数奇偶性的定义. 答案：A. 解析：的定义域是，∴ ，∴，∴是奇函数. 2.已知函数在内单调递减，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 考查目的：主要考查函数的单调性、二次函数、一次函数的图象和性质. 答案：C.
解析：函数在内单调递减，则须在上单调递减和在上单调递减，且，∴ ，∴. 3.已知奇函数在区间上的图像如图，则不等式的解集是( ). A. B. C. D. 考查目的：主要考查奇函数的图象特点，以及利用图象解题. 答案：B. 解析：奇函数的图象关于原点对称，画出函数的图象，由图得，选B. 二、填空题
4.设是定义在上的奇函数，当时，，则 . 考查目的：本题考查函数的奇偶性以及函数值的求法. 答案：-3. 解析：. 5.已知，则函数的单调增区间是. 考查目的：考查函数单调区间的概念及二次函数的单调性. 答案： 解析：抛物线的开口向下，对称轴为直线，故函数 在递增，在递减，所以函数的单调增区间是. 6.函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是. 考查目的：考查利用函数的奇偶性和单调性解题. 答案：. 解析：∵函数在上是奇函数且为单调增函数，∴由 得，∴，∵，∴恒成立，∴.
三、解答题 7.函数对于任意的，都有，若时，，求证：是上的单调递减函数. 考查目的：主要考查利用函数的单调性定义证明函数的单调性. 解析：任取，则，由时，，得，根据，有，所以，即，所以是上的单调递减函数. 8.已知函数是定义在R上的偶函数，且当≤0时，. ⑴现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数的图像，并根据图像写出函数的增区间； ⑵写出函数的解析式和值域. 考查目的：主要考查奇偶函数图象的画法，分段函数解析式，根据图象写函数的单调区间. 解析：⑴根据偶函数图像关于轴对称补出完整函数图像(如图).
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
函数的基本性质知识点归纳与题型总结 一、知识归纳 1．函数的奇偶性 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 解题提醒： ①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． ②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)
＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． ③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性． 题型一 函数奇偶性的判断 典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ； (2)f (x )＝? ???? －x 2＋2x ＋1，x ＞0， x 2＋2x －1，x ＜0； (3)f (x )＝4－x 2 x 2； (4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x 1＋x ≥0， 所以－1＜x ≤1， 所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法) 当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1， －x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1， －x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．
高中函数及其性质
高中函数及其性质 一、函数的基本性质： 1. 函数图像的对称性 （1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立； 偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。 （2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。 若某一函数与其反函数表 示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。 （3） 若函数满足()(2)f x f a x =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足 ()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。 （4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。 2．函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导 数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性） 特别提示：函数(0)a y x a x =+>的图像和单调区间。 3．函数的周期性 对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有 ()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。若在所有的周期中 存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。 （1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。 （2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为 T a 的周期函数。 （3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。 （4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。 4.函数的最值： 常规求法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法 5．Gauss(高斯)函数 对于任意实数x ，我们记不超过x 的最大整数为[]x ，通常称函数[]y x =为取整函数。又称高斯函数。又记{}[]x x x =-，则函数{}y x =称为小数部分函数，它表示的是x 的小数部分。 高斯函数的常用性质： （1） 对任意,1[][]1x R x x x x ∈-<≤<+均有 （2） 对任意x R ∈，函数{}y x =的值域为[0,1) （3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意121212,,,[][]x x R x x x x ∈≤≤若则 （4） 若,,[][],{}{}n Z x R x n n x n x x ∈∈+=++=则有，后一个式子表明{}y x =是周期为1的函数。 （5） 若,,[][][][][]1x y R x y x y x y ∈+≤+≤++则 （6） 若* ,,[][]n N x R nx n x ∈∈≥则 二、应用举例： 例1．已知)(x f 是一次函数，且10231024)(10+=x x f ．求)(x f 的解析式．
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的九种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。 例1 已知f （x x 1 +）= x x x 112 2++，求f （x ）的解析式. 解： 设 x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1 )11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2 －x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2 )(x +2x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2 )1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有 f （x ）= x 2 －1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2 +bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①
f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2 +（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ?? ?==. 7,1b a 故f （x ）= x 2 +7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式. 四、消去法（方程组法） 例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （ x 1 ）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x 1 去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方 程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （ x 1 ）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x 1 （x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32 －3 x （x ≠0）. 评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程 练习：已知定义在R 上的函数满足 ，求 的解析式。 五、特殊值法 例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ，有 f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式. 分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到 f （x ）函数解析式，只有令x = y. 解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得 f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.
高中数学-函数的基本性质小结
函数的基本性质【教学目标】 【教学重点】
函数的基本性质及应用 【教学难点】 函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。 【教学过程】： 一．知识整理 1．基本思想 （1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。 （2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。 2.主要问题： （1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩 （2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义 （3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合 （4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质 函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数的相等：定义域相同，对应法则相同 函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数 f(x)为偶函数； 如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x) 为奇函数；
函数的基本性质解析
1 第二讲 函数的性质（一） 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1 专题06 利用函数性质解决抽象函数不等式 【高考地位】 函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。 确定抽象函数单调性解函数不等式 例 1 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，不等式 ()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________． 【变式演练1】【辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中】已知函数2 2()1 x f x x =+，则不等式 ()()2log 13f x f -≤的解集为（ ） A ．[ )4,+∞ B ．1,42?? ??? C ．1 ,168????? ? D ．1,164 ?????? 【变式演练2】【江西省赣州市部分重点中学2021届高三上学期期中考试文科】已知定义在[1,)+∞上的函 数()f x 满足()ln ()0f x x xf x '+<且(2021)0f =，其中()' f x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底 数，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．(1,2021) B ．(2021,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．[1,2021) 【变式演练3】定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数． （1）求(1),(1)f f -的值； （2）求证：()()f x f x -=； （3）解不等式1(2)()02 f f x +-≤． 【变式演练4】定义在(1,1)-上的函数()f x 满足下列条件：①对任意,(1,1)x y ∈-，都有 ()()()1x y f x f y f x y ++=++；①当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，求证： （1）()f x 是奇函数； （2）()f x 是单调递减函数； （3）2 1111( )()( )()1119 553 f f f f n n +++>++，其中* n N ∈． 【高考再现】 1.【2020年高考浙江卷9】已知,a b ∈R 且0ab ≠，若()()()20x a x b x a b ----≥在0x ≥上恒成立，则 （ ） A ．0a < B ．0a > C ．0b < D ．0b > 2.【2020年高考北京卷6】已知函数12)(--=x x f x ，则不等式()0f x >的解集是 （ ） A ．()1,1- B ．() (),11,-∞-+∞ C ．()0,1 D ．()(),01,-∞+∞ 利用函数性质判定方程解的存在 【学习目标】 1.正确认识方程0)(=x f 的实数解与函数)(x f 的零点的关系。 2.会结合函数图像性质判断方程解的个数。 3.会用多种方法求方程的解和函数的零点。 【学习重点】 方程的解与函数零点的关系、函数零点的应用。 【学习难点】 函数零点的应用 【课前预习案】 一、课本助读 阅读课本115—116页，然后完成。 （一）函数与方程的关系 1.求方程2230x x --=的根，画函数223y x x =--的图像。 2.观察函数的图像发现：方程的根与函数的图像和x 轴交点的横坐标有什么 关系？ 3.归纳函数的零点的概念 我们把函数()y f x =的图像与 _______交点的_________ 称为这个函数的 ___________。 总结：方程()0f x =有实根?函数()y f x =的图像与______有交点?函数 ()y f x =有_______. （二）函数零点的判断 4.如何判断二次函数零点的个数，如何判断一元二次方程根的个数，它们之 间有什么关系？ 分析：观察二次函数()26f x x x =--的图像，我们发现函数()26 f x x x =--在区间(4,0)-和()0,4有零点，计算)4(),0(-f f ，发现()()04f f -______0，函数 ()26f x x x =--在(4,0)-内有零点__________,它就是方程()26f x x x =--的一 个根，同样地，()()04f f _____0，函数()26f x x x =--在()0,4内有零点________, 它就是方程()26f x x x =--的另一个根。我们可以用学过的解方程的方法来验证 这个结论。 5.判断函数有零点的方法.（函数零点的存在性定理） 若①函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图像是______曲线，②并且在区间端 点的函数值符号_________，即____________，则在区间(),a b 内，函数_______ 有______零点，即相应的方程()0f x =在区间(),a b 内__________实数解. 二、预习自测 1.函数223y x x =--的零点有 。 2.判断下列函数在给定的区间上是否有零点： （1）()3x f x e x =--在区间[1,2]上； (2) 2()32f x x x =-+在区间[0,3]上 【课堂探究案】 一、 探究问题 1.在零点存在性定理中， ①为什么要是连续曲线？能举出反例吗？ ②若0)()(>?b f a f 则函数)(x f y =在区间()b a ,内存在零点吗？ 2. 为什么说函数)(x f y =“至少有一个”零点？函数零点的存在性定理能 否判断函数零点的个数？试举例说明. 3.单调函数满足函数零点的存在性定理的两个条件，能否判断函数零点的个 数？试举例说明. 4.)(x f y =在区间()b a ,内存在零点，则满足0)()( 热点02 函数及其性质 ※※※※※命题趋势※※※※※ 纵观高中数学，函数贯穿于整个数学内容，是学生最头疼的内容，也会高考当中最能拉开分值的考点，占有的分数比重比较高.内容量比较大，近年以及之后的理科数学高考中，函数奇偶性，零点问题，恒成立问题，周期性问题以及单调性问题是高考函数中的核心.容易把具体函数与相应的性质相结合.通过列举了高考数学高频率考点，组合成了本专题，通过本函数及性质的专题的学习，让你对高中数学函数及其性质部分有充分的的理解，在以后遇到高考中的高频题型能够快速找到最佳解法. ※※※※※满分技巧※※※※※ 图像题是高考数学中函数及其性质高考必考题型，第一种解法三步走，第一步奇偶性判定，第二步单调性的判定，第三步特殊值的带入.第二种解法：也是三步走，第一步奇偶性判定，第二步特殊值带入.第三步特殊值带入. 零点问题是近几年高考常考题目，此类题目务必采用数形结合.将复杂函数分割化，从而求出对应函数的交点问题. 对于恒成立问题一般采用函数单调性的方法去做.M x f ≥)(恒成立则M 小于等于函数最小值，M x f ≤)(恒成立，则M 大于等于函数最大值，对于存在使的M x f ≤)(成立，则M 大于函数最小值.对于选择题则可以采用特殊值代入法以及图像法去简化运算. 恒成立问题另外注意问题是双变量问题，双变量问题一般是指的是两个未知数相互不影响，即若)()(21x ≥g x f 恒成立，只要满足)(x f 定义域范围内最小值大于)(x g 最大值即可. 分段函数单调性问题是简单题目也是最容易出错的问题，一般容易遗漏边界点.采用特殊值代入法时应采用多次带入方不会出错. 函数及其性质一般会放在选择题的最后四题左右，相对来说比较难，在常规方法的同时应注意特殊点代入，抽象函数具体化.，数形结合思想，化归思想. ※※※※※真题体验※※※※※ 1．（2020?海南）已知函数f （x ）＝lg （x 2﹣4x ﹣5）在（a ，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．（5，+∞） D ．[5，+∞） 【答案】D 【解析】由x 2﹣4x ﹣5＞0，得x ＜﹣1或x ＞5．令t ＝x 2﹣4x ﹣5，∵外层函数y ＝lgt 是其定义域内的增函数， ∴要使函数f （x ）＝lg （x 2﹣4x ﹣5）在（a ，+∞）上单调递增， 则需内层函数t ＝x 2﹣4x ﹣5在（a ，+∞）上单调递增且恒大于0， 则（a ，+∞）?（5，+∞），即a ≥5．∴a 的取值范围是[5，+∞）．故选：D ． 2．（2020?新课标Ⅰ）设a log 34＝2，则4﹣ a ＝（ ） A ． 116 B ．1 9 C ．1 8 D ．1 6 【答案】B 1.2.3 从图象看函数的性质 1.2.4 从解析式看函数的性质 1.单调函数的定义 函数值y随自变量x的①而增大的函数叫作②;函数值y随自变量x的增大而③的函数叫作④. 单调递增,单调递减通常称为递增或递减.递增函数和递减函数统称为单调函数. 2.奇偶函数的几何定义 若函数的图象绕原点旋转180°后和自己重合,则称这类函数是⑤.若函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,则称这类函数是⑥. 3.函数的最值 (1)上界与下界:设D为函数f(x)的定义域,如果有实数B使得f(x)⑦B对一切x∈D成立,则称B是函数的一个上界;如果有实数A使得f(x)⑧A对一切x∈D成立,则称A是f(x)的一个下界. (2)有上界又有下界的函数叫作有界函数,否则函数称为无界函数. (3)函数的最大(小)值的定义: 如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取得最大值M=f(a),称M 为f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点.如果有a∈D,使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取得最小值M=f(a),称M为f(x)的最小值,a为f(x)的最小值点. 4.函数的单调性 (1)递增、递减函数 条件一般地,设函数f(x)的定义域为D:如果对于定义域D内某个区间I上的⑨两个自变量的值x 1 ,x 2 ,当x 1 论在区间I上是 函数 图 示 (2)单调区间 如果一个函数在某个区间上是递增函数或是递减函数,就说这个函数在这个区间上具有单调性,该区间称为这个函数的单调区间. (3)定义法证明函数的单调性 在函数单调性的定义中,记x=x 1,x+h=x 2 ,条件x 1 20道已知函数解析式解函数不等式问题 1已知x x x f ln )(=,则( ) ) 3()()2(.f e f f A >> ) 2()()3(.f e f f B >> )()2()3(.e f f f C >> )2()3()(.f f e f D >> 2.已知函数112,1()2,1 x x x f x x --?≥=?，则x 的取值范围是 . 4己知)(x f 定义在区间[-1,1]上，且满足)()(x f x f -=-，当0 考点03 利用函数的图像探究函数的性质（1） 【知识框图】 【自主热身，归纳提炼】 1、(2017苏州暑假测试） 若函数6,2, ()(0,1)3log ,2,a x x f x a a x x -+?=>≠? +>? ≤的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】12a <≤． 解析 作出函数的图象，易知当2x ≤时，()64f x x =-+≥，要使()f x 的值域为[4,)+∞， 由图可知，显然1a >且3log 24a +≥，即12a <≤． 2、(2016苏锡常镇调研） 已知函数f (x )＝||2x －2(x ∈(－1,2))，则函数y ＝f (x －1)的值域为________． 【答案】[0,2) 解法1 由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域．画出函数f (x )＝|2x －2|的图像．由下图易得值域为[0,2)． 解法2 因为x ∈(－1,2)，所以2x ∈????12，4，2x －2∈????－3 2，2，所以|2x －2|∈[0,2)．因为y ＝f (x －1)是由f (x )向右平移1个单位得到的，所以值域不变，所以y ＝f (x －1)的值域为[0,2)． 3、(2017苏锡常镇二模）已知函数f (x )＝? ???? 4， x ≥m ， x 2＋4x －3， x 各位评委老师好，我是，今天我说课的题目是《利用函数性质判定方程解的存在》，下面，我将从说教材、说教学目标、说教学重难点、说教法、说学法和说教学过程六个方面来进行说课。 一、说教材 《利用函数性质判定方程解的存在》是北师大版数学必修一第四章第1节第1课时的内容。在此之前，学生已经学习了一次函数、二次函数等基本函数的图像和性质，也能够对一次方程、二次方程等常见的方程进行求解。这些基础为本节课的学习打下基础。在本节课中，学生将学习函数与方程的关系，以及用函数求解方程或判断方程解的个数的常用方法，这些知识会为以后学习二分法求方程的近似解打下基础，也能够培养学生利用函数与方程相结合的方法解决函数和方程问题的基本思想，为以后的学习打下基础。因此，本节课的学习在整个知识体系中起到了承上启下的作用；作为高考的必考内容，为学生成绩的提高有极大的裨益；还通过培养学生用相互联系的观点看待问题的思想，为学生后续的发展铺垫了坚固的基石。 二、说教学目标 根据本节课的内容和学生的认知结构及心理特征，我指定了以下的教学目标： 1.知识与技能：在本节课的学习中，需要先让学生了解到公式法解方程的不足，从而引起学生探索新知的兴趣，继而理解函数和方程的关系，并能够利用函数的图像和性质确定方程解的个数和有解区间。因此，本节课的知识与技能目标是了解公式法求方程解的局限性，理解函数零点的概念及零点与相应方程的解的关系，能通过作图判断函数零点的个数。 2.过程与方法：本节课的过程与方法目标是经历函数与方程关系的讨论过程，经历利用函数性质判定方程解的过程，经历函数值与零点之间关系的讨论过程，经历单个函数图像零点变化为两个函数交点的过程。体会数形结合、利用函数解决方程问题、转化与化归等数学思想和方法。通过这些过程，体会这些方法，可以让学生更加深入的了解函数与方程的关系，对函数图像有更深层次的认识，为以后的学习打下基础。 3.情感态度与价值观：体会函数在数学中和核心作用，感受数学知识之间的密切联系，提高数学学习的兴趣。 三、说教学重难点 在本节课的学习中，主要突破以下重难点： 教学重点：体会函数与方程之间的关系，根据区间端点函数值确定解的存在。函数与方程思想在整个函数的学习生涯中都占据着重要地位，因此，通过本节课的学习，为学生认识函数与方程的关系打下基础。而根据区间端点函数值确定解的存在，则是判断区间内有解的一个重要方法，也与后续所学的二分法求方程的近似解做好了铺垫。这两个问题都要作为重点，让学生牢固掌握。 教学难点：方程解的个数及所存在的区间。方程解的个数问题，是利用函数性质判定方程解的存在的一类特殊情况，有可能与函数图像、单调性等问题综合考察，因此，要作为难点突破。 四、说教法 在本节课中，重要结论将由师生讨论得出，因此用到讨论法；当重要知识点讲解完毕，为了学生更好的掌握，也应使用练习法；在知识的探索过程中，设计多个循序渐进的问题，然后在分别予以解决，体现了任务驱动法。总体来说，本 函数的基本性质 函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性 一、单调性 1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2 )()0(≠a ， 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。 例2、判断函数1 2)(-+= x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明. 5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表： 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。 例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ） A.]3,(--∞ B.),1[+∞- C.]1,(--∞ D.),1[+∞ 6．函数的单调性的应用： 判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。 例4：求函数1 2-= x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值. 二、奇偶性 1．定义： 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数； （等价于：0)()()()(=--?=-x f x f x f x f ） 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。 （等价于：0)()()()(=+-?-=-x f x f x f x f ） 注意：当0)(≠x f 时，也可用1) ()(±=-x f x f 来判断。 2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。 若函数)(x f 为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(=f ； 3．判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。专题06 利用函数性质解决抽象函数不等式-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)(原卷版)
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