第二章 工程建设中地形图的应用

第二章工程建设中地形图的应用与测图比例尺的选择

本章主要内容：

1、工程建设各阶段中地形图的作用；

2、工程设计对地形图的要求；

3、大比例尺地形图精度分析；

4、大比例尺地形图在工程设计中的应用

5、数字高程模型及其应用。

§2-1 在工程建设规划设计各阶段中地形图所起的作用不同的工程建设其规划设计对地形图要求是不同的，如对于一条河流或水系而言，要综合开发和全面规划需要有全流域的比例尺地形图（1：50000~1：）；对水系的某枢纽工程（大坝）的设计，主要是坝址的选择、建坝后库容量与上游淹没面积、采用的地形图比例尺应为1：10000~1：50000；在大坝初步设计时用图比例尺为1：10000，详细设计1：2000~1：5000；在施工阶段，可测绘1：1000的地形图。

对于对于城市规划、矿山开发等不同阶段需要不同比例尺的地形图。

一项工程从总体规划、初步设计、详细设计、施工设计所需地形图比例尺由小到大。

测绘资料要满足工程建设规划设计的需要，其主要质量标准是：地形图的精度，比例尺的合理选择，测绘内容的取舍适度等。

地形图的精度与比例尺的大小有关，也就是为工程设计提供的地形图，首先要考虑测图的比例尺，再考虑费用问题。

随测图比例尺的增大相应工作量也会成倍增加，费用也相应增加。（1：500是1：1000的2倍)

如1：1000，19000元/幅、76000元/km2；

1：500，9300元/幅、元/km2）

《工业企业总平面设计规范》要求：

总平面设计应充分利用场地地形，对原有建筑物、构筑物、运输线路及树林、耕地等，应尽量保留；

地形坡度应能与建（构）筑物的配置、运输、排水要求的适宜坡度相适应；

建（构）筑物的布置应场地周围的地形和现在的建筑群相适应；

填挖方总量最少，且接近平衡。

§2-2 工业企业设计对地形图的要求

工业企业设计对地形图的要求：

在总图运输设计中，对于地形、地物测绘所要求的必要精度；

在工业企业的初步设计阶段在总平面图上要确定和绘出车间、仓库、动力设施和铁路线等主要建筑物的轮廓位置和坐标；

在竖向布置图上要绘出竖向布置系统，设计地面连接方式、场地平土标高、排水坡向、建筑物地坪的高程以及运输道路的高程等；

土方工程图要分别表示出土方的填、挖量与土方总量；管道总平面图的设计系在建筑物之间布置和绘出上下水、动力、电力等地上和地下主要管线的位置与坐标；

在施工设计阶段，设计的内容基本上与上述相同，只是比较详细些。图上要正确地反映出所有建筑物的形状与平面位置、道路和管线的走向与坡度，以及各项建筑物的高程等，作为准备施工放样数据的依据。

在布置总平面图上的建筑物时，一方面考虑生产的工艺要求，同时还要考虑地下管网与运输道路布置地可能性，以及防火、防震、防水侵蚀等要求。

例如，在防火方面，建筑物间应保证最小有10m的距离；在防震方面，可根据土质和落锤的大小来确定，其防护距离最小为20m；在黄土地区的建筑物应离开水渠、水沟15m 以上以防止地基受水侵蚀的影响。而为了节约用地，一般要求尽量地接近容许的最小距离。当设计的建筑物与原有的地形、地物发生关系时，就要用图解的方法来量取它们之间的距离，以决定是否满足各项建筑界限的规定。

当用地紧张，或设计的建筑物与已有建筑物间距接近规定的最小距离，或者是进行较为复杂的工程设计时，图解精度就不能满足要求。这时就需要施测一定数量的地物点的解析坐标。

例如，在工业企业的建筑场地上，地下管道之间的距离以及他们离其他建筑物的距离比较小（一般电力管道离建筑物应大于0.6m，下水管道离建筑物大于2m），如果原有建筑物的位置不准确，则有可能将管道布置得小于上述规定间距，也有可能将设计的建筑物布设在原有的管道上面。特别是在建筑物间布设的管道较多，甚至10cm的宽度都要考虑应用。因此，设计人员认为对于原有建筑物所施测的解析坐标，其最大点位误差不应超过10cm。在改建或扩建的工业场地上，对原有建筑物、构筑物所施测的坐标与高程，除了作为新建（构）筑物设计的依据外，有时还作为施工放样的依据，这也是要求精确施测细部点坐标和高程的原因之一。

对于地形测绘的精度要求，应根据竖向布置的正确设计去分析。工业场地的竖向布置就是将厂区的自然地形加以整平改造，以保证生产运输有良好的联系，合理地组织排水，并且使土方量最小，而且使填挖方量平衡。

工业场地地面连接的方法一般分平坡法和台阶法。其选择是根据工业企业的性质、总平面布置、厂址的地质构造以及自然地形等因素综合考虑决定。

工业场地的竖向布置系统和地面连接方法确定以后，即可对整平面的宽度、坡度和平土高程进行设计。（若考虑排水则坡度为0.5%~1.0%）

整平面的坡度和平土高程确定后，即进行建、构筑物的地坪高程、铁路轨顶高程、道路中心线高程以及工程管网高程的设计。这些高程的设计原则上仍然是要使其尽量与自然地形相适应，考虑排水条件，室内地坪要高出室外地面0.15~0.5m左右。地下管道埋设深度最浅为0.6m。因此平坦地区地形图的高程中误差可为±0.15m, 最大误差应在±0.3m以内。

各项竖向布置的高程设计完毕以后，应计算土方量，以作为进行投资预算，施工准备以及论证设计方案。

地形图是为工业建设的设计服务的。随着设计方法的不断改进，对地形图提出不同要求。一般有以下几个方面的要求：

1、地形图所表示的高程的精度要求，该要求不是很高；

平地（坡度在0.1或6°以下）为0.17~0.28m,

坡地（坡度在0.10~0.20或6°~12 °）0.39~0.50m,

2、比例尺选择适当；

经济、设计要求（表示地物的详细程度）、图面负载、清晰度。

3、测区的范围应定的适当；

一般勘测面积大于企业占地面积，大小随设计项目的具体条件而定，由设计单位和勘测单位共同确定。

4、成图的时间比较快；以满足设计需要。

5、应用旧的资料时，必须进行可靠的检验。

一方面节约资金、减少工作量、缩短工期，另一方面，由于资料的来源不同，其技术规格、精度、基准可能不同，须谨慎使用。

总的来说，为工业企业的设计所进行的测图工作，在图纸上的平面位置和高程方面的精度，

比例尺的选择，测图范围以及成图时间等方面，都应该充分地满足设计的要求，以使其应用方便。在进行测图时，应该按照准确（在精度要求的范围内）、逼真、清晰的原则，保证成图的质量。在确保质量的前提下，按期或提前提供测绘资料，以满足设计的需要。

§2-3 大比例尺地形图的精度分析

测绘地形图的方法主要有野外实地测图和航测法（包括近景摄影）成图，本节主要讨论野外实地测图的情况。

野外实地测图又分模拟法测图和数字法测图，所测的地形图大多数是为满足工程初步设计和施工设计的需要的大比例尺地形图，其精度将直接影响设计工作。

影响地形图精度的因素很多，如测绘人员的技术水平、所使用的仪器与工具的质量、测区的条件、成图方法等。其中，有些因素的影响很难准确表示，只能先对成图过程的各个工序的精度进行分析，然后综合各个工序的误差影响，最后得到地形图的精度。

大比例尺地形图的精度可从平面位置的精度和高程精度两方面进行分析 1、模拟法测图的地形图的精度 1）模拟地形图平面位置的精度分析

地形图平面位置的精度可用地物点相对于邻近图根点的点位中误差（图上）来衡量。 地物点平面位置的误差主要受下列误差的影响：

① 解析图根点的展绘误差—m 展 ② 图解图根点的测定误差—m 图 ③ 测定地物点的视距误差—m 视 ④ 测定地物点的方向误差—m 向 ⑤ 地形图上地物点的刺点误差—m 刺 因此

平板测图刺点误差：

图解图根点测定误差：

测图视距误差：

式中： m100表示100m 的视距中误差（单位m ）

······

α—视线倾斜角

平板仪测图方向误差：图板的对中、整平、定向及照准误差。 试验得方向误差大致为6′，对点位的影响为：

mm

m 18.015.01.022±=+±=刺mm m 3.0±=图??

??

?

?

????

?+=+=+=+=+=+=ααααααtg m tg m tg m tg m tg m tg m 05.530.210.460.130.310.165.275.015.250.080.130.0350300250200150100N

m s m 1?

=ρβ向

式中：s —最大视距长度，以m 计；

m β—平板仪上测绘地物的方向中误差，取±6′； ρ—3438 ′；

N —测图比例尺分母。

需要指出：以上数据为地形图原图的精度，而使用图纸一般是复制图，分析复制图的精度时还应考虑复制过程图纸变形的影响，此项误差大约为0.3mm 。

2）模拟地形图高程精度的分析

地形图的高程精度，是根据地形图按等高线所求得的任意一点高程的中误差来衡量的。因此，地形图的高程精度即指等高线所表示的高程的精度。

影响地形图高程精度的因素有多种，对于大比例尺地形图来说，主要有： ①图根点控制点的高程误差—m 控 ②测定地形点的高程误差—m 形 ③地形概括误差—m 概

④地形点平面位移引起的高程误差—m 移 ⑤内插和勾绘等高线的误差—m 绘

图根控制点的高程误差： ——Hd 为等高距

用平板仪视距法测定地形点高程时，其高差为：

则，测定地形点的高程误差：

式中：ms —测定地形点（次要地物点）的视距中误差，可依据前面的方法求出； m α—视线倾斜角测定误差，取±1′；

mi 、mv —分别为量测仪器高和望远镜读取标尺的中丝读数误差，取±1cm 。

d

H m 10

1

=控v i tg s h -+?=α2

2242222)(cos 1v i S m m m S tg m m +++?=ρ

ααα形

地形概括中误差：

式中：μ—地形概括误差的影响系数

（平地0.04；丘陵 0.15；山地0.25） l —地形点间距（以10m 为单位）

由于地形点平面位移而使等高线位置移动所引起的等高线高程中误差m 移可用下式计算： 式中，m 点—地形点点位中误差（可按次要地物点计算）；

M —测图比例尺的分母； α—地面倾斜角 内插和勾绘等高线的误差：

在室内按比例内插等高线的平面位置误差约为1.0mm （图上）由此引起等高线的高程误差为：

在各种因素中，地形概括误差的影响比较大，因此，欲提高等高线的高程精度除了要提高地形点高程的测定精度外，必须要注意地形点要有一定的密度。如《工程测量规范》规定地形点的最大间距：1:1000测图d=30m(9/格),1:2000测图d=50m （16/格）另外，等高线内插和勾绘误差也不小，因此，等高线须仔细勾绘。

根据《工程测量规范》，等高线高程的中误差也可以按以下经验公式计算：

2、数字法测图的地形图精度分析 1）数字地形图的平面精度

从数据采集、传输到计算机绘图，称全野外地面数字测图（区别于航测数字测图、扫描矢量化成图）。其平面精度仍然可用地物点相对于邻近的图根点的点位（实地）中误差 来衡量，其公式为：

)

(m l

m 单位：概μ=α

tg M m m ??=点

移)(1.0m tg M m 单位：绘α?=αtan 108.04

13

???+=-M h m d

H

式中：m定—定向误差对地物点平面位置的影响；

m中—对中误差对地物点平面位置的影响；

m测—观测误差对地物点平面位置的影响；

m重—棱镜中心与待测地物点不重合对地物点平面位置的影响；

由公式可以看出，数字法测图与模拟法测图误差影响有很大不同，因此精度能明显提高。其平面精度情况见下表：

数字法测图地物点（实地）平面位置中误差单位：cm

由上表可以看出，即使使用精度较低的仪器，距离在400m之内时所测地物点相对于邻近图根点的平面位置中误差可保证在5cm之内。

2）数字地形图高程精度情况

地物点高程的误差来源主要有：测距误差、测角误差、量测仪器高和目标高误差、以及球气差影响。根据分析，测距误差和球气差对高程的影响可忽略不计。量测仪器高和目标高误差将直接进入所测高程（约0.5cm）。其精度情况见下表。

数字法测图地物点（实地）高程中误差单位：cm

§2-4大比例尺地形图在工程设计中的应用

一、按一定方向绘制剖面图

绘制断面图的方法如下：例如要绘出下页图中直线MN 方向的纵断面图，可先量出MN 线与各等高线交点a 、b 、c 、…等点到M 的距离，然后在绘图纸或方格纸上用与地形图相同的比例尺或其它适宜的比例尺，在横坐标轴上绘出a 、b 、c 、…等点。根据等高线可得出这些点的高程，再用一定的比例尺，在纵坐标方向上绘出各点的高程，就得出相应的地面点；顺次连接各地面点，就绘出了沿直线MN 方向的断面图。

二、按规定坡度进行选线

设从公路上的A 点到高地B 点要选择一条公路线，要求其坡度不大于4%（限制坡度）。设计用的地形图比例尺为1：1000，等高距为1 m 。为了满足限制坡度的要求，计算出该路线经过相邻两条等高线之间的最小水平距离d

1、以A 为圆心,以25mm 为半径画弧,交于54m 等高线上得a 点;

2、以a 点为圆心,以25mm 为半径画弧交于55m 等高线上得b 点依此类推,直到B

mm

i M h d 25%

410001=?=?=

点附近为止,然后连接A、a、b……B，便得到符合4%的坡度限制，这只是A 到B的路线之一为了便于选线比较，还需另选一条路线，如A、a`、b`……B，同时考虑其它因素，如少占农田、建筑费用最少，避开塌方或崩裂的地带等，以便确定线路最佳方案。

三、确定汇水面积及计算水库库容

汇水面积的边界线是由一系列的山脊线连接而成的。确定汇水面积的边界线时，应注意边界线应与山脊线一致，且与等高线垂直。区域汇水面积可通过面积量测方法得出。

四、根据等高线平整场地

1、整理成为水平面

（1）绘制方格网

(2）求各方格角点的高程

（3）计算设计高程

（4）确定填、挖边界线

（5）计算各方格网点的填、挖高度

2、整理成为倾斜平面

（1）确定设计等高线的平距和位置

（2）确定设计等高线的方向

（3）插绘设计倾斜平面的等高线（图中虚线）

（4）绘制填挖边界线

（5）计算填、挖土石方量

在方格网中各方格点的设计高程利用设计等高线内插求得。

五、计算土石方量

1、按等高线法计算土石方量

2、按断面法计算土石方量

3、按方格网法计算土石方量

§2-5 数字高程模型建立及其应用

数字地面模型（Digital Terrain Model, DTM) DTM是地形表面形态等多种信息的一个数字表示. DTM是定义在某一区域D上的m维向量有限序列：

{ Vi , i=1 , 2 ,…, n }

其向量Vi=（Vi1，Vi2，…，Vin）的分量为地形Xi，Yi，Zi（（Xi，Yi）∈D）、资源、环境、土地利用、人口分布等多种信息的定量或定性描述。

DTM是地形表面形态属性信息的数字表达，是带有空间位置特征和地形属性特征的数字描述。如地面温度、降雨、地球磁力、重力、土地利用、土壤类型等其他地面诸特征。DEM是DTM的一个子集，是DTM的基础数据，最核心部分，可以从中提取出各种地形信息，如高度、坡度、坡向、粗糙度，并进行通视分析，流域结构生成等应用分析。

关于DTM在不同的国家其术语有所差异：

如美国：DEM（Digital Elevation Model ）

德国：DHM （Digital Height Model ）

英国：DGM （Digital Ground Model ）

DEM的核心是地形表面特征点的三维坐标数据和一套对地表提供连续描述的算法，最基本的DEM由一系列地面x,y位置及其相联系的高程z所组成。数学表达是z=f(x,y)，x,y 属于DEM所在区域。

Z=f(x,y)，可用其0次项表示平面；用其1次项表示线性；用其2次项表示二次曲面；用其3次项表示三次曲面；用其4次项表示四次曲面；用其5次项表示五次曲面；不同的地形可选其中一个或多个描述。

与传统地形图比较，DEM作为地形表面的一种数字表达形式有如下特点：

1）容易以多种形式显示地形信息。地形数据经过计算机软件处理过后，产生多种比例尺的地形图、纵横断面图和立体图。而常规地形图一经制作完成后，比例尺不容易改变或需要人工处理。

2）精度不会损失。常规地图随着时间的推移，图纸将会变形，失掉原有的精度。而DEM采用数字媒介，因而能保持精度不变。另外，由常规的地图用人工的方法制作其他种类的地图，精度会受到损失，而由DEM直接输出，精度可得到控制。

3）容易实现自动化、实时化。常规地图要增加和修改都必须重复相同的工序，劳动强度大而且周期长，而DEM由于是数字形式的，所以增加和修改地形信息只需将修改信息直接输入计算机，经软件处理后即可得各种地形图。

数字地面模型的建立一般要经过数据采集（采样）、数据处理等过程。

数据采集是指选取构造数模的数据点及量取其坐标值的过程，是建立数字地形模型的基础工作。

一、数据采集

1．由数字化仪从已有地形图上采集，由数字化仪沿等高线获取地形点坐标，该条等高线的高程值则由人工读取。

2．由航测仪器从航空照片上获取，任何一种立体测图仪都可以从航空照片上进行数据采集。

3．用电子经纬仪、全站式速测仪等仪器由人工野外实测获取。

二、数据处理

数据处理是以数据点作为控制，以某种数学模型来模拟地面，通过内插计算取得某点高程值。

关于插值问题的描述如下：

已知一批点的坐标（xi，yi，zi）（i=1，2，···n）,

当任意给定某点P 的平面位置（xp ，yp ）后，求其地面高程zp 。

1、线性内插

这种算法对已知点排列没有特殊要求，适合已知点任意散布的情况，但要求这些离散点连成三角网，在三维空间中的这些三角网是地表形状的一种数学近似描述。 由地面相邻三点组成的每个小三角形（平面），不同平面相互联系形成地表的形状。如给定一点P （xp ，yp ）的平面位置，应先设法找到哪个包含P 点的三角形，并从坐标表中查到这个三角形三顶点的坐标，设为（xi ，yi ，zi ）, i=1，2，3······

则这三点组成的平面方程为：

z =a0+a1x+a2y

将三点坐标代入上式，即可求得系数a0、a1、a2 因为P 点在该平面上，所以

zP=a0+a1xP+a2yP

线性内插公式简单，已知点可以是不规律离散的，比较适用于沿线路工程测量。当已知点较精密时，精度也较好，但计算机在判断待定点落在哪个三角形内要花费较多机时，判断P 点是否在△i j k 之中的方法如下：

从P 点平行y 轴向右作一半射线，它与三角形之三边可能有实点R 、虚交点F （反向线与边相交的交点）或者没有交点。

射线与某边i j 是否有实交点的算法如下：

对于i j 边，如果（xi-xp ）*(xp-xj ) <0 则无交点

即，如果（xi-xp ）*(xp-xj ) ＞0

则须先求半射线与i j 边的交点y 的坐标值

若y > yp ， 则是实交点（交点在右） y < yp ， 则是虚交点（交点在左）

当射线与某三角形的三条边有一个实交点，则P 点在此三角形内，如果有2个实交点或没有实交点，则P 点不在此三角形内。

做上述判断时，还得处理好半射线通过三角形顶点及P 点位于某边上的情况，见下图。

如果一个数字地面模型中三角形个数很多，则上述判断运算需要花费较多的机时，为了加速判断可采取下列措施：

对于每个三角形，预先找到一个外接矩形（矩形的边与坐标轴平行或垂直），此矩形的四个参数xA 、xB 、yB 、yA 唯一确定。

i j k P

y R 1R 2k P i

R j

y k i 1j y F F F 2

P

如果

只有上述四个条件全满足，P 点才有可能落在该三角形内（逻辑判断）。 上述判断费时较少，而经过此判断将排除大部分三角形（筛选过程），一般只剩下1~3个三角形满足上述条件，然后只对这1~3个三角形进行判断运算。

2、双线性内插

这种算法适合已知规律地排列成矩形的情况。

设已知点A 、B 、C 、D 位于矩形的四

个角点上 ，矩形边长Lx 、Ly ，P 点与左下

角A 点的坐标差为x ，y 。

过P 点作AB 、AD 的平行线EG 、FH ， 则E 、F 、G 、H 四点的高程按直线两端点 的高程经线性内插求得。

P 点高程可根据EG 或FH 经线性内插求得，

即：若令矩形ABCD 的面积为S ，PGCH 的面积为SA ，DEPH 的面积为SB ，AFPE 的面积为SC ，FBGP 的面积为SD 。

再令

代入可推得：

当已知点排列成规则格网时，其优点：

（1）可以快速计算待定点落在哪个矩形内，设整个区域由一批边长Lx 、Ly 的矩形覆盖着，待求点P 的坐标为（xP , yP ）

????

??

?<><>B p A p B p A p y y y y x x x x (x A,y A )(x B,y B )Ly Lx A B C D S C S A S B S D H

F E G

P x y A

A D x

E z z z L x

z +-=)(:如D y

x C y x B

x y A y x P z L y L x z L y L x z L x

L y z L y L x z ??-+??+??-+?--=)1()1()1)(1(S S

P S S P S

S P S S P D

D C C B B A A ====,,,D

D C C B B A A P z

P z P z P z P z ?+?+?+?=

R P i

d i 2R 2R

2R

计算：

式中，（x0，y0）为第一行，第一列那个矩形左上角点的坐标，则P 点必定位于第 i 行，j 列的那个矩形内。

（2）可以方便地算得第i 行j 列那个矩形四个角点的平面坐标，且这些点的平面坐标不必存贮，从而可节省存贮空间，只须按一定的规律存贮角点的高程即可。 缺点：

（1）已知点按规则格网排列容易漏掉地形特征点，因此，不能充分反映地形特征。为弥补这种缺陷可以加密格网或者除了格网以外，再补测一些特征点作为已知点，但这种做法的优点就会减少，

（2）限制了数据的采集工作

当然，也可以把不规则的离散点，用某种内插方法预处理后，先求得位于规则格网结点处的地面高程，再利用该方法求任意点P 的高程。显然，经过一次插值处理后，精度会有所损失。

3、加权平均法

给定P （xP ，yP ）以后，以它为圆心，以预定的R 为半径作圆。作为邻域圆，选取位于此圆内的全部已

知点，按加权平均的方法求P 点高程。

P 点的高程：

式中，w 是权，通常把w 定义为待定点到已知点 i 的距离di 的函数， 当然也可以选用其它函数，这是一种经验公式。

按此方法插值时，每求一个插值点P 的高程，先要判断哪些点落在邻域圆内，为此必须计算P 点到全部已知点的距离。

这里有两个乘方运算和一个开方运算，如果测区中已知点数量很大，则为了判断究竟哪几个点落在圆内需要花费较多的机时。如果一个工程在设计中需要计算大批待定点的高程，则计算机计算累计时间就会很客观，这种算法就会显得太慢。

因此，在设计具体算法时，对于那些反复调用的计算环节，要尽量提高它的运算速度，为此宜把邻域圆改为邻域正方形，如图，这样一来，判断哪

些点落在邻域内的运算简化为两次比较运算（逻辑运算）。

即

计算机在作逻辑运算比作乘、除及开方运算要迅

速的多，从而可以显著提高整个插值计算的速度。

()[]()[]1

/int 1

/int 0

0+-=+-=y

p x p L y y

j L x x i

∑

∑?=i

i i P w z w z /2~1值通常取k ,d w k

i i

-=2

2)()(i p i p i y y x x d -+-=R y y R

x x P i P

i <-<-

对于这种插值方法，如果预先把所有已知点按某种规律有序排好，也可以显著提高计算速度，因为计算机对有序数进行检索的速度比对无序数检索的速度要快的多。

4、移动曲面拟合

移动曲面拟合法是用二次多项式来拟合地面高程，即Zp=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F ，通常把坐标原点平移到待定点之后利用上式，采用待定点为圆心的圆周内6个数据点求解函数的待定系数，然后根据曲面方程计算Zp

当给定P 点后，先按前面介绍的某种方法，在P 点的邻域内选定一批已知点。设这样的点有 n 个（n>6），不然放宽邻域指标R ，以增加点的数量。首先把这些点的平面坐标换算为以P 点为原点的坐标，即

当数据点多于6个时，可按最小二乘法求解待定系数。根据数据点距待定点远近不同，利用“距离越远对插值点的影响越小”的思想，可赋以适当的权值，

权重可采用 W =1/di 2 或 W =[(R-di)/di]2 或W =exp(-di 2/R 2)等形式 （其中di 为距离，R 为采样圆半径），该方法称为按距离加权最小二乘内插法。 用这n 个点拟合一个多项式曲面，设选用二次多项式

利用n 个已知点的数据（x1i ，y1i ，z1i ）可按最小二乘法求得这六个参数A 、B 、C 、D 、E 、F 。

每个数据点参与平差时其z 值赋以不同的权（如wi ）则

按

组成法方程式，式中待定参数为A 、B ···F 即

把法方程式约化后回代以求未知数

实际上只要求得参数 F 就可以了。因为当以P 点为原点时

所以， zp = F

即只要求得参数F 就可以确定P 点的高程 zp 。

??

?-=-=P i i P i i y y y x x x 11F

Ey Dx Cy y Bx Ax z i i i i i i i +++++=11211121i i i i i i i i z F Ey Dx Cy y Bx Ax v -+++++=112

11121[]

min min ==∑

wvv v v w i i i [][][][][]

[

][][][][]

??

?

??=++???+++=++???+++00wfz F wff C wcf B wbf A waf waz F waf C wac B wab A waa

00

11=-==-=P P P P P P y y y x x x F Ey Dx Cy y Bx Ax z i i i i i i i +++++=11211121

5、多重曲面法

设在测区内有N 个已知点，选定一个数m 及m 个已知点（m ≤N ），用下述多重曲面公式来描述测区内地形的起伏。

式中，ki 是待定参数（i =1, 2, 3….）

Q(x,y,xi, yi)称为核函数，由经验选取

例如：可令Qi j=P+di jc 式中

c 为系数，通常 P=1，c=1~3 (根据地面起伏选取) 利用N 个已知点的坐标（xj ，yj ，zj ）（j=1,2,3…..） 代入上式得：

（j=1，2，3…….）

当m=N 时，上式为一组线性代数方程组，

写成矩阵形式：

利用上式可解得K 值，且该K 值对整个测区有效。

利用该式可求得测区内任一点P 的高程Zp.

如果m

从几何上看，核函数Q 表示一个曲面，如果选用上述那样的核函数，它将是一个对称的曲面，其中心分别在（x1，y1）、 （x2，y2）、 （x3，y3）······，整个测区的地形是以m 个曲面重叠而成，所以此法为多重曲面法。

),,,(),,,(),,,(),,,(),(2221111m m m i i m i i y x y x Q k y x y x Q k y x y x Q k y x y x Q k y x f z ?+???+?+?=?==∑

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N T N NN N N NN z z z Z k k k K Q Q Q Q Q Q Q Q Q Z QK )

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QK V T T 1)(

6、等高线内插法

将矢量等高线全路径栅格化、取线划穿过的全部栅格、生成等高线栅格数据、以形成各条密致无缝的栅格墙，防止插值剖面射线穿越，确保用最近点进行插值。

用旋转剖面插值法对其余空白栅格进行插值。投影为射线、有无穷个、规定一个转角步长（变为有限如步长22.5°时则有8个剖面），选择坡度最大的作为插值剖面，由插值剖面将最陡坡度的两点搜索出来，然后进行插值计算。

三、DEM的应用

由于DEM 描述的是地面高程信息,它在测绘、水文、气象、地貌、地质、土壤、工程建设、通讯、气象、军事等国民经济和国防建设以及人文和自然科学领域有着广泛的应用。

DEM 可用于绘制等高线、坡度图、坡向图、立体透视图、立体景观图,并应用于制作正射影像图、立体地形模型及地图的修测。

DEM 在工程建设中可用于体积和面积计算、土方量的计算、各种剖面图的绘制及线路的设计和通视情况的分析。

DEM 在军事上可用于导航(包括导弹及飞机的

导航) 、通讯、作战任务的计划、观察哨所的设定等。

在环境与规划中,DEM 可用于土地现状的分析

、各种规划及洪水险情预报等。还可将DEM 作为背景

叠加各种专题信息如土壤、土地利用及植被覆盖数据

等,以便进行显示与分析。

在防洪减灾方面,DEM 是进行水文分析如汇水 区分析、水系网络分析、降雨分析、蓄洪计算、淹没 分析等

(一)地面坡度和坡向计算

坡度反映斜坡的倾斜程度，坡向反映斜坡所面对的方向。空间曲面的坡度是点位的函数，曲面上某点位的坡度是曲面上该点的法线方向N 与垂直方向Z 之间的夹角α。

网格单元的坡向是对网格单元所拟合的曲面片上某点的切平面的法线的正方向在平面上的投影与正北方向的夹角，即法线方向水平投影向量的方位角β。

坡度与坡向示意图

网格单元地面坡度、坡向的计算：

以网格内8个方向判别法为例，网格内8个方向如下图所示：

设网格四角点的高程分别为zi-1,j-1、zi-1,j 、 zi,j 、 zi,j-1，网格中心的高程取它们的平均值，即

则从网格中心点向8个不同方向在地面上的坡度值分别为：

式中，l1、l2、l3分别为格网对角线长、纵向长和横向长。

该网格的坡度取以上8个方向坡度值中最大值，其方向便是该网格的坡向。 （二）地面表面积计算

地面表面积可以看成是其所包含的各个网格的表面积之和。若网中有特征高程点，则可以将网格分解为若干个小三角形，求其斜面积之和作为网格的地面表面积，若网格中没有高程点，则可计算网格对角线交点处的高程，用4个共顶点的斜三角形面积之和作为网格

4/)(1,,,11,1----+++=j i j i j i j i o z z z z

z ?

?????===----------)arctan()arctan()arctan(3

,,11,12,11,12322221l z z z l z z l z

z z j

i j i o j

i o j i j i o ααα

的地面表面积。

空间三角形面积的计算公式为：

（三）体积计算

DEM 体积可由四棱柱（无特征高程点格网）与三棱柱体积累加得到。当下表面为水平面或参考平面时，计算公式为：

式中，hi 为各地表点相对与下表面的高差，

A3、A4分别为三棱柱、四棱柱的底面积。 （四）断面图绘制

从DEM 可以很方便的制作任意方向上的地形断面。根据工程设计的路线，只要知道所绘断面线在DEM 中的起点位置和终点位置，就可以唯一地确定其与DEM 格网的各个交点的平面位置和高程，以及断面线上相邻交点之间的距离，然后按选定的垂直比例尺与水平比例尺，依距离、高程绘出相应的地形断面图。

（五）DEM 在公路设计中的应用

1．平面设计

平面设计，按照直线--缓和曲线线--圆曲线--缓和曲线--直线的顺序组合。将平面设计的导线点（或GPS 控制点）放样到DEM 模型中，根据计算公式，很快可以计算出各路线参数。

2．纵断面设计

纵断面设计是根据道路等级，DEM 地面模型的起伏，确定路线合适的标高、各坡段的纵坡度和坡长，设计竖曲线。纵断面设计中最总要的就是地面线和路线设计标高，地面线可以通过平面设计线与DEM 网格的交点连接而成。路线标高则根据设计规范要求的纵坡进行放坡。

3．横断面设计

横断面设计首先要根据公路等级、设计时速选择路面的宽度，以及路面的组成要素，通过三维的路面断面显示，交互的选择满足设计要求的车道宽和车道数，路肩，分隔带等等。采用适合计算机计算的坐标法，计算横断面的面积，进而计算路基的土石方数量。

上面的各种设计数据通过三维显示技术可以进2D 和3D 的显示，公路场景的三维仿真，使路线的设计更加的直观并能交互式的修改，缩短了设计的周期和灵活性，各种计算表格分别存放在数据库中保存并能打印输入作为最终的路线设计成果。 作业：

1、简述工程建设各个阶段所需进行的主要测量工作。

2、为什么说测图比例尺的选择是工程测量中的一个重要问题？（精度、范围、费用等）

3、工业企业设计对地形图一般有哪几个方面的要求？

2

223

2121321))()((z y x s s s s s P s P s P s P P A i i ?+?+?=++=---=为三角形边长，），（式中，4

4321433

21333

A h

h h h V A h h h V ?+++=?++=

4、模拟地形图和数字地形图的平面精度和高程精度是如何衡量的？

5、解释DTM的含义？DTM与DEM有什么区别？

6、画图说明在建立DEM时用加权平均值法进行内插的原理。