直线的一般式方程

3.2.3 直线的一般式方程

一、教学目标

1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.

3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 二、重点难点

教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.

教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，关键是直线方程

各种形式的互化

三、教学过程 1、导入新课

前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 提出问题

①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?

②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?

③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?

⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?

讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α. 1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b. 2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零. 结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.

②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-B

A

，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A

C

，

表示一条与y 轴平行或重合的直线.

结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.

综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式. 注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式. 在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. 师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.

图1

列表：

思考探究：P98

例题讲解：

P98 例5、6

知能训练：

课本本节练习1、２、３.

拓展提升：

《名师金典》P60 例1 P61 例2、例3

.

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两条直线的交点坐标

一、教学目标

1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.

2.当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.

3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.

4.以“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.

二、重点难点

教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.

教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.

三、教学过程： 1、导入新课

思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.

思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.

2、提出问题

①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：

(ⅰ)???=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)?????+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)??

???+==-2131,

062x y y x .

如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？

设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,

如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组????

?=++=++0

,

0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.

(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;

(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;

(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即

直线l 1、l 2联立得方程组?????????

??.

,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解

转化、l l 、l l 、l l

(代数问题) (几何问题)

一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有

方程组????

?

???

?

?

??≠=??==??≠??????=++=++.,,002121212121212121212

121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C

B B A A l l

C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A 3、例题讲解：P103 例1、2，《名师金典》P63 例1、2

4、练习巩固：P104 第1、2题

5、作业：课本习题3.3 A 组1、2、3,选做4题.

3.3.2 两点间的距离

一、教学目标

1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性.

2.能灵活运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质. 二、重点难点

教学重点：1、平面内两点间的距离公式.

2、如何建立适当的直角坐标系.

教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 三、教学过程： 1、导入新课

思路1.已知平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)，如何求P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的距离|P 1P 2|?

思路2.(1)如果A 、B 是x 轴上两点，C 、D 是y 轴上两点，它们的坐标分别是x A 、x B 、y C 、y D ，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，求|AB|. 2、提出问题

已知平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)，如何求P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的距离|P 1P 2|.

图1

在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.

在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.

因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|， 所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.

由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=2

12212)()(y y x x -+-.

3、例题讲解：P105 例3、4，《名师金典》P65 例1、2、3

4、练习巩固：P106 第1、2题

5、作业：课本习题3.3 A 组

6、

7、8；B 组6.