动点产生的直角三角形问题

因动点产生的直角三角形问题

例1 2013年山西省中考第26题

如图1，抛物线213442

y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．

（1）求点A 、B 、C 的坐标；

（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；

（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．

请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．

思路点拨

1．第（2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQ ＝DC 列方程．

2．第（2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论．

3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．

满分解答

（1）由21314(2)(8)424

y x x x x =

--=+-，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)． （2）直线DB 的解析式为142y x =-+．

由点P的坐标为(m, 0)，可得

1

(,4)

2

M m m

--，2

13

(,

4)

42

Q m m m

--．所以MQ＝22

1131

(4)(4)8

2424

m m m m m

-+---=-++．

当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．

解方程2

1

88

4

m m

-++=，得m＝4，或m＝0（舍去）．

此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．

所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．

所以四边形CQBM是平行四边形．

图2 图3 （3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．

考点伸展

第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为

1

(,(2)(8))

4

x x x

+-．

①如图3，当∠DBQ＝90°时，

1

2

QG BH

GB HD

==．所以

1

(2)(8)1

4

82

x x

x

-+-

=

-

．解得x＝6．此时Q(6,－4)．

②如图4，当∠BDQ＝90°时，2

QG DH

GD HB

==．所以

1

4(2)(8)

42

x x

x

-+-

=

-

．解得x＝－2．此时Q(－2,0)．

图3 图4

例1 2012年广州市中考第24题

如图1，抛物线233384

y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．

（1）求点A 、B 的坐标；

（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；

（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．

三个时，求直线l 的解析式．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．

请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．

思路点拨

1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．

2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．

3．灵活应用相似比解题比较简便．

满分解答

（1）由23333(4)(2)848

y x x x x =--+=-+-， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．

（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．

过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．

由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34

DG CO BG AO ==．

所以3944DG BG =

=，点D 的坐标为9(1,)4

-． 因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．

而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．

图2 图3

（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．

联结GM ，那么GM ⊥l ．

在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．

在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4

M A M EA AE ∠=

=，所以M 1A ＝6． 所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334

y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =+． 考点伸展

第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式．

在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．

在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．

因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．

例3 2012年杭州市中考第22题

在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．

（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．

动感体验

请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，

当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上．

请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上． 思路点拨

1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是k y x =．题目中的k 都是一致的． 2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．

3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．

满分解答

（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x

=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x

=-． （2）在反比例函数k y x

=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．

当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x

增大而增大．

抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24

k x k +-的对称轴是直线12

x =-． 图1 所以当k ＜0且12

x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大． （3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24

k --，A 、B 关于原点O 中心对称， 当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．

由OQ 2＝OA 2，得222215()()124

k k -+-=+． 解得1233k =（如图2），2233

k =-（如图3）．

图2 图3 考点伸展

如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线

k

y

x

=（k＞0）交于A、B

和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．

问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？

如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．

因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．

图4 图5

例4 2011年浙江省中考第23题

设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H 的直角线．

（1）已知直线①

1

2

2

y x

=-+；②2

y x

=+；③22

y x

=+；④

24

y x

=+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线

（填序号即可）；

（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，

0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直

线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求

直线l1与l2的解析式．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，∠APB 有两个时刻可以成为直角，此时△BCP∽△POA．

答案

（1）直线①和③是点C 的直角线．

（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273PO PO =-．解得OP ＝6或OP ＝1．

如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6． 如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113

y x =-+．

图2 图3

例5 2010年北京市中考第24题

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244

m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．

（1）求点B 的坐标；

（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．

①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；

②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P 从O 向A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．

思路点拨

1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．

2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长．

3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长．

4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．

满分解答

(1) 因为抛物线22153244

m m y x x m m -=-

++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．

(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，21

52(3)342t t t =-?+?．解得229

t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103

t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．

如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107

t =．

图1 图2 图3

考点伸展

在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值． 如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =． 如图6，当两圆外切时，30202t =-．

图4 图5 图6

例6 2009年嘉兴市中考第24题

如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．

（1）求x 的取值范围；

（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；

（3）探究：△ABC 的最大面积？

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B 在AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB 和∠ACB 可以成为直角，∠CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U ”形，当AB 等于1.5时，面积达到最大值．

思路点拨

1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．

2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．

3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．

满分解答

（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以???>-+->+.

31,31x x x x 解得21<

x ，满足21<

x ，满足21<

4=x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=

． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x 所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423

x <≤）． 当23=x 时（满足423

x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．

图2 图3

②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==

x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）． 易知此时2

2

22． 考点伸展

第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =，

例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程2

22)()3(1a x x a ---=-． 整理，得x

x a 43-=．所以 21a -222

16248431x x x x x -+-=??

? ??--=． 因此 462)1(4

12222-+-=-=x x a x S ． 例 7 2008年河南省中考第23题

如图1，直线43

4+-

=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；

（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．

① 求S 与t 的函数关系式；

② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M 从A 向B 运动，观察S 随t 变化的图象，可以体验到，当M 在AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在OB 上时，S 随t 的增大而增大．

观察S 的度量值，可以看到，S 的值可以等于4．

观察△MON 的形状，可以体验到，△MON 可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．

思路点拨

1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．

2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．

3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．

4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．

满分解答

（1）直线43

4+-

=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形． （2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45

NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时

211424(2)22555S OM NH t t t t =??=-?=-+． 定义域为0＜t ≤2．

如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时

211424(2)22555

S OM NH t t t t =??=-?=-． 定义域为2＜t ≤5．

图2 图3

②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455

t t -=．解得1211t =+，2211t =-（舍去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t =+．

③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =

，所以535t t -=．解得258

t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258

t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．

图4 图5 考点伸展

在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．

如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．

图6 图7

例8 2008年河南省中考第23题

如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；

（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．

① 求S 与t 的函数关系式；

② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M 从A 向B 运动，观察S 随t 变化的图象，可以体验到，当M 在AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在OB 上时，S 随t 的增大而增大．

观察S 的度量值，可以看到，S 的值可以等于4．

观察△MON 的形状，可以体验到，△MON 可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．

思路点拨

1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．

2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．

3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．

4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．

满分解答

（1）直线43

4+-

=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）． Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．

点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．

因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．

（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．

在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时

211424(2)22555

S OM NH t t t t =??=-?=-+．定义域为0＜t ≤2． 如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时

211424(2)22555

S OM NH t t t t =??=-?=-．定义域为2＜t ≤5．

图2 图3

②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455

t t -=． 解得1211t =+，2211t =-（舍去负值）．

因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t =+． ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =， 所以535t t -=．解得258

t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．

不存在∠ONM ＝90°的可能．

所以，当258

t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．

图4 图5 考点伸展

在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．

如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．

图6 图7