数学分析1实数集与函数总练习题

第一章实数集与函数

总练习题

1、设a, b∈R，证明：

(1)max{a,b}=；(2)min{a,b}=.

证：(1)当a≥b时，max{a,b}=a；==a；当a≤b时，max{a,b}=b；==b；

∴max{a,b}=.

(2)当a≥b时，min{a,b}=b；==b；

当a≤b时，min{a,b}=a；==a；

∴min{a,b}=.

2、设f和g都是D上的初等函数，定义

M(x)=max{f(x),g(x)}，m(x)=min{f(x),g(x)}，x∈D，

试问M(x)和m(x)是否为初等函数？

解：M(x)=max{f(x),g(x)}=;

m(x)=min{f(x),g(x)} =;

∵f和g都是D上的初等函数，∴M(x)和m(x)都是初等函数。

3、设函数f(x)=，求：f(-x)，f(x+1)，f(x)+1，f()，，f(x2)，f(f(x)). 解：f(-x)==；f(x+1)==；f(x)+1===；f()===；=；f(x2)=；f(f(x))===x.

4、已知f()=x+，求f(x).

解：f(x)==.

5、利用函数y=[x]求解：

(1)某系各班级推选学生代表，每5人推选1名代表，余额满3人可增选1名，写出可推选代表数y与班级学生数x之间的函数关系(假设每班学生为30-50人)；

(2)正数x经四舍五入后得整数y，写出y与x之间的函数关系.

解：(1)y=[]，x=30,31,…,50. (2)y=[y+0.5]，x>0.

6、已知函数y=f(x)的图象，试作下列各函数的图象：

(1)y= -f(x)；(2)y=f(-x)；(3)y= -f(-x)；(4)y=|f(x)|；(5)y=sgn f(x)；

(6)y=；(7)y=.

解：(1)y= -f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称；

(2)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称；

(3)y= -f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称；

(4)当f(x)≥0时，y=|f(x)|与y=f(x)的图象相同；

当f(x)≤0时，y=|f(x)|与y=f(x)的图象关于x轴对称；

(5) 当f(x)> 0时，y=sgnf(x)的图象在直线y=1上；

当f(x)=0时，y=sgnf(x)的图象在直线y=0上；

当f(x)<0时，y=sgnf(x)的图象在直线y= -1上；

(6)当f(x)≥0时，y=与y=f(x)的图象相同；

当f(x)≤0时，y=的图象在直线y=0上；

(7)当f(x)≥0时，y=的图象在直线y=0上；

当f(x)≤0时，y=与y=f(x)的图象关于x轴对称.

以f(x)=(x+1)2-1为例，如图：

7、已知函数f和g的图象如图，试作下列函数的图象：

(1)φ(x)=max{f(x),g(x)}；(2) ψ(x)=min{f(x),g(x)}.

解，如图：

8、设f,g和h为增函数，满足f(x)≤g(x)≤h(x)，x∈D，证明f(f(x))≤g(g(x))≤h(h(x)). 证：∵f,g和h都为增函数，且f(x)≤g(x)≤h(x)，x∈D，

∴f(f(x))≤f(g(x))≤g(g(x))≤g(h(x))≤h(h(x))；即f(f(x))≤g(g(x))≤h(h(x)).

9、设f和g为区间(a,b)上的增函数，证明(1)φ(x)=max{f(x),g(x)}；(2) ψ(x)=min{f(x),g(x)}都是(a,b)上的增函数.

证：设x1,x2∈(a,b)，且x1

(1)φ(x)=max{f(x),g(x)}=

φ(x1)-φ(x2)

=

=[()+()]

≤[()+()]

=[()+()]

≤[()+()]=0

∴φ(x)=max{f(x),g(x)}是(a,b)上的增函数.

(1)ψ(x)=min{f(x),g(x)}=

ψ(x1)-ψ(x2)

=

=[()+()]

≤[()+()]

=[()+()]

≤[()+()]=0

∴ψ(x)=min{f(x),g(x)}是(a,b)上的增函数.

10、设f为[-a,a]上的奇(偶)函数，证明：若f在[0,a]上增，则在[-a,0]上增(减). 证：设x1,x2∈[0,a]，且x1-x2.

∵f在[0,a]上增，∴f(x1)-f(x2).

当f为[-a,a]上的奇函数时，f(-x1)=-f(x1)，f(-x2)=-f(x2)，

∴f(-x1)> f(-x2)；∴f在[-a,0]上增；

当f为[-a,a]上的偶函数时，f(-x1)=f(x1)，f(-x2)=f(x2)，

∴f(-x1)< f(-x2)；∴f在[-a,0]上减.

11、证明：(1)两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数；

(2)两个偶函数之和与积都为偶函数；

(3)奇函数与偶函数之积为奇函数.

证：(1)设f,g是D上的奇函数，则f(-x)= -f(x)；g(-x)= -g(x).

令函数F=f+g，函数G=f·g，则对任意x∈D，有

F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-F(x).

G(-x)=f(-x)·g(-x)=(-f(x))·(-g(x))=f(x)·g(x)=G(x).

∴两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数.

(2)设f,g是D上的偶函数，则f(-x)=f(x)；g(-x)=g(x).